Теория бесконечно малых деформаций - Infinitesimal strain theory

В механика сплошной среды, то теория бесконечно малых деформаций математический подход к описанию деформация твердого тела, в котором смещения материала частицы считаются намного меньшими (действительно, бесконечно мало меньше), чем любой соответствующий размер тела; так что его геометрия и основные свойства материала (например, плотность и жесткость ) в каждой точке пространства можно считать неизменным из-за деформации.

При таком предположении уравнения механики сплошной среды значительно упрощаются. Этот подход также можно назвать теория малых деформаций, теория малых перемещений, или же теория малого смещения-градиента. Это контрастирует с теория конечных деформаций где сделано противоположное предположение.

Теория бесконечно малых деформаций обычно применяется в гражданском строительстве и машиностроении для анализ напряжения конструкций, построенных из относительно жестких эластичный материалы как конкретный и стали, поскольку общей целью при проектировании таких конструкций является минимизация их деформации при типичных грузы. Однако это приближение требует осторожности в случае тонких гибких тел, таких как стержни, пластины и оболочки, которые подвержены значительному вращению, что делает результаты ненадежными.^[1]

Тензор бесконечно малых деформаций

За бесконечно малые деформации из континуальное тело, в которой градиент смещения (Тензор 2-го порядка) мал по сравнению с единицей, т.е. ${ Displaystyle | набла mathbf {и} | ll 1}$, можно выполнить геометрическая линеаризация любого из (бесконечного множества возможных) тензоров деформации, используемых в теории конечных деформаций, например тензор лагранжевой деформации ${ displaystyle mathbf {E}}$, тензор эйлеровой деформации ${ displaystyle mathbf {e}}$. При такой линеаризации не учитываются нелинейные члены или члены второго порядка тензора конечных деформаций. Таким образом, мы имеем

${ displaystyle mathbf {E} = { frac {1} {2}} left ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} right) приблизительно { frac {1} {2}} left ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T }верно)}$

или

${ Displaystyle E_ {KL} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial U_ {K}} { partial X_ {L}}} + { frac { partial U_ { L}} { partial X_ {K}}} + { frac { partial U_ {M}} { partial X_ {K}}} { frac { partial U_ {M}} { partial X_ {L }}} right) приблизительно { frac {1} {2}} left ({ frac { partial U_ {K}} { partial X_ {L}}} + { frac { partial U_ { L}} { partial X_ {K}}} right)}$

и

${ displaystyle mathbf {e} = { frac {1} {2}} left ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u}) ^ {T} - nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u}) ^ {T} right) приблизительно { frac {1} {2}} left ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u}) ^ {T }верно)}$

или

${ displaystyle e_ {rs} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {r}} { partial x_ {s}}} + { frac { partial u_ { s}} { partial x_ {r}}} - { frac { partial u_ {k}} { partial x_ {r}}} { frac { partial u_ {k}} { partial x_ {s }}} right) приблизительно { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {r}} { partial x_ {s}}} + { frac { partial u_ { s}} { partial x_ {r}}} right)}$

Эта линеаризация подразумевает, что лагранжевое описание и эйлерово описание примерно одинаковы, поскольку существует небольшая разница в материальных и пространственных координатах данной материальной точки в континууме. Следовательно, компоненты градиента смещения материала и компоненты градиента пространственного смещения приблизительно равны. Таким образом, мы имеем

${ displaystyle mathbf {E} приблизительно mathbf {e} приблизительно { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2}} left (( nabla mathbf {u}) ^ { T} + nabla mathbf {u} right) qquad}$

или${ displaystyle qquad E_ {KL} приблизительно e_ {rs} приблизительно varepsilon _ {ij} = { frac {1} {2}} left (u_ {i, j} + u_ {j, i} верно)}$

где ${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$ компоненты тензор бесконечно малых деформаций ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$, также называемый Тензор деформации Коши, тензор линейной деформации, или же тензор малых деформаций.

${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ {ij} & = { frac {1} {2}} left (u_ {i, j} + u_ {j, i} right) & = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23 } varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {matrix}} right] & = left [{ begin {matrix} { frac { partial u_ {1}} { partial x_ {1}}} & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {1}} { partial x_ {2}} } + { frac { partial u_ {2}} { partial x_ {1}}} right) & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {1}} { partial x_ {3}}} + { frac { partial u_ {3}} { partial x_ {1}}} right) { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {2}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial u_ {1}} { partial x_ {2}}} right) & { frac { partial u_ {2}} { partial x_ {2}}} & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {2}} { partial x_ {3}}} + { frac { partial u_ {3}} { partial x_ {2}}} right) { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {3}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial u_ {1}} { partial x_ {3}}} right) & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {3}} { partial x_ {2}}} + { frac { partial u_ {2}} { partial x_ {3}}} right) & { frac { partial u_ {3}} { partial x_ {3 }}} конец {матрица}} right] end {выровнен}}}$

