Соотношение - Ratio

Для безразмерных соотношений см. Ставки.
Для использования в других целях см. Соотношение (значения).
"is to" перенаправляет сюда. О грамматической конструкции см. я к.
Отношение ширины к высоте телевидение стандартной четкости

В математике соотношение указывает, сколько раз одно число содержит другое. Например, если в миске с фруктами находится восемь апельсинов и шесть лимонов, то соотношение апельсинов и лимонов будет восемь к шести (то есть 8∶6, что эквивалентно соотношению 4∶3). Точно так же соотношение лимонов к апельсинам составляет 6∶8 (или 3∶4), а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 8∶14 (или 4∶7).

Числа в соотношении могут быть количествами любого типа, такими как количество людей или предметов, или такими как измерения длины, веса, времени и т. Д. В большинстве случаев оба числа ограничены положительными значениями.

Отношение может быть указано либо путем указания обоих составляющих чисел, записанных как "а к б" или "а∶б",[1] или просто указав ценность их частное а/б.[2][3][4] Равные частные соответствуют равным отношениям.

Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел: дробная часть с первым числом в числителе и вторым в знаменателе, или как значение, обозначенное этой дробью. Соотношение подсчетов, определяемое (ненулевое) натуральные числа, находятся рациональное число, а иногда могут быть натуральными числами. Когда две величины измеряются одной и той же единицей измерения, как это часто бывает, их отношение равно безразмерное число. Отношение двух величин, измеренных с помощью другой единиц называется показатель.[5]

Обозначения и терминология

Соотношение чисел А и B можно выразить как:[6]

  • соотношение А к B
  • А∶B
  • А должен B (когда следует "как" C должен D "; см. ниже)
  • а дробная часть с участием А как числитель и B в качестве знаменателя, представляющего частное (т. е. А деленное на B, или ). Это можно выразить в виде простой или десятичной дроби, или в процентах и ​​т. Д.[7]

А двоеточие (:) часто используется вместо символа соотношения,[1] Unicode U + 2236 (∶).

Число А и B иногда называют условия отношения, с участием А будучи предшествующий и B будучи последующий.[8]

Утверждение, выражающее равенство двух соотношений А∶B и C∶D называется пропорция,[9] написано как А∶B = C∶D или А∶B∷C∶D. Эта последняя форма, когда говорят или пишут на английском языке, часто выражается как

(А должен B) так как (C должен D).

А, B, C и D называются членами пропорции. А и D называются его крайности, и B и C называются его означает. Равенство трех и более соотношений, например А∶B = C∶D = E∶F, называется продолженная пропорция.[10]

Отношения иногда используются с тремя или даже более терминами, например, пропорция для длин кромок "два на четыре "то есть десять дюймов в длину, поэтому

(неструганные измерения; первые два числа немного уменьшаются при гладкой строгании древесины)

хорошая бетонная смесь (в единицах объема) иногда обозначается как

[11]

Для (довольно сухой) смеси из 4/1 части объема цемента и воды можно сказать, что отношение цемента к воде составляет 4∶1, что цемента в 4 раза больше, чем воды, или что имеется четверть (1/4) количества воды, чем цемента.

Смысл такой пропорции соотношений с более чем двумя членами состоит в том, что отношение любых двух членов в левой части равно отношению соответствующих двух членов в правой части.

История и этимология

Можно проследить происхождение слова «коэффициент» от Древнегреческий λόγος (логотипы ). Ранние переводчики передали это в латинский так как соотношение («разум»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация[в сравнении с? ] Евклидова смысла больше похожа на вычисление или расчет.[12] Средневековые писатели использовали слово пропорция ("пропорция") для обозначения соотношения и пропорциональные («пропорциональность») для равенства соотношений.[13]

Евклид собрал результаты, появляющиеся в Элементах, из более ранних источников. В Пифагорейцы разработал теорию соотношения и пропорции применительно к числам.[14] Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня назвали бы рациональными числами, что ставит под сомнение обоснованность теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональные числа ) существует. Открытие теории соотношений, не предполагающей соизмеримости, вероятно, связано с Евдокс Книдский. Изложение теории пропорций, которое появляется в книге VII «Элементов», отражает более раннюю теорию соотношений соизмеримых.[15]

