Джон Уоллис - John Wallis

Джон Уоллис
Родившийся	3 декабря [ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. 23 ноября] 1616 Эшфорд, Кент, Англия
Умер	8 ноября 1703 г.(1703-11-08) (86 лет) [ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. 28 октября 1703 г.] Оксфорд, Оксфордшир, Англия
Национальность	английский
Образование	Фелстед школа, Колледж Эммануэля, Кембридж
Известен	Уоллис продукт Изобретая символ ∞ Расширение Квадратурная формула Кавальери Придумывая термин "импульс "[1]
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Куинс-колледж, Кембридж Оксфордский университет
Академические консультанты	Уильям Отред
Известные студенты	Уильям Браункер

Джон Уоллис (/ˈшɒлɪs/;^[2] латинский: Валлисиус; 3 декабря [ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. 23 ноября] 1616 г. - 8 ноября [ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. 28 октября] 1703 г.) был английским священником и математик кому дается частичная заслуга в развитии исчисление бесконечно малых. С 1643 по 1689 год он занимал должность начальника криптограф за Парламент а позже - королевский двор.^[3] Ему приписывают введение символ ∞ для представления концепции бесконечность.^[4] Он аналогичным образом использовал 1/∞ для бесконечно малый. Джон Уоллис был современником Ньютон и один из величайших интеллектуалов раннего Возрождения математика.^[5]

Жизнь

Джон Уоллис родился в Эшфорд, Кент. Он был третьим из пяти детей преподобного Джона Уоллиса и Джоанны Чепмен. Первоначально он получил образование в школе в Эшфорде, но перешел в школу Джеймса Мовата в Tenterden в 1625 г. после вспышки чума. Впервые Уоллис познакомился с математикой в ​​1631 году в школе Фелстед (в то время известной как школа Мартина Гольбича в Фельстеде); ему нравилась математика, но его исследования были неустойчивыми, поскольку «математика в то время рассматривалась нами не как академические, а скорее как механические» (Scriba 1970 ). В школе в Войлочный, Уоллис научилась говорить и писать латинский. К этому времени он также хорошо владел Французский, Греческий, и иврит.^[6] Как и предполагалось, он должен был стать врачом, и в 1632 году его отправили в Колледж Эммануэля, Кембридж.^[7] Находясь там, он вел действовать по доктрине циркуляция крови; это было первым случаем в Европе, когда эта теория была публично подтверждена в ходе диспута. Однако его интересы были сосредоточены на математике. Он получил степень бакалавра гуманитарных наук в 1637 году и степень магистра в 1640 году, после чего стал священником. С 1643 по 1649 год он служил писцом без права голоса в Вестминстерское собрание. Он был избран в стипендию в Куинс-колледж, Кембридж в 1644 году, из которого он был вынужден уйти в отставку после женитьбы.

Все это время Уоллис был близок с Парламентской партией, возможно, в результате его знакомства с Гольбичем в школе Фелстед. Он оказал им большую практическую помощь в расшифровке донесений роялистов. Качество криптографии в то время было неоднозначным; несмотря на индивидуальные успехи математиков, таких как Франсуа Виет, принципы, лежащие в основе проектирования и анализа шифров, были очень плохо изучены. Большинство шифров были специальными методами, основанными на секрете алгоритм, в отличие от систем, основанных на переменной ключ. Уоллис понял, что последние были гораздо более безопасными - даже назвал их «нерушимыми», хотя он не был достаточно уверен в этом утверждении, чтобы поощрять раскрытие криптографических алгоритмов. Он также был обеспокоен использованием шифров иностранными державами, отказавшись, например, Готфрид Лейбниц просьба 1697 г. научить Ганноверский студенты о криптографии.^[8]

Вернувшись в Лондон - он был назначен капелланом в St Gabriel Fenchurch в 1643 г. - Уоллис присоединился к группе ученых, которая позже превратилась в Королевское общество. Наконец-то он смог развлечься своими математическими интересами, освоив Уильям Отред с Clavis Mathematicae через несколько недель в 1647 году. Вскоре он начал писать свои собственные трактаты по широкому кругу тем, которые продолжал всю оставшуюся жизнь. Уоллис написал первый обзор математических концепций в Англии, в котором он обсуждал индуистско-арабскую систему.^[9]

Уоллис присоединился к умеренным пресвитерианам, подписав протест против казни Карл I, которым он навлек на себя непрекращающуюся враждебность независимых. Несмотря на их сопротивление, он был назначен в 1649 г. Савильская кафедра геометрии в Оксфордском университете, где он прожил до своей смерти 8 ноября [ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. 28 октября] 1703 г. В 1650 г. Уоллис был рукоположен в сан министра. После этого он провел два года с сэром Ричардом Дарли и леди Вер в качестве частного лица. капеллан. В 1661 году он был одним из двенадцати Пресвитерианский представители на Савойская конференция.