или используя другие обозначения:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} varepsilon _ {xx} & varepsilon _ {xy} & varepsilon _ {xz} varepsilon _ {yx} & varepsilon _ {yy} & varepsilon _ {yz} varepsilon _ {zx} & varepsilon _ {zy} & varepsilon _ {zz} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} { frac { partial u_ {x}} { partial x}} & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {x}} { partial y}} + { frac { partial u_ {y}} { partial x}} right) & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {x}} { partial z}} + { frac { partial u_ {z}} { partial x}} right) { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {y}} { partial x}} + { frac { partial u_ {x}} { partial y}} right) & { frac { partial u_ {y}} { partial y}} & { frac {1} {2}} left ({ frac { partial u_ {y}} { partial z}} + { frac { partial u_ {z}} { partial y}} right) { frac {1} { 2}} left ({ frac { partial u_ {z}} { partial x}} + { frac { partial u_ {x}} { partial z}} right) & { frac {1 } {2}} left ({ frac { partial u_ {z}} { partial y}} + { frac { partial u_ {y}} { partial z}} right) & { frac { partial u_ {z}} { partial z}} end {matrix}} right]}$

Кроме того, поскольку градиент деформации можно выразить как ${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + { boldsymbol {I}}}$ где ${ displaystyle { boldsymbol {I}}}$ - тождественный тензор второго порядка, имеем

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2}} left ({ boldsymbol {F}} ^ {T} + { boldsymbol {F}} right) - { полужирный символ {I}}}$

Также из общее выражение для лагранжевых и эйлеровых тензоров конечных деформаций имеем

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E} _ {(m)} & = { frac {1} {2m}} ( mathbf {U} ^ {2m} - { boldsymbol {I}} ) = { frac {1} {2m}} [({ boldsymbol {F}} ^ {T} { boldsymbol {F}}) ^ {m} - { boldsymbol {I}}] приблизительно { гидроразрыв {1} {2m}} [ {{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}) ^ {T} + { boldsymbol {I }} } ^ {m} - { boldsymbol {I}}] приблизительно { boldsymbol { varepsilon}} mathbf {e} _ {(m)} & = { frac {1} {2m }} ( mathbf {V} ^ {2m} - { boldsymbol {I}}) = { frac {1} {2m}} [({ boldsymbol {F}} { boldsymbol {F}} ^ { T}) ^ {m} - { boldsymbol {I}}] приблизительно { boldsymbol { varepsilon}} end {align}}}$

Геометрическое происхождение

Рис. 1. Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента.

Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента с размерами ${ displaystyle dx}$ к ${ displaystyle dy}$ (Рис. 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 мы имеем

${ displaystyle { begin {align} { overline {ab}} & = { sqrt { left (dx + { frac { partial u_ {x}} { partial x}} dx right) ^ {2 } + left ({ frac { partial u_ {y}} { partial x}} dx right) ^ {2}}} & = dx { sqrt {1 + 2 { frac { partial u_ {x}} { partial x}} + left ({ frac { partial u_ {x}} { partial x}} right) ^ {2} + left ({ frac { partial u_ {y}} { partial x}} right) ^ {2}}} конец {выровнено}}}$

Для очень малых градиентов смещения, т. Е. ${ Displaystyle | набла mathbf {и} | ll 1}$, у нас есть

${ displaystyle { overline {ab}} приблизительно dx + { frac { partial u_ {x}} { partial x}} dx}$

В нормальное напряжение в ${ displaystyle x}$-направление прямоугольного элемента определяется

${ displaystyle varepsilon _ {x} = { frac {{ overline {ab}} - { overline {AB}}} { overline {AB}}}}$

и зная, что ${ displaystyle { overline {AB}} = dx}$, у нас есть

${ displaystyle varepsilon _ {x} = { frac { partial u_ {x}} { partial x}}}$

Точно так же нормальная деформация в ${ displaystyle y}$-направление, и ${ displaystyle z}$-направление, становится

${ displaystyle varepsilon _ {y} = { frac { partial u_ {y}} { partial y}} quad, qquad varepsilon _ {z} = { frac { partial u_ {z}} { partial z}}}$

В инженерная деформация сдвига, или изменение угла между двумя исходно ортогональными линиями материала, в данном случае линия ${ displaystyle { overline {AC}}}$ и ${ displaystyle { overline {AB}}}$, определяется как

