Критика нестандартного анализа - Criticism of nonstandard analysis

Нестандартный анализ и его ответвление, нестандартное исчисление, подверглись критике со стороны нескольких авторов, в частности Эрретт Бишоп, Пол Халмос, и Ален Конн. Эти критические замечания анализируются ниже.

Вступление

Оценка нестандартного анализа в литературе сильно различается. Пол Халмос описал это как особое техническое развитие математической логики. Теренс Тао резюмировал преимущества гиперреальной структуры, отметив, что она

позволяет строго манипулировать такими вещами, как «набор всех малых чисел», или строго говорить такие вещи, как «η1 меньше всего, что включает η0”, При этом значительно уменьшая количество проблем управления эпсилон, автоматически скрывая многие количественные показатели в одном аргументе.

— Теренс Тао, «Структура и случайность», Американское математическое общество (2008 г.)[1]

Характер критики напрямую не связан с логическим статусом результатов, доказанных с помощью нестандартного анализа. С точки зрения обычных математических основ классической логики такие результаты вполне приемлемы. Авраам Робинсон нестандартный анализ не требует никаких аксиом, кроме Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC) (как явно показано Вильгельм Люксембург сверхмощная конструкция гиперреалы ), а его вариант - Эдвард Нельсон, известный как теория внутренних множеств, аналогично консервативное расширение из ZFC.[2] Это дает уверенность в том, что новизна нестандартного анализа целиком является стратегией доказательства, а не диапазоном результатов. Кроме того, теоретико-модельный нестандартный анализ, например, основанный на надстройках, который в настоящее время является широко используемым подходом, не требует каких-либо новых теоретико-множественных аксиом, помимо аксиом ZFC.[сомнительный – обсуждать]

Споры существовали по вопросам математической педагогики. Кроме того, разработанный нестандартный анализ - не единственный кандидат для достижения целей теории бесконечно малых (см. Гладкий анализ бесконечно малых ). Филип Дж. Дэвис написал в обзоре книги о Левый защитник: век неудачных школьных реформ[3] от Дайан Рэвич:[4]

Было движение нестандартного анализа для обучения элементарному исчислению. Его запас немного вырос, прежде чем механизм сломался из-за внутренней сложности и отсутствия необходимости.

Нестандартное исчисление в классе было проанализировано в исследовании К. Салливаном школ в районе Чикаго, что нашло отражение в средней литературе на Влияние нестандартного анализа. Салливан показал, что студенты, прошедшие курс нестандартного анализа, лучше понимали смысл математического формализма исчисления, чем контрольная группа, следовавшая стандартной программе. Это также было отмечено Артигом (1994), стр. 172; Чихара (2007); и Даубен (1988).[нужна цитата ]

Критика епископа

По мнению Эрретт Бишоп, классическая математика, включающая в себя подход Робинсона к нестандартному анализу, была неконструктивной и поэтому не имела числового значения (Феферман 2000 ). Бишоп был особенно обеспокоен использованием нестандартного анализа в обучении, как он обсуждал в своем эссе «Кризис в математике» (Епископ 1975 ). В частности, после обсуждения Формалистическая программа Гильберта он написал:

Более поздняя попытка математики с помощью формального изящества - нестандартный анализ. Я полагаю, что это имело некоторый успех, хотя я не знаю, ценой ли значительно менее значимых доказательств. Мой интерес к нестандартному анализу состоит в том, что его пытаются внедрить в курсы математики. Трудно поверить, что принижение значения может зайти так далеко.

Katz & Katz (2010) отмечают, что ряд критических замечаний был высказан участвовавшими математиками и историками после выступления Бишопа «Кризис» на Американская академия искусств и наук семинара 1974 года. Однако ни слова участники не сказали о Бишоповской унижение теории Робинсона. Кац и Кац отмечают, что недавно выяснилось, что Бишоп на самом деле ни слова не сказал о теории Робинсона на семинаре, а только добавил унижение замечание на стадии проверки публикации. Это помогает объяснить отсутствие критической реакции на семинаре. Кац и Кац пришли к выводу, что это поднимает вопросы честности со стороны Епископа, чей опубликованный текст не сообщает о том, что комментарий о «уничижении» был добавлен на стадии камбуза и поэтому не был услышан участниками семинара, создавая ложное впечатление, что они не возражал с комментариями.

Тот факт, что Бишоп рассматривал введение нестандартного анализа в классе как «принижение смысла», был отмечен Дж. Добеном.[5] Этот термин был разъяснен Бишопом (1985, с. 1) в его тексте. Шизофрения в современной математике (впервые распространено в 1973 г.), а именно:

Брауэра критика классической математики касалась того, что я назову «принижением значения».