Помимо своих математических работ он писал на богословие, логика, английская грамматика и философии, и он участвовал в разработке системы обучения глухого мальчика говорить на Littlecote House.^[10] Уильям Холдер ранее учил глухого Александра Попхама говорить «ясно и отчетливо, хорошим и изящным тоном».^[11] Позже Уоллис взял на себя ответственность за это, что побудило Холдера обвинить Уоллиса в том, что он «обыскивает своих соседей и украшает себя их добычей».^[12]

Назначение Уоллиса профессором геометрии Савилиана в Оксфордском университете

В Парламентское посещение Оксфорда начавшееся в 1647 г. сняло с должностей многих высших академиков, в том числе (в ноябре 1648 г.)^{[какой календарь? ]} в Савильские профессора геометрии и астрономии. В 1649 году Уоллис был назначен савилианским профессором геометрии. Уоллис, похоже, был выбран в основном по политическим мотивам (как, возможно, был его предшественник-роялист. Питер Тернер, который, несмотря на назначение на две профессуры, так и не опубликовал никаких математических работ); в то время как Уоллис был, возможно, ведущим криптографом страны и входил в неформальную группу ученых, которая позже стала Королевское общество, он не имел особой репутации математика. Тем не менее назначение Уоллиса оказалось полностью оправданным его последующей работой в течение 54 лет, когда он служил профессором Савилиана.^[13]

Вклад в математику

Опера математика, 1699

Уоллис внес значительный вклад в тригонометрия, исчисление, геометрия, а анализ бесконечная серия. В его Опера Математика I (1695 г.) он ввел термин "непрерывная дробь ".

Уоллис отверг как абсурдную теперь обычную идею об отрицательном числе как о меньшем, чем ничего, но принял точку зрения, что это нечто большее, чем бесконечность. (Аргумент, что отрицательные числа больше бесконечности, включает частное ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$ и учитывая, что происходит, когда Икс подходит, а затем пересекает точку Икс = 0 с положительной стороны.) Несмотря на это, его обычно считают создателем идеи числовая строка, в котором числа представлены геометрически в виде линии, а отрицательные числа представлены длинами, противоположными по направлению длинам положительных чисел.^[14]

Аналитическая геометрия

В 1655 году Уоллис опубликовал трактат о конические секции в котором они были определены аналитически. Это была самая ранняя книга, в которой эти кривые рассматриваются и определяются как кривые второй степени. Это помогло устранить некоторые кажущиеся трудности и неясность Рене Декарт ' работа над аналитическая геометрия.В Трактат о конических сечениях Уоллис популяризировал символ ∞ для обозначения бесконечности. Он написал: «Я полагаю, что любой самолет (следующий за Геометрия неделимых of Cavalieri) состоит из бесконечного числа параллельных прямых или, как я предпочитаю, из бесконечного числа параллелограммов одной высоты; (пусть высота каждого из них будет бесконечно малой частью 1/∞ от всей высоты, и пусть символ ∞ обозначает Бесконечность) и высоту всех, чтобы составить высоту фигуры ».^[15]

Интегральное исчисление

Arithmetica Infinitorum, самая важная из работ Уоллиса, была опубликована в 1656 году. В этом трактате методы анализа Декарта и Кавальери были систематизированы и расширены, но некоторые идеи открыты для критики. После короткого трактата о конических сечениях он начал с разработки стандартных обозначений степеней, расширяя их от положительные целые числа к рациональное число:

${ displaystyle x ^ {0} = 1}$

${ displaystyle x ^ {- 1} = { frac {1} {x}}}$

${ displaystyle x ^ {- n} = { frac {1} {x ^ {n}}} { text {и т. д.}}}$

${ displaystyle x ^ {1/2} = { sqrt {x}}}$

${ displaystyle x ^ {2/3} = { sqrt [{3}] {x ^ {2}}} { text {и т. д.}}}$

${ displaystyle x ^ {1 / n} = { sqrt [{n}] {x}}}$

${ displaystyle x ^ {p / q} = { sqrt [{q}] {x ^ {p}}}}$

Оставив многочисленные алгебраические приложения этого открытия, он затем продолжил поиск: интеграция, область, заключенная между кривой у = Икс^м, ось Икс, и любая ордината Икс = час, и он доказал, что отношение этой площади к площади параллелограмма на том же основании и той же высоты равно 1 / (м + 1), расширяя Квадратурная формула Кавальери. Он, очевидно, предположил, что тот же результат будет верен и для кривой у = топор^м, куда а - любая константа, и м любое число положительное или отрицательное, но он обсуждал только случай параболы, в которой м = 2 и гипербола, в которой м = -1. В последнем случае его интерпретация результата неверна. Затем он показал, что аналогичные результаты могут быть записаны для любой кривой вида

