Непрерывная дробь - Continued fraction

{ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} { ddots + { cfrac {1} {a_) {n}}}}}}}}}}

Конечная цепная дробь, где

{ displaystyle n}

является целым неотрицательным числом,

{ displaystyle a_ {0}}

целое число, а

{ displaystyle a_ {i}}

положительное целое число, для

{ Displaystyle я = 1, ldots, п}

.

В математика, а непрерывная дробь является выражение полученный через итеративный процесс представления числа как суммы его целая часть и взаимный другого числа, затем записывая это другое число как сумму его целой части и другого обратного числа, и так далее.^[1] В конечная цепная дробь (или прекращенная непрерывная дробь), итерация /рекурсия завершается после конечного числа шагов с использованием целого числа вместо другой непрерывной дроби. Напротив, бесконечная цепная дробь является бесконечное выражение. В любом случае все целые числа в последовательности, кроме первого, должны быть положительный. Целые числа ${ displaystyle a_ {i}}$ называются коэффициенты или термины непрерывной дроби.^[2]

Непрерывные дроби обладают рядом замечательных свойств, связанных с Евклидов алгоритм для целых чисел или действительные числа. Каждые рациональное число ${ displaystyle p}$ / ${ displaystyle q}$ имеет два тесно связанных выражения в виде конечной цепной дроби, коэффициенты которой $а я$ можно определить, применяя алгоритм Евклида к ${ displaystyle (p, q)}$ . Числовое значение бесконечной цепной дроби равно иррациональный; он определяется из своей бесконечной последовательности целых чисел как предел последовательности значений конечных цепных дробей. Каждая конечная цепная дробь последовательности получается с помощью конечного приставка определяющей последовательности целых чисел бесконечной цепной дроби. Более того, каждое иррациональное число ${ displaystyle alpha}$ это значение уникальный бесконечная цепная дробь, коэффициенты которой могут быть найдены с помощью неограниченной версии алгоритма Евклида, применяемого к несоизмеримый ценности ${ displaystyle alpha}$ и 1. Такой способ выражения действительных чисел (рациональных и иррациональных) называется их представление непрерывной дроби.

Обычно предполагается, что числитель всех дробей равно 1. Если произвольные значения и / или функции используются вместо одного или нескольких числителей или целых чисел в знаменателях, в результате получается выражение обобщенная цепная дробь. Когда необходимо отличить первую форму от обобщенных цепных дробей, первую можно назвать просто или правильная непрерывная дробь, или сказал, что находится в каноническая форма.

Период, термин непрерывная дробь может также относиться к представлениям рациональные функции, возникающие в их аналитическая теория. Об этом использовании термина см. Приближение Паде и Чебышевские рациональные функции.

Мотивация и обозначения

Рассмотрим, например, рациональное число 415/93, что составляет около 4,4624. Как первый приближение, начинаются с 4, что является целая часть; 415/93 = 4 + 43/93. Дробная часть - это взаимный из 93/43 что составляет около 2,1628. Используйте целую часть, 2, как приближение обратной величины, чтобы получить второе приближение 4 + 1/2 = 4.5; 93/43 = 2 + 7/43.Оставшаяся дробная часть, 7/43, является обратной величиной 43/7, и 43/7 составляет около 6,1429. Используйте 6 в качестве приближения, чтобы получить 2 + 1/6 в качестве приближения для 93/43 и 4 + 1/2 + 1/6, около 4,4615 в третьем приближении; 43/7 = 6 + 1/7. Наконец, дробная часть, 1/7, является обратной величине 7, поэтому ее аппроксимация в этой схеме, 7, является точной (7/1 = 7 + 0/1) и дает точное выражение 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 для 415/93.

Выражение 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 называется представлением непрерывной дроби 415/93. Это может быть представлено сокращенным обозначением 415/93 = [4; 2, 6, 7]. (Принято заменять только первый запятую через точку с запятой.) В некоторых старых учебниках все запятые в $(п + 1)$ -набор, например, [4, 2, 6, 7].^[3]^[4]

Если начальное число рационально, то этот процесс в точности повторяет Евклидов алгоритм. В частности, он должен заканчиваться и давать представление числа в виде конечной непрерывной дроби. Если начальный номер иррациональный, то процесс продолжается бесконечно. Это дает последовательность приближений, все из которых являются рациональными числами, которые сходятся к начальному числу в качестве предела. Это представление числа в виде (бесконечной) цепной дроби. Примеры представлений иррациональных чисел в виде цепной дроби:

$\sqrt 19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...]$ (последовательность A010124 в OEIS ). Шаблон повторяется бесконечно с периодом 6.
$е = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...]$ (последовательность A003417 в OEIS ). Шаблон повторяется бесконечно с периодом 3, за исключением того, что 2 добавляется к одному из членов в каждом цикле.
$π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...]$ (последовательность A001203 в OEIS ). В этом изображении никогда не было обнаружено никаких закономерностей.
$ϕ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]$ (последовательность A000012 в OEIS ). В Золотое сечение, иррациональное число, которое «труднее всего» аппроксимировать рационально. Увидеть: Свойство золотого сечения φ.

Непрерывные дроби в некотором смысле являются более "математически естественными" представлениями настоящий номер чем другие представления, такие как десятичные представления, и у них есть несколько желаемых свойств:

Представление непрерывной дроби для рационального числа конечно, и только рациональные числа имеют конечные представления. Напротив, десятичное представление рационального числа может быть конечным, например 137/1600 = 0.085625, или бесконечный с повторяющимся циклом, например 4/27 = 0.148148148148...
Каждое рациональное число имеет существенно уникальное представление непрерывной дроби. Каждое рациональное представление может быть представлено ровно двумя способами, поскольку $[а 0; а 1,... а п -1, а п] = [а 0; а 1,... а п -1,(а п -1),1]$ . Обычно в качестве первого выбирается первый, более короткий. каноническое представление.
Представление иррационального числа в виде цепной дроби уникально.
Действительные числа, цепная дробь которых в конечном итоге повторяется, и есть квадратичные иррациональные числа.^[5] Например, повторяющаяся непрерывная дробь [1;1,1,1,...] это Золотое сечение, а повторяющаяся цепная дробь [1;2,2,2,...] это квадратный корень из 2. Напротив, десятичные представления квадратичных иррациональных чисел явно случайный. Квадратные корни всех (положительных) целых чисел, которые не являются полными квадратами, являются квадратичными иррациональными числами, следовательно, являются единственными периодическими непрерывными дробями.
Последовательные приближения, генерируемые при нахождении представления числа в виде непрерывной дроби, то есть путем усечения представления непрерывной дроби, в определенном смысле (описанном ниже) являются «наилучшими из возможных».

Основная формула

Цепная дробь - это выражение формы

{ displaystyle a_ {0} + { cfrac {b_ {1}} {a_ {1} + { cfrac {b_ {2}} {a_ {2} + { cfrac {b_ {3}} {a_ {) 3} + {_ { ddots}}}}}}}}}

где_я и б_я могут быть любыми комплексными числами. Обычно они должны быть целыми числами. Если b_я = 1 для всех я выражение называется просто непрерывная дробь.Если выражение содержит конечное число членов, оно называется конечный непрерывная дробь.Если выражение содержит бесконечное количество членов, оно называется бесконечный непрерывная дробь.^[6]

Таким образом, все следующее иллюстрирует допустимые конечные простые цепные дроби:

Примеры конечных простых цепных дробей
Формула	Числовой	Замечания
${ displaystyle a_ {0}}$	${ displaystyle 2}$	Все целые числа являются вырожденный случай
${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1}}}}$	${ displaystyle 2 + { cfrac {1} {3}}}$	Простейшая возможная дробная форма
${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2}}}}}}$	${ displaystyle -3 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {18}}}}}$	Первое целое число может быть отрицательным
${ displaystyle a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3}}}}}}} }$	${ displaystyle { cfrac {1} {15 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {102}}}}}}}$	Первое целое число может быть нулем

Вычисление представлений непрерывной дроби

Считайте реальное число $р$ .Позволять ${ Displaystyle я = lfloor r rfloor}$ быть целая часть из $р$ и разреши ${ displaystyle f = r-i}$ быть дробная часть из $р$ .Тогда представление непрерывной дроби $р$ является ${ Displaystyle [я; а_ {1}, а_ {2}, ldots]}$ , где ${ Displaystyle [а_ {1}; а_ {2}, ldots]}$ представляет собой представление непрерывной дроби ${ displaystyle 1 / f}$ .

Чтобы вычислить представление числа в виде непрерывной дроби $р$ запишите целую часть (технически этаж ) из $р$ . Вычтите эту целую часть из $р$ . Если разница равна 0, остановиться; в противном случае найти взаимный разницы и повторить. Процедура остановится тогда и только тогда, когда $р$ рационально. Этот процесс можно эффективно реализовать с помощью Евклидов алгоритм когда число рациональное. В таблице ниже показана реализация этой процедуры для числа 3,245, приводящая к раскрытию непрерывной дроби [3; 4,12,4].

Найдите непрерывную дробь для ${ displaystyle 3.245 = { frac {649} {200}}}$
Шаг	Реальный Число	Целое число часть	Дробное часть	Упрощенный	Взаимный из $ж$
1	${ displaystyle r = { frac {649} {200}}}$	${ displaystyle i = 3}$	${ displaystyle f = { frac {649} {200}} - 3}$	${ displaystyle = { frac {49} {200}}}$	${ displaystyle { frac {1} {f}} = { frac {200} {49}}}$
2	${ displaystyle r = { frac {200} {49}}}$	${ displaystyle i = 4}$	${ displaystyle f = { frac {200} {49}} - 4}$	${ displaystyle = { frac {4} {49}}}$	${ displaystyle { frac {1} {f}} = { frac {49} {4}}}$
3	${ displaystyle r = { frac {49} {4}}}$	${ displaystyle i = 12}$	${ displaystyle f = { frac {49} {4}} - 12}$	${ displaystyle = { frac {1} {4}}}$	${ displaystyle { frac {1} {f}} = { frac {4} {1}}}$
4	${ displaystyle r = 4}$	${ displaystyle i = 4}$	${ displaystyle f = 4-4}$	${ displaystyle = 0}$	СТОП
Форма непрерывной дроби для ${ displaystyle 3.245 = { frac {649} {200}} = [3; 4,12,4]}$ = $3 + 1 / 4 + 1 / 12 + 1 / 4$

Обозначения

Целые числа ${ displaystyle a_ {0}}$ , ${ displaystyle a_ {1}}$ и т.д., называются коэффициенты или термины непрерывной дроби.^[2] Можно сократить непрерывную дробь

{ displaystyle x = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3}}}}}} }}

в обозначении Карл Фридрих Гаусс

{ displaystyle x = a_ {0} + { underset {i = 1} { overset {3} { mathrm {K}}}} ~ { frac {1} {a_ {i}}}}

или как

{ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]}

,

или в обозначениях Pringsheim так как

{ displaystyle x = a_ {0} + { frac {1 mid} { mid a_ {1}}} + { frac {1 mid} { mid a_ {2}}} + { frac { 1 mid} { mid a_ {3}}},}

или в другом родственном обозначении как

{ displaystyle x = a_ {0} + {1 over a_ {1} + {}} {1 over a_ {2} + {}} {1 over a_ {3} {}}.}

Иногда используются угловые скобки, например:

{ displaystyle x = left langle a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} right rangle.}

Точка с запятой в обозначениях квадратных и угловых скобок иногда заменяется запятой.^[3]^[4]

Можно также определить бесконечные простые непрерывные дроби так как пределы:

{ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, , ldots] = lim _ {n to infty} [a_ {0}; a_ {1} , a_ {2}, , ldots, a_ {n}].}

Этот предел существует для любого выбора ${ displaystyle a_ {0}}$ и положительные целые числа ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots}$ ^[7]^[8]

Конечные непрерывные дроби

Каждая конечная цепная дробь представляет собой рациональное число, и каждое рациональное число может быть представлено ровно двумя разными способами в виде конечной цепной дроби с условиями, что первый коэффициент является целым числом, а другие коэффициенты - положительными целыми числами. Эти два заявления согласны, за исключением их окончательных условий. В более длинном представлении последний член в непрерывной дроби равен 1; более короткое представление отбрасывает конечную единицу, но увеличивает новый конечный член на 1. Поэтому последний элемент в кратком представлении всегда больше 1, если он присутствует. В символах:

[а 0; а 1, а 2, ..., а п - 1, а п, 1] = [а 0; а 1, а 2, ..., а п - 1, а п + 1]

.

[а 0; 1] = [а 0 + 1]

.

Взаимных

Представления непрерывной дроби положительного рационального числа и его взаимный идентичны, за исключением сдвига на одно место влево или вправо, в зависимости от того, больше или меньше единицы соответственно. Другими словами, числа, представленные ${ Displaystyle [а_ {0}; а_ {1}, а_ {2}, ldots, а_ {п}]}$ и ${ displaystyle [0; a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n}]}$ взаимны.

Например, если ${ displaystyle a}$ целое число и ${ Displaystyle х <1}$ тогда

{ displaystyle x = 0 + { frac {1} {a + { frac {1} {b}}}}}

и

{ displaystyle { frac {1} {x}} = a + { frac {1} {b}}}

.

Если ${ displaystyle x> 1}$ тогда

{ displaystyle x = a + { frac {1} {b}}}

и

{ displaystyle { frac {1} {x}} = 0 + { frac {1} {a + { frac {1} {b}}}}}

.

Последнее число, образующее остаток от непрерывной дроби, одинаково для обоих ${ displaystyle x}$ и его обратное.

Например,

{ displaystyle 2.25 = { frac {9} {4}} = [2; 4]}

и

{ displaystyle { frac {1} {2.25}} = { frac {4} {9}} = [0; 2,4]}

.

Бесконечные цепные дроби и подходящие дроби

Каждая бесконечная цепная дробь равна иррациональный, и каждое иррациональное число может быть представлено точно одним способом в виде бесконечной цепной дроби.

Представление бесконечной цепной дроби для иррационального числа полезно, потому что его начальные сегменты обеспечивают рациональные приближения к числу. Эти рациональные числа называются сходящиеся непрерывной дроби.^[9]^[10] Чем больше член в непрерывной дроби, тем ближе соответствующая сходящаяся дробь к приближаемому иррациональному числу. Такие числа, как π, иногда содержат большие члены в своей непрерывной дроби, что позволяет легко аппроксимировать их рациональными числами. Другие числа, такие как е имеют только маленькие члены в начале их непрерывной дроби, что затрудняет их рациональное приближение. В Золотое сечение ϕ везде имеет члены, равные 1 - наименьшие возможные значения, что делает ϕ наиболее трудным для рационального приближения числом. Следовательно, в этом смысле это «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел. Подходящие с четным номером меньше исходного числа, а с нечетным числом больше.

Для непрерывной фракции $[а 0; а 1, а 2, ...]$ , первые четыре подходящие дроби (пронумерованные от 0 до 3) являются

а 0 / 1, а 1 а 0 + 1 / а 1, а 2 (а 1 а 0 + 1) + а 0 / а 2 а 1 + 1, а 3 (а 2 (а 1 а 0 + 1) + а 0) + (а 1 а 0 + 1) / а 3 (а 2 а 1 + 1) + а 1

.

Числитель третьего сходящегося элемента формируется путем умножения числителя второго сходящегося элемента на третий коэффициент и добавления числителя первого сходящегося элемента. Знаменатели формируются аналогично. Следовательно, каждую сходящуюся дробь можно явно выразить через непрерывную дробь как отношение определенных многомерные полиномы называется континуанты.

Если найдены последовательные подходящие дроби, с числителями $час$ ₁, $час$ ₂, ... и знаменатели $k$ ₁, $k$ ₂, ... тогда соответствующее рекурсивное отношение:

час п = а п час п - 1 + час п - 2

,

k п = а п k п - 1 + k п - 2

.

Последовательные подходящие дроби задаются формулой

час п / k п = а п час п - 1 + час п - 2 / а п k п - 1 + k п - 2

.

Таким образом, чтобы включить новый член в рациональное приближение, необходимы только две предыдущие подходящие дроби. Начальные "конвергенты" (требуемые для первых двух терминов): ⁰⁄₁ и ¹⁄₀. Например, вот подходящие дроби для [0; 1,5,2,2].

$п$	−2	−1	0	1	2	3	4
$а п$			0	1	5	2	2
$час п$	0	1	0	1	5	11	27
$k п$	1	0	1	1	6	13	32

При использовании Вавилонский метод для генерации последовательных приближений квадратного корня из целого числа, если один начинает с наименьшего целого числа в качестве первого приближения, все сгенерированные рациональные числа появляются в списке подходящих дробей для непрерывной дроби. В частности, аппроксиманты появятся в списке сходящихся в позициях 0, 1, 3, 7, 15, ..., $2 k -1$ , ... Например, разложение непрерывной дроби для √3 это [1; 1,2,1,2,1,2,1,2, ...]. Сравнение подходящих дробей с аппроксимациями, полученными из вавилонского метода:

$п$	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
$а п$			1	1	2	1	2	1	2	1
$час п$	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
$k п$	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

Икс 0 = 1 = 1 / 1

Икс 1 = 1 / 2 (1 + 3 / 1) = 2 / 1 = 2

Икс 2 = 1 / 2 (2 + 3 / 2) = 7 / 4

Икс 3 = 1 / 2 (7 / 4 + 3 / 7 / 4) = 97 / 56

Свойства

А Пространство Бэра является топологическим пространством на бесконечных последовательностях натуральных чисел. Бесконечная цепная дробь дает гомеоморфизм из пространства Бэра в пространство иррациональных действительных чисел (с топологией подпространств, унаследованной от обычная топология на реалах). Бесконечная цепная дробь также обеспечивает отображение между квадратичные иррациональные числа и диадические рациональные числа, а от других иррациональных чисел к множеству бесконечных строк двоичных чисел (т.е. Кантор набор ); эта карта называется Вопросительный знак Минковского функция. Отображение имеет интересные самоподобные фрактал свойства; они даны модульная группа, которая является подгруппой Преобразования Мебиуса с целочисленными значениями в преобразовании. Грубо говоря, подходящие дроби в цепной дроби можно рассматривать как преобразования Мёбиуса, действующие на (гиперболическом) верхняя полуплоскость; вот что приводит к фрактальной самосимметрии.

Некоторые полезные теоремы

Если ${ displaystyle a_ {0}}$ , ${ displaystyle a_ {1}}$ , ${ displaystyle a_ {2}}$ , ${ displaystyle ldots}$ - бесконечная последовательность натуральных чисел, определим последовательности ${ displaystyle h_ {n}}$ и ${ displaystyle k_ {n}}$ рекурсивно:

${ displaystyle h_ {n} = a_ {n} h_ {n-1} + h_ {n-2}}$			${ displaystyle h _ {- 1} = 1}$		${ displaystyle h _ {- 2} = 0}$
${ displaystyle k_ {n} = a_ {n} k_ {n-1} + k_ {n-2}}$			${ displaystyle k _ {- 1} = 0}$		${ displaystyle k _ {- 2} = 1}$

Теорема 1. Для любого положительного действительного числа ${ displaystyle z}$
${ displaystyle left [a_ {0}; a_ {1}, , dots, a_ {n-1}, z right] = { frac {zh_ {n-1} + h_ {n-2} } {zk_ {n-1} + k_ {n-2}}}.}$

Теорема 2. Подходящие к [ ${ displaystyle a_ {0}}$ ; ${ displaystyle a_ {1}}$ , ${ displaystyle a_ {2}}$ , ${ displaystyle ldots}$ ] даны
${ displaystyle left [a_ {0}; a_ {1}, , dots, a_ {n} right] = { frac {h_ {n}} {k_ {n}}}.}$

Теорема 3. Если ${ displaystyle n}$ th сходится к непрерывной дроби ${ displaystyle h_ {n}}$ / ${ displaystyle k_ {n}}$ , тогда
${ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n} = (- 1) ^ {n}.}$

Следствие 1: Каждая сходящаяся дробь находится в низших членах (если ${ displaystyle h_ {n}}$ и ${ displaystyle k_ {n}}$ имел нетривиальный общий делитель, он делил бы ${ displaystyle k_ {n} h_ {n-1} -k_ {n-1} h_ {n}}$ , что невозможно).

Следствие 2: Разница между последовательными подходящими дробями - это дробь, числитель которой равен единице:

{ displaystyle { frac {h_ {n}} {k_ {n}}} - { frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}} = { frac {h_ {n} k_ {n-1} -k_ {n} h_ {n-1}} {k_ {n} k_ {n-1}}} = { frac {(-1) ^ {n + 1}} {k_ {n } k_ {n-1}}}.}

Следствие 3: Непрерывная дробь эквивалентна ряду чередующихся членов:

{ displaystyle a_ {0} + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {k_ {n} k_ {n + 1}}}.}.

Следствие 4: Матрица

{ displaystyle { begin {bmatrix} h_ {n} & h_ {n-1} k_ {n} & k_ {n-1} end {bmatrix}}}

имеет детерминант плюс или минус один, и, следовательно, принадлежит к группе ${ displaystyle 2 times 2}$ унимодулярные матрицы ${ Displaystyle mathrm {GL} (2, mathbb {Z})}$ .

Теорема 4. Каждый ( ${ displaystyle s}$ th) сходящаяся ближе к следующей ( ${ displaystyle n}$ th) сходящийся, чем любой предыдущий ( ${ displaystyle r}$ й) сходится. В символах, если ${ displaystyle n}$ th сходящаяся считается ${ displaystyle [a_ {0}; a_ {1}, ldots, a_ {n}] = x_ {n}}$ , тогда
${ displaystyle left | x_ {r} -x_ {n} right |> left | x_ {s} -x_ {n} right |}$
для всех ${ Displaystyle г$ .

Следствие 1: Четные сходящиеся (до ${ displaystyle n}$ й) постоянно увеличиваются, но всегда меньше ${ displaystyle x_ {n}}$ .

Следствие 2: Нечетные подходящие дроби (до ${ displaystyle n}$ th) постоянно уменьшаются, но всегда больше ${ displaystyle x_ {n}}$ .

~~Теорема 5.~~
~~${ displaystyle { frac {1} {k_ {n} (k_ {n + 1} + k_ {n})}} < left | x - { frac {h_ {n}} {k_ {n}} } right | <{ frac {1} {k_ {n} k_ {n + 1}}}.}$~~

Следствие 1: Сходящаяся дробь ближе к пределу непрерывной дроби, чем любая дробь, знаменатель которой меньше, чем у сходящейся дроби.

Следствие 2: Сходящаяся дробь, полученная завершением непрерывной дроби непосредственно перед большим членом, является близким приближением к пределу непрерывной дроби.

