Бесконечно малый - Infinitesimal

Бесконечно малые (ε) и бесконечные (ω) на сюрреалистической числовой прямой (ε = 1 / ω)

В математика, бесконечно малые или бесконечно малые числа величины, которые ближе к нулю, чем любой стандартный настоящий номер, но не равны нулю. Они не существуют в стандартной системе счисления действительных чисел, но существуют во многих других системах счисления, таких как сюрреалистические числа и гиперреальные числа, которые можно рассматривать как действительные числа, дополненные системой бесконечно малых величин, а также бесконечными величинами, обратными бесконечно малым.

Они были классно введены в разработку исчисление, где производная первоначально рассматривалась как отношение двух бесконечно малых величин. Это определение, как и большая часть математики того времени, не было формализовано совершенно строго. В результате последующие формальные трактовки исчисления имели тенденцию отказываться от точки зрения бесконечно малых в пользу пределы, что может быть выполнено с использованием стандартных вещественных чисел.

Бесконечно малые вновь обрели популярность в 20 веке с Авраам Робинсон развитие нестандартный анализ и гиперреальные числа, который показал, что формальная трактовка исчисления бесконечно малых возможна после долгих споров по этой теме на протяжении веков математики. Вслед за этим последовала разработка сюрреалистические числа, тесно связанная формализация бесконечных и бесконечно малых чисел, которая включает как гиперреальные числа и порядковые номера, и который является самым большим упорядоченное поле.

Идея использования бесконечно малых величин заключалась в том, что сущности все еще могли сохранять определенные специфические свойства, такие как угол или наклон, хотя эти сущности были бесконечно малы.^[1] Слово бесконечно малый происходит из 17 века Современная латынь чеканка бесконечный, который первоначально назывался "бесконечность -th "элемент в последовательности. Бесконечно малые - основной компонент в процедурах бесконечно малых исчисление как разработано Лейбниц, в том числе закон непрерывности и трансцендентный закон однородности. В обычном языке бесконечно малый объект - это объект, который меньше любого возможного измерения, но не равен нулю по размеру - или настолько мал, что его нельзя отличить от нуля никакими доступными средствами. Следовательно, при использовании в качестве прилагательного в математике, «бесконечно малый» означает «бесконечно малый» или меньший, чем любое стандартное действительное число. Чтобы придать этому смысл, бесконечно малые величины часто сравнивают с другими бесконечно малыми величинами аналогичного размера (как в производная ). Бесконечно много бесконечно малых суммируется, чтобы получить интеграл.

Идея бесконечно малых величин была впервые введена около 1670 г. Николай Меркатор или Готфрид Вильгельм Лейбниц.^[2] Архимед использовал то, что в конечном итоге стало известно как метод неделимых в его работе Метод механических теорем найти площади областей и объемы твердых тел.^[3] В своих официально опубликованных трактатах Архимед решил ту же проблему, используя метод истощения. В 15 веке работали Николай Кузанский, дальнейшее развитие в 17 веке Иоганн Кеплер, в частности, вычисление площади круга путем представления последнего в виде бесконечного многоугольника. Саймон Стевин Работа над десятичным представлением всех чисел в 16 веке подготовила почву для реального континуума. Бонавентура Кавальери Русский метод неделимых привел к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых, относящихся к геометрическим фигурам как составным из сущностей коразмерность 1. Джон Уоллис Бесконечно малые отличались от неделимых тем, что он разлагал геометрические фигуры на бесконечно тонкие строительные блоки той же размерности, что и фигура, подготавливая почву для общих методов интегрального исчисления. Он использовал бесконечно малую обозначенную 1/∞ в расчетах площадей.

