Интегралы Уоллиса - Википедия - Wallis integrals

В математика, а точнее в анализ, то Интегралы Уоллиса составляют семью интегралы представлен Джон Уоллис.

Определение, основные свойства

В Интегралы Уоллиса являются членами последовательности ${ Displaystyle (W_ {п}) _ {п geq 0}}$ определяется

${ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx,}$

или эквивалентно (заменой ${ displaystyle x = { tfrac { pi} {2}} - t}$),

${ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx.}$

Первые несколько членов этой последовательности:

${ displaystyle W_ {0}}$	${ displaystyle W_ {1}}$	${ displaystyle W_ {2}}$	${ displaystyle W_ {3}}$	${ displaystyle W_ {4}}$	${ displaystyle W_ {5}}$	${ displaystyle W_ {6}}$	${ displaystyle W_ {7}}$	${ displaystyle W_ {8}}$	...	${ displaystyle W_ {n}}$
${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac { pi} {4}}}$	${ displaystyle { frac {2} {3}}}$	${ displaystyle { frac {3 pi} {16}}}$	${ displaystyle { frac {8} {15}}}$	${ displaystyle { frac {5 pi} {32}}}$	${ displaystyle { frac {16} {35}}}$	${ displaystyle { frac {35 pi} {256}}}$	...	${ displaystyle { frac {n-1} {n}} W_ {n-2}}$

Последовательность ${ displaystyle (W_ {n})}$ уменьшается и имеет положительные значения. Фактически, для всех ${ displaystyle n geq 0:}$

• ${ displaystyle W_ {n}> 0,}$ потому что это интеграл неотрицательной непрерывной функции, не равной тождественно нулю;
• ${ displaystyle W_ {n} -W_ {n + 1} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx- int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n + 1} x , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ( sin ^ {n} х) (1- sin x) , dx> 0,}$ опять же, потому что последний интеграл является неотрицательной функцией.

Поскольку последовательность ${ displaystyle (W_ {n})}$ убывает и ограничивается снизу нулем, сходится к неотрицательному пределу. Действительно, предел равен нулю (см. Ниже).

Отношение рецидива

Посредством интеграция по частям, а отношение повторения может быть получен. Используя личность ${ Displaystyle грех ^ {2} х = 1- соз ^ {2} х}$у нас есть для всех ${ Displaystyle п geq 2}$,

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ( sin ^ {n-2} x) (1- cos ^ {2} x) , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} { 2}} sin ^ {n-2} x , dx- int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx. qquad { text {Уравнение (1)}} end {align}}}$

Интегрируя второй интеграл по частям, с:

• ${ Displaystyle и '(х) = соз (х) грех ^ {п-2} (х)}$, чей антипроизводная является ${ Displaystyle и (х) = { гидроразрыва {1} {п-1}} грех ^ {п-1} (х)}$
• ${ Displaystyle v (х) = соз (х)}$, чей производная является ${ Displaystyle v '(х) = - грех (х)}$

у нас есть:

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx = left [{ frac { sin ^ {n-1} x} {n-1}} cos x right] _ {0} ^ { frac { pi} {2}} + { frac {1} {n-1}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-1} x sin x , dx = 0 + { frac {1} {n-1}} W_ {n }.}$

Подставляя этот результат в уравнение (1), получаем

${ displaystyle W_ {n} = W_ {n-2} - { frac {1} {n-1}} W_ {n},}$

и поэтому

${ displaystyle W_ {n} = { frac {n-1} {n}} W_ {n-2},}$

для всех ${ displaystyle n geq 2.}$

Это рекуррентное соотношение, дающее ${ displaystyle W_ {n}}$ с точки зрения ${ displaystyle W_ {n-2}}$. Это вместе со значениями ${ displaystyle W_ {0}}$ и ${ displaystyle W_ {1},}$ дадут нам два набора формул для членов последовательности ${ displaystyle (W_ {n})}$, в зависимости от того, ${ displaystyle n}$ нечетное или четное:

• ${ displaystyle W_ {2p} = { frac {2p-1} {2p}} cdot { frac {2p-3} {2p-2}} cdots { frac {1} {2}} W_ { 0} = { frac {(2p-1) !!} {(2p) !!}} cdot { frac { pi} {2}} = { frac {(2p)!} {2 ^ { 2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}},}$
• ${ Displaystyle W_ {2p + 1} = { frac {2p} {2p + 1}} cdot { frac {2p-2} {2p-1}} cdots { frac {2} {3}} W_ {1} = { frac {(2p) !!} {(2p + 1) !!}} = { frac {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}} {(2p + 1) !}}.}$

Другое отношение для оценки интегралов Уоллиса

Интегралы Уоллиса можно вычислить, используя Интегралы Эйлера:

1. Эйлер интеграл первого вида: the Бета-функция:

   ${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} , dt = { frac { Gamma (x) Gamma (y)} { Gamma (x + y)}}}$ за Re (Икс), Re (у) > 0

2. Интеграл Эйлера второго рода: the Гамма-функция:

   ${ displaystyle Gamma (z) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} , dt}$ за Re (z) > 0.

Если мы сделаем следующую замену внутри бета-функции:${ Displaystyle quad left {{ begin {matrix} t = sin ^ {2} u 1-t = cos ^ {2} u dt = 2 sin u cos u, , du end {matrix}} right.}$
мы получаем:

${ displaystyle mathrm {B} (a, b) = 2 int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2a-1} u cos ^ {2b-1} и , ду,}$

Таким образом, это дает нам следующее соотношение для вычисления интегралов Уоллиса:

${ displaystyle W_ {n} = { frac {1} {2}} mathrm {B} left ({ frac {n + 1} {2}}, { frac {1} {2}} right) = { frac { Gamma left ({ tfrac {n + 1} {2}} right) Gamma left ({ tfrac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left ({ tfrac {n} {2}} + 1 right)}}.}$

Итак, для нечетных ${ displaystyle n}$, письмо ${ displaystyle n = 2p + 1}$, у нас есть:

${ displaystyle W_ {2p + 1} = { frac { Gamma left (p + 1 right) Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left (p + 1 + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {p! Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {( 2p + 1) , Gamma left (p + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {2 ^ {p} ; p!} {(2p + 1) !! }} = { frac {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}} {(2p + 1)!}}}$

тогда как даже ${ displaystyle n}$, письмо ${ displaystyle n = 2p}$ и зная, что ${ displaystyle Gamma ({ tfrac {1} {2}}) = { sqrt { pi}}}$, мы получили :

${ displaystyle W_ {2p} = { frac { Gamma left (p + { frac {1} {2}} right) Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left (p + 1 right)}} = { frac {(2p-1) !! ; pi} {2 ^ {p + 1} ; p!}} = { frac {(2p)!} {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}}.}$

Эквивалентность

• Из приведенной выше формулы повторения ${ Displaystyle mathbf {(2)}}$, мы можем сделать вывод, что

${ Displaystyle W_ {n + 1} sim W_ {n}}$ (эквивалентность двух последовательностей).

Действительно, для всех ${ Displaystyle п в , mathbb {N}}$ :

${ Displaystyle W_ {п + 2} leqslant W_ {п + 1} leqslant W_ {п}}$ (так как последовательность убывает)

${ displaystyle { frac {W_ {n + 2}} {W_ {n}}} leqslant { frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} leqslant 1}$ (поскольку ${ Displaystyle W_ {п}> 0}$)

${ displaystyle { frac {n + 1} {n + 2}} leqslant { frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} leqslant 1}$ (по уравнению ${ Displaystyle mathbf {(2)}}$).

Посредством теорема о сэндвиче, заключаем, что ${ displaystyle { frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} to 1}$, и поэтому ${ Displaystyle W_ {n + 1} sim W_ {n}}$.

• Изучая ${ Displaystyle W_ {n} W_ {n + 1}}$, получаем следующую эквивалентность:

${ displaystyle W_ {n} sim { sqrt { frac { pi} {2 , n}}} quad}$ ( и следовательно ${ displaystyle quad lim _ {n rightarrow infty} { sqrt {n}} , W_ {n} = { sqrt { pi / 2}} quad}$ ).

Вывод формулы Стирлинга

Предположим, что у нас есть следующая эквивалентность (известная как Формула Стирлинга ):

${ displaystyle n! sim C { sqrt {n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n},}$

для некоторой постоянной ${ displaystyle C}$ что мы хотим определить. Сверху у нас есть

${ displaystyle W_ {2p} sim { sqrt { frac { pi} {4p}}} = { frac { sqrt { pi}} {2 { sqrt {p}}}}}$ (уравнение (3))

Расширение ${ displaystyle W_ {2p}}$ и используя приведенную выше формулу для факториалов, мы получаем

${ displaystyle { begin {align} W_ {2p} & = { frac {(2p)!} {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} { 2}} & sim { frac {C left ({ frac {2p} {e}} right) ^ {2p} { sqrt {2p}}} {2 ^ {2p} C ^ { 2} left ({ frac {p} {e}} right) ^ {2p} left ({ sqrt {p}} right) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}} & = { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}}. { Text {(уравнение (4))}} end {выровнено}}}$

Из (3) и (4) по транзитивности получаем:

${ displaystyle { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}} sim { frac { sqrt { pi}} {2 { sqrt {p}}}}.}$

Решение для ${ displaystyle C}$ дает ${ displaystyle C = { sqrt {2 pi}}.}$ Другими словами,

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n}.}$

Вычисление гауссова интеграла

В Гауссов интеграл можно оценить с помощью интегралов Уоллиса.

Сначала докажем следующие неравенства:

• ${ displaystyle forall n in mathbb {N} ^ {*} quad forall u in mathbb {R} _ {+} quad u leqslant n quad Rightarrow quad (1-u / п) ^ {п} leqslant e ^ {- u}}$
• ${ displaystyle forall n in mathbb {N} ^ {*} quad forall u in mathbb {R} _ {+} qquad e ^ {- u} leqslant (1 + u / n) ^ {- n}}$

Фактически, позволяя ${ Displaystyle quad и / п = т}$, первое неравенство (в котором ${ Displaystyle т в [0,1]}$) эквивалентно ${ displaystyle 1-t leqslant e ^ {- t}}$; второе неравенство сводится к${ Displaystyle е ^ {- т} leqslant (1 + т) ^ {- 1}}$, который становится ${ Displaystyle е ^ {т} geqslant 1 + т}$Эти два последних неравенства следуют из выпуклости экспоненциальной функции (или из анализа функции ${ Displaystyle т mapsto е ^ {т} -1-т}$).

Сдача ${ Displaystyle и = х ^ {2}}$ и используя основные свойства несобственных интегралов (сходимость интегралов очевидна), получаем неравенства:

${ displaystyle int _ {0} ^ { sqrt {n}} (1-x ^ {2} / n) ^ {n} dx leqslant int _ {0} ^ { sqrt {n}} e ^ {- x ^ {2}} dx leqslant int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx leqslant int _ {0} ^ {+ infty} ( 1 + x ^ {2} / n) ^ {- n} dx}$для использования с теорема о сэндвиче (в качестве ${ Displaystyle п к infty}$).

Первый и последний интегралы легко вычисляются с помощью интегралов Уоллиса. Пусть для первого интегралы ${ Displaystyle х = { sqrt {п}} , грех , т}$(t изменяется от 0 до ${ displaystyle pi / 2}$Тогда интеграл принимает вид ${ displaystyle { sqrt {n}} , W_ {2n + 1}}$.Для последнего интеграла положим ${ displaystyle x = { sqrt {n}} , tan , t}$(t варьируется от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle pi / 2}$), Тогда он становится ${ displaystyle { sqrt {n}} , W_ {2n-2}}$.

Как мы показали ранее,${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} { sqrt {n}} ; W_ {n} = { sqrt { pi / 2}}}$. Отсюда следует, что${ displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = { sqrt { pi}} / 2}$.

Замечание: Существуют и другие методы вычисления интеграла Гаусса, некоторые из них более прямой.

Примечание

Те же свойства приводят к Уоллис продукт, который выражает ${ displaystyle { frac { pi} {2}} ,}$(видеть ${ displaystyle pi}$ ) в виде бесконечный продукт.

внешняя ссылка

• Паскаль Себа и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию. В PostScript и HTML форматы.