Расхождение - Divergence

Расхождение разных векторных полей. Дивергенция векторов из точки (x, y) равна сумме частной производной по x компоненты x и частной производной по y компоненты y в этой точке. точка: ${displaystyle abla! cdot (mathbf {V} (x, y)) = {frac {partial {mathbf {V} _ {x} (x, y)}} {partial {x}}} + {frac {partial { mathbf {V} _ {y} (x, y)}} {частично {y}}}}$

В векторное исчисление, расхождение это векторный оператор который работает на векторное поле, производя скалярное поле с указанием количества источников векторного поля в каждой точке. С технической точки зрения, дивергенция представляет собой объемную плотность внешнего поток векторного поля из бесконечно малого объема вокруг заданной точки.

В качестве примера рассмотрим воздух, нагретый или охлаждаемый. В скорость воздуха в каждой точке определяет векторное поле. В то время как воздух нагревается в какой-либо области, он расширяется во всех направлениях, и, таким образом, поле скорости указывает наружу из этой области. Таким образом, расхождение поля скорости в этой области будет иметь положительное значение. Пока воздух охлаждается и сжимается, отклонение скорости имеет отрицательное значение.

Физическая интерпретация расхождения

С физической точки зрения дивергенция векторного поля - это степень, в которой поток векторного поля ведет себя как источник в данной точке. Это локальная мера его «исходящего» - степени, в которой больше векторов поля выходит из бесконечно малой области пространства, чем входит в нее. Точка, в которой исходит поток, имеет положительную дивергенцию и часто называется «источником» поля. Точка, в которой поток направлен внутрь, имеет отрицательную дивергенцию и часто называется «стоком» поля. Чем больше поток поля через небольшую поверхность, охватывающую данную точку, тем больше величина расхождения в этой точке. Точка, в которой поток через ограничивающую поверхность равен нулю, имеет нулевую дивергенцию.

Расходимость векторного поля часто иллюстрируют на примере поле скорости жидкости, жидкости или газа. Движущийся газ имеет скорость, скорость и направление, в каждой точке, которые могут быть представлены вектор, поэтому скорость газа образует векторное поле. Если газ нагреть, он расширится. Это вызовет чистое движение частиц газа во всех направлениях. Любая замкнутая поверхность в газе будет окружать газ, который расширяется, поэтому через поверхность будет выходить поток газа наружу. Таким образом, поле скоростей везде будет иметь положительную дивергенцию. Точно так же, если газ охлаждается, он сжимается. В любом объеме будет больше места для частиц газа, поэтому внешнее давление жидкости вызовет чистый поток объема газа внутрь через любую закрытую поверхность. Следовательно, поле скоростей везде имеет отрицательную дивергенцию. В отличие от ненагретого газа с постоянной плотностью, газ может двигаться, но объемная скорость газа, втекающего на любую закрытую поверхность, должна равняться объемной скорости истечения, поэтому сеть поток жидкости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Таким образом, скорость газа везде имеет нулевую дивергенцию. Поле, всюду имеющее нулевую дивергенцию, называется соленоидный.

Если жидкость нагревается только в одной точке или небольшой области или вводится небольшая трубка, которая снабжает источником дополнительной жидкости в одной точке, жидкость там будет расширяться, толкая частицы жидкости вокруг нее во всех направлениях. Это вызовет направленное наружу поле скорости во всей жидкости с центром в нагретой точке. Любая замкнутая поверхность, окружающая нагретую точку, будет иметь поток жидких частиц, выходящих из нее, поэтому в этой точке имеется положительное расхождение. Однако любая закрытая поверхность нет окружающая точка будет иметь постоянную плотность жидкости внутри, так что столько же частиц жидкости входит и выходит из объема, поэтому чистый поток из объема равен нулю. Следовательно, расхождение в любой другой точке равно нулю.

