Суперчастичное соотношение - Superparticular ratio
В математике сверхчастичное соотношение, также называемый сверхчастичное число или же эпиморическое соотношение, это соотношение двух последовательных целые числа.
В частности, соотношение имеет вид:
- куда п это положительное число.
Таким образом:
Сверхчастное число - это когда большое число содержит меньшее число, с которым оно сравнивается, и в то же время одну его часть. Например, при сравнении 3 и 2 они содержат 2, плюс 3 имеет еще 1, что составляет половину от двух. Когда сравниваются 3 и 4, каждый из них содержит 3, а у 4 есть еще 1, что составляет треть от 3. Опять же, когда 5 и 4 сравниваются, они содержат число 4, а 5 - еще 1. , что является четвертой частью числа 4 и т. д.
— Throop (2006), [1]
О сверхчастичных отношениях писали Никомах в его трактате Введение в арифметику. Хотя эти числа находят применение в современной чистой математике, области исследований, которые чаще всего называют суперпартикулярными отношениями под этим названием: теория музыки[2] и история математики.[3]
Математические свойства
В качестве Леонард Эйлер наблюдаемые сверхчастичные числа (включая также умноженные суперсоставные отношения, числа, образованные добавлением целого числа, отличного от единицы, к единичной дроби) являются в точности рациональными числами, непрерывная дробь прекращается через два срока. Числа, у которых непрерывная дробь заканчивается одним членом, являются целыми числами, а остальные числа с тремя или более членами в их непрерывных дробях являются суперпартиент.[4]
представляет собой иррациональное число π несколькими способами как произведение сверхчастичных соотношений и их обратных величин. Также возможно преобразовать Формула Лейбница для π в Произведение Эйлера суперчастных соотношений, в которых каждый член имеет простое число в числителе и ближайшем кратном четырех в знаменателе:[5]
В теория графов сверхчастичные числа (точнее, их обратные 1/2, 2/3, 3/4 и т. д.) возникают через Теорема Эрдеша – Стоуна как возможные значения верхняя плотность бесконечного графа.[6]
Другие приложения
При изучении гармония, много музыкальных интервалы может быть выражено в виде сверхчастичного отношения (например, из-за октавная эквивалентность девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как сверхчастичное соотношение 9/8). В самом деле, является ли соотношение сверхчастичным, было самым важным критерием в Птолемей Формулировка музыкальной гармонии.[7] В этом приложении Теорема Стёрмера может использоваться для перечисления всех возможных суперчастных чисел для данного предел; то есть все отношения этого типа, в которых числитель и знаменатель равны гладкие числа.[2]
Эти соотношения также важны для визуальной гармонии. Соотношения сторон 4: 3 и 3: 2 распространены в цифровая фотография,[8] и соотношение сторон 7: 6 и 5: 4 используются в средний формат и большой формат фотография соответственно.[9]
Каждая пара смежных положительных целых чисел представляет собой суперсоставное отношение, и аналогично каждая пара смежных гармоник в гармонический ряд (музыка) представляют собой сверхчастичное соотношение. Многие индивидуальные сверхчастичные отношения имеют свои собственные названия либо в исторической математике, либо в теории музыки. К ним относятся следующие:
Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского полуторный "полтора" (от полуфабрикаты "половинка" и -que «и»), описывающий соотношение 3: 2.
Примечания
Цитаты
- ^ Труп, Присцилла (2006). Этимологии Исидора Севильского: Полный английский перевод, том 1, п. III.6.12, п. 7. ISBN 978-1-4116-6523-1.
- ^ а б Halsey, G.D .; Хьюитт, Эдвин (1972). «Еще о сверхчастичных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячный журнал. 79 (10): 1096–1100. Дои:10.2307/2317424. JSTOR 2317424. МИСТЕР 0313189.
- ^ Робсон, Элеонора; Стедалл, Жаклин (2008), Оксфордский справочник по истории математики, Издательство Оксфордского университета, ISBN 9780191607448. На стр. 123–124 в книге обсуждается классификация соотношений на различные типы, включая суперпартикулярные отношения, а также традиция, по которой эта классификация была передана от Никомаха Боэтию, Кампану, Орему и Клавию.
- ^ Леонард Эйлер; переведен на английский язык Майрой Ф. Вайман и Боствиком Ф. Вайманом (1985), "Очерк непрерывных дробей" (PDF), Математическая теория систем, 18: 295–328, Дои:10.1007 / bf01699475CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь). См., В частности, стр. 304.
- ^ Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия, World Scientific, стр. 214, г. ISBN 9781848165267.
- ^ Эрдеш, П.; Стоун, А. Х. (1946). «О структуре линейных графиков». Бюллетень Американского математического общества. 52 (12): 1087–1091. Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7.
- ^ Барбур, Джеймс Мюррей (2004), Тюнинг и темперамент: исторический обзор, Courier Dover Publications, стр. 23, ISBN 9780486434063,
Первостепенным принципом в настройках Птолемея было использование сверхчастичных пропорций.
. - ^ Анг, Том (2011), Основы цифровой фотографии, Пингвин, стр. 107, ISBN 9780756685263. Анг также отмечает формат 16: 9 (широкоформатный ) соотношение сторон является еще одним распространенным выбором для цифровой фотографии, но в отличие от 4: 3 и 3: 2 это соотношение не является сверхчастичным.
- ^ Соотношение сторон среднего формата 7: 6 - одно из нескольких возможных соотношений при использовании среднего формата. 120 фильм, а соотношение 5: 4 достигается двумя общими размерами для широкоформатной пленки: 4 × 5 дюймов и 8 × 10 дюймов. См. Например Шауб, Джордж (1999), Как фотографировать природу в черно-белом, Как фотографировать серию, 9, Stackpole Books, стр. 43, ISBN 9780811724500.
внешняя ссылка
- Суперчастные числа применяется для строительства пентатоника к Дэвид Кэнрайт.
- De Institutione Arithmetica, liber II к Аниций Манлий Северин Боэций