${ Displaystyle у = сумма _ {м} ^ {} топор ^ {м}}$

а значит, если ордината у кривой можно разложить по Икс, его площадь может быть определена: таким образом, он говорит, что если уравнение кривой имеет вид у = Икс⁰ + Икс¹ + Икс² + ..., его площадь будет Икс + х²/2 + Икс³/ 3 + ... Затем он применил это к квадратура кривых у = (Икс − Икс²)⁰, у = (Икс − Икс²)¹, у = (Икс − Икс²)²и т. д., взятые в пределах Икс = 0 и Икс = 1. Он показывает, что площади равны 1, 1/6, 1/30, 1/140 и т. Д. Далее он рассмотрел кривые вида у = Икс^{1 / м} и установил теорему о том, что площадь, ограниченная этой кривой и прямыми Икс = 0 и Икс = 1 равна площади прямоугольника на том же основании и на той же высоте, что и м : м + 1. Это эквивалентно вычислению

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {1 / m} , dx.}$

Он проиллюстрировал это параболой, и в этом случае м = 2. Он сформулировал, но не доказал, соответствующий результат для кривой вида у = Икс^{п / д}.

Уоллис проявил значительную изобретательность в приведении уравнений кривых к приведенным выше формам, но, поскольку он не был знаком с биномиальная теорема, он не мог повлиять на квадратура круга, уравнение которого ${ displaystyle y = { sqrt {1-x ^ {2}}}}$, так как он не смог расширить это в степени Икс. Однако он установил принцип интерполяция. Таким образом, как ордината окружности ${ displaystyle y = { sqrt {1-x ^ {2}}}}$ это среднее геометрическое ординат кривых ${ Displaystyle у = (1-х ^ {2}) ^ {0}}$ и ${ Displaystyle у = (1-х ^ {2}) ^ {1}}$, можно было бы предположить, что в качестве приближения площадь полукруга ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { sqrt {1-x ^ {2}}} , dx}$ который ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {1} {4}} end {matrix}} pi}$ можно принять за среднее геометрическое значений

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {2}) ^ {0} , dx { text {and}} int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {2}) ^ {1} , dx}$

то есть 1 и ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {2} {3}} end {matrix}}}$; это эквивалентно взятию ${ displaystyle 4 { sqrt { begin {matrix} { frac {2} {3}} end {matrix}}}}$ или 3,26 ... как значение π. Но, утверждает Уоллис, на самом деле у нас есть серия ${ displaystyle 1, { begin {matrix} { frac {1} {6}} end {matrix}}, { begin {matrix} { frac {1} {30}} end {matrix}} , { begin {matrix} { frac {1} {140}} end {matrix}},}$... и, следовательно, термин, вставленный между 1 и ${ displaystyle { begin {matrix} { frac {1} {6}} end {matrix}}}$ следует выбирать так, чтобы подчиняться закону этой серии^{[требуется разъяснение ]}. Это с помощью сложного метода, который здесь подробно не описывается, приводит к значению для интерполированного члена, которое эквивалентно взятию

${ displaystyle { frac { pi} {2}} = { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} cdot { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} cdot { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} cdots}$

(который сейчас известен как Уоллис продукт ).

В этой работе также образование и свойства непрерывные дроби обсуждаются, тема была выдвинута на первый план Браункер Использование этих фракций.

Несколько лет спустя, в 1659 г., Уоллис опубликовал трактат, содержащий решение проблем циклоида который был предложен Блез Паскаль. В этом он случайно объяснил, как принципы, изложенные в его Arithmetica Infinitorum мог быть использован для исправления алгебраических кривых и дал решение проблемы исправления (то есть, найти длину) полукубической параболы Икс³ = ай², который был открыт в 1657 году его учеником Уильям Нил. Поскольку все попытки исправить эллипс и гиперболу были (обязательно) безрезультатными, предполагалось, что никакие кривые не могут быть исправлены, как действительно Декарт определенно утверждал. В логарифмическая спираль был исправлен Евангелиста Торричелли и была первой изогнутой линией (кроме круга), длина которой была определена, но продолжение Нейла и Уоллиса до алгебраической кривой было новым. Следующей выпрямленной кривой была циклоида; это было сделано Кристофер Рен в 1658 г.