Таким образом, Бишоп сначала применил термин «принижение смысла» к классической математике в целом, а позже применил его к бесконечно малым Робинсону в классе. В его Основы конструктивного анализа (1967, страница ix), Бишоп писал:

Наша программа проста: дать как можно больше числового значения классическому абстрактному анализу. Нашей мотивацией является хорошо известный скандал, детально разоблаченный Брауэром (и другими) о том, что классической математике недостает числового значения.

Замечания Епископа подтверждаются дискуссией после его лекции:[6]

  • Джордж Макки (Гарвард): «Я не хочу думать об этих вопросах. Я верю, что то, что я делаю, будет иметь какой-то смысл…»
  • Гаррет Биркофф (Гарвард): «... Я думаю, это то, к чему призывает Бишоп. Мы должны отслеживать наши предположения и сохранять непредвзятость».
  • Шрирам Абхьянкар: (Пердью): «Моя газета полностью соответствует позиции Бишопа».
  • J.P. Кахане (U. de Paris): «... Я должен уважать работу Бишопа, но мне она кажется скучной ...»
  • Бишоп (UCSD): «Большинство математиков считают, что математика имеет значение, но им утомительно пытаться выяснить, что это такое…»
  • Кахане: «Я чувствую, что оценка епископа имеет большее значение, чем мое отсутствие признательности».

Обзор епископа

Епископ просмотрел книгу Элементарное исчисление: бесконечно малый подход к Говард Джером Кейслер, в котором представлены элементарные исчисления с использованием методов нестандартного анализа. Епископа выбрали его советник Пол Халмос для обзора книги. Обзор появился в Бюллетень Американского математического общества в 1977 г. На эту статью ссылается Дэвид О. Толл (Высокий 2001 ) при обсуждении использования нестандартного анализа в образовании. Высокий написал:

использование аксиома выбора Однако нестандартный подход вызывает крайнюю критику со стороны таких людей, как Бишоп (1977), которые настаивали на явном построении понятий в интуиционистской традиции.

В обзоре Бишопа содержится несколько цитат из книги Кейслера, таких как:

В 1960 году Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точную трактовку бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из важнейших математических достижений двадцатого века.

и

Обсуждая реальную линию, мы заметили, что у нас нет возможности узнать, что на самом деле представляет собой линия в физическом пространстве. Это может быть гиперреальная линия, реальная линия или ни то, ни другое. Однако в приложениях исчисления полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию.

Обзор подверг критике текст Кейслера за то, что он не предоставил доказательств в поддержку этих утверждений, и за принятие аксиоматического подхода, когда студентам не было ясно, существует ли какая-либо система, удовлетворяющая аксиомам (Высокий 1980 ). Обзор закончился следующим образом:

Технические сложности, связанные с подходом Кейслера, не имеют большого значения. Настоящий ущерб заключается в запутывании и девитализации [Кейслером] этих замечательных идей [стандартного исчисления]. Никакая ссылка на Ньютона и Лейбница не оправдает развитие исчисления с использованием аксиом V * и VI * на том основании, что обычное определение предела слишком сложно!

и

Хотя это кажется бесполезным, я всегда говорю своим ученикам, изучающим математику, что математика не является эзотерикой: это здравый смысл. (Даже пресловутый (ε, δ) -определение предела является здравым смыслом, и, кроме того, он является центральным для важных практических проблем аппроксимации и оценки.) Они мне не верят. На самом деле эта идея вызывает у них дискомфорт, поскольку противоречит их предыдущему опыту. Теперь у нас есть математический текст, который можно использовать для подтверждения их опыта в математике как эзотерическом и бессмысленном упражнении в технике.

Ответы

В своем ответе в В УведомленияКейслер (1977, с. 269) спросил:

почему Пол Халмос, то Бюллетень редактор рецензий на книгу, выберите конструктивист как рецензент?

Сравнение использования закон исключенного среднего (отвергнутый конструктивистами) с вином, Кейслер сравнил выбор Халмоса с «выбором трезвенник пробовать вино ».