${ Displaystyle гамма _ {ху} = альфа + бета}$

Из геометрии рисунка 1 мы имеем

${ displaystyle tan alpha = { frac {{ dfrac { partial u_ {y}} { partial x}} dx} {dx + { dfrac { partial u_ {x}} { partial x}} dx}} = { frac { dfrac { partial u_ {y}} { partial x}} {1 + { dfrac { partial u_ {x}} { partial x}}}} quad, qquad tan beta = { frac {{ dfrac { partial u_ {x}} { partial y}} dy} {dy + { dfrac { partial u_ {y}} { partial y}} dy} } = { frac { dfrac { partial u_ {x}} { partial y}} {1 + { dfrac { partial u_ {y}} { partial y}}}}}$

Для небольших поворотов, т.е. ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ находятся ${ displaystyle ll 1}$ у нас есть

${ Displaystyle загар альфа приблизительно альфа четырехугольник, qquad загар бета приблизительно бета}$

и, опять же, для малых градиентов смещения имеем

${ displaystyle alpha = { frac { partial u_ {y}} { partial x}} quad, qquad beta = { frac { partial u_ {x}} { partial y}}}$

таким образом

${ displaystyle gamma _ {xy} = alpha + beta = { frac { partial u_ {y}} { partial x}} + { frac { partial u_ {x}} { partial y} }}$

Меняя местами ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle u_ {x}}$ и ${ displaystyle u_ {y}}$, можно показать, что ${ displaystyle gamma _ {xy} = gamma _ {yx}}$

Аналогично для ${ displaystyle y}$-${ displaystyle z}$ и ${ displaystyle x}$-${ displaystyle z}$ самолеты, у нас есть

${ displaystyle gamma _ {yz} = gamma _ {zy} = { frac { partial u_ {y}} { partial z}} + { frac { partial u_ {z}} { partial y }} quad, qquad gamma _ {zx} = gamma _ {xz} = { frac { partial u_ {z}} { partial x}} + { frac { partial u_ {x}} { partial z}}}$

Можно видеть, что компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть затем выражены с использованием определения инженерной деформации: ${ displaystyle gamma}$, так как

${ displaystyle left [{ begin {matrix} varepsilon _ {xx} & varepsilon _ {xy} & varepsilon _ {xz} varepsilon _ {yx} & varepsilon _ {yy} & varepsilon _ {yz} varepsilon _ {zx} & varepsilon _ {zy} & varepsilon _ {zz} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {xx} & gamma _ {xy} / 2 & gamma _ {xz} / 2 gamma _ {yx} / 2 & varepsilon _ {yy} & gamma _ {yz} / 2 gamma _ {zx} / 2 & gamma _ {zy} / 2 & varepsilon _ {zz} end {matrix}} right]}$

Физическая интерпретация

Из теория конечных деформаций у нас есть

${ displaystyle d mathbf {x} ^ {2} -d mathbf {X} ^ {2} = d mathbf {X} cdot 2 mathbf {E} cdot d mathbf {X} quad { text {или}} quad (dx) ^ {2} - (dX) ^ {2} = 2E_ {KL} , dX_ {K} , dX_ {L}}$

Для бесконечно малых деформаций имеем

${ displaystyle d mathbf {x} ^ {2} -d mathbf {X} ^ {2} = d mathbf {X} cdot 2 mathbf { boldsymbol { varepsilon}} cdot d mathbf { X} quad { text {или}} quad (dx) ^ {2} - (dX) ^ {2} = 2 varepsilon _ {KL} , dX_ {K} , dX_ {L}}$

Деление на ${ displaystyle (dX) ^ {2}}$ у нас есть

${ displaystyle { frac {dx-dX} {dX}} { frac {dx + dX} {dX}} = 2 varepsilon _ {ij} { frac {dX_ {i}} {dX}} { гидроразрыв {dX_ {j}} {dX}}}$

При малых деформациях считаем, что ${ Displaystyle dx приблизительно dX}$, таким образом, второй член левой части становится: ${ displaystyle { frac {dx + dX} {dX}} приблизительно 2}$.

Тогда у нас есть

${ displaystyle { frac {dx-dX} {dX}} = varepsilon _ {ij} N_ {i} N_ {j} = mathbf {N} cdot { boldsymbol { varepsilon}} cdot mathbf {N}}$

где ${ displaystyle N_ {i} = { frac {dX_ {i}} {dX}}}$, - единичный вектор в направлении ${ displaystyle d mathbf {X}}$, а выражение в левой части - это нормальное напряжение ${ Displaystyle е _ {( mathbf {N})}}$ в направлении ${ displaystyle mathbf {N}}$. Для частного случая ${ displaystyle mathbf {N}}$ в ${ displaystyle X_ {1}}$ направление, т.е. ${ Displaystyle mathbf {N} = mathbf {I} _ {1}}$, у нас есть

${ displaystyle e _ {( mathbf {I} _ {1})} = mathbf {I} _ {1} cdot { boldsymbol { varepsilon}} cdot mathbf {I} _ {1} = varepsilon _ {11}}$

Аналогично для ${ Displaystyle mathbf {N} = mathbf {I} _ {2}}$ и ${ Displaystyle mathbf {N} = mathbf {I} _ {3}}$ мы можем найти нормальные штаммы ${ displaystyle varepsilon _ {22}}$ и ${ displaystyle varepsilon _ {33}}$, соответственно. Следовательно, диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций являются нормальными деформациями в координатных направлениях.