Существование множественных теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с частными и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее развитие, как видно из того факта, что современные учебники геометрии все еще используют различную терминологию и обозначения для соотношений и частных. Причины этого двоякие: во-первых, было упомянутое ранее нежелание принимать иррациональные числа как истинные числа, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже установленной терминологии соотношений задерживало полное принятие дробей в качестве альтернативы до тех пор, пока 16 век.[16]

Определения Евклида

Книга V из Элементы Евклида имеет 18 определений, все из которых относятся к отношениям.[17] Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько распространены, что он не дал им определений. Первые два определения говорят, что часть количества - это другая величина, которая "измеряет" ее, и, наоборот, множественный количества - это другое количество, которое оно измеряет. В современной терминологии это означает, что количество, кратное количеству, - это количество, умноженное на целое число больше единицы, и часть количества (что означает аликвотная часть ) - это часть, которая при умножении на целое число больше единицы дает количество.

Евклид не определяет используемый здесь термин «мера». Однако можно сделать вывод, что если величина берется за единицу измерения, а вторая величина дается как целое число этих единиц, то первая величина меры секунда. Эти определения повторяются, почти дословно, как определения 3 и 5 в книге VII.

Определение 3 описывает, что такое соотношение в целом. Он не является строгим в математическом смысле, и некоторые приписывают его редакторам Евклида, а не самому Евклиду.[18] Евклид определяет соотношение как между двумя величинами того же типа, таким образом, этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не соотношение длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. В нем говорится, что существует соотношение двух величин, когда одно из них превышает другое. В современных обозначениях существует соотношение между величинами п и q, если существуют целые числа м и п такой, что mp>q и nq>п. Это состояние известно как Архимед собственность.

Определение 5 - самое сложное и трудное. Он определяет, что означает равенство двух соотношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда частные членов равны, но Евклид не признавал существование частные несоизмеримого,[требуется разъяснение ] поэтому такое определение было бы для него бессмысленным. Таким образом, требуется более тонкое определение, если задействованные количества не измеряются напрямую относительно друг друга. В современных обозначениях, определение равенства Евклида состоит в том, что данные величины п, q, р и s, п∶q∷р ∶s тогда и только тогда, когда для любых положительных целых чисел м и п, нп<mq, нп=mq, или нп>mq согласно как номер<РС, номер=РС, или номер>РСсоответственно.[19] Это определение имеет сходство с Дедекинд сокращает как, с п и q оба положительные, нп стоит на mq так как п/q стоит в рациональном числе м/п (разделив оба термина на nq).[20]

В определении 6 говорится, что количества, имеющие одинаковое отношение, пропорциональный или в пропорции. Евклид использует греческое ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «аналог».

Определение 7 определяет, что означает, что одно отношение меньше или больше другого, и основано на идеях, представленных в определении 5. В современных обозначениях говорится, что данные величины п, q, р и s, п∶q>р∶s если есть положительные целые числа м и п так что нп>mq и номер≤РС.

Как и определение 3, определение 8 рассматривается некоторыми как более поздняя вставка редактора Евклида. Он определяет три термина п, q и р быть соразмерным, когда п∶q∷q∶р. Это продлено до 4 сроков п, q, р и s так как п∶q∷q∶р∷р∶s, и так далее. Последовательности, которые обладают тем свойством, что отношения последовательных членов равны, называются геометрические прогрессии. Определения 9 и 10 применяют это, говоря, что если п, q и р пропорциональны тогда п∶р это коэффициент дублирования из п∶q и если п, q, р и s пропорциональны тогда п∶s это тройное соотношение из п∶q.

Количество терминов и использование дробей

В общем, сравнение количеств отношения двух объектов может быть выражено как дробная часть получено из соотношения. Например, в соотношении 2∶3 количество, размер, объем или количество первого объекта равны второй объект.

Если есть 2 апельсина и 3 яблока, соотношение апельсинов к яблокам составляет 2∶3, а соотношение апельсинов к общему количеству кусочков фруктов составляет 2∶5. Эти соотношения также могут быть выражены в дробной форме: апельсинов на 2/3 меньше, чем яблок, и 2/5 кусочков фруктов составляют апельсины. Если концентрат апельсинового сока необходимо разбавить водой в соотношении 1∶4, то одна часть концентрата смешивается с четырьмя частями воды, в результате чего получается пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, тогда как количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 всей жидкости. И в соотношениях, и в дробях важно четко понимать, что сравнивается с чем, и новички часто делают ошибки по этой причине.