Полуконвергенты

Если
${ displaystyle { frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}, { frac {h_ {n}} {k_ {n}}}}}$
- последовательные подходящие дроби, то любые дроби вида
${ displaystyle { frac {h_ {n-1} + mh_ {n}} {k_ {n-1} + mk_ {n}}},}$
где ${ displaystyle m}$ такое целое число, что ${ Displaystyle 0 Leq м Leq А_ {п + 1}}$ , называются полуконвергенты, вторичные конвергенты, или промежуточные фракции. В ${ Displaystyle (м + 1)}$ -st полусходящаяся равна посредственный из ${ displaystyle m}$ -й и сходящийся ${ displaystyle { tfrac {h_ {n}} {k_ {n}}}}$ . Иногда этот термин используется для обозначения того, что быть полуконвергентным исключает возможность быть сходящимся (т. Е. ${ Displaystyle 0 <м <а_ {п + 1}}$ ), а не то, что сходящаяся дробь является разновидностью полусходящейся.
Отсюда следует, что полуконвергенты представляют собой монотонная последовательность дробей между сходящимися ${ displaystyle { tfrac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}}}$ (соответствует ${ displaystyle m = 0}$ ) и ${ displaystyle { tfrac {h_ {n + 1}} {k_ {n + 1}}}}$ (соответствует ${ displaystyle m = a_ {n + 1}}$ ). Последовательные полуконвергенты ${ displaystyle { tfrac {a} {b}}}$ и ${ displaystyle { tfrac {c} {d}}}$ удовлетворить собственность ${ displaystyle ad-bc = pm 1}$ .
Если рациональное приближение ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$ к реальному числу ${ displaystyle x}$ такова, что значение ${ displaystyle left | x - { tfrac {p} {q}} right |}$ меньше, чем у любого приближения с меньшим знаменателем, то ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$ является полусходящимся разложения в непрерывную дробь ${ displaystyle x}$ . Однако обратное неверно.
Наилучшие рациональные приближения

Смотрите также: Диофантово приближение и Аппроксимация Паде
Можно выбрать определение наилучшее рациональное приближение к реальному числу $Икс$ как рациональное число $п$ / $d$ , $d > 0$ , что ближе к $Икс$ чем любое приближение с меньшим или равным знаменателем. Простая цепная дробь для $Икс$ можно использовать для создания все наилучших рациональных приближений для $Икс$ применяя эти три правила:
Обрезать непрерывную дробь и уменьшить ее последний член на выбранную величину (возможно, на ноль).
Сокращенный срок не может быть меньше половины его первоначального значения.
Если последний член четный, половина его значения допустима, только если соответствующая полусходящаяся дробь лучше, чем предыдущая сходящаяся. (См. ниже.)
Например, 0,84375 имеет непрерывную дробь [0; 1,5,2,2]. Вот все его лучшие рациональные приближения.
Непрерывная дробь [0;1] [0;1,3] [0;1,4] [0;1,5] [0;1,5,2] [0;1,5,2,1] [0;1,5,2,2]
Рациональное приближение 1 3/4 4/5 5/6 11/13 16/19 27/32
Десятичный эквивалент 1 0.75 0.8 ~0.83333 ~0.84615 ~0.84211 0.84375
ошибка +18.519% −11.111% −5.1852% −1.2346% +0.28490% −0.19493% 0%
Строго монотонный рост знаменателей при включении дополнительных членов позволяет алгоритму наложить ограничение либо на размер знаменателя, либо на точность приближения.
Упомянутое выше "полуправило" требует, чтобы когда $а$ _$k$ четное, сокращенное вдвое член $а$ _$k$/ 2 допустимо тогда и только тогда, когда $| Икс - [а 0; а 1, ..., а k - 1]| > | Икс - [а 0; а 1, ..., а k - 1, а k /2]|$ ^[11] Это эквивалентно^[11] кому:^[12]
$[а k; а k - 1, ..., а 1] > [а k; а k + 1, ...]$ .
Подходящие к $Икс$ являются «наилучшими приближениями» в гораздо более сильном смысле, чем определенное выше. А именно, $п$ / $d$ сходится для $Икс$ если и только если $| dx - п |$ имеет наименьшее значение среди аналогичных выражений для всех рациональных приближений $м$ / $c$ с участием $c \leq d$ ; то есть у нас есть $| dx - п | < | сх - м |$ пока $c < d$ . (Отметим также, что $| d k Икс - п k | \to 0$ так как $k \to \infty$ .)
Лучшая рациональность в пределах интервала
Рациональное, попадающее в интервал $(Икс, у)$ , для $0 < Икс < у$ , можно найти с помощью непрерывных дробей для $Икс$ и $у$ . Когда оба $Икс$ и $у$ иррациональны и
$Икс = [а 0; а 1, а 2, ..., а k - 1, а k, а k + 1, ...]$
$у = [а 0; а 1, а 2, ..., а k - 1, б k, б k + 1, ...]$
где $Икс$ и $у$ имеют идентичные разложения непрерывной дроби до $а k -1$ , рациональное, попадающее в интервал $(Икс, у)$ дается конечной цепной дробью,
$z (Икс, у) = [а 0; а 1, а 2, ..., а k - 1, мин (а k, б k) + 1]$
Это рациональное решение будет лучшим в том смысле, что никакое другое рациональное $(Икс, у)$ будет иметь меньший числитель или меньший знаменатель.^{[нужна цитата ]}
Если $Икс$ рационально, у него будет два представления непрерывной дроби, которые конечный, $Икс 1$ и $Икс 2$ , и аналогично рациональный $у$ будет два представления, $у 1$ и $у 2$ . Коэффициенты за последним в любом из этих представлений следует интерпретировать как $+\infty$ ; и лучший рациональный будет одним из $z (Икс 1, у 1)$ , $z (Икс 1, у 2)$ , $z (Икс 2, у 1)$ , или $z (Икс 2, у 2)$ .
Например, десятичное представление 3,1416 может быть округлено от любого числа в интервале $[3.14155, 3.14165)$ . Представления 3,14155 и 3,14165 в виде цепной дроби являются
$3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]$
$3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]$
и лучший рациональный вариант между этими двумя
$[3; 7, 16] = 355 / 113 = 3.1415929....$
Таким образом, 355/113 является наилучшим рациональным числом, соответствующим округленному десятичному числу 3,1416, в том смысле, что никакое другое рациональное число, округляемое до 3,1416, не будет иметь меньший числитель или меньший знаменатель.
Интервал для конвергентной
Рациональное число, которое можно выразить конечной цепной дробью двумя способами:
$z = [а 0; а 1, ..., а k - 1, а k, 1] = [а 0; а 1, ..., а k - 1, а k + 1]$
будет одной из подходящих дробей для разложения числа в непрерывную дробь, если и только если число находится строго между
$Икс = [а 0; а 1, ..., а k - 1, а k, 2]$ и
$у = [а 0; а 1, ..., а k - 1, а k + 2]$
Число $Икс$ и $у$ формируются путем увеличения последнего коэффициента в двух представлениях для $z$ . Дело в том, что $Икс < у$ когда $k$ четный, и $Икс > у$ когда $k$ странно.
Например, число 355/113 имеет представления в виде цепной дроби
355/113 = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]
и поэтому 355/113 сходится к любому числу строго между
$[3; 7, 15, 2]$ = $688 / 219 \approx 3.1415525$
$[3; 7, 17]$ = $377 / 120 \approx 3.1416667$
Сравнение

Рассматривать $Икс = [а 0; а 1, ...]$ и $у = [б 0; б 1, ...]$ . Если $k$ наименьший индекс, для которого $а k$ не равно $б k$ тогда $Икс < у$ если $(-1) k (а k - б k) < 0$ и $у < Икс$ в противном случае.
Если нет такого $k$ , но одно расширение короче другого, скажем $Икс = [а 0; а 1, ..., а п]$ и $у = [б 0; б 1, ..., б п, б п + 1, ...]$ с участием $а я = б я$ для $0 \leq я \leq п$ , тогда $Икс < у$ если $п$ даже и $у < Икс$ если $п$ странно.
Разложение непрерывной дроби $π$