Правила трансформации штамма

Если мы выберем ортонормированная система координат (${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$) мы можем записать тензор в терминах компонентов по отношению к этим базовым векторам как

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = sum _ {i = 1} ^ {3} sum _ {j = 1} ^ {3} varepsilon _ {ij} mathbf {e} _ {i } otimes mathbf {e} _ {j}}$

В матричной форме

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {12} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23} varepsilon _ {13} & varepsilon _ {23} & varepsilon _ {33} end {bmatrix}}}$

Мы можем легко выбрать другую ортонормированную систему координат (${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} _ {1}, { hat { mathbf {e}}} _ {2}, { hat { mathbf {e}}} _ {3} }$) вместо. В этом случае компоненты тензора разные, скажем

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = sum _ {i = 1} ^ {3} sum _ {j = 1} ^ {3} { hat { varepsilon}} _ {ij} { hat { mathbf {e}}} _ {i} otimes { hat { mathbf {e}}} _ {j} quad подразумевает quad { underline { underline { hat { boldsymbol { varepsilon}}}}} = { begin {bmatrix} { hat { varepsilon}} _ {11} & { hat { varepsilon}} _ {12} & { hat { varepsilon}} _ {13 } { hat { varepsilon}} _ {12} & { hat { varepsilon}} _ {22} & { hat { varepsilon}} _ {23} { hat { varepsilon} } _ {13} & { hat { varepsilon}} _ {23} & { hat { varepsilon}} _ {33} end {bmatrix}}}$

Компоненты деформации в двух системах координат связаны соотношением

${ Displaystyle { hat { varepsilon}} _ {ij} = ell _ {ip} ~ ell _ {jq} ~ varepsilon _ {pq}}$

где Соглашение о суммировании Эйнштейна для повторных индексов использовался и ${ displaystyle ell _ {ij} = { hat { mathbf {e}}} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j}}$. В матричной форме

${ displaystyle { underline { underline { hat { boldsymbol { varepsilon}}}}} = { underline { underline { mathbf {L}}}} ~ { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} ~ { underline { underline { mathbf {L}}}} ^ {T}}$

или

${ displaystyle { begin {bmatrix} { hat { varepsilon}} _ {11} & { hat { varepsilon}} _ {12} & { hat { varepsilon}} _ {13} { hat { varepsilon}} _ {21} & { hat { varepsilon}} _ {22} & { hat { varepsilon}} _ {23} { hat { varepsilon}} _ {31 } & { hat { varepsilon}} _ {32} & { hat { varepsilon}} _ {33} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} ell _ {11} & ell _ {12} & ell _ {13} ell _ {21} & ell _ {22} & ell _ {23} ell _ {31} & ell _ {32} & ell _ {33} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22 } & varepsilon _ {23} varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} ell _ {11} & ell _ {12} & ell _ {13} ell _ {21} & ell _ {22} & ell _ {23} ell _ {31} & ell _ {32} & ell _ {33} end {bmatrix}} ^ {T}}$

Инварианты деформации

Некоторые операции с тензором деформации дают тот же результат независимо от того, какая ортонормированная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инварианты деформации. Наиболее часто используемые инварианты деформации:

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} & = mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}}) I_ {2} & = { tfrac {1} {2}} { [ mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}})] ^ {2} - mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}} ^ {2}) } I_ {3} & = det ({ boldsymbol { varepsilon}}) end {align}}}$

Что касается компонентов

${ displaystyle { begin {align} I_ {1} & = varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} I_ {2} & = varepsilon _ {12} ^ {2} + varepsilon _ {23} ^ {2} + varepsilon _ {31} ^ {2} - varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} - varepsilon _ {22} varepsilon _ {33 } - varepsilon _ {33} varepsilon _ {11} I_ {3} & = varepsilon _ {11} ( varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} - varepsilon _ {23} ^ { 2}) - varepsilon _ {12} ( varepsilon _ {11} varepsilon _ {33} - varepsilon _ {23} varepsilon _ {31}) + varepsilon _ {13} ( varepsilon _ {21 } varepsilon _ {32} - varepsilon _ {22} varepsilon _ {31}) end {align}}}$