Определение

Расхождение в точке Икс это предел отношения потоков ${displaystyle Phi}$ через поверхность S_я (красные стрелки) к объему ${displaystyle | V_ {ext {i}} |}$ для любой последовательности закрытых областей V₁, V₂, V₃... вмещающий Икс что приближается к нулевому объему:
${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = lim _ {| V_ {ext {i}} | ightarrow 0} {Phi (S_ {ext {i}}) над | V_ {ext {i}} |}}$

Дивергенция векторного поля F(Икс) в какой-то момент Икс₀ определяется как предел соотношения поверхностный интеграл из F вне поверхности замкнутого объема V вмещающий Икс₀ к объему V, так как V сжимается до нуля

${displaystyle left.operatorname {div} mathbf {F} ight | _ {mathbf {x_ {0}}} = lim _ {Vightarrow 0} {1 over | V |}}$ ${displaystyle scriptstyle S (V)}$ ${displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {hat {n}}, dS}$

куда |V| объем V, S(V) граница V, и ${displaystyle mathbf {шляпа {n}}}$ это внешний единица нормальная на эту поверхность. Можно показать, что указанный выше предел всегда сходится к одному и тому же значению для любой последовательности томов, содержащих Икс₀ и приблизиться к нулевому объему. Результат, div F, является скалярной функцией от Икс.

Поскольку это определение бескоординатное, оно показывает, что дивергенция одинакова в любом система координат. Однако практически не используется для расчета дивергенции; когда векторное поле задано в системе координат, определения координат ниже намного проще использовать.

Векторное поле с нулевой расходимостью всюду называется соленоидный - в этом случае любая замкнутая поверхность не проходит через нее.

Определение в координатах

Декартовы координаты

В трехмерных декартовых координатах расходимость непрерывно дифференцируемый векторное поле ${displaystyle mathbf {F} = F_ {x} mathbf {i} + F_ {y} mathbf {j} + F_ {z} mathbf {k}}$ определяется как скаляр -значная функция:

${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = abla cdot mathbf {F} = left ({frac {partial} {partial x}}, {frac {partial} {partial y}}, {frac {partial} {partial z }} ight) cdot (F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}) = {frac {partial F_ {x}} {partial x}} + {frac {partial F_ {y}} {partial y} } + {frac {partial F_ {z}} {partial z}}.}$

Хотя результат выражается в координатах, он инвариантен относительно вращения, как предполагает физическая интерпретация. Это потому, что след Матрица якобиана из N-мерное векторное поле F в N-мерное пространство инвариантно относительно любого обратимого линейного преобразования.

Общие обозначения расхождения ∇ · F удобная мнемоника, где точка обозначает операцию, напоминающую скалярное произведение: возьмите компоненты ∇ оператор (см. дель ), примените их к соответствующим компонентам F, и просуммируйте результаты. Поскольку применение оператора отличается от умножения компонентов, это считается злоупотребление обозначениями.

Цилиндрические координаты

Для вектора, выраженного в местный единица измерения цилиндрические координаты в качестве

${displaystyle mathbf {F} = mathbf {e} _ {r} F_ {r} + mathbf {e} _ {heta} F_ {heta} + mathbf {e} _ {z} F_ {z},}$

куда е_а - единичный вектор в направлении а, расхождение^[1]

${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = abla cdot mathbf {F} = {frac {1} {r}} {frac {partial} {partial r}} left (rF_ {r} ight) + {frac {1 } {r}} {frac {partial F_ {heta}} {partial heta}} + {frac {partial F_ {z}} {partial z}}.}$

Использование местных координат жизненно важно для достоверности выражения. Если мы рассмотрим Икс вектор положения и функции ${displaystyle r (mathbf {x})}$, ${displaystyle heta (mathbf {x})}$, и ${displaystyle z (mathbf {x})}$, которым присваиваются соответствующие Глобальный цилиндрическая координата к вектору, в общем случае ${displaystyle r (mathbf {F} (mathbf {x})) eq F_ {r} (mathbf {x})}$, ${displaystyle heta (mathbf {F} (mathbