В производные из скаляры, векторов, и второго порядка тензоры относительно тензоров второго порядка, широко используются в механика сплошной среды. Эти производные используются в теориях нелинейная упругость и пластичность, особенно в дизайне алгоритмы за численное моделирование.[1]
В производная по направлению обеспечивает систематический способ поиска этих производных.[2]
Производные по векторам и тензорам второго порядка
Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.
Производные скалярных функций векторов
Позволять ж(v) - вещественная функция вектора v. Тогда производная от ж(v) относительно v (или в v) это вектор определяется через его скалярное произведение с любым вектором ты существование
![{displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Df (mathbf {v}) [mathbf {u}] = left [{frac {m {d}} {{m { d}} alpha}} ~ f (mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) ight] _ {alpha = 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd4359c84cf58e41375f33503df17f688456372)
для всех векторов ты. Приведенное выше скалярное произведение дает скаляр, и если ты единичный вектор дает производную по направлению от ж в v, в ты направление.
Характеристики:
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial mathbf {v}}} + {frac {partial f_ {2}) } {частичный mathbf {v}}} ight) cdot mathbf {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221865d459bb1d6d99ac9ab83b02e247a1b062fa)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight) ~ f_) {2} (mathbf {v}) + f_ {1} (mathbf {v}) ~ left ({frac {partial f_ {2}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a07f548343fd7ff04f2262a01e2727f37657296)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = {frac {partial f_ {1}} {partial f_ {2}}} ~ {frac {partial f_ {2}} { частичный mathbf {v}}} cdot mathbf {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c5e4e049986c9ec1c5038d1a2c279ac08bd71f)
Производные векторных функций векторов
Позволять ж(v) - вектор-функция вектора v. Тогда производная от ж(v) относительно v (или в v) это тензор второго порядка определяется через его скалярное произведение с любым вектором ты существование
![{displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = Dmathbf {f} (mathbf {v}) [mathbf {u}] = left [{frac {m {d }} {{m {d}} alpha}} ~ mathbf {f} (mathbf {v} + alpha ~ mathbf {u}) ight] _ {alpha = 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b946f4d0b2712f1f6b890f4b5b45a2bb70b7c7)
для всех векторов ты. Приведенное выше скалярное произведение дает вектор, и если ты - единичный вектор дает производную по направлению от ж в v, в направленном ты.
Характеристики:
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial mathbf {f} _ {1}} {partial mathbf {v}}}} + { frac {частичный mathbf {f} _ {2}} {частичный mathbf {v}}} ight) cdot mathbf {u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13116a787772e727decf9f0a31fbed6b9938e734)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = left ({frac {partial mathbf {f} _ {1}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf) {u} ight) imes mathbf {f} _ {2} (mathbf {v}) + mathbf {f} _ {1} (mathbf {v}) Время осталось ({frac {partial mathbf {f} _ {2} } {частичный mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347bcee762592ff7528bc1eb4ec7d9ff33c93478)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial mathbf {f}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} = {frac {partial mathbf {f} _ {1}} {partial mathbf {f} _ {2}}} cdot left ({frac {partial mathbf {f} _ {2}} {partial mathbf {v}}} cdot mathbf {u} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b760c79e93957eb395bcd78736fd758412807bf7)
Производные скалярных функций от тензоров второго порядка
Позволять
- вещественная функция тензора второго порядка
. Тогда производная от
относительно
(или в
) в направлении
это тензор второго порядка определяется как
![{displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = Df ({oldsymbol {S}}) [{oldsymbol {T}}] = left [{frac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ f ({oldsymbol {S}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) ight] _ {alpha = 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97c637955623ac4900c4f80d6ea1bdef354076a)
для всех тензоров второго порядка
.
Характеристики:
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial {oldsymbol {S}}}}} + {frac {partial f_ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}} ight): {oldsymbol {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80ae884e5b40ff5feb9bd89ce0b49e100fcc9c6)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial f_ {1}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} ight) ~ f_ {2} ({oldsymbol {S}}) + f_ {1} ({oldsymbol {S}}) ~ left ({frac {partial f_ {2}} {partial {oldsymbol {S}) }}}}: {oldsymbol {T}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a735bcfc0dc70335a58203e7d58cd5d6dbd23ef0)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {partial f_ {1}} {partial f_ {2}}} ~ left ({frac {partial f_ {2}} {частично {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f849d49feb1fbc89007ee662fd6bcfe660b9b2)
Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка
Позволять
- тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка
. Тогда производная от
относительно
(или в
) в направлении
это тензор четвертого порядка определяется как
![{displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = D {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}}) [{oldsymbol { T}}] = left [{frac {m {d}} {{m {d}} alpha}} ~ {oldsymbol {F}} ({oldsymbol {S}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) полет ] _ {альфа = 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c53f2457fa27a03ca72cbd48debb1255593088)
для всех тензоров второго порядка
.