Основные штаммы

Можно показать, что можно найти систему координат (${ displaystyle mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, mathbf {n} _ {3}}$), в котором компоненты тензора деформаций равны

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} & 0 & 0 0 & varepsilon _ {2} & 0 0 & 0 & varepsilon _ { 3} end {bmatrix}} quad implies quad { boldsymbol { varepsilon}} = varepsilon _ {1} mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + varepsilon _ {2} mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + varepsilon _ {3} mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}}$

Компоненты тензора деформаций в (${ displaystyle mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, mathbf {n} _ {3}}$) системы координат называются основные штаммы и направления ${ Displaystyle mathbf {п} _ {я}}$ называются направлениями основной деформации. Поскольку в этой системе координат нет компонентов деформации сдвига, главные деформации представляют собой максимальное и минимальное растяжения элементарного объема.

Если нам заданы компоненты тензора деформаций в произвольной ортонормированной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение на собственные значения определяется решением системы уравнений

${ displaystyle ({ underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} - varepsilon _ {i} ~ { underline { underline { mathbf {I}}}}) ~ mathbf {n} _ {i} = { underline { mathbf {0}}}}$

Эта система уравнений эквивалентна нахождению вектора ${ Displaystyle mathbf {п} _ {я}}$ вдоль которого тензор деформации становится чистым растяжением без компоненты сдвига.

Объемная деформация

В расширение (относительное изменение объема) - след тензора:

${ displaystyle delta = { frac { Delta V} {V_ {0}}} = varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33}}$

На самом деле, если рассматривать куб с длиной ребра а, это квазикуб после деформации (изменение углов не меняет объем) с размерами ${ displaystyle a cdot (1+ varepsilon _ {11}) times a cdot (1+ varepsilon _ {22}) times a cdot (1+ varepsilon _ {33})}$ и V₀ = а³, таким образом

${ displaystyle { frac { Delta V} {V_ {0}}} = { frac { left (1+ varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} + varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {22} + varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {33} + varepsilon _ {22} cdot varepsilon _ {33} + varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {22} cdot varepsilon _ {33} right) cdot a ^ {3} -a ^ {3}} {a ^ {3}}}}$

поскольку мы рассматриваем небольшие деформации,

${ displaystyle 1 gg varepsilon _ {ii} gg varepsilon _ {ii} cdot varepsilon _ {jj} gg varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {22} cdot varepsilon _ { 33}}$

поэтому формула.

Реальное изменение объема (вверху) и приблизительное (внизу): зеленый рисунок показывает расчетный объем, оранжевый рисунок - неучтенный объем

В случае чистого сдвига мы видим, что объем не изменяется.

Тензор девиатора деформации

Тензор бесконечно малых деформаций ${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$, аналогично Тензор напряжений Коши, можно выразить как сумму двух других тензоров:

1. а тензор средней деформации или тензор объемной деформации или тензор сферической деформации, ${ displaystyle varepsilon _ {M} delta _ {ij}}$, связанные с расширением или изменением объема; и
2. девиаторный компонент, называемый тензор девиатора деформации, ${ displaystyle varepsilon '_ {ij}}$, связанных с искажением.

${ displaystyle varepsilon _ {ij} = varepsilon '_ {ij} + varepsilon _ {M} delta _ {ij}}$

где ${ displaystyle varepsilon _ {M}}$ средняя деформация, определяемая

${ displaystyle varepsilon _ {M} = { frac { varepsilon _ {kk}} {3}} = { frac { varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} } {3}} = { tfrac {1} {3}} I_ {1} ^ {e}}$

Тензор девиаторных деформаций может быть получен путем вычитания тензора средней деформации из тензора бесконечно малых деформаций:

${ displaystyle { begin {align} varepsilon '_ {ij} & = varepsilon _ {ij} - { frac { varepsilon _ {kk}} {3}} delta _ {ij} left [{ begin {matrix} varepsilon '_ {11} & varepsilon' _ {12} & varepsilon '_ {13} varepsilon' _ {21} & varepsilon '_ {22} & varepsilon '_ {23} varepsilon' _ {31} & varepsilon '_ {32} & varepsilon' _ {33} end {matrix}} right] & = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23} varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {matrix}} right] - left [{ begin {matrix} varepsilon _ {M} & 0 & 0 0 & varepsilon _ {M} & 0 0 & 0 & varepsilon _ {M} end {matrix}} right] & = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {11} - varepsilon _ {M } & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} - varepsilon _ {M} & varepsilon _ {23} varepsilon _ { 31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} - varepsilon _ {M} end {matrix}} right] конец {выровнено}}}$