В начале 1658 года подобное открытие, независимое от открытия Нейла, было сделано van Heuraët, и это было опубликовано van Schooten в его редакции Декарта Геометрия в 1659 году. Метод Ван Хераэта заключается в следующем. Он предполагает, что кривую можно отнести к прямоугольным осям; если это так, и если (Икс, у) - координаты любой точки на нем, а п быть длиной нормального^{[требуется разъяснение ]}, а если другая точка с координатами (Икс, η) взять так, что η: час = п : у, куда час постоянная; тогда, если ds - элемент длины искомой кривой, аналогичными треугольниками имеем ds : dx = п : у. Следовательно, h ds = η dx. Следовательно, если площадь геометрического места точки (Икс, η), первая кривая может быть исправлена. Таким образом ван Хойраэт произвел исправление кривой у³ = топор² но добавил, что исправление параболы у² = топор невозможно. так как это требует квадратуры гиперболы. Решения, данные Нилом и Уоллисом, в чем-то похожи на решения ван Хераэта, хотя не сформулировано никаких общих правил, и анализ неуклюж. Третий метод был предложен Ферма в 1660 году, но он неэлегантен и трудоемок.

Столкновение тел

Теория столкновение тел был предложен Королевское общество в 1668 г. для рассмотрения математиками. Уоллис, Кристофер Рен, и Кристиан Гюйгенс отправил правильные и похожие решения, все в зависимости от того, что сейчас называется сохранение импульса; но, в то время как Рен и Гюйгенс ограничили свою теорию совершенно упругими телами (упругое столкновение ), Уоллис рассматривал также несовершенно упругие тела (неупругое столкновение ). За этим последовала работа в 1669 г. статика (центры тяжести), а в 1670 г. - по одному на динамика: они представляют собой удобный обзор того, что было тогда известно по этому вопросу.

Алгебра

В 1685 г. Уоллис опубликовал Алгебра, которому предшествует исторический отчет о развитии предмета, который содержит много ценной информации. Второе издание, выпущенное в 1693 году и составляющее второй том его Опера, был значительно увеличен. Эта алгебра примечательна тем, что впервые систематически использовала формулы. Данная величина здесь представлена ​​числовым отношением, которое она имеет к единице величины того же вида: таким образом, когда Уоллис хочет сравнить две длины, он считает, что каждая содержит столько единиц длины. Возможно, это станет более ясным, если заметим, что связь между пространством, описываемым в любое время частицей, движущейся с постоянной скоростью, обозначается Уоллисом формулой

s = vt,

куда s - число, представляющее отношение описанного пространства к единице длины; в то время как предыдущие авторы обозначили бы то же отношение, указав, что эквивалентно предложению

s₁ : s₂ = v₁т₁ : v₂т₂.

Геометрия

Ему обычно приписывают доказательство теорема Пифагора с помощью похожие треугольники. Тем не мение, Табит ибн Курра (901 г. н.э.), арабский математик, шесть веков назад сделал обобщение теоремы Пифагора, применимое ко всем треугольникам. Это разумное предположение, что Уоллис знал о работе Табита.^[16]

Уоллис также был вдохновлен работами исламского математика Садра ат-Туси, сына Насир ад-Дин ат-Туси, в частности, по книге ат-Туси, написанной в 1298 г. параллельный постулат. Книга была основана на мыслях его отца и представила один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы, эквивалентной постулату параллельности. Прочитав это, Уоллис затем написал о своих идеях, развивая собственные мысли о постулате, пытаясь доказать его также с помощью подобных треугольников.^[17]

Он обнаружил, что Пятый постулат Евклида эквивалентен постулату Уоллиса, названному в его честь. Этот постулат гласит, что «На данной конечной прямой всегда можно построить треугольник, подобный данному треугольнику». Этот результат был включен в тенденцию, пытающуюся вывести пятый постулат Евклида из четырех других постулатов, что сегодня, как известно, невозможно. В отличие от других авторов, он понимал, что неограниченный рост треугольника не гарантируется четырьмя первыми постулатами.^[18]

Калькулятор

Еще одним аспектом математических способностей Уоллиса была его способность делать в уме вычисления. Он плохо спал и часто делал мысленные вычисления, лежа в постели без сна. Однажды ночью он вычислил в своей голове квадратный корень из числа, состоящего из 53 цифр. Утром он продиктовал 27-значный квадратный корень из числа, все еще полностью по памяти. Это был подвиг, который считался выдающимся, и Генри Ольденбург Секретарь Королевского общества послал коллегу выяснить, как это удалось Уоллису. Это считалось достаточно важным, чтобы заслужить обсуждения в Философские труды Королевского общества 1685 г.^[19][20]

Образование

• Кембридж, M.A., Oxford, D.D.
• Средняя школа в Тентердене, Кент, 1625–1631 гг.
• Школа Мартина Гольбича в Фелстеде, Эссекс, 1631–162 гг.
• Кембриджский университет, Эммануэль-колледж, 1632–1640 гг .; B.A., 1637; М.А., 1640.
• Д.Д. в Оксфорде в 1654 г.