Характеристики:
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {1}} {partial) {oldsymbol {S}}}} + {frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}} ight): {oldsymbol {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c68726b7b7879bf560d7f637c777a813968d8f)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {1}} {partial) {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight) cdot {oldsymbol {F}} _ {2} ({oldsymbol {S}}) + {oldsymbol {F}} _ {1} ({oldsymbol {S}}) cdot left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66de189ba837e8065b9d62e9cbeca860799539a)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {partial {oldsymbol {F}} _ {1}} {partial {oldsymbol] {F}} _ {2}}}: слева ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014764627c4faaf226775bdda04eb8a754cca485)
- Если
тогда ![{displaystyle {frac {partial f} {partial {oldsymbol {S}}}}}: {oldsymbol {T}} = {frac {partial f_ {1}} {partial {oldsymbol {F}} _ {2}}}: left ({frac {partial {oldsymbol {F}} _ {2}} {partial {oldsymbol {S}}}}: {oldsymbol {T}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6aa594e7b39a9ddb3af5a6f89b2cfa6c6b90638)
Градиент тензорного поля
В градиент,
тензорного поля
в направлении произвольного постоянного вектора c определяется как:
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} cdot mathbf {c} = lim _ {alpha ightarrow 0} quad {cfrac {d} {dalpha}} ~ {oldsymbol {T}} (mathbf {x} + альфа mathbf {c})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b210aff010bab1b14c5473eb78955e129b068f0d)
Градиент тензорного поля порядка п тензорное поле порядка п+1.
Декартовы координаты
- Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.
Если
являются базисными векторами в Декартова координата системы, координаты точек которой обозначены (
), то градиент тензорного поля
дан кем-то
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} = {cfrac {partial {oldsymbol {T}}} {partial x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd07fb2a2b484c1a0787bc684ae8cee3b9dfde03)
Поскольку базисные векторы не меняются в декартовой системе координат, мы имеем следующие соотношения для градиентов скалярного поля
, векторное поле v, и тензорное поле второго порядка
.
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} phi & = {cfrac {partial phi} {partial x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {i} = phi _ {, i} ~ mathbf {e } _ {i} {oldsymbol {abla}} mathbf {v} & = {cfrac {partial (v_ {j} mathbf {e} _ {j})} {partial x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i} = {cfrac {partial v_ {j}} {partial x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {i} = v_ {j, i} ~ mathbf { e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {i} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} & = {cfrac {partial (S_ {jk} mathbf {e} _ {j} otimes mathbf { e} _ {k})} {частично x_ {i}}} otimes mathbf {e} _ {i} = {cfrac {partial S_ {jk}} {частично x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ { j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {i} = S_ {jk, i} ~ mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {i} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd052b2bf8d234ba679c19d7a90d8e8fc31adb43)
Криволинейные координаты
- Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.
Если
являются контравариантный базисные векторы в криволинейная координата системы, координаты точек которой обозначены (
), то градиент тензорного поля
дается (см. [3] для доказательства.)
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {T}} = {frac {partial {oldsymbol {T}}} {partial xi ^ {i}}} otimes mathbf {g} ^ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d581709036157ac30b3ad599b5f390fd4eb8f6d)
Из этого определения получаем следующие соотношения для градиентов скалярного поля
, векторное поле v, и тензорное поле второго порядка
.