Для вычисления подходящих $π$ мы можем установить $а 0 = ⌊ π ⌋ = 3$ , определить $ты 1 = 1 / π - 3 \approx 7.0625$ и $а 1 = ⌊ ты 1 ⌋ = 7$ , $ты 2 = 1 / ты 1 - 7 \approx 15.9966$ и $а 2 = ⌊ ты 2 ⌋ = 15$ , $ты 3 = 1 / ты 2 - 15 \approx 1.0034$ . Продолжая так, можно определить бесконечную цепную дробь $π$ так как
[3; 7,15,1,292,1,1, ...] (последовательность A001203 в OEIS ).
Четвертый конвергент $π$ равно [3; 7,15,1] = 355/113 = 3,14159292035 ..., иногда называется Milü, что довольно близко к истинному значению $π$ .
Предположим, что найденные частные равны, как и выше, [3; 7,15,1]. Ниже приводится правило, по которому мы можем сразу записать сходящиеся дроби, полученные в результате этих частных, не развивая непрерывную дробь.
Первое частное, предположительно деленное на единицу, даст первую дробь, которая будет слишком маленькой, а именно: 3/1. Тогда, умножив числитель и знаменатель этой дроби на второе частное и прибавив единицу к числителю, мы получим вторую дробь, 22/7, который будет слишком большим. Умножив таким же образом числитель и знаменатель этой дроби на третье частное и прибавив к числителю числитель предыдущей дроби, а к знаменателю - знаменатель предыдущей дроби, мы получим третью дробь, которая будет тоже маленький. Таким образом, третье частное равно 15, и числитель равен (22 × 15 = 330) + 3 = 333, а для нашего знаменателя (7 × 15 = 105) + 1 = 106. Следовательно, третья сходящаяся дробь 333/106. Таким же образом поступаем и с четвертым сходящимся элементом. При четвертом частном, равном 1, мы говорим, что 333 умножить на 1 равно 333, и это плюс 22, числитель предшествующей дроби, будет 355; аналогично, если 106 умножить на 1, получится 106, а это плюс 7 равно 113. Таким образом, используя четыре частных [3; 7,15,1], мы получим четыре дроби:
3/1, 22/7, 333/106, 355/113, ....

Следующий код Maple сгенерирует расширение непрерывной дроби числа Пи.
Подводя итог, паттерн ${ displaystyle Numerator_ {i} = Numerator _ {(i-1)} cdot Quotient_ {i} + Numerator _ {(i-2)}}$ ${ displaystyle Denominator_ {i} = Denominator _ {(i-1)} cdot Quotient_ {i} + Denominator _ {(i-2)}}$
Эти сходящиеся попеременно меньше и больше, чем истинное значение $π$ , и подходить все ближе и ближе к $π$ . Разница между данным сходящимся и $π$ меньше, чем величина, обратная произведению знаменателей этой сходящейся и следующей сходящейся дроби. Например, дробь 22/7 больше, чем $π$ , но 22/7 − $π$ меньше чем 1/7 × 106 = 1/742 (по факту, 22/7 − $π$ просто больше чем 1/791 = 1/7 × 113).
Демонстрация вышеупомянутых свойств выводится из того факта, что если мы ищем разницу между одной из сходящихся дробей и следующей, смежной с ней, мы получим дробь, числитель которой всегда равен единице, а знаменатель - произведению двух знаменателей. . Таким образом, разница между 22/7 и 3/1 является 1/7, в избытке; между 333/106 и 22/7, 1/742, в дефиците; между 355/113 и 333/106, 1/11978, в избытке; и так далее. В результате, используя эту серию разностей, мы можем еще одним и очень простым способом выразить дроби, которые нас здесь интересуют, с помощью второй серии дробей, числители которых все равны единице, а знаменатели последовательно являются дробями. произведение каждых двух смежных знаменателей. Вместо дробей, написанных выше, мы имеем ряд:
3/1 + 1/1 × 7 − 1/7 × 106 + 1/106 × 113 − ...
Первый член, как мы видим, - это первая дробь; первая и вторая вместе дают вторую дробь, 22/7; первая, вторая и третья дают третью дробь 333/106и так далее с остальными; в результате вся серия эквивалентна исходному значению.
Обобщенная цепная дробь

Основная статья: Обобщенная цепная дробь
Обобщенная цепная дробь - это выражение вида
${ displaystyle x = b_ {0} + { cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + { cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + { cfrac {a_ {3}} {) b_ {3} + { cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + ddots ,}}}}}}}}}$
где а_п (п > 0) - частичные числители, б_п частные знаменатели, а главный член б₀ называется целое число часть непрерывной дроби.
Чтобы проиллюстрировать использование обобщенных цепных дробей, рассмотрим следующий пример. Последовательность частных знаменателей простой цепной дроби числа $π$ не показывает очевидной закономерности:
${ Displaystyle pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,1,2,1,3,1, ldots]}$
или
${ displaystyle pi = 3 + { cfrac {1} {7 + { cfrac {1} {1} {15 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {292 + { cfrac {1}} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1}) {1 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {1} {1+ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
Однако несколько обобщенных цепных дробей для $π$ имеют идеально правильную структуру, например:
${ displaystyle pi = { cfrac {4} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2 + { cfrac {5 ^ {2}} } {2 + { cfrac {7 ^ {2}} {2 + { cfrac {9 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}}}}}} = { cfrac {4 } {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {3 + { cfrac {2 ^ {2}} {5 + { cfrac {3 ^ {2}} {7 + { cfrac {4 ^ { 2}} {9+ ddots}}}}}}}}}} = 3 + { cfrac {1 ^ {2}} {6 + { cfrac {3 ^ {2}} {6 + { cfrac) {5 ^ {2}} {6 + { cfrac {7 ^ {2}} {6 + { cfrac {9 ^ {2}} {6+ ddots}}}}}}}}}}}$
${ displaystyle displaystyle pi = 2 + { cfrac {2} {1 + { cfrac {1} {1/2 + { cfrac {1} {1/3 + { cfrac {1} {1 /) 4+ ddots}}}}}}}} = 2 + { cfrac {2} {1 + { cfrac {1 cdot 2} {1 + { cfrac {2 cdot 3} {1 + { cfrac {3 cdot 4} {1+ ddots}}}}}}}}}$
${ displaystyle displaystyle pi = 2 + { cfrac {4} {3 + { cfrac {1 cdot 3} {4 + { cfrac {3 cdot 5} {4 + { cfrac {5 cdot) 7} {4+ ddots}}}}}}}}}$
Первые два из них являются частными случаями арктангенс функционировать с $π$ = 4 арктангенса (1).
${ Displaystyle pi = 3 + { cfrac {1 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} +5 ^ {3} + 6 ^ {3}} {6 + { cfrac {1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 7 ^ {3} + 8 ^ {3}} {6+ ddots}}}}}}}}}}$
Непрерывная фракция ${ displaystyle pi}$ выше, состоящий из кубов, использует серию Nilakantha и эксплойт Леонарда Эйлера.^[13]
Другие расширения непрерывной фракции