Музыкальная теория

Уоллис перевел на латинский язык произведения Птолемей и Вриенний, и комментарий Порфирия к Птолемею. Он также опубликовал три письма к Генри Ольденбург по поводу тюнинга. Он одобрил равный темперамент, который использовался в органах Англии.^[21]

Другие работы

Опера математика, 1657

Его Institutio logicae, изданная в 1687 году, пользовалась большой популярностью.^[4] В Grammatica linguae Anglicanae была работа над английская грамматика, который оставался в печати вплоть до восемнадцатого века. Он также публиковался по теологии.^[4]

Семья

14 марта 1645 г.^{[какой календарь? ]} он женился Сюзанна Глайнд (c. 1600 - 16 марта 1687 г.).^{[какой календарь? ]} У них было трое детей:

1. Энн Бленко (4 июня 1656 - 5 апреля 1718),^{[какой календарь? ]} вышла замуж за сэра Джона Бленкоу (30 ноября 1642 - 6 мая 1726)^{[какой календарь? ]} в 1675 г., с выпуском^[22]
2. Джон Уоллис (26 декабря 1650 - 14 марта 1717),^{[какой календарь? ][23]} Член парламента от Уоллингфорда 1690–1695, женился на Элизабет Харрис (ум. 1693) 1 февраля 1682 г.^{[какой календарь? ]} с выпуском: один сын и две дочери
3. Элизабет Уоллис (1658–1703^[24]), вышла замуж за Уильяма Бенсона (1649–1691) из Таустера, умерла без проблем.

Смотрите также

• 31982 Джонваллис, астероид, названный его именем
• Невидимый колледж
• Академия Джона Уоллиса - бывшая школа ChristChurch в Эшфорде, переименованная в 2010 г.
• Конический край Уоллиса
• Интегралы Уоллиса

Сноски

Рекомендации

• Первоначальный текст статьи был взят из всеобщее достояние ресурс:
• У. В. Роуз Болл (1908) Краткое изложение истории математики, 4-е изд.
• Скриба, К. Дж. (1970). "Автобиография Джона Уоллиса, F.R.S.". Примечания и отчеты Лондонского королевского общества. 25: 17–46. Дои:10.1098 / рснр.1970.0003.
• Стедалл, Жаклин, 2005, «Бесконечная арифметика» в Айвор Граттан-Гиннесс, изд., Достопримечательности западной математики. Эльзевьер: 23–32.
• Гвиччардини, Никколо (2012) «Джон Уоллис как редактор математической работы Ньютона», Примечания и отчеты Лондонского королевского общества 66(1): 3–17. Ссылка Jstor
• Стедолл, Жаклин А. (2001) «О нашей собственной стране: отчет Джона Уоллиса о математическом обучении в средневековой Англии», Historia Mathematica 28: 73.
• Уоллис, Дж. (1691). Седьмое письмо, касающееся священной Троицы, вызванное вторым письмом от W.J. / Джона Уоллиса ... (ранние английские книги в Интернете). Лондон: напечатано для Tho. Паркхерст ...

внешняя ссылка

• Переписка из Джон Уоллис в EMLO
• "Уоллис, Джон (1616-1703)". Словарь национальной биографии. Лондон: Смит, Элдер и Ко. 1885–1900.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Джон Уоллис", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Страница проекта Galileo
• «Архивные материалы, касающиеся Джона Уоллиса». Национальный архив Великобритании.
• Портреты Джона Уоллиса на Национальная портретная галерея, Лондон
• Работы Джона Уоллиса в Постреформационная цифровая библиотека
• Джон Уоллис (1685) Трактат по алгебре - цифровой факсимильный аппарат, Библиотека Линды Холл
• Уоллис, Джон (1685). Трактат по алгебре, как исторической, так и практической. Показывая его оригинал, прогресс и развитие, время от времени, и какими шагами оно достигло той высоты, на которой оно находится сейчас. Оксфорд: Ричард Дэвис. Дои:10.3931 / e-rara-8842.