Доли также могут быть выведены из соотношений с более чем двумя объектами; однако соотношение с более чем двумя объектами не может быть полностью преобразовано в одну дробь, потому что дробь может сравнивать только две величины. Отдельная дробь может использоваться для сравнения количества любых двух объектов, охватываемых соотношением: например, из отношения 2∶3∶7 мы можем сделать вывод, что количество второго объекта равно то третьего лица.

Пропорции и процентные соотношения

Если мы умножим все количества, входящие в соотношение, на одно и то же число, соотношение останется в силе. Например, соотношение 3∶2 равно 12∶8. Обычно термины сводят к наименьший общий знаменатель, или выразить их в частях на сотню (процент ).

Если смесь содержит вещества A, B, C и D в соотношении 5∶9∶4∶2, то на каждые 9 частей B приходится 5 частей A, 4 части C и 2 части D. Как 5 + 9 + 4 + 2 = 20, общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если мы разделим все числа на всего и умножаем на 100, мы преобразовали в проценты: 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (эквивалентно записи соотношения как 25∶45∶20∶10).

Если два или более соотношения количества охватывают все количества в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, корзина с фруктами, содержащая два яблока и три апельсина, и никаких других фруктов не производится. состоит из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В таком случае, , или 40% всего - яблоки и , или 60% всего составляет апельсины. Это сравнение определенного количества со «целым» называется пропорцией.

Если соотношение состоит только из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности десятичной дроби. Например, старше телевизоры иметь 4∶3 соотношение сторон, что означает, что ширина составляет 4/3 от высоты (это также может быть выражено как 1,33 or1 или просто 1,33 с округлением до двух десятичных знаков). Более современные широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16∶9 или 1,78 с округлением до двух десятичных знаков. Один из популярных широкоформатных форматов фильмов - 2,35х1 или просто 2,35. Представление соотношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 становится очевидно, какой формат предлагает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, например, когда ширина всегда выражается по отношению к высоте.

Сокращение

Соотношения могут быть уменьшенный (как дроби) путем деления каждой величины на общие множители всех величин. Что касается дробей, то самой простой формой считается та, в которой числа в соотношении являются наименьшими возможными целыми числами.

Таким образом, отношение 40∶60 по смыслу эквивалентно соотношению 2∶3, последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы пишем 40∶60 = 2∶3 или, что эквивалентно, 40∶60∷ 2∶3. Словесный эквивалент: «40 - 60, 2 - 3».

Отношение, которое имеет целые числа для обеих величин и которое не может быть далее уменьшено (с использованием целых чисел), называется самая простая форма или самые низкие сроки.

Иногда полезно записать соотношение в виде 1∶Икс или Икс∶1, где Икс не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные соотношения. Например, отношение 4∶5 может быть записано как 1∶1,25 (деление обеих сторон на 4). В качестве альтернативы оно может быть записано как 0,8∶1 (разделение обеих сторон на 5).

Там, где контекст проясняет значение, соотношение в этой форме иногда записывается без 1 и символа отношения (∶), хотя математически это делает его фактор или множитель.

Иррациональные соотношения

Также могут быть установлены соотношения между несоизмеримый количества (количества, отношение которых, как ценность дроби, составляет иррациональный номер ). Самый ранний обнаруженный образец, обнаруженный Пифагорейцы, - отношение длины диагонали d до длины стороны s из квадрат, какой квадратный корень из 2, формально Другой пример - соотношение круг окружности к ее диаметру, который называется π, и это не просто алгебраически иррациональное число, но трансцендентный иррациональный.

Также хорошо известен Золотое сечение двух (в основном) длин а и б, который определяется пропорцией

или, что то же самое

Принимая соотношения как дроби и как имеющий ценность Икс, дает уравнение

или

который имеет положительное иррациональное решение Таким образом, по крайней мере, один из а и б Они должны быть иррациональными, чтобы соответствовать золотому сечению. Пример использования золотого сечения в математике - это предельное значение отношения двух последовательных Числа Фибоначчи: даже несмотря на то, что все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, рациональны, предел последовательности этих рациональных соотношений - иррациональное золотое сечение.