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} phi & = {frac {partial phi} {partial xi ^ {i}}} ~ mathbf {g} ^ {i} {oldsymbol {abla}} mathbf {v } & = {frac {partial left (v ^ {j} mathbf {g} _ {j} ight)} {partial xi ^ {i}}} иногда mathbf {g} ^ {i} = left ({frac {partial v ^ {j}} {частично xi ^ {i}}} + v ^ {k} ~ Gamma _ {ik} ^ {j} ight) ~ mathbf {g} _ {j} otimes mathbf {g} ^ {i } = left ({frac {partial v_ {j}} {partial xi ^ {i}}} - v_ {k} ~ Gamma _ {ij} ^ {k} ight) ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {i} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} & = {frac {partial left (S_ {jk} ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {k}) ight)} {частично xi ^ {i}}} otimes mathbf {g} ^ {i} = left ({frac {partial S_ {jk}} {partial xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ Gamma _ {ij} ^ {l} -S_ {jl} ~ Gamma _ {ik} ^ {l} ight) ~ mathbf {g} ^ {j} otimes mathbf {g} ^ {k} otimes mathbf {g} ^ {i } конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284609d0d4782e9f9df30ae68f4fec0ba27eec6f)
где Символ Кристоффеля
определяется с использованием
![{displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k} ~ mathbf {g} _ {k} = {frac {partial mathbf {g} _ {i}} {partial xi ^ {j}}} quad подразумевает quad Gamma _ {ij } ^ {k} = {frac {partial mathbf {g} _ {i}} {partial xi ^ {j}}} cdot mathbf {g} ^ {k} = - mathbf {g} _ {i} cdot {frac {частичное mathbf {g} ^ {k}} {частичное xi ^ {j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1a606be1afd0c19a47f4982b777ea9b7e935be)
Цилиндрические полярные координаты
В цилиндрические координаты, градиент определяется выражением
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} phi = {} quad & {frac {partial phi} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} ~ {frac {partial phi} {partial heta}} ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {partial phi} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} {oldsymbol {abla}} mathbf { v} = {} quad & {frac {partial v_ {r}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial v_ {heta}} { частичный r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} + {frac {partial v_ {z}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e } _ {z} {} + {} & {frac {1} {r}} left ({frac {partial v_ {r}} {partial heta}} - v_ {heta} ight) ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} left ({frac {partial v_ {heta}} {partial heta}} + v_ {r} ight) ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {r}} {frac {partial v_ {z}} {partial heta}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e } _ {z} {} + {} & {frac {partial v_ {r}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial v_ {heta}} {частичное z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} + {fr ac {partial v_ {z}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}} = {} quad & { frac {partial S_ {rr}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {rr}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ { rr}} {partial heta}} - (S_ {heta r} + S_ {r heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta } {} + {} & {frac {partial S_ {r heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {r heta}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} { r}} left [{frac {partial S_ {r heta}} {partial heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {rz}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z } otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {rz}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} otimes math bf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {rz}} {partial heta}} - S_ {heta z} ight ] ~ mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {heta r}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {heta r}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ { heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta r}} {partial heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {heta heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {heta heta}} { частичный z}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta heta}} {partial heta}} + (S_ {r heta} + S_ {heta r}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta } {} + {} & {frac {partial S_ {heta z}} {pa rtial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {heta z}} {partial z}} ~ mathbf { e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta z}} {partial heta} } + S_ {rz} ight] ~ mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {частичный S_ {zr} } {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {zr}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {zr}} {partial heta} } -S_ {z heta} ight] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {r} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {частичный S_ {z heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {z heta}} {partial z} } ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {z} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {z heta}} {partial heta}} + S_ {zr} ight] ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} otimes mathbf {e} _ {heta} {} + {} & {frac {partial S_ {zz}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf { e} _ {r} + {frac {partial S_ {zz}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} + { frac {1} {r}} ~ {frac {partial S_ {zz}} {partial heta}} ~ mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {z} otimes mathbf {e} _ {heta} конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac8a7176f71ff5f55be4fb2abe9bfa6df0eba71)
Дивергенция тензорного поля
В расхождение тензорного поля
определяется с помощью рекурсивного отношения
![{displaystyle ({oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {T}}) cdot mathbf {c} = {oldsymbol {abla}} cdot left (mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}} ^ {extsf {T}} ight) ~; qquad {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} = {ext {tr}} ({oldsymbol {abla}} mathbf {v})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ac723a4297c25b9e44f1155ac1e03db335b4d)
куда c - произвольный постоянный вектор и v - векторное поле. Если
тензорное поле порядка п > 1, то дивергенция поля есть тензор порядка п− 1.
Декартовы координаты
- Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.
В декартовой системе координат имеем следующие соотношения для векторного поля v и тензорное поле второго порядка
.
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} & = {frac {partial v_ {i}} {partial x_ {i}}}} = v_ {i, i} {oldsymbol {abla} } cdot {oldsymbol {S}} & = {frac {partial S_ {ki}} {partial x_ {k}}} ~ mathbf {e} _ {i} = S_ {ki, k} ~ mathbf {e} _ { i} конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e6d233314d7db26548f121126c3430a0eda966)
куда обозначение тензорного индекса для частных производных используется в крайних правых выражениях. Последнее соотношение можно найти в ссылке [4] при соотношении (1.14.13).
Согласно той же статье в случае тензорного поля второго порядка:
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} eq operatorname {div} {oldsymbol {S}} = {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} ^ {extsf {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271f2709a620fc2e92cd382cd475350021b0bd4d)
Важно отметить, что существуют другие письменные соглашения о расходимости тензора второго порядка. Например, в декартовой системе координат расходимость тензора второго ранга также может быть записана как[5]
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} & = {cfrac {partial S_ {ki}} {partial x_ {i}}} ~ mathbf {e} _ {k} = S_ {ki, i} ~ mathbf {e} _ {k} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66213dfbe861baba83ddda67133db3c5050c5cba)
Разница заключается в том, выполняется ли дифференцирование по строкам или столбцам
, и является обычным. Это демонстрируется на примере. В декартовой системе координат тензор (матрица) второго порядка
градиент вектор-функции
.