Использование бесконечно малых чисел Лейбницем основывалось на эвристических принципах, таких как закон непрерывности: то, что успешно для конечных чисел, удачно также и для бесконечных чисел, и наоборот; и трансцендентный закон однородности, который определяет процедуры для замены выражений, содержащих не присваиваемые величины, выражениями, включающими только присваиваемые. В 18 веке математики, такие как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж. Огюстен-Луи Коши использовали бесконечно малые величины как при определении непрерывность в его Cours d'Analyse, и в определении ранней формы Дельта-функция Дирака. Поскольку Кантор и Дедекинд разрабатывали более абстрактные версии континуума Стевина, Поль дю Буа-Реймон написал серию работ о бесконечно обогащенных континуумах, основанных на скоростях роста функций. Работа Дюбуа-Реймона вдохновила как Эмиль Борель и Торальф Сколем. Борель явно связал работу дю Буа-Реймона с работой Коши о темпах роста бесконечно малых величин. Сколем разработал первые нестандартные модели арифметики в 1934 году. Математическая реализация как закона непрерывности, так и закона бесконечно малых была достигнута Авраам Робинсон в 1961 г., которые разработали нестандартный анализ на основе более ранней работы Эдвин Хьюитт в 1948 г. и Ежи Лось в 1955 году. гиперреалы реализовать бесконечно обогащенный континуум и принцип передачи реализует закон непрерывности Лейбница. В стандартная функция детали реализует Ферма адекватность.

Владимир Арнольд писал в 1990 году:

В настоящее время при обучении анализу не очень популярно говорить о бесконечно малых величинах. Следовательно, современные студенты не в полной мере владеют этим языком. Тем не менее, владеть им по-прежнему необходимо.^[4]

История бесконечно малого

Понятие бесконечно малых величин обсуждалось Элейская школа. В Греческий математик Архимед (ок. 287 г. до н. э. - ок. 212 г. до н. э.), в Метод механических теорем, был первым, кто предложил логически строгое определение бесконечно малых.^[5] Его Архимедова собственность определяет число Икс как бесконечное, если оно удовлетворяет условиям |Икс|>1, |Икс|>1+1, |Икс|> 1 + 1 + 1, ..., и бесконечно малой, если Икс≠ 0 и аналогичный набор условий выполняется для Икс и обратные положительные целые числа. Система счисления называется архимедовой, если она не содержит бесконечных или бесконечно малых членов.

Английский математик Джон Уоллис ввел выражение 1 / ∞ в своей книге 1655 г. Трактат о конических сечениях. Символ, обозначающий обратную или обратную величину∞, является символическим представлением математической концепции бесконечно малого. В его Трактат о конических сеченияхУоллис также обсуждает концепцию связи между введенным им символическим представлением бесконечно малой 1 / ∞ и концепцией бесконечности, для которой он ввел символ ∞. Концепция предлагает мысленный эксперимент добавления бесконечного количества параллелограммы бесконечно малой ширины, чтобы сформировать конечную площадь. Эта концепция была предшественницей современного метода интеграции, используемого в интегральное исчисление. Концептуальные истоки концепции бесконечно малой 1 / ∞ можно проследить еще со времен греческого философа. Зенон Элейский, чья Парадокс дихотомии Зенона была первой математической концепцией, которая рассматривала взаимосвязь между конечным интервалом и интервалом, приближающимся к интервалу бесконечно малого размера.

Бесконечно малые были предметом политических и религиозных споров в Европе 17 века, в том числе запрет на бесконечно малые числа, изданный клериками в Риме в 1632 году.^[6]

До изобретения математического анализа математики могли вычислять касательные, используя Пьер де Ферма метод адекватность и Рене Декарт ' метод нормалей. Среди ученых ведутся споры о том, был ли метод бесконечно малым или алгебраическим по своей природе. Когда Ньютон и Лейбниц изобрел исчисление, они использовали бесконечно малые, ньютоновские флюсии и Лейбница дифференциал. Использование бесконечно малых величин подверглось критике как некорректное. Епископ Беркли в его работе Аналитик.^[7] Математики, ученые и инженеры продолжали использовать бесконечно малые величины для получения правильных результатов. Во второй половине девятнадцатого века исчисление было переформулировано Огюстен-Луи Коши, Бернар Больцано, Карл Вейерштрасс, Кантор, Дедекинд, и другие, использующие (ε, δ) -определение предела и теория множеств В то время как последователи Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса стремились избавить анализ от бесконечно малых величин, а их философские союзники вроде Бертран Рассел и Рудольф Карнап заявил, что бесконечно малые псевдоконцепции, Герман Коэн и его Марбургская школа из неокантианство стремился разработать рабочую логику бесконечно малых.^[8] Математическое исследование систем, содержащих бесконечно малые, продолжалось в работах Леви-Чивита, Джузеппе Веронезе, Поль дю Буа-Реймон, и другие, в конце девятнадцатого и двадцатого веков, как задокументировано Филипом Эрлихом (2006). В 20 веке было обнаружено, что бесконечно малые величины могут служить основой для исчисления и анализа (см. гиперреальные числа ).

