Overspill - Википедия - Overspill

В нестандартный анализ, филиал математика, переливать (именуемый переполнение Голдблатта (1998, с. 129)) - широко используемый метод доказательства. Он основан на том, что набор стандартных натуральные числа N не является внутреннее подмножество внутреннего набора *N из сверхъестественный числа.

Применяя принцип индукции для стандартных целых чисел N и принцип передачи мы получаем принцип внутренняя индукция:

Для любого внутренний подмножество А из *N, если

1. 1 является элементом А, и
2. для каждого элемента п из А, п +1 также принадлежит А,

тогда

А = *N

Если N были внутренним набором, затем реализуя принцип внутренней индукции с N, это последует N = *N что, как известно, не так.

Принцип перелива имеет ряд полезных последствий:

• Набор стандартных гиперреалов не является внутренним.
• Множество ограниченных гиперреалов не является внутренним.
• Набор бесконечно малый гиперреал не является внутренним.

Особенно:

• Если внутренний набор содержит все бесконечно малые неотрицательные гиперреальные числа, он содержит положительное не бесконечно малый (или же заметный) гиперреальный.
• Если внутренний набор содержит N он содержит неограниченный (бесконечный) элемент *N.

Пример

Эти факты могут быть использованы для доказательства эквивалентности следующих двух условий для внутренний гиперреалистичная функция ƒ, определенная на *р.

${ displaystyle forall epsilon in mathbb {R} ^ {+}, exists delta in mathbb {R} ^ {+}, | h | leq delta подразумевает | f (x + h ) -f (x) | leq varepsilon}$

и

${ Displaystyle forall h cong 0, | f (x + h) -f (x) | cong 0}$

Доказательство того, что второй факт влечет за собой первый, использует переполнение, так как при не бесконечно малом положительном ε,

${ displaystyle forall { mbox {positive}} delta cong 0, (| h | leq delta подразумевает | f (x + h) -f (x) | < varepsilon).}$

Применяя overspill, мы получаем положительное заметное δ с необходимыми свойствами.

Эти эквивалентные условия выражают свойство, известное в нестандартном анализе как S-непрерывность (или же микропрерывность ) из ƒ на Икс. S-непрерывность называется внешним свойством. Первое определение является внешним, потому что оно включает количественную оценку только по стандартным значениям. Второе определение является внешним, потому что оно включает внешнее отношение бесконечно малости.

Рекомендации

• Роберт Голдблатт (1998). Лекции о гиперреалах. Введение в нестандартный анализ. Springer.