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) & = {oldsymbol {abla}} cdot left (v_ {i, j} ~ mathbf {e}) _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {i, ji} ~ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} = left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight) _ {, j} ~ mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} left ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight ) {oldsymbol {abla}} cdot left [left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) ^ {extsf {T}} ight] & = {oldsymbol {abla}} cdot left (v_ {j, i } ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {j, ii} ~ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e } _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} v_ {j} ~ mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} mathbf {v} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864380cd0a82178354a80ee58109fc0519c149ba)
Последнее уравнение эквивалентно альтернативному определению / интерпретации[5]
![{displaystyle {egin {align} left ({oldsymbol {abla}} cdot ight) _ {ext {alt}} left ({oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) = left ({oldsymbol {abla}} cdot ight) ) _ {ext {alt}} left (v_ {i, j} ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ight) = v_ {i, jj} ~ mathbf {e} _ { i} otimes mathbf {e} _ {j} cdot mathbf {e} _ {j} = {oldsymbol {abla}} ^ {2} v_ {i} ~ mathbf {e} _ {i} = {oldsymbol {abla} } ^ {2} mathbf {v} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e1372be3d67155d8025b9e587e0d8a173d3972)
Криволинейные координаты
- Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.
В криволинейных координатах расходимости векторного поля v и тензорное поле второго порядка
находятся
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} & = left ({cfrac {partial v ^ {i}} {partial xi ^ {i}}}} + v ^ {k} ~ Gamma _ {ik} ^ {i} ight) {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} & = left ({cfrac {partial S_ {ik}} {partial xi _ {i}}} - S_ {lk} ~ Gamma _ {ii} ^ {l} -S_ {il} ~ Gamma _ {ik} ^ {l} ight) ~ mathbf {g} ^ {k} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9658eca90a82157c6955ba24cd113e2731598b)
Цилиндрические полярные координаты
В цилиндрические полярные координаты
![{displaystyle {egin {align} {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} = quad & {frac {partial v_ {r}} {partial r}} + {frac {1} {r}} left ({frac { partial v_ {heta}} {partial heta}} + v_ {r} ight) + {frac {partial v_ {z}} {partial z}} {oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {S}} = quad & {frac {partial S_ {rr}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {r heta}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {heta} + { frac {partial S_ {rz}} {partial r}} ~ mathbf {e} _ {z} {} + {} & {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta r}}] {partial heta}} + (S_ {rr} -S_ {heta heta}) ight] ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta heta} } {partial heta}} + (S_ {r heta} + S_ {heta r}) ight] ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {1} {r}} left [{frac {partial S_ {heta} z}} {partial heta}} + S_ {rz} ight] ~ mathbf {e} _ {z} {} + {} & {frac {partial S_ {zr}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {r} + {frac {partial S_ {z heta}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {heta} + {frac {partial S_ {zz}} {partial z}} ~ mathbf {e} _ {z} конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cd23836a8e6cc12150592c3964d95d6a3f94e9)
Ротор тензорного поля
В завиток порядкап > 1 тензорное поле
также определяется с помощью рекурсивного отношения
![(oldsymbol {abla} imes oldsymbol {T}) cdotmathbf {c} = oldsymbol {abla} imes (mathbf {c} cdot oldsymbol {T}) ~; qquad (oldsymbol {abla} imesmathbf {v}) cdotmathbf {c} oldsymbol {abla} cdot (mathbf {v} imesmathbf {c})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6327cde39358ab90f0762deac6c57ebb55d08872)
куда c - произвольный постоянный вектор и v - векторное поле.
Ротор тензорного (векторного) поля первого порядка
Рассмотрим векторное поле v и произвольный постоянный вектор c. В индексных обозначениях перекрестное произведение дается выражением
![{displaystyle mathbf {v} imes mathbf {c} = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j} ~ c_ {k} ~ mathbf {e} _ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66dbe739040d8ef0d80f4f2632df9597f7d39ce)
куда
это символ перестановки, иначе известный как символ Леви-Чивита. Потом,
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} imes mathbf {c}) = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ c_ {k} = (varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ mathbf {e} _ {k}) cdot mathbf {c} = ({oldsymbol {abla}} imes mathbf {v}) cdot mathbf {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6b3d045a16b076bbe2f7cec7e250b06336ec6e)
Следовательно,
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} imes mathbf {v} = varepsilon _ {ijk} ~ v_ {j, i} ~ mathbf {e} _ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd0c0995a642fc163d5d93a99a46730b3f3aee0)
Ротор тензорного поля второго порядка
Для тензора второго порядка ![{oldsymbol {S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134076533a0bf2ed63f945d6703989c3e8feef2a)
![mathbf {c} cdot oldsymbol {S} = c_m ~ S_ {mj} ~ mathbf {e} _j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73b966651902d45fb6c14c394a92441451a7ac7)
Следовательно, используя определение ротора тензорного поля первого порядка,
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}}) = varepsilon _ {ijk} ~ c_ {m} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} = (varepsilon _ {ijk} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {m}) cdot mathbf {c} = ({oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {S }}) cdot mathbf {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c17e582aa7a30aa83dcaeb91d7668b0db0082d)
Следовательно, мы имеем
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} imes {oldsymbol {S}} = varepsilon _ {ijk} ~ S_ {mj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20035ad30dd448f2b4f484f44d4393e5cf05fb2)
Тождества с ротором тензорного поля
Наиболее часто используемое тождество с ротором тензорного поля,
, является
![oldsymbol {abla} imes (oldsymbol {abla} oldsymbol {T}) = oldsymbol {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a452b7368ef3d7c41b253cd279e410ade370bbde)
Это тождество выполняется для тензорных полей всех порядков. В важном случае тензора второго порядка
, из этого тождества следует, что
![{displaystyle {oldsymbol {abla}} imes ({oldsymbol {abla}} {oldsymbol {S}}) = {oldsymbol {0}} quad подразумевает quad S_ {mi, j} -S_ {mj, i} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e193c2329bfcf05e4200c97081922fd08850da7b)
Производная определителя тензора второго порядка
Производная определителя тензора второго порядка
дан кем-то
![{displaystyle {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} det ({oldsymbol {A}}) = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a229cf1ec76d8d0d6c4ebf0e55e24a9289524d0f)
В ортонормированном базисе компоненты
можно записать в виде матрицы А. В этом случае правая часть соответствует сомножителям матрицы.
Производные инвариантов тензора второго порядка
Основные инварианты тензора второго порядка:
![egin {align}
I_1 (старый символ {A}) & = ext {tr} {oldsymbol {A}}
I_2 (oldsymbol {A}) & = frac {1} {2} left [(ext {tr} {oldsymbol {A}}) ^ 2 - ext {tr} {oldsymbol {A} ^ 2} ight]
I_3 (старый символ {A}) & = det (старый символ {A})
конец {выровнять}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5f440de0bb33a949001c6bef13f9f829fb1a42)
Производные этих трех инвариантов по
находятся
![{displaystyle {egin {align} {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} & = {oldsymbol {mathit {1}}} [3pt] {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} [3pt] {frac {partial I_ { 3}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} = I_ { 2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ~ left (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}}) ^ {extsf {T}} ight) = left ({oldsymbol {A}} ^ {2} -I_ {1} ~ {oldsymbol {A}} + I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ight ) ^ {extsf {T}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19cf1ad5bce9774bf510c8818f4b90e32c4f2640)
Доказательство |
---|
Из производной определителя мы знаем, что![{displaystyle {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} = det ({oldsymbol {A}}) ~ left [{oldsymbol {A}} ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dd4a16751516c5e316be643e40ce0babf1c1df)
Что касается производных двух других инвариантов, вернемся к характеристическому уравнению ![det (лямбда ~ oldsymbol {mathit {1}} + oldsymbol {A}) =
лямбда ^ 3 + I_1 (старый символ {A}) ~ лямбда ^ 2 + I_2 (старый символ {A}) ~ лямбда + I_3 (старый символ {A}) ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fda40b411a8e305c01d0c302127c7fefd7453cf)
Используя тот же подход, что и для определителя тензора, можно показать, что ![{displaystyle {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}) }} + {oldsymbol {A}}) ~ left [(lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be1b29969a25190e4efad41db9d76f11e8a8079)
Теперь левую часть можно расширить как ![{displaystyle {egin {align} {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) & = {frac {partial} {частичный {старый символ {A}}}} слева [лямбда ^ {3} + I_ {1} ({старый символ {A}}) ~ лямбда ^ {2} + I_ {2} ({старый символ {A}}) ~ лямбда + I_ {3} ({oldsymbol {A}}) ight] & = {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ .end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4ad226ea72ae236eaddfe419007ff6de53d55d)
Следовательно ![{displaystyle {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ~ left [(lambda ~ {oldsymbol { mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {- 1} ight] ^ {extsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3993a79ec1f95da1b9e188243300861ee7ee2e45)
или же, ![{displaystyle (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ^ {extsf {T}} cdot left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}] } ~ лямбда ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} бег ] = det (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}}) ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782fb846f7870890e72cda9dbeba6e80dfc064b0)
Расширение правой части и разделение терминов в левой части дает ![{displaystyle left (lambda ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ight) cdot left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}] }}} ~ лямбда ^ {2} + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}} } ight] = left [lambda ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9d08c98dc866bcc330678342ca3c391da0042a)
или же, ![{displaystyle {egin {align} left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {3} ight. & left. + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ight] {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T} } cdot {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial { oldsymbol {A}}}} & = left [лямбда ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}} } ~ .end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6174aae82fa111cbe2235a21c275bb7bc0e243b4)
Если мы определим и , мы можем записать это как ![{displaystyle {egin {align} left [{frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {3} ight. & left. + {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ лямбда ^ {2} + {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {frac {partial I_ {4}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight] {oldsymbol {mathit {1}}} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {0}} {partial {oldsymbol {A}}} } ~ лямбда ^ {3} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda ^ {2} + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ lambda + {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = left [I_ {0} ~ lambda ^ {3} + I_ {1} ~ lambda ^ {2} + I_ {2} ~ lambda + I_ {3} ight] {oldsymbol {mathit {1}}} ~ .end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8169e3ea8470a718a349e0d8a73e1fb7c162914)
Собирая слагаемые, содержащие различные степени λ, получаем ![{displaystyle {egin {align} lambda ^ {3} & left (I_ {0} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ { oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {0}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) + лямбда ^ {2} left (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol { A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) + & qquad qquad lambda left (I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1 }}} - {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) + left (I_ {3} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {4}} {partial {oldsymbol) {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ight) = 0 ~ .end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9beeb3b0bd9ed19ea37828b4272fe39e2e5e69e6)
Тогда, используя произвольность λ, имеем ![{displaystyle {egin {align} I_ {0} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}} } - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {0}} {partial {oldsymbol {A}}}}} & = 0 I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1) }}} - {frac {partial I_ {2}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - { frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {2 }} {partial {oldsymbol {A}}}} & = 0 I_ {3} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {frac {partial I_ {4}} {partial {oldsymbol {A}}}} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} cdot {frac {partial I_ {3}} {partial {oldsymbol {A}}}} & = 0 ~ .end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a5fe15f7241e84598be26b9d9cb62ad13d0b22)
Отсюда следует, что ![{displaystyle {egin {align} {frac {partial I_ {1}} {partial {oldsymbol {A}}}}} & = {oldsymbol {mathit {1}}} {frac {partial I_ {2}} {partial { oldsymbol {A}}}} & = I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} {frac {частичный I_ {3}} {partial { oldsymbol {A}}}} & = I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ~ left (I_ {1} ~ {oldsymbol {mathit { 1}}} - {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}} ight) = left ({oldsymbol {A}} ^ {2} -I_ {1} ~ {oldsymbol {A}} + I_ {2} ~ {oldsymbol {mathit {1}}} ight) ^ {extsf {T}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce54c891e48ea659ac4aa365f9756bf619b7a173)
|
Производная тензора идентичности второго порядка
Позволять
- тождественный тензор второго порядка. Тогда производная этого тензора по тензору второго порядка
дан кем-то
![frac {частично oldsymbol {mathit {1}}} {частично oldsymbol {A}}: oldsymbol {T} = oldsymbol {mathsf {0}}: oldsymbol {T} = oldsymbol {mathit {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a29c254c3ed650dc6b0571b5ab3377b03f8df8)
Это потому что
не зависит от
.