Рецензия на книгу Бишопа впоследствии подверглась критике в том же журнале Мартин Дэвис, который написал на стр. 1008 из Дэвис (1977):

Книга Кейслера - это попытка вернуть интуитивно наводящие на размышления лейбницевские методы, которые доминировали в преподавании математического анализа до сравнительно недавнего времени и которые никогда не отбрасывались в некоторых частях прикладной математики. Читатель рецензии Эррета Бишопа на книгу Кейслера вряд ли мог бы представить, что именно это пытался сделать Кейслер, поскольку в рецензии не обсуждаются ни цели Кейслера, ни степень их реализации в его книге.

Дэвис добавил (стр. 1008), что Бишоп высказал свои возражения.

не сообщая своим читателям о конструктивист контекст, в котором предположительно следует понимать это возражение.

Физик Вадим Комков (1977, с. 270) писал:

Бишоп - один из ведущих исследователей, придерживающихся конструктивного подхода к математическому анализу. Конструктивисту трудно сочувствовать теориям, заменяющим действительные числа на гиперреалы.

Можно ли провести нестандартный анализ конструктивно, Комков усмотрел фундаментальную озабоченность Епископа.

Философ математики Джеффри Хеллман (1993, с. 222) писал:

Некоторые из замечаний Бишопа (1967) предполагают, что его позиция принадлежит к категории [радикального конструктивизма] ...

Историк математики Джозеф Даубен проанализировал критику Бишопа в (1988, стр. 192). Вспомнив об «успехе» нестандартного анализа

на самом элементарном уровне, на котором это могло быть введено, а именно, на котором исчисление преподается впервые,

Даубен заявил:

есть также Глубже уровень смысла, на котором работает нестандартный анализ.

Даубен упомянул "впечатляющие" приложения в

физика, особенно квантовая теория и термодинамика, И в экономика, где исследование экономики обмена особенно поддается нестандартной интерпретации.

На этом «более глубоком» уровне смысла, заключил Даубен,

Взгляды Бишопа можно подвергнуть сомнению и показать, что они столь же необоснованны, как и его возражения против нестандартного анализа с педагогической точки зрения.

Ряд авторов прокомментировали тон рецензии на книгу Бишопа. Артиг (1992) описал это как ядовитый; Dauben (1996), как язвительный; Дэвис и Хаузер (1978), как враждебный; Высокий (2001), как крайний.

Ян Стюарт (1986) сравнил просьбу Халмоса к епископу прочитать книгу Кейслера с приглашением Маргарет Тэтчер рассмотреть Das Kapital.

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Бишоп критикует яблоки за то, что они не апельсины: критик (Бишоп) и критикуемый (нестандартный анализ Робинсона) не имеют общих основ.

Они также отмечают, что

Озабоченность Бишопа искоренением закона исключенного третьего привела его к критике классической математики в целом столь же язвительно, как и его критика нестандартного анализа.

Г. Стольценберг ответил на предложение Кейслера Уведомления критика обзора Бишопа в письме, также опубликованном в Уведомления.[7] Штольценберг утверждает, что критика рецензии Бишопа на книгу Кейслера по исчислению основана на ложном предположении, что они были сделаны в конструктивистском мышлении, тогда как Штольценберг считает, что Бишоп прочитал ее так, как это было задумано: в классическом мышлении.

Критика Конна

В "Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral", Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206–234, Ален Конн написал:

«Ответ нестандартного анализа, а именно нестандартное вещественное число, также неутешителен: каждое нестандартное вещественное число канонически определяет (по Лебегу) неизмеримое подмножество интервала [0, 1], так что это невозможно (Штерн , 1985) для отображения единственного [нестандартного действительного числа]. Предложенный нами формализм даст содержательный и вычислимый ответ на этот вопрос ».

В своей статье 1995 года «Некоммутативная геометрия и реальность» Конн развивает исчисление бесконечно малых величин, основанное на операторах в гильбертовом пространстве. Он продолжает «объяснять, почему формализм нестандартного анализа неадекватен» для его целей. Конн указывает на следующие три аспекта гиперреалов Робинсона:

(1) нестандартное гиперреальное «не может быть выставлено» (указанная причина - его отношение к неизмеримым множествам);

(2) «Практическое использование такого понятия ограничено вычислениями, в которых конечный результат не зависит от точного значения вышеупомянутой бесконечно малой величины. Так используются нестандартный анализ и ультрапроизведения [...]».

(3) гиперреалы коммутативны.

Кац и Кац анализируют критику Конна нестандартного анализа и оспаривают конкретные утверждения (1) и (2).[8] Что касается (1), собственные бесконечно малые величины Конна аналогично полагаются на неконструктивный фундаментальный материал, такой как существование След Диксмье. Что касается (2), Конн представляет независимость выбора бесконечно малого как особенность его собственной теории.