Периодические непрерывные дроби
Основная статья: Периодическая непрерывная дробь
Числа с периодическим разложением цепной дроби - это в точности иррациональные решения из квадратные уравнения с рациональными коэффициентами; Рациональные решения имеют разложения в конечную цепную дробь, как указано ранее. Самыми простыми примерами являются Золотое сечение φ = [1; 1,1,1,1,1, ...] и √2 = [1; 2,2,2,2, ...], а √14 = [3; 1,2,1,6,1,2,1,6 ...] и √42 = [6; 2,12,2,12,2,12 ...]. Все иррациональные квадратные корни из целых чисел имеют особую форму для периода; симметричная строка, такая как пустая строка (для √2) или 1,2,1 (для √14), за которым следует двойное значение ведущего целого числа.
Свойство золотого сечения φ
Поскольку расширение непрерывной дроби для φ не использует целые числа больше 1, φ - одно из самых "сложных" действительных чисел для аппроксимации рациональными числами. Теорема Гурвица^[14] утверждает, что любое иррациональное число $k$ можно аппроксимировать бесконечным числом рациональных м/п с участием
${ displaystyle left | k- {m over n} right | <{1 over n ^ {2} { sqrt {5}}}.}$
Хотя практически все реальные числа $k$ в конечном итоге будет бесконечно много подходящих м/п чье расстояние от $k$ значительно меньше этого предела, подходящие дроби для φ (т. е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13и т. д.) последовательно «ступать за границу», соблюдая дистанцию почти точно ${ displaystyle { scriptstyle {1 over n ^ {2} { sqrt {5}}}}}$ далеко от φ, таким образом, никогда не создавая приближения, почти столь впечатляющего, как, например, 355/113 для $π$ . Также можно показать, что каждое действительное число вида а + бφ/c + dφ, где $а$ , $б$ , $c$ , и $d$ целые числа такие, что $а d - б c = \pm1$ , разделяет это свойство с золотым сечением φ; и что все остальные действительные числа могут быть более приближены.
Обычные модели в непрерывных дробях
Хотя в простом разложении на непрерывную дробь нет заметной закономерности $π$ , есть один для $е$ , то основание натурального логарифма:
${ Displaystyle е = е ^ {1} = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1, 1, точки],}$
которое является частным случаем этого общего выражения для положительного целого числа $п$ :
${ Displaystyle е ^ {1 / n} = [1; п-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1, точки] , !.}$
Другой, более сложный паттерн проявляется в этом разложении непрерывной дроби для положительных нечетных $п$ :
${ displaystyle e ^ {2 / n} = left [1; { frac {n-1} {2}}, 6n, { frac {5n-1} {2}}, 1,1, { гидроразрыв {7n-1} {2}}, 18n, { frac {11n-1} {2}}, 1,1, { frac {13n-1} {2}}, 30n, { frac {17n -1} {2}}, 1,1, dots right] , !,}$
со специальным футляром для $п = 1$ :
${ Displaystyle е ^ {2} = [7; 2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12, 54,14,1,1 точки, 3k, 12k + 6,3k + 2,1,1 точки] , !.}$
Другие непрерывные дроби этого типа:
${ Displaystyle tanh (1 / n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, dots]}$
где $п$ положительное целое число; также для целого числа $п$ :
${ Displaystyle загар (1 / п) = [0; п-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1, точки] , !,}$
со специальным футляром для $п = 1$ :
${ Displaystyle загар (1) = [1; 1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19, 1, точки] , !.}$
Если $я п (Икс)$ является модифицированным, или гиперболическим, Функция Бесселя первого рода, мы можем определить функцию на рациональных числах п/q от
${ Displaystyle S (p / q) = { frac {I_ {p / q} (2 / q)} {I_ {1 + p / q} (2 / q)}},}$
который определен для всех рациональных чисел, с $п$ и $q$ в самые низкие сроки. Тогда для всех неотрицательных рациональных чисел имеем
${ Displaystyle S (п / д) = [п + д; р + 2q, р + 3q, р + 4q, точки],}$
с аналогичными формулами для отрицательных рациональных чисел; в частности у нас есть
${ Displaystyle S (0) = S (0/1) = [1; 2,3,4,5,6,7, точки].}$
Многие формулы можно доказать с помощью Непрерывная дробь Гаусса.
Типичные непрерывные дроби
Большинство иррациональных чисел не имеют никакого периодического или регулярного поведения в разложении их цепной дроби. Тем не менее, Хинчин доказал, что для почти все действительные числа $Икс$ , то $а я$ (для $я = 1, 2, 3, ...$ ) обладают удивительным свойством: их среднее геометрическое стремится к постоянной (известной как Постоянная Хинчина, $K \approx 2.6854520010...$ ) независимо от значения $Икс$ . Поль Леви показал, что $п$ корень -й степени из знаменателя $п$ -я сходящаяся дробь разложения почти всех действительных чисел приближается к асимптотическому пределу, приблизительно 3,27582, который известен как Постоянная Леви. Теорема Лохса утверждает, что $п$ -я сходящаяся дробь разложения почти всех действительных чисел определяет число со средней точностью чуть более $п$ десятичные разряды.
Приложения

Квадратные корни
Обобщенные непрерывные дроби используются в метод вычисления квадратных корней.
Личность
${ displaystyle { sqrt {x}} = 1 + { frac {x-1} {1 + { sqrt {x}}}}}$

(1)
приводит через рекурсию к обобщенной цепной дроби для любого квадратного корня:^[15]
${ displaystyle { sqrt {x}} = 1 + { cfrac {x-1} {2 + { cfrac {x-1} {2 + { cfrac {x-1} {2 + { ddots}) }}}}}}}$

(2)
Уравнение Пелла
Непрерывные дроби играют важную роль в решении Уравнение Пелла. Например, для положительных целых чисел $п$ и $q$ , и неквадратный $п$ , верно, что если $п 2 - nq 2 = \pm1$ , тогда $п / q$ сходится к правильной цепной дроби при √ $п$ . Обратное верно, если период правильной цепной дроби для √ $п$ равен 1, и в общем случае период описывает, какие подходящие дроби дают решения уравнения Пелла.^[16]
Динамические системы
Непрерывные дроби также играют роль в изучении динамические системы, где они связывают Фарея дроби которые видны в Набор Мандельброта с участием Функция вопросительного знака Минковского и модульная группа Гамма.
Назад оператор смены для цепных дробей это карта $час (Икс) = 1/ Икс - ⌊1/ Икс ⌋$ называется Карта Гаусса, который отсекает цифры разложения непрерывной дроби: $час ([0; а 1, а 2, а 3, ...]) = [0; а 2, а 3, ...]$ . В оператор передачи этой карты называется Оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга. Распределение цифр в непрерывных дробях задается нулем. собственный вектор этого оператора и называется Распределение Гаусса – Кузьмина.
Собственные значения и собственные векторы
В Алгоритм Ланцоша использует расширение непрерывной дроби для итерационной аппроксимации собственных значений и собственных векторов большой разреженной матрицы.^[17]
Сетевые приложения
Непрерывные дроби также использовались при моделировании задач оптимизации для беспроводных сетей. виртуализация сети чтобы найти маршрут между источником и пунктом назначения.^[18]
Примеры рациональных и иррациональных чисел

Число р 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123 а_р 123
ра 123
12.3 а_р 12 3 3
ра 12 37/3 123/10
1.23 а_р 1 4 2 1 7
ра 1 5/4 11/9 16/13 123/100
0.123 а_р 0 8 7 1 2 5
ра 0 1/8 7/57 8/65 23/187 123/1 000
ϕ =
√5 + 1/2 а_р 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ра 1 2 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55 144/89
−ϕ =
−√5 + 1/2 а_р −2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ра −2 −3/2 −5/3 −8/5 −13/8 −21/13 −34/21 −55/34 −89/55 −144/89 −233/144
√2 а_р 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ра 1 3/2 7/5 17/12 41/29 99/70 239/169 577/408 1 393/985 3 363/2 378 8 119/5 741
¹⁄_√2 а_р 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ра 0 1 2/3 5/7 12/17 29/41 70/99 169/239 408/577 985/1 393 2 378/3 363
√3 а_р 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
ра 1 2 5/3 7/4 19/11 26/15 71/41 97/56 265/153 362/209 989/571
¹⁄_√3 а_р 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
ра 0 1 1/2 3/5 4/7 11/19 15/26 41/71 56/97 153/265 209/362
^√3⁄₂ а_р 0 1 6 2 6 2 6 2 6 2 6
ра 0 1 6/7 13/15 84/97 181/209 1 170/1 351 2 521/2 911 16 296/18 817 35 113/40 545 226 974/262 087
³√2 а_р 1 3 1 5 1 1 4 1 1 8 1
ра 1 4/3 5/4 29/23 34/27 63/50 286/227 349/277 635/504 5 429/4 309 6 064/4 813
е а_р 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1
ра 2 3 8/3 11/4 19/7 87/32 106/39 193/71 1 264/465 1 457/536 2 721/1 001
π а_р 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3
ра 3 22/7 333/106 355/113 103 993/33 102 104 348/33 215 208 341/66 317 312 689/99 532 833 719/265 381 1 146 408/364 913 4 272 943/1 360 120
Число р 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ра: рациональная аппроксиманта, полученная разложением цепной дроби до а_р
История