Производная тензора второго порядка по себе
Позволять
- тензор второго порядка. потом
![{displaystyle {partial {oldsymbol {A}}} {partial {oldsymbol {A}}}}}: {oldsymbol {T}} = left [{frac {partial} {partial alpha}} ({oldsymbol {A}} + alpha ~ {oldsymbol {T}}) ight] _ {alpha = 0} = {oldsymbol {T}} = {oldsymbol {mathsf {I}}}: {oldsymbol {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cf9341eabbe69c48f4ff85db571b84c8b2c318)
Следовательно,
![frac {частично старый символ {A}} {частично старый символ {A}} = старый символ {mathsf {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f324a4e86d3701268d6e0e06231c22fbeebe835b)
Здесь
- тождественный тензор четвертого порядка. В индексной записи относительно ортонормированного базиса
![oldsymbol {mathsf {I}} = delta_ {ik} ~ delta_ {jl} ~ mathbf {e} _iotimesmathbf {e} _jotimesmathbf {e} _kotimesmathbf {e} _l](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e4803237293bd0b08e926f1693c3649eabcfb5)
Из этого результата следует, что
![{displaystyle {frac {partial {oldsymbol {A}} ^ {extsf {T}}}} {partial {oldsymbol {A}}}}: {oldsymbol {T}} = {oldsymbol {mathsf {I}}} ^ {extsf {T}}: {oldsymbol {T}} = {oldsymbol {T}} ^ {extsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7448ccf71b60ecbd1bcfdae293954a6171c61086)
куда
![{displaystyle {oldsymbol {mathsf {I}}} ^ {extsf {T}} = delta _ {jk} ~ delta _ {il} ~ mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} otimes mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0a9dedc3650f2addeab3466f6d7b4dac2fbfc0)
Следовательно, если тензор
симметрична, то производная также симметрична, и мы получаем
![{displaystyle {frac {partial {oldsymbol {A}}} {partial {oldsymbol {A}}}}} = {oldsymbol {mathsf {I}}} ^ {(s)} = {frac {1} {2}} ~ left ({oldsymbol {mathsf {I}}} + {oldsymbol {mathsf {I}}} ^ {extsf {T}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996eeeb67af452b7b7f48e8844f36657907048c6)
где симметричный тождественный тензор четвертого порядка равен
![oldsymbol {mathsf {I}} ^ {(s)} = frac {1} {2} ~ (delta_ {ik} ~ delta_ {jl} + delta_ {il} ~ delta_ {jk})
~ mathbf {e} _iotimesmathbf {e} _jotimesmathbf {e} _kotimesmathbf {e} _l](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17beecf961b12124b9e6a0417d48a56502b5f9c)
Производная обратного тензора второго порядка
Позволять
и
- два тензора второго порядка, то
![frac {partial} {частично oldsymbol {A}} left (oldsymbol {A} ^ {- 1} ight): oldsymbol {T} = - oldsymbol {A} ^ {- 1} cdot oldsymbol {T} cdot oldsymbol {A} ^ {- 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9724e262e7a8c0dd636deb116c77fc10060284)
В индексной записи относительно ортонормированного базиса
![frac {частичный A ^ {- 1} _ {ij}} {частичный A_ {kl}} ~ T_ {kl} = - A ^ {- 1} _ {ik} ~ T_ {kl} ~ A ^ {- 1} _ {lj} подразумевает гидроразрыв {частичный A ^ {- 1} _ {ij}} {частичный A_ {kl}} = - A ^ {- 1} _ {ik} ~ A ^ {- 1} _ {lj}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f1934741119be96b5cf8e9d0d880c7e0294b59)
У нас также есть
![{displaystyle {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} left ({oldsymbol {A}} ^ {- {extsf {T}}} ight): {oldsymbol {T}} = - {oldsymbol {A }} ^ {- {extsf {T}}} cdot {oldsymbol {T}} ^ {extsf {T}} cdot {oldsymbol {A}} ^ {- {extsf {T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c8b2756b8fe3e5317661d81ac47f5584490b0f)
В индексной записи
![frac {частичный A ^ {- 1} _ {ji}} {частичный A_ {kl}} ~ T_ {kl} = - A ^ {- 1} _ {jk} ~ T_ {lk} ~ A ^ {- 1} _ {li} подразумевает гидроразрыв {частичный A ^ {- 1} _ {ji}} {частичный A_ {kl}} = - A ^ {- 1} _ {li} ~ A ^ {- 1} _ {jk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6225fff6df34941b0598202e039ef1dcd9147147)
Если тензор
симметрично, то
![frac {partial A ^ {- 1} _ {ij}} {partial A_ {kl}} = -cfrac {1} {2} left (A ^ {- 1} _ {ik} ~ A ^ {- 1} _ {jl} + A ^ {- 1} _ {il} ~ A ^ {- 1} _ {jk} ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74412cc983aa822944c662aa60dcbdd1c89d8bd4)
Доказательство |
---|
Напомним, что![frac {частично oldsymbol {mathit {1}}} {частично oldsymbol {A}}: oldsymbol {T} = oldsymbol {mathit {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2cb0aa01edd4510359db38377dff42939e2c6c)
С , мы можем написать ![{displaystyle {frac {partial} {partial {oldsymbol {A}}}} осталось ({oldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot {oldsymbol {A}} ight): {oldsymbol {T}} = {oldsymbol { математика {0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd0ead7ef28bb1813e810332c8ed096ad07c799)
