Уоллис продукт - Wallis product

Сравнение сходимости произведения Уоллиса (фиолетовые звездочки) и нескольких исторических бесконечных рядов для π. S_п это приближение после взятия п термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

В математика, то Уоллис продукт за π, изданный в 1656 г. Джон Уоллис,^[1] утверждает, что

${ displaystyle { begin {align} { frac { pi} {2}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2 } -1}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {2n} {2n-1}} cdot { frac {2n} {2n + 1}} right ) [6pt] & = { Big (} { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} { Big)} cdot { Big (} { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} { Big)} cdot { Big (} { frac {6} {5}} cdot { frac {6} { 7}} { Big)} cdot { Big (} { frac {8} {7}} cdot { frac {8} {9}} { Big)} cdot ; cdots конец {выровнено}}}$

Доказательство с использованием интеграции

Уоллис получил это бесконечный продукт как это делается сегодня в математических книгах, исследуя ${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx}$ для четных и нечетных значений ${ displaystyle n}$, и отмечая, что для больших ${ displaystyle n}$, увеличивая ${ displaystyle n}$ на 1 приводит к изменению, которое становится все меньше по мере того, как ${ displaystyle n}$ увеличивается. Позволять^[2]

${ displaystyle I (n) = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx.}$

(Это форма Интегралы Уоллиса.) Интегрировать по частям:

${ displaystyle { begin {align} u & = sin ^ {n-1} x Rightarrow du & = (n-1) sin ^ {n-2} x cos x , dx dv & = sin x , dx Стрелка вправо v & = - cos x end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} Rightarrow I (n) & = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx [6pt] {} & = - sin ^ {n-1} x cos x { Biggl |} _ {0} ^ { pi} - int _ {0} ^ { pi} (- cos x) (n-1) sin ^ {n-2} x cos x , dx [6pt] {} & = 0+ (n-1) int _ {0} ^ { pi} cos ^ {2} x sin ^ { n-2} x , dx, qquad n> 1 [6pt] {} & = (n-1) int _ {0} ^ { pi} (1- sin ^ {2} x) sin ^ {n-2} x , dx [6pt] {} & = (n-1) int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n-2} x , dx- (n-1) int _ {0} ^ { pi} sin ^ {n} x , dx [6pt] {} & = (n-1) I (n-2) - (n- 1) I (n) [6pt] {} & = { frac {n-1} {n}} I (n-2) [6pt] Rightarrow { frac {I (n)} { I (n-2)}} & = { frac {n-1} {n}} [6pt] Rightarrow { frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} & = { гидроразрыва {2n + 1} {2n}} end {align}}}$

Этот результат будет использован ниже:

${ displaystyle { begin {align} I (0) & = int _ {0} ^ { pi} dx = x { Biggl |} _ {0} ^ { pi} = pi [6pt ] I (1) & = int _ {0} ^ { pi} sin x , dx = - cos x { Biggl |} _ {0} ^ { pi} = (- cos pi ) - (- cos 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 [6pt] I (2n) & = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {2n} x , dx = { frac {2n-1} {2n}} I (2n-2) = { frac {2n-1} {2n}} cdot { frac {2n-3} {2n-2} } I (2n-4) end {выравнивается}}}$

Повторяя процесс,

${ displaystyle = { frac {2n-1} {2n}} cdot { frac {2n-3} {2n-2}} cdot { frac {2n-5} {2n-4}} cdot cdots cdot { frac {5} {6}} cdot { frac {3} {4}} cdot { frac {1} {2}} I (0) = pi prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {2k-1} {2k}}}$

${ Displaystyle I (2n + 1) = int _ {0} ^ { pi} sin ^ {2n + 1} x , dx = { frac {2n} {2n + 1}} I (2n- 1) = { frac {2n} {2n + 1}} cdot { frac {2n-2} {2n-1}} I (2n-3)}$

Повторяя процесс,

${ displaystyle = { frac {2n} {2n + 1}} cdot { frac {2n-2} {2n-1}} cdot { frac {2n-4} {2n-3}} cdot cdots cdot { frac {6} {7}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {2} {3}} I (1) = 2 prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {2k} {2k + 1}}}$

${ Displaystyle грех ^ {2n + 1} х Leq грех ^ {2n} х Leq грех ^ {2n-1} х, 0 Leq х Leq pi}$

${ Displaystyle Rightarrow I (2n + 1) Leq I (2n) Leq I (2n-1)}$

${ displaystyle Rightarrow 1 leq { frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} leq { frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} = { frac {2n + 1} {2n}}}$, из результатов выше.