300 г. до н. Э. Элементы Евклида содержит алгоритм для наибольший общий делитель который образует непрерывную фракцию как побочный продукт
499 г. Арьябхатия содержит решение неопределенных уравнений с использованием цепных дробей
1572 Рафаэль Бомбелли, L'Algebra Opera - метод извлечения квадратных корней, относящихся к непрерывным дробям
1613 Пьетро Катальди, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - первое обозначение непрерывных дробей
Катальди представил непрерывную дробь как ${ displaystyle a_ {0}}$ & ${ displaystyle { frac {n_ {1}} {d_ {1} cdot}}}$ & ${ displaystyle { frac {n_ {2}} {d_ {2} cdot}}}$ & ${ displaystyle { frac {n_ {3}} {d_ {3} cdot}}}$ с точками, указывающими, куда пошли следующие дроби.
1695 Джон Уоллис, Опера Математика - введение термина «непрерывная дробь»
1737 Леонард Эйлер, De Fractionibus Continis Dissertatio - Представлено первое на тот момент исчерпывающее описание свойств непрерывных дробей и включено первое доказательство того, что число е иррационально.^[19]
1748 Эйлер, Введение в анализин бесконечный. Vol. I, Глава 18 - доказал эквивалентность некоторой формы непрерывной дроби и обобщенной дроби. бесконечная серия, доказал, что любое рациональное число можно записать в виде конечной цепной дроби, и доказал, что цепная дробь иррационального числа бесконечна.^[20]
1761 Иоганн Ламберт - дал первое доказательство иррациональности $π$ используя непрерывную дробь для загар (х).
1768 Жозеф-Луи Лагранж - предоставил общее решение уравнения Пелла с использованием цепных дробей, аналогичных уравнению Бомбелли
1770 Лагранж - доказал, что квадратичные иррациональные числа расширить до периодические непрерывные дроби.
1813 Карл Фридрих Гаусс, Werke, Vol. 3, pp. 134–138 - получили очень общий комплексная цепная дробь через умную личность, включающую гипергеометрическая функция
1828 Эварист Галуа доказал периодичность цепных дробей квадратичных иррациональных чисел.^[21]
1892 Анри Паде определены Аппроксимация Паде
1972 Билл Госпер - Первые точные алгоритмы для арифметики цепных дробей.
Смотрите также

Полное частное
Вычисление непрерывных дробей квадратных корней
Египетская фракция
Расширение Энгеля
Формула непрерывной дроби Эйлера
Обобщенная цепная дробь
Бесконечные композиции аналитических функций
Бесконечный продукт
Бесконечная серия
Итерированная двоичная операция
Математические константы в представлении цепной дроби
Ограниченные частные частные
Стерн – Броко
Теорема Слешинского – Прингсхейма
Заметки

^ «Непрерывная дробь - математика».
^ ^а ^б Петтофреццо и Биркит (1970, п. 150)
^ ^а ^б Длинный (1972 г., п. 173)
^ ^а ^б Петтофреццо и Биркит (1970, п. 152)
^ Вайсштейн, Эрик В. «Периодическая непрерывная дробь». MathWorld.
^ Коллинз, Даррен С. «Непрерывные дроби» (PDF). Журнал математики для студентов MIT. Архивировано из оригинал (PDF) на 20.11.2001.
^ Длинный (1972 г., п. 183)
^ Петтофреццо и Биркит (1970, п. 158)
^ Длинный (1972 г., п. 177)
^ Петтофреццо и Биркит (1970, стр. 162–163).
^ ^а ^б M. Thill (2008), "Более точный алгоритм округления рациональных чисел", Вычисление, 82: 189–198, Дои:10.1007 / s00607-008-0006-7
^ Шумейк, Кен (1995), «I.4: Рациональное приближение», в Paeth, Alan W. (ed.), Графические Самоцветы V, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, стр. 25–31, ISBN 0-12-543455-3
^ Фостер, Тони (22 июня 2015 г.). «Теорема дня: теорема № 203» (PDF). Робин Уитти. Получено 25 июня, 2015.
^ Теорема 193: Харди, G.H .; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Оксфорд.
^ Бен Терстон, «Оценка квадратных корней, выражение обобщенной непрерывной дроби для каждого квадратного корня», Блог Бена Пола Терстона
^ Нивен, Иван; Цукерман, Герберт С .; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-62546-9.
^ Мартин, Ричард М. (2004), Электронная структура: основы теории и практические методы, Cambridge University Press, стр. 557, г. ISBN 9781139643658.
^ Афифи, Хайтам; и другие. (Апрель 2018). «MARVELO: Встраивание беспроводной виртуальной сети для наложения графиков с петлями». Конференция по беспроводной связи и сети IEEE 2018 (WCNC).
^ Сандифер, Эд (февраль 2006 г.). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что е иррационально?» (PDF). MAA Online.
^ «E101 - Introductio in analysin infinitorum, Том 1». Получено 2008-03-16.
^ Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки. Wolfram Media, Inc. стр.915. ISBN 1-57955-008-8.
использованная литература

Зибек, Х. (1846). "Ueber periodische Kettenbrüche". J. Reine Angew. Математика. 33. С. 68–70.
Хейлерманн, Дж. Б. Х. (1846). "Ueber die Verwandlung von Reihen в Кеттенбрюхе". J. Reine Angew. Математика. 33. С. 174–188.
Магнус, Арне (1962). «Непрерывные дроби, связанные с таблицей Паде». Математика. Z. 78. С. 361–374.
Чен, Чен-Фань; Ши, Леанг-Сан (1969). «Непрерывное обращение дроби по алгоритму Рауса». IEEE Trans. Теория схем. 16 (2). С. 197–202. Дои:10.1109 / TCT.1969.1082925.
Грэгг, Уильям Б. (1974). «Матричные интерпретации и приложения алгоритма цепной дроби». Роки Маунтин Дж. Математика. 4 (2). п. 213. Дои:10.1216 / RJM-1974-4-2-213.
Джонс, Уильям Б .; Трон, У. Дж. (1980). Непрерывные дроби: аналитическая теория и приложения. Энциклопедия математики и ее приложений. 11. Чтение. Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-13510-8.
Хинчин, А.Я. (1964) [Первоначально опубликовано на русском языке, 1935]. Непрерывные дроби. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-486-69630-8.
Лонг, Кальвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: Д. К. Хит и компания, LCCN 77-171950
Перрон, Оскар (1950). Die Lehre von den Kettenbrüchen. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: издательство Chelsea Publishing Company.
Петтофреццо, Энтони Дж .; Биркит, Дональд Р. (1970), Элементы теории чисел, Энглвудские скалы: Prentice Hall, LCCN 77-81766
Рокетт, Эндрю М .; Szüsz, Питер (1992). Непрерывные дроби. Мировая научная пресса. ISBN 981-02-1047-7.
Х. С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 г. ISBN 0-8284-0207-8
Cuyt, A .; Brevik Petersen, V .; Вердонк, Б .; Waadeland, H .; Джонс, В. Б. (2008). Справочник непрерывных дробей для специальных функций. Springer Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
Ригер, Дж. Дж. (1982). «Новый подход к действительным числам (на основе непрерывных дробей)». Abh. Брауншвейг, Висс. Ges. 33. С. 205–217.
внешние ссылки