Свойства первого порядка

Расширяя действительные числа, чтобы включать бесконечные и бесконечно малые величины, обычно желают быть максимально консервативными, не изменяя ни одного из их элементарных свойств. Это гарантирует, что по-прежнему доступно как можно больше знакомых результатов. Обычно элементарный означает, что нет количественная оценка над наборы, но только над элементами. Это ограничение допускает утверждения формы «для любого числа x ...» Например, аксиома, которая утверждает, что «для любого числаИкс, Икс + 0 = Икс"будет по-прежнему применяться. То же самое верно для количественной оценки по нескольким числам, например," для любых чиселИкс и у, ху = yx. «Однако заявления формы» для любых набор S чисел ... "не может быть перенесено. Логика с этим ограничением количественного определения называется логика первого порядка.

Результирующая расширенная система счисления не может согласовываться с действительными числами по всем свойствам, которые могут быть выражены количественной оценкой по множествам, потому что цель состоит в том, чтобы построить неархимедову систему, а принцип Архимеда можно выразить количественной оценкой по множествам. Можно консервативно расширить любую теорию, включая действительные числа, включая теорию множеств, чтобы включить бесконечно малые числа, просто добавив счетно бесконечный список аксиом, утверждающих, что число меньше 1/2, 1/3, 1/4 и т. Д. Точно так же полнота Нельзя ожидать, что свойство будет перенесено, потому что вещественные числа являются единственным полным упорядоченным полем с точностью до изоморфизма.

Мы можем выделить три уровня, на которых неархимедова система счисления может обладать свойствами первого порядка, совместимыми со свойствами действительных чисел:

1. An упорядоченное поле подчиняется всем обычным аксиомам действительной системы счисления, которые могут быть сформулированы в логике первого порядка. Например, коммутативность аксиома Икс + у = у + Икс держит.
2. А настоящее закрытое поле обладает всеми свойствами первого порядка действительной системы счисления, независимо от того, считаются ли они обычно аксиоматическими, для операторов, включающих основные отношения упорядоченного поля +, × и ≤. Это более сильное условие, чем подчинение аксиомам упорядоченного поля. Более конкретно, один включает дополнительные свойства первого порядка, такие как существование корня для каждого полинома нечетной степени. Например, каждое число должно иметь кубический корень.
3. Система могла бы обладать всеми свойствами первого порядка действительной системы счисления для операторов, содержащих Любые отношения (независимо от того, могут ли эти отношения быть выражены с помощью +, × и ≤). Например, должен быть синус функция, которая хорошо определена для бесконечных входов; то же самое верно для любой реальной функции.

Системы категории 1, находящиеся на слабом конце спектра, относительно легко построить, но они не позволяют полностью рассмотреть классический анализ с использованием бесконечно малых величин в духе Ньютона и Лейбница. Например, трансцендентные функции определены в терминах бесконечных предельных процессов, и поэтому обычно нет способа определить их в логике первого порядка. Повышая аналитическую силу системы за счет перехода к категориям 2 и 3, мы обнаруживаем, что характер трактовки имеет тенденцию становиться менее конструктивным, и становится все труднее сказать что-либо конкретное об иерархической структуре бесконечностей и бесконечно малых.

Системы счисления, содержащие бесконечно малые

Формальная серия

Серия Laurent

Примером из категории 1 выше является поле Серия Laurent с конечным числом членов с отрицательной степенью. Например, ряд Лорана, состоящий только из постоянного члена 1, отождествляется с действительным числом 1, а ряд только с линейным членомИкс считается простейшим бесконечно малым, из которого строятся другие бесконечно малые. Используется словарный порядок, что эквивалентно рассмотрению более высоких степенейИкс как незначительные по сравнению с более низкими степенями. Дэвид О. Толл^[9] называет эту систему сверхреальной, не путать с сверхреальное число система Долин и Вудин. Поскольку ряд Тейлора, вычисленный с рядом Лорана в качестве аргумента, по-прежнему является рядом Лорана, систему можно использовать для вычисления трансцендентных функций, если они являются аналитическими. Эти бесконечно малые числа имеют свойства первого порядка, отличные от свойств вещественных чисел, потому что, например, базовые бесконечно малые числаИкс не имеет квадратного корня.