Октаэдрические деформации

Позволять (${ displaystyle mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, mathbf {n} _ {3}}$) - направления трех основных деформаций. An октаэдрическая плоскость - это тот, нормаль которого составляет равные углы с тремя главными направлениями. Инженерия деформация сдвига на октаэдрической плоскости называется октаэдрическая деформация сдвига и дается

${ displaystyle gamma _ { mathrm {oct}} = { tfrac {2} {3}} { sqrt {( varepsilon _ {1} - varepsilon _ {2}) ^ {2} + ( varepsilon _ {2} - varepsilon _ {3}) ^ {2} + ( varepsilon _ {3} - varepsilon _ {1}) ^ {2}}}}$

где ${ displaystyle varepsilon _ {1}, varepsilon _ {2}, varepsilon _ {3}}$ основные штаммы.^{[нужна цитата ]}

В нормальное напряжение на октаэдрической плоскости определяется выражением

${ displaystyle varepsilon _ { mathrm {oct}} = { tfrac {1} {3}} ( varepsilon _ {1} + varepsilon _ {2} + varepsilon _ {3})}$^{[нужна цитата ]}

Эквивалентная деформация

Скалярная величина, называемая эквивалентная деформация, или фон Мизес эквивалентная деформация, часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. В литературе можно найти несколько определений эквивалентной деформации. Определение, которое обычно используется в литературе по пластичность является

${ displaystyle varepsilon _ { mathrm {eq}} = { sqrt {{ tfrac {2} {3}} { boldsymbol { varepsilon}} ^ { mathrm {dev}}: { boldsymbol { varepsilon}} ^ { mathrm {dev}}} = { sqrt {{ tfrac {2} {3}} varepsilon _ {ij} ^ { mathrm {dev}} varepsilon _ {ij} ^ { mathrm {dev}}} ~; ~~ { boldsymbol { varepsilon}} ^ { mathrm {dev}} = { boldsymbol { varepsilon}} - { tfrac {1} {3}} mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}}) ~ { boldsymbol {I}}}$

Эта величина является работой, сопряженной с эквивалентным напряжением, определяемым как

${ displaystyle sigma _ { mathrm {eq}} = { sqrt {{ tfrac {3} {2}} { boldsymbol { sigma}} ^ { mathrm {dev}}: { boldsymbol { сигма}} ^ { mathrm {dev}}}}}$

Уравнения совместимости

Для предписанных компонентов деформации ${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$ уравнение тензора деформации ${ displaystyle u_ {i, j} + u_ {j, i} = 2 varepsilon _ {ij}}$ представляет собой систему из шести дифференциальных уравнений для определения трех составляющих перемещений ${ displaystyle u_ {i}}$, давая чрезмерно детерминированную систему. Таким образом, решения для произвольного выбора компонентов деформации обычно не существует. Поэтому некоторые ограничения, названные уравнения совместимости, накладываются на компоненты деформации. С добавлением трех уравнений совместимости количество независимых уравнений сокращается до трех, что соответствует количеству неизвестных компонентов смещения. Эти ограничения на тензор деформации были обнаружены Сен-Венан, и называются "Уравнения совместимости Сен-Венана ".

Функции совместимости служат для обеспечения однозначной непрерывной функции смещения ${ displaystyle u_ {i}}$. Если упругая среда визуализируется как набор бесконечно малых кубиков в недеформированном состоянии, после того, как среда деформирована, произвольный тензор деформации может не привести к ситуации, в которой искаженные кубы все еще подходят друг к другу без перекрытия.

В индексной записи уравнения совместимости выражаются как

${ displaystyle varepsilon _ {ij, km} + varepsilon _ {km, ij} - varepsilon _ {ik, jm} - varepsilon _ {jm, ik} = 0}$

Инженерная нотация

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} epsilon _ {x}} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} epsilon _ {y}} { частичный x ^ {2}}} = 2 { frac { partial ^ {2} epsilon _ {xy}} { partial x partial y}}}$ ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} epsilon _ {y}} { partial z ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} epsilon _ {z}} { частичный y ^ {2}}} = 2 { frac { partial ^ {2} epsilon _ {yz}} { partial y partial z}}}$ ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} epsilon _ {x}} { partial z ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} epsilon _ {z}} { частичный x ^ {2}}} = 2 { frac { partial ^ {2} epsilon _ {zx}} { partial z partial x}}}$ ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} epsilon _ {x}} { partial y partial z}} = { frac { partial} { partial x}} left (- { frac { partial epsilon _ {yz}} { partial x}} + { frac { partial epsilon _ {zx}} { partial y}} + { frac { partial epsilon _ {xy}} { partial z}} right)}$ ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} epsilon _ {y}} { partial z partial x}} = { frac { partial} { partial y}} left ({ frac { partial epsilon _ {yz}} { partial x}} - { frac { partial epsilon _ {zx}} { partial y}} + { frac { partial epsilon _ {xy}} { partial z}} right)}$ ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} epsilon _ {z}} { partial x partial y}} = { frac { partial} { partial z}} left ({ frac { partial epsilon _ {yz}} { partial x}} + { frac { partial epsilon _ {zx}} { partial y}} - { frac { partial epsilon _ {xy}} { partial z}} right)}$

Особые случаи

Деформация самолета

Плоское деформированное состояние в континууме.