Использование правила произведения для тензоров второго порядка ![frac {partial} {частично oldsymbol {S}} [oldsymbol {F} _1 (oldsymbol {S}) cdot oldsymbol {F} _2 (oldsymbol {S})]: oldsymbol {T} =
left (frac {partial oldsymbol {F} _1} {partial oldsymbol {S}}: oldsymbol {T} ight) cdot oldsymbol {F} _2 +
oldsymbol {F} _1cdotleft (frac {частично oldsymbol {F} _2} {частично oldsymbol {S}}: oldsymbol {T} ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a25e5e0ee3f8a2f287da104d5f72d8342899b9)
мы получили ![frac {partial} {частично oldsymbol {A}} (oldsymbol {A} ^ {- 1} cdot oldsymbol {A}): oldsymbol {T} =
left (frac {partial oldsymbol {A} ^ {- 1}} {partial oldsymbol {A}}: oldsymbol {T} ight) cdot oldsymbol {A} +
oldsymbol {A} ^ {- 1} cdotleft (frac {частично oldsymbol {A}} {частично oldsymbol {A}}: oldsymbol {T} ight)
= oldsymbol {mathit {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29872489d07dda5b866587465f7aa0f3e39f10c)
или же, ![left (frac {частично oldsymbol {A} ^ {- 1}} {частично oldsymbol {A}}: oldsymbol {T} ight) cdot oldsymbol {A} = -
oldsymbol {A} ^ {- 1} cdot oldsymbol {T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e87150853064666214b8436f83b9221adac1fac)
Следовательно, ![frac {partial} {частично oldsymbol {A}} left (oldsymbol {A} ^ {- 1} ight): oldsymbol {T} = - oldsymbol {A} ^ {- 1} cdot oldsymbol {T} cdot oldsymbol {A} ^ {- 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9724e262e7a8c0dd636deb116c77fc10060284)
|
Интеграция по частям
Домен
![Омега](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
, его граница
![Гамма](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
и внешний блок нормальный
![mathbf {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46)
Другая важная операция, связанная с тензорными производными в механике сплошной среды, - интегрирование по частям. Формулу интегрирования по частям можно записать как
![int_ {Omega} oldsymbol {F} otimes oldsymbol {abla} oldsymbol {G}, {md} Omega = int_ {Gamma} mathbf {n} otimes (oldsymbol {F} otimes oldsymbol {G}), {md} Gamma - int_ {Omega} oldsymbol {G} иногда oldsymbol {abla} oldsymbol {F}, {md} Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172ee29931403a8703ce0dc606d16ce7a29babac)
куда
и
- дифференцируемые тензорные поля произвольного порядка,
- единичная внешняя нормаль к области, над которой определены тензорные поля,
представляет собой оператор обобщенного тензорного произведения, а
является обобщенным градиентным оператором. Когда
равен единичному тензору, получаем теорема расходимости
![int_ {Omega} oldsymbol {abla} oldsymbol {G}, {m d} Omega = int_ {Gamma} mathbf {n} иногда oldsymbol {G}, {m d} Gamma,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781392ba9d3fad27ca3fb5e5b54ab2b8405925db)
Мы можем выразить формулу для интегрирования по частям в декартовой записи индекса как
![int_ {Omega} F_ {ijk ....}, G_ {lmn ..., p}, {md} Omega = int_ {Gamma} n_p, F_ {ijk ...}, G_ {lmn ...}, {md} Гамма - int_ {Omega} G_ {lmn ...}, F_ {ijk ..., p}, {md} Omega,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c2f11b7dce20c00dcd6a415a9dfb5dea63564f)
Для особого случая, когда операция тензорного произведения - это сокращение одного индекса, а операция градиента - расхождение, и обе
и
- тензоры второго порядка, имеем
![{displaystyle int _ {Omega} {oldsymbol {F}} cdot ({oldsymbol {abla}} cdot {oldsymbol {G}}), {m {d}} Omega = int _ {Gamma} mathbf {n} cdot left ( {oldsymbol {G}} cdot {oldsymbol {F}} ^ {extsf {T}} ight), {m {d}} Gamma -int _ {Omega} ({oldsymbol {abla}} {oldsymbol {F}}) : {oldsymbol {G}} ^ {extsf {T}}, {m {d}} Omega,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8cf57060d5bea791db865b6d68e5ec5299cb21)
В индексной записи
![int_ {Omega} F_ {ij}, G_ {pj, p}, {md} Omega = int_ {Gamma} n_p, F_ {ij}, G_ {pj}, {md} Gamma - int_ {Omega} G_ {pj} , F_ {ij, p}, {md} Омега,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf184445218ac9cce1adfbacab24a0b07155397)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Дж. К. Симо и Т. Дж. Р. Хьюз, 1998 г., Вычислительная неупругость, Springer
- ^ Дж. Э. Марсден и Т. Дж. Р. Хьюз, 2000 г., Математические основы упругости, Дувр.
- ^ Огден, Р. В., 2000, Нелинейные упругие деформации., Дувр.
- ^ http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf
- ^ а б Хьельмстад, Кейт (2004). Основы строительной механики. Springer Science & Business Media. п. 45. ISBN 9780387233307.