Поле Леви-Чивита

В Поле Леви-Чивита аналогичен ряду Лорана, но алгебраически замкнут. Например, базовое бесконечно малое x имеет квадратный корень. Это поле достаточно богато, чтобы можно было провести значительный объем анализа, но его элементы все еще могут быть представлены на компьютере в том же смысле, в каком действительные числа могут быть представлены с плавающей запятой.^[10]

Transseries

Поле transseries больше, чем поле Леви-Чивита.^[11] Пример транссерии:

${ displaystyle e ^ { sqrt { ln ln x}} + ln ln x + sum _ {j = 0} ^ { infty} e ^ {x} x ^ {- j},}$

где для целей заказа Икс считается бесконечным.

Сюрреалистические числа

Конвея сюрреалистические числа попадают в категорию 2. Это система, разработанная для максимально возможного использования чисел разного размера, но не обязательно для удобства проведения анализа. Некоторые трансцендентные функции могут быть перенесены на сурреальные числа, включая логарифмы и экспоненты, но большинство, например, синусоидальная функция, не может^{[нужна цитата ]}. Существование какого-либо конкретного сюрреалистического числа, даже такого, которое имеет прямое соответствие в действительных числах, не известно априори и должно быть доказано.^{[требуется разъяснение ]}

Гиперреалы

Наиболее распространенный метод работы с бесконечно малыми числами - гиперреальные числа, разработанный Авраам Робинсон в 1960-е гг. Они попадают в категорию 3 выше, так как были спроектированы таким образом, чтобы весь классический анализ можно было перенести из реального. Это свойство способности естественным образом переносить все отношения известно как принцип передачи, доказано Ежи Лось в 1955 году. Например, у трансцендентальной функции sin есть естественный аналог * sin, который принимает гиперреальный вход и дает гиперреальный выход, и аналогично набор натуральных чисел ${ Displaystyle mathbb {N}}$ имеет естественный аналог ${ Displaystyle ^ {*} mathbb {N}}$, который содержит как конечные, так и бесконечные целые числа. Такое предложение, как ${ Displaystyle forall п в mathbb {N}, грех п пи = 0}$ переносится на гиперреалы как ${ displaystyle forall n in {} ^ {*} mathbb {N}, {} ^ {*} ! ! sin n pi = 0}$ .

Суперреальные

В сверхреальное число Система Дейлса и Вудена является обобщением гиперреалов. Она отличается от сверхреальной системы, определяемой Дэвид Толл.

Двойные числа

В линейная алгебра, то двойные числа расширить вещественные числа, присоединив один бесконечно малый новый элемент ε со свойством ε² = 0 (то есть ε равно нильпотентный ). Каждое двойное число имеет вид z = а + бε с а и б однозначно определенные действительные числа.

Одно применение двойных чисел автоматическая дифференциация. Это приложение можно обобщить на многочлены от n переменных, используя Внешняя алгебра n-мерного векторного пространства.

Гладкий анализ бесконечно малых

Синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий анализ бесконечно малых имеют корни в теория категорий. Этот подход отходит от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая общую применимость закон исключенного среднего - т.е. не (а ≠ б) не должно означать а = б. А Nilsquare или нильпотентный Тогда можно определить бесконечно малую величину. Это число Икс где Икс² = 0 верно, но Икс = 0 не обязательно одновременно быть истинным. Поскольку фоновая логика интуиционистская логика, не сразу понятно, как классифицировать эту систему относительно классов 1, 2 и 3. Сначала необходимо разработать интуиционистские аналоги этих классов.

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малый ${ displaystyle alpha}$ записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака ${ displaystyle delta _ { alpha}}$ удовлетворение ${ Displaystyle int F (х) дельта _ { альфа} (х) = F (0)}$ в ряде статей 1827 г. см. Laugwitz (1989). Коши определил бесконечно малое в 1821 году (Cours d'Analyse) в терминах последовательности, стремящейся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой по принципам Коши и Лазар Карно терминология.

Современные теоретико-множественные подходы позволяют определять бесконечно малые величины через сверхмощный конструкция, где нулевая последовательность становится бесконечно малой в смысле класса эквивалентности по модулю отношения, определенного в терминах подходящего ультрафильтр. Статья Yamashita (2007) содержит библиографию по современным Дельта-функции Дирака в контексте бесконечно обогащенного континуума, обеспечиваемого гиперреалы.

Логические свойства

Метод построения бесконечно малых величин того типа, который используется в нестандартном анализе, зависит от модель и какая коллекция аксиомы используются. Мы рассматриваем здесь системы, в которых можно показать существование бесконечно малых величин.

В 1936 г. Мальцев доказал теорема компактности. Эта теорема является фундаментальной для существования бесконечно малых величин, поскольку доказывает, что их можно формализовать. Следствием этой теоремы является то, что если существует система счисления, в которой верно, что для любого положительного целого числа п есть положительное число Икс такое, что 0 <Икс < 1/п, то существует расширение этой системы счисления, в котором верно, что существует положительное число Икс такой, что для любого положительного целого числа п имеем 0 <Икс < 1/п. Возможность переключения «на любой» и «есть» имеет решающее значение. Первое утверждение верно для действительных чисел, как указано в ZFC теория множеств : для любого положительного целого числа п можно найти действительное число между 1 /п и ноль, но это действительное число зависит от п. Здесь каждый выбирает п сначала, затем находят соответствующий Икс. Во втором выражении утверждение говорит, что существует Икс (по крайней мере, один), выбранный первым, который находится между 0 и 1 /п для любого п. В таком случае Икс бесконечно мала. В реальных числах это не так (р) предоставлено ZFC. Тем не менее теорема доказывает, что существует модель (система счисления), в которой это верно. Возникает вопрос: что это за модель? Каковы его свойства? Есть только одна такая модель?

На самом деле существует множество способов построить такой одномерный линейно упорядоченный набор чисел, но принципиально есть два разных подхода:

1) Расширьте систему счисления, чтобы она содержала больше чисел, чем действительных чисел.

2) Расширить аксиомы (или расширить язык) так, чтобы различие между бесконечно малыми и не бесконечно малыми можно было проводить в самих действительных числах.

В 1960 г. Авраам Робинсон предоставил ответ, следуя первому подходу. Расширенный набор называется гиперреалы и содержит числа, меньшие по модулю, чем любое положительное действительное число. Этот метод можно считать относительно сложным, но он действительно доказывает, что бесконечно малые величины существуют во вселенной теории множеств ZFC. Действительные числа называются стандартными числами, а новые нереальные гиперреальные числа называются нестандартный.

В 1977 г. Эдвард Нельсон предоставил ответ, следуя второму подходу. Расширенные аксиомы - это IST, что означает либо Теория внутреннего множества или для инициалов трех дополнительных аксиом: Идеализация, Стандартизация, Трансфер. В этой системе мы считаем, что язык расширен таким образом, что мы можем выражать факты о бесконечно малых. Действительные числа бывают стандартные или нестандартные. Бесконечно малое - это нестандартное действительное число, которое по абсолютной величине меньше любого положительного стандартного действительного числа.

В 2006 году Карел Хрбачек разработал расширение подхода Нельсона, в котором действительные числа стратифицированы на (бесконечно) многих уровнях; т.е. на самом грубом уровне нет ни бесконечно малых, ни неограниченных чисел. Бесконечно малые находятся на более тонком уровне, и есть также бесконечно малые по отношению к этому новому уровню и так далее.

Бесконечно малые в обучении

Учебники по математическому анализу, основанные на бесконечно малых, включают классические Расчет стал проще от Сильванус П. Томпсон (с девизом «Что может один дурак, то может другой»^[12]) и немецкий текст Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie Р. Нойендорфа.^[13] Новаторские работы на основе Авраам Робинсон бесконечно малые включают тексты Строян (датируется 1972 г.) и Говард Джером Кейслер (Элементарное исчисление: бесконечно малый подход ). Студенты легко понимают интуитивное понятие бесконечно малой разницы 1- "0.999... ", где" 0,999 ... "отличается от своего стандартного значения как вещественное число 1 и интерпретируется как бесконечное завершающее расширенное десятичное число, которое строго меньше 1.^[14][15]

Другой текст по элементарному исчислению, в котором используется теория бесконечно малых, разработанная Робинсоном, - это Исчисление бесконечно малых Генле и Клейнберг, первоначально опубликованная в 1979 году.^[16] Авторы вводят язык логики первого порядка и демонстрируют построение модели гиперреальных чисел первого порядка. Текст представляет собой введение в основы интегрального и дифференциального исчисления в одном измерении, включая последовательности и ряды функций. В Приложении они также рассматривают расширение своей модели на гипергиперreals и продемонстрируем некоторые приложения для расширенной модели.

Функции, стремящиеся к нулю

В родственном, но несколько ином смысле, который произошел от первоначального определения «бесконечно малой» как бесконечно малой величины, этот термин также использовался для обозначения функции, стремящейся к нулю. Точнее, Лумиса и Штернберга Расширенный расчет определяет функциональный класс бесконечно малых, ${ displaystyle { mathfrak {I}}}$, как подмножество функций ${ displaystyle f: V to W}$ между нормированными векторными пространствами

${ Displaystyle { mathfrak {I}} (V, W) = {е: V к W | f (0) = 0, ( forall epsilon> 0) ( существует delta> 0) backepsilon || xi || < delta подразумевает || f ( xi) || < epsilon }}$,

а также два связанных класса ${ displaystyle { mathfrak {O}}, { mathfrak {o}}}$ (увидеть Обозначение Big-O ) от

${ Displaystyle { mathfrak {O}} (V, W) = {е: V к W | f (0) = 0, ( существует r> 0, c> 0) backepsilon || xi ||$, и

${ displaystyle { mathfrak {o}} (V, W) = {f: V to W | f (0) = 0, lim _ {|| xi || to 0} | | f ( xi) || / || xi || = 0 }}$.^[17]

Набор включений ${ Displaystyle { mathfrak {o}} (V, W) subsetneq { mathfrak {O}} (V, W) subsetneq { mathfrak {I}} (V, W)}$в общем держись. Правильность включений демонстрируется действительными функциями действительной переменной. ${ Displaystyle f: х mapsto | х | ^ {1/2}}$, ${ displaystyle g: x mapsto x}$, и ${ displaystyle h: x mapsto x ^ {2}}$:

${ displaystyle f, g, h in { mathfrak {I}} ( mathbb {R}, mathbb {R}), g, h in { mathfrak {O}} ( mathbb {R} , mathbb {R}), h in { mathfrak {o}} ( mathbb {R}, mathbb {R})}$ но ${ displaystyle f, g notin { mathfrak {o}} ( mathbb {R}, mathbb {R})}$ и ${ Displaystyle е notin { mathfrak {O}} ( mathbb {R}, mathbb {R})}$.

В качестве приложения этих определений отображение ${ displaystyle F: V to W}$ между нормированными векторными пространствами определяется как дифференцируемые в ${ displaystyle alpha in V}$ если есть ${ Displaystyle T in mathrm {Hom} (V, W)}$ [т.е. ограниченное линейное отображение ${ displaystyle V to W}$] такой, что

${ Displaystyle [F ( альфа + xi) -F ( alpha)] - T ( xi) in { mathfrak {o}} (V, W)}$

в районе ${ displaystyle alpha}$. Если такая карта существует, она уникальна; эта карта называется дифференциал и обозначается ${ displaystyle dF _ { alpha}}$,^[18] совпадающая с традиционными обозначениями классического (хотя и ошибочного) представления о дифференциале как бесконечно малом «кусочке» F. Это определение представляет собой обобщение обычного определения дифференцируемости вектор-функций (открытых подмножеств) евклидовых пространств.

Массив случайных величин

Позволять ${ Displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ быть вероятностное пространство и разреши ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$. Массив ${ displaystyle {X_ {n, k}: Omega to mathbb {R} mid 1 leq k leq k_ {n} }}$ из случайные переменные называется бесконечно малым, если для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$, у нас есть:^[19]

${ Displaystyle макс _ {1 leq k leq k_ {n}} mathbb {P} { omega in Omega mid vert X_ {n, k} ( omega) vert geq эпсилон } к 0 { текст {as}} n к infty}$

Понятие бесконечно малого массива является существенным в некоторых центральных предельных теоремах, и по монотонности оператора математического ожидания легко убедиться, что любой массив, удовлетворяющий Состояние Линдеберга бесконечно мала, поэтому играет важную роль в Центральная предельная теорема Линдеберга (обобщение Центральная предельная теорема ).

Смотрите также

Заметки

использованная литература