В реальных инженерных компонентах, стресс (и деформация) 3-D тензоры но в призматических конструкциях, таких как длинная металлическая заготовка, длина конструкции намного больше двух других размеров. Деформации, связанные с длиной, т.е. нормальная деформация ${ displaystyle varepsilon _ {33}}$ и деформации сдвига ${ displaystyle varepsilon _ {13}}$ и ${ displaystyle varepsilon _ {23}}$ (если длина в 3 направлениях) ограничены близлежащим материалом и малы по сравнению с поперечные деформации. В таком случае плоская деформация является приемлемым приближением. В тензор деформации для плоской деформации записывается как:

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & 0 varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$

в котором двойное подчеркивание указывает на второй порядок тензор. Это деформированное состояние называется плоская деформация. Соответствующий тензор напряжений:

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { sigma}}}} = { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & 0 sigma _ {21} & сигма _ {22} & 0 0 & 0 & sigma _ {33} end {bmatrix}}}$

в котором ненулевой ${ displaystyle sigma _ {33}}$ необходимо для поддержания ограничения ${ displaystyle epsilon _ {33} = 0}$. Этот член напряжения может быть временно удален из анализа, чтобы оставить только плоские члены, эффективно уменьшая трехмерную проблему до гораздо более простой двумерной задачи.

Антиплоскостное напряжение

Антиплоская деформация - это еще одно особое состояние деформации, которое может возникнуть в теле, например, в области, близкой к винтовая дислокация. В тензор деформации для антиплоскостной деформации определяется выражением

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & varepsilon _ {13} 0 & 0 & varepsilon _ {23} varepsilon _ {13} & varepsilon _ {23} & 0 end {bmatrix}}}$

Тензор бесконечно малого вращения

Тензор бесконечно малых деформаций определяется как

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u }) ^ {T}]}$

Следовательно, градиент смещения может быть выражен как

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { boldsymbol { varepsilon}} + { boldsymbol { omega}}}$

где

${ displaystyle { boldsymbol { omega}}: = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} - ({ boldsymbol { nabla}} mathbf { u}) ^ {T}]}$

Количество ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ это тензор бесконечно малого вращения. Этот тензор кососимметричный. Для бесконечно малых деформаций скалярные компоненты ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ удовлетворять условию ${ displaystyle | omega _ {ij} | ll 1}$. Обратите внимание, что градиент смещения невелик, только если обе тензор деформации и тензор вращения бесконечно малы.

Осевой вектор

Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимых скалярных компонента. Эти три компонента используются для определения осевой вектор, ${ displaystyle mathbf {w}}$, следующее

${ displaystyle omega _ {ij} = - epsilon _ {ijk} ~ w_ {k} ~; ~~ w_ {i} = - { tfrac {1} {2}} ~ epsilon _ {ijk} ~ omega _ {jk}}$

где ${ displaystyle epsilon _ {ijk}}$ это символ перестановки. В матричной форме

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { omega}}}} = { begin {bmatrix} 0 & -w_ {3} & w_ {2} w_ {3} & 0 & -w_ {1} -w_ {2} & w_ {1} & 0 end {bmatrix}} ~; ~~ { underline { mathbf {w}}} = { begin {bmatrix} w_ {1} w_ {2} ш_ {3} end {bmatrix}}}$

Осевой вектор также называют бесконечно малый вектор вращения. Вектор вращения связан с градиентом смещения соотношением

${ displaystyle mathbf {w} = { tfrac {1} {2}} ~ { boldsymbol { nabla}} times mathbf {u}}$

В индексной записи

${ displaystyle w_ {i} = { tfrac {1} {2}} ~ epsilon _ {ijk} ~ u_ {k, j}}$

Если ${ displaystyle lVert { boldsymbol { omega}} rVert ll 1}$ и ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { boldsymbol {0}}}$ тогда материал приблизительно вращается твердым телом на величину ${ displaystyle | mathbf {w} |}$ вокруг вектора ${ displaystyle mathbf {w}}$.