Точно так же соотношение серебра из а и б определяется пропорцией

соответствующий

Это уравнение имеет положительное иррациональное решение так что снова по крайней мере одно из двух величин а и б в соотношении серебра должно быть иррациональное.

Шансы

Основная статья: Шансы

Шансы (как в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, шансы «7 к 3 против» (7∶3) означают, что существует семь шансов, что событие не произойдет, из каждых трех шансов, что оно произойдет. Вероятность успеха 30%. В каждых десяти испытаниях ожидается три победы и семь поражений.

Единицы

Соотношения могут быть безразмерный, как и в случае, если они соотносят количества в единицах того же измерение, даже если их меры измерения изначально различны, например, соотношение 1 минута ∶ 40 секунд можно уменьшить, изменив первое значение на 60 секунд, так что соотношение станет 60 секунд ∶ 40 секунд. Если единицы измерения совпадают, их можно не указывать, а соотношение можно уменьшить до 3∶2.

С другой стороны, существуют безразмерные отношения, также известные как ставки.[21][22]В химии, массовая концентрация соотношения обычно выражаются как массовые / объемные доли. Например, концентрация 3% мас. / об. обычно означает 3 г вещества на каждые 100 мл раствора. Это не может быть преобразовано в безразмерное соотношение, например вес / вес или объем / объемные доли.

Треугольные координаты

Расположение точек относительно треугольника с вершины А, B, и C и стороны AB, до н.э, и CA часто выражаются в форме расширенного отношения как треугольные координаты.

В барицентрические координаты, точка с координатами α, β, γ это точка, в которой невесомый лист металла по форме и размеру треугольника точно уравновесил бы, если бы на вершины были помещены грузы, с соотношением весов на А и B будучи α ∶ β, отношение весов при B и C будучи β ∶ γ, следовательно, отношение весов при А и C будучи α ∶ γ.

В трилинейные координаты, точка с координатами Икс :у :z имеет перпендикуляр расстояния до стороны до н.э (напротив вершины А) и сбоку CA (напротив вершины B) в соотношении Икс ∶у, расстояния до стороны CA и сторона AB (напротив C) в соотношении у ∶z, а значит, и расстояния до сторон до н.э и AB в соотношении Икс ∶z.

Поскольку вся информация выражается в терминах соотношений (отдельные числа обозначены α, β, γ, x, y, и z не имеют смысла сами по себе), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применяется независимо от размера треугольника.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ а б «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-22.
  2. ^ Новая международная энциклопедия
  3. ^ «Коэффициенты». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-22.
  4. ^ Стапель, Элизабет. «Коэффициенты». Purplemath. Получено 2020-08-22.
  5. ^ «Частное двух чисел (или количеств); относительные размеры двух чисел (или количеств)», «Математический словарь» [1]
  6. ^ Новая международная энциклопедия
  7. ^ Десятичные дроби часто используются в технологических областях, где важны сравнения соотношений, таких как соотношения сторон (отображение), степени сжатия (механизмы или хранилище данных) и т. Д.
  8. ^ из Британской энциклопедии
  9. ^ Хит, стр. 126
  10. ^ Новая международная энциклопедия
  11. ^ Рекомендации по смешиванию бетона Belle Group
  12. ^ Пенни Cyclopædia, стр. 307
  13. ^ Смит, стр. 478
  14. ^ Хит, стр. 112
  15. ^ Хит, стр. 113
  16. ^ Смит, стр. 480
  17. ^ Хит, ссылка на раздел
  18. ^ «Геометрия, евклидова» Британская энциклопедия, одиннадцатое издание p682.
  19. ^ Хит стр.114
  20. ^ Хит п. 125
  21. ^ «'Скорость' можно определить как отношение ... 'Плотность населения' - это отношение ... 'Расход бензина' измеряется как отношение ...», "Соотношение и пропорция: исследования и преподавание учителей математики" [2]
  22. ^ "Соотношение как ставка. Первый тип [отношения], определяемый Freudenthal, приведенный выше, известен как скорость и иллюстрирует сравнение двух переменных с разностными единицами. (...) Такое соотношение порождает уникальную новую концепцию со своей собственной сущностью, и эта новая концепция обычно рассматривается не как отношение как таковое, а как скорость или плотность »., "Соотношение и пропорция: исследования и преподавание учителей математики" [3]

дальнейшее чтение

внешние ссылки