«Непрерывная дробь», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Введение в непрерывную дробь
Линас Вепстас Непрерывные дроби и пробелы (2004) рассматривают хаотические структуры в виде непрерывных дробей.
Непрерывные дроби на дереве Штерна-Броко в завязать узел
Антикиферский механизм I: передаточные числа и непрерывные дроби
Калькулятор непрерывной дроби, WIMS.
Арифметика с непрерывными дробями Первая неопубликованная статья Госпера о непрерывных дробях. Кешируется на Интернет-архив с Wayback Machine
Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь». MathWorld.
Непрерывные дроби от Стивен Вольфрам и Непрерывные дробные приближения касательной функции Майкл Тротт, Вольфрам Демонстрационный проект.
OEIS последовательность A133593 («Точная» непрерывная дробь для Pi)
Взгляд на "дробную интерполяцию" непрерывной дроби ${1; 1, 1, 1, ...$ }
Наилучшее рациональное приближение через непрерывные дроби
Фракции и соотношения
Деление и соотношение
Дивиденды : Делитель = Частное
Дробная часть
Числитель / знаменатель = частное
Алгебраический
Аспект
Двоичный
Продолжение
Десятичная дробь
Диадический
Египтянин
Золотой
Серебряный
Целое число
Неприводимый
Сокращение
Просто интонация
ЖК-дисплей
Музыкальный интервал
Размер бумаги
Процент
Единица измерения
Авторитетный контроль
LCCN: sh85051149
NDL: 00569391

[1] «Непрерывная дробь - математика».

[Pettofrezzo_1970_150-2] а ^б Петтофреццо и Биркит (1970, п. 150)

[Long_1972_173-3] а ^б Длинный (1972 г., п. 173)

[Pettofrezzo_1970_152-4] а ^б Петтофреццо и Биркит (1970, п. 152)

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Периодическая непрерывная дробь». MathWorld.

[6] Коллинз, Даррен С. «Непрерывные дроби» (PDF). Журнал математики для студентов MIT. Архивировано из оригинал (PDF) на 20.11.2001.

[Long_1972_183-7] Длинный (1972 г., п. 183)

[Pettofrezzo_1970_158-8] Петтофреццо и Биркит (1970, п. 158)

[9] Длинный (1972 г., п. 177)

[10] Петтофреццо и Биркит (1970, стр. 162–163).

[thill-11] а ^б M. Thill (2008), "Более точный алгоритм округления рациональных чисел", Вычисление, 82: 189–198, Дои:10.1007 / s00607-008-0006-7

[12] Шумейк, Кен (1995), «I.4: Рациональное приближение», в Paeth, Alan W. (ed.), Графические Самоцветы V, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, стр. 25–31, ISBN 0-12-543455-3

[13] Фостер, Тони (22 июня 2015 г.). «Теорема дня: теорема № 203» (PDF). Робин Уитти. Получено 25 июня, 2015.

[14] Теорема 193: Харди, G.H .; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Оксфорд.

[15] Бен Терстон, «Оценка квадратных корней, выражение обобщенной непрерывной дроби для каждого квадратного корня», Блог Бена Пола Терстона

[16] Нивен, Иван; Цукерман, Герберт С .; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-62546-9.

[17] Мартин, Ричард М. (2004), Электронная структура: основы теории и практические методы, Cambridge University Press, стр. 557, г. ISBN 9781139643658.

[18] Афифи, Хайтам; и другие. (Апрель 2018). «MARVELO: Встраивание беспроводной виртуальной сети для наложения графиков с петлями». Конференция по беспроводной связи и сети IEEE 2018 (WCNC).

[sandifer-19] Сандифер, Эд (февраль 2006 г.). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что е иррационально?» (PDF). MAA Online.

[IntroductioI-20] «E101 - Introductio in analysin infinitorum, Том 1». Получено 2008-03-16.

[21] Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки. Wolfram Media, Inc. стр.915. ISBN 1-57955-008-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

Непрерывная дробь	[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
Рациональное приближение	1	3/4	4/5	5/6	11/13	16/19	27/32
Десятичный эквивалент	1	0.75	0.8	~0.83333	~0.84615	~0.84211	0.84375
ошибка	+18.519%	−11.111%	−5.1852%	−1.2346%	+0.28490%	−0.19493%	0%

$[3; 7, 15, 2]$	=	$688 / 219 \approx 3.1415525$
$[3; 7, 17]$	=	$377 / 120 \approx 3.1416667$

Число	р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
123	а_р	123
123	ра	123
12.3	а_р	12	3	3
12.3	ра	12	37/3	123/10
1.23	а_р	1	4	2	1	7
1.23	ра	1	5/4	11/9	16/13	123/100
0.123	а_р	0	8	7	1	2	5
0.123	ра	0	1/8	7/57	8/65	23/187	123/1 000
ϕ = √5 + 1/2	а_р	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
ϕ = √5 + 1/2	ра	1	2	3/2	5/3	8/5	13/8	21/13	34/21	55/34	89/55	144/89
−ϕ = −√5 + 1/2	а_р	−2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1
−ϕ = −√5 + 1/2	ра	−2	−3/2	−5/3	−8/5	−13/8	−21/13	−34/21	−55/34	−89/55	−144/89	−233/144
√2	а_р	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
√2	ра	1	3/2	7/5	17/12	41/29	99/70	239/169	577/408	1 393/985	3 363/2 378	8 119/5 741
¹⁄_√2	а_р	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
¹⁄_√2	ра	0	1	2/3	5/7	12/17	29/41	70/99	169/239	408/577	985/1 393	2 378/3 363
√3	а_р	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
√3	ра	1	2	5/3	7/4	19/11	26/15	71/41	97/56	265/153	362/209	989/571
¹⁄_√3	а_р	0	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1
¹⁄_√3	ра	0	1	1/2	3/5	4/7	11/19	15/26	41/71	56/97	153/265	209/362
^√3⁄₂	а_р	0	1	6	2	6	2	6	2	6	2	6
^√3⁄₂	ра	0	1	6/7	13/15	84/97	181/209	1 170/1 351	2 521/2 911	16 296/18 817	35 113/40 545	226 974/262 087
³√2	а_р	1	3	1	5	1	1	4	1	1	8	1
³√2	ра	1	4/3	5/4	29/23	34/27	63/50	286/227	349/277	635/504	5 429/4 309	6 064/4 813
е	а_р	2	1	2	1	1	4	1	1	6	1	1
е	ра	2	3	8/3	11/4	19/7	87/32	106/39	193/71	1 264/465	1 457/536	2 721/1 001
π	а_р	3	7	15	1	292	1	1	1	2	1	3
π	ра	3	22/7	333/106	355/113	103 993/33 102	104 348/33 215	208 341/66 317	312 689/99 532	833 719/265 381	1 146 408/364 913	4 272 943/1 360 120
Число	р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Фракции и соотношения
	Деление и соотношение	Дивиденды : Делитель = Частное
	Дробная часть	Числитель / знаменатель = частное
	Алгебраический Аспект Двоичный Продолжение Десятичная дробь Диадический Египтянин Золотой Серебряный Целое число Неприводимый Сокращение Просто интонация ЖК-дисплей Музыкальный интервал Размер бумаги Процент Единица измерения

Непрерывная дробь - Continued fraction

Мотивация и обозначения

Основная формула

Вычисление представлений непрерывной дроби

Обозначения

Конечные непрерывные дроби

Взаимных

Бесконечные цепные дроби и подходящие дроби

Свойства

Некоторые полезные теоремы

Полуконвергенты

Наилучшие рациональные приближения

Лучшая рациональность в пределах интервала

Интервал для конвергентной

Сравнение

Разложение непрерывной дроби π

Обобщенная цепная дробь

Другие расширения непрерывной фракции

Периодические непрерывные дроби

Свойство золотого сечения φ

Обычные модели в непрерывных дробях

Типичные непрерывные дроби

Приложения

Квадратные корни

Уравнение Пелла

Динамические системы

Собственные значения и собственные векторы

Сетевые приложения

Примеры рациональных и иррациональных чисел

История

Смотрите также

Заметки

использованная литература

внешние ссылки

Разложение непрерывной дроби $π$