Посредством теорема сжатия,

${ displaystyle Rightarrow lim _ {n rightarrow infty} { frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = 1}$

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = { frac { pi} {2}} lim _ {n rightarrow infty} prod _ {k = 1} ^ {n} left ({ frac {2k-1} {2k}} cdot { frac {2k + 1} {2k}} right) = 1}$

${ displaystyle Rightarrow { frac { pi} {2}} = prod _ {k = 1} ^ { infty} left ({ frac {2k} {2k-1}} cdot { frac {2k} {2k + 1}} right) = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdot cdots}$

Доказательство с использованием бесконечного произведения Эйлера для синусоидальной функции

В то время как приведенное выше доказательство обычно используется в современных учебниках по математическому анализу, продукт Уоллиса, оглядываясь назад, является легким следствием более позднего Бесконечное произведение Эйлера для функция синуса.

${ displaystyle { frac { sin x} {x}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} {n ^ {2}) pi ^ {2}}} right)}$

Позволять ${ displaystyle x = { frac { pi} {2}}}$:

${ displaystyle { begin {align} Rightarrow { frac {2} { pi}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {1} {4n ^ {2}}} right) [6pt] Rightarrow { frac { pi} {2}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} right) [6pt] & = prod _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {2n} {2n- 1}} cdot { frac {2n} {2n + 1}} right) = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4 } {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdots end {align}}}$

^[1]

Связь с приближением Стирлинга

Приближение Стирлинга для факториальной функции ${ displaystyle n!}$ утверждает, что

${ displaystyle n! = { sqrt {2 pi n}} { left ({ frac {n} {e}} right)} ^ {n} left [1 + O left ({ frac {1} {n}} right) right].}$

Рассмотрим теперь конечные приближения к произведению Уоллиса, полученные путем взятия первого ${ displaystyle k}$ термины в продукте

${ displaystyle p_ {k} = prod _ {n = 1} ^ {k} { frac {2n} {2n-1}} { frac {2n} {2n + 1}},}$

где ${ displaystyle p_ {k}}$ можно записать как

${ displaystyle { begin {align} p_ {k} & = {1 over {2k + 1}} prod _ {n = 1} ^ {k} { frac {(2n) ^ {4}} { [(2n) (2n-1)] ^ {2}}} [6pt] & = {1 over {2k + 1}} cdot {{2 ^ {4k} , (k!) ^ { 4}} over {[(2k)!] ^ {2}}}. End {align}}}$

Подставляя в это выражение приближение Стирлинга (как для ${ displaystyle k!}$ и ${ displaystyle (2k)!}$) можно вывести (после коротких вычислений), что ${ displaystyle p_ {k}}$ сходится к ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$ так как ${ Displaystyle к rightarrow infty}$.

Производная дзета-функции Римана в нуле

В Дзета-функция Римана и Эта функция Дирихле можно определить:^[1]

${ displaystyle { begin {align} zeta (s) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}, Re (s)> 1 [6pt] eta (s) & = (1-2 ^ {1-s}) zeta (s) [6pt] & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, Re (s)> 0 end {выровнено}}}$

Применяя преобразование Эйлера к последней серии, получаем следующее:

${ displaystyle { begin {align} eta (s) & = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n-1} left [{ frac {1} {n ^ {s}}} - { frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} right], Re (s)> - 1 [6pt] Rightarrow eta '(s) & = (1-2 ^ {1-s}) zeta' (s) + 2 ^ {1-s} ( ln 2) zeta (s) [6pt] & = - { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} left [{ frac { ln n} {n ^ {s}}} - { frac { ln (n + 1)} {(n + 1) ^ {s}}} right], Re ( s)> - 1 end {выровнено}}}$

${ displaystyle { begin {align} Rightarrow eta '(0) & = - zeta' (0) - ln 2 = - { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} left [ ln n- ln (n + 1) right] [6pt] & = - { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n-1} ln { frac {n} {n + 1}} [6pt] & = - { frac {1 } {2}} left ( ln { frac {1} {2}} - ln { frac {2} {3}} + ln { frac {3} {4}} - ln { frac {4} {5}} + ln { frac {5} {6}} - cdots right) [6pt] & = { frac {1} {2}} left ( ln { frac {2} {1}} + ln { frac {2} {3}} + ln { frac {4} {3}} + ln { frac {4} {5}} + ln { frac {6} {5}} + cdots right) [6pt] & = { frac {1} {2}} ln left ({ frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot cdots right) = { frac {1} {2}} ln { frac { pi} {2}} Rightarrow zeta '(0) & = - { frac {1} {2}} ln left (2 pi right ) конец {выровнено}}}$

Смотрите также

• Джон Уоллис, Английский математик кому дается частичная заслуга в развитии исчисление бесконечно малых и Пи.
• Формула Вьете, другая формула бесконечного произведения для ${ displaystyle pi}$.
• Формула Лейбница для π, бесконечная сумма, которая может быть преобразована в бесконечную Произведение Эйлера за ${ displaystyle pi}$.
• Сито Уоллиса

Примечания

внешняя ссылка

• «Формула Уоллиса», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Почему это произведение равно π / 2? Новое доказательство формулы Уоллиса для π». 3Синий 1Коричневый. 20 апреля 2018 г. - через YouTube.