Связь тензора деформации и вектора вращения

Учитывая непрерывное однозначное поле смещения ${ displaystyle mathbf {u}}$ и соответствующий тензор бесконечно малых деформаций ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$, мы имеем (см. Тензорная производная (механика сплошной среды) )

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = e_ {ijk} ~ varepsilon _ {lj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf { e} _ {l} = { tfrac {1} {2}} ~ e_ {ijk} ~ [u_ {l, ji} + u_ {j, li}] ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {l}}$

Поскольку изменение порядка дифференцирования не меняет результата, ${ displaystyle u_ {l, ji} = u_ {l, ij}}$. Следовательно

${ displaystyle , e_ {ijk} u_ {l, ji} = (e_ {12k} + e_ {21k}) u_ {l, 12} + (e_ {13k} + e_ {31k}) u_ {l, 13 } + (e_ {23k} + e_ {32k}) u_ {l, 32} = 0}$

Также

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} ~ e_ {ijk} ~ u_ {j, li} = left ({ tfrac {1} {2}} ~ e_ {ijk} ~ u_ {j, i) } right) _ {, l} = left ({ tfrac {1} {2}} ~ e_ {kij} ~ u_ {j, i} right) _ {, l} = w_ {k, l} }$

Следовательно

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = w_ {k, l} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {l} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {w}}$

Связь между тензором вращения и вектором вращения

От важной идентичности относительно локон тензора мы знаем, что для непрерывного однозначного поля смещения ${ displaystyle mathbf {u}}$,

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}) = { boldsymbol {0}}.}$

С ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { boldsymbol { varepsilon}} + { boldsymbol { omega}}}$ у нас есть${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { omega}} = - { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = - { boldsymbol { nabla} } mathbf {w}.}$

Тензор деформации в цилиндрических координатах

В цилиндрические полярные координаты (${ displaystyle r, theta, z}$) вектор смещения можно записать как

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {r} ~ mathbf {e} _ {r} + u _ { theta} ~ mathbf {e} _ { theta} + u_ {z} ~ mathbf {e } _ {z}}$

Компоненты тензора деформации в цилиндрической системе координат задаются выражением:^[2]${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ {rr} & = { cfrac { partial u_ {r}} { partial r}} varepsilon _ { theta theta} & = { cfrac {1} {r}} left ({ cfrac { partial u _ { theta}} { partial theta}} + u_ {r} right) varepsilon _ {zz} & = { cfrac { partial u_ {z}} { partial z}} varepsilon _ {r theta} & = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac {1} {r}} { cfrac { partial u_ {r}} { partial theta}} + { cfrac { partial u _ { theta}} { partial r}} - { cfrac {u _ { theta}} {r} } right) varepsilon _ { theta z} & = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac { partial u _ { theta}} { partial z}} + { cfrac {1} {r}} { cfrac { partial u_ {z}} { partial theta}} right) varepsilon _ {zr} & = { cfrac {1} {2}} слева ({ cfrac { partial u_ {r}} { partial z}} + { cfrac { partial u_ {z}} { partial r}} right) end {выравнивается}}}$

Тензор деформации в сферических координатах

В сферические координаты (${ displaystyle r, theta, phi}$) вектор смещения можно записать как

Сферические координаты (р, θ, φ) как обычно используется в физика: радиальное расстояние р, полярный угол θ (тета ) и азимутальный угол φ (фи ). Символ ρ (ро ) часто используется вместо р.

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {r} ~ mathbf {e} _ {r} + u _ { theta} ~ mathbf {e} _ { theta} + u _ { phi} ~ mathbf { е} _ { phi}}$

Компоненты тензора деформации в сферической системе координат задаются выражениями ^[2]

${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ {rr} & = { cfrac { partial u_ {r}} { partial r}} varepsilon _ { theta theta} & = { cfrac {1} {r}} left ({ cfrac { partial u _ { theta}} { partial theta}} + u_ {r} right) varepsilon _ { phi phi} & = { cfrac {1} {r sin theta}} left ({ cfrac { partial u _ { phi}} { partial phi}} + u_ {r} sin theta + u _ { theta } cos theta right) varepsilon _ {r theta} & = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac {1} {r}} { cfrac { partial u_ {r}} { partial theta}} + { cfrac { partial u _ { theta}} { partial r}} - { cfrac {u _ { theta}} {r}} right) varepsilon _ { theta phi} & = { cfrac {1} {2r}} left ({ cfrac {1} { sin theta}} { cfrac { partial u _ { theta}} { partial phi}} + { cfrac { partial u _ { phi}} { partial theta}} - u _ { phi} cot theta right) varepsilon _ { phi r} & = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac {1} {r sin theta}} { cfrac { partial u_ {r}} { partial phi}} + { cfrac { partial u _ { phi}} { partial r}} - { cfrac {u _ { phi}} {r}} right) end {выравнивается}}}$