Kanovei et al. (2012) анализируют утверждение Конна о «химеричности» нестандартных чисел. Они отмечают, что содержание его критики состоит в том, что ультрафильтры являются «химерическими» и указывают на то, что Конн существенно использовал ультрафильтры в своей более ранней работе по функциональному анализу. Они анализируют утверждение Конна о том, что гиперреальная теория просто «виртуальная». Ссылки Конна на работы Роберт Соловей предполагают, что Конн хочет критиковать гиперреальные изображения за то, что они якобы не поддаются определению. Если так, то утверждение Конна относительно гиперреалов явно неверно, учитывая существование определяемой модели гиперреалов, построенной Владимир Кановей и Сахарон Шелах (2004). Kanovei et al. (2012) также предоставляют хронологическую таблицу все более язвительных эпитетов, которые Конн использовал для очернения нестандартного анализа за период между 1995 и 2007 годами, начиная с «неадекватный» и «разочаровывающий» и заканчивая «концом пути для« явного ». ".

Кац и Лейхтнам (2013) отмечают, что «две трети критики Коннесом бесконечно малого подхода можно назвать непоследовательным, в конкретном смысле несогласованности с тем, что Конн (одобрительно) пишет о своем собственном бесконечно малом подходе».

Замечания Халмоса

Пол Халмос пишет в "Инвариантных подпространствах", Американский математический ежемесячный журнал 85 (1978) 182–183 следующим образом:

«расширение на полиномиально компактные операторы было получено Бернштейном и Робинсоном (1966). Они представили свой результат на метаматематическом языке, называемом нестандартным анализом, но, как это было реализовано очень скоро, это был вопрос личных предпочтений, а не необходимости . "

Халмос пишет в (Halmos 1985) следующее (стр. 204):

Доказательство Бернштейна – Робинсона [ гипотеза об инвариантном подпространстве Халмоса] использует нестандартные модели языков предикатов высшего порядка, и когда [Робинсон] прислал мне свой репринт, мне действительно пришлось попотеть, чтобы точно определить и перевести его математическое понимание.

Комментируя «роль нестандартного анализа в математике», Халмос пишет (стр. 204):

Для некоторых других [... математиков], которые против (например, Эрретт Бишоп ), это не менее эмоциональный вопрос ...

Халмос завершает обсуждение нестандартного анализа следующим образом (с. 204):

это особый инструмент, слишком особенный, и другие инструменты могут делать все, что он делает. Все дело вкуса.

Кац и Кац (2010) отмечают, что

Стремление Халмоса оценить теорию Робинсона могло быть связано с конфликтом интересов [...] Халмос вложил значительную эмоциональную энергию (и пот(как он незабываемо помещает это в своей автобиографии) в своем переводе результата Бернштейна – Робинсона [...] [H] является грубым нелестным комментарием, по-видимому, ретроактивно оправдывающим его попытку переводчиков отклонить влияние одного из первых впечатляющих приложений Теория Робинсона.

Комментарии Боса и Медведева

Историк Лейбница Хенк Бос (1974) признал, что гиперреалы Робинсона обеспечивают

[a] предварительное объяснение того, почему исчисление могло развиваться на ненадежной основе принятия бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Ф. Медведев (1998) далее указывает, что

Стандартный анализ позволяет ответить на деликатный вопрос, связанный с более ранними подходами к истории классического анализа. Если бесконечно малые и бесконечно большие величины рассматриваются как несовместимые понятия, как они [могли] служить [d] основой для построения столь [великолепного] здания одной из важнейших математических дисциплин?

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Тао, Т .: Структура и случайность. Страницы первого года математического блога. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. стр. 55.
  2. ^ Это показано в Эдвард Нельсон статья AMS 1977 г. в приложении, написанная Уильямом Пауэллом.
  3. ^ Дайан., Рэвич (2000). Слева: век неудачных школьных реформ. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN  0684844176. OCLC  43790988.
  4. ^ Филип, Дж. Дэвис (9 апреля 2001 г.). "SIAM: образовательные энтузиазмы и их критики". archive.siam.org. Получено 2018-12-02.
  5. ^ в Дональд Гиллис, Революции в математике (1992), стр. 76.
  6. ^ Бишоп, Эрретт (1975). «Кризис современной математики». Historia Mathematica. 2 (4): 507–517. Дои:10.1016/0315-0860(75)90113-5.
  7. ^ Штольценберг 1978.
  8. ^ См. Кац и Кац (2011)

Рекомендации

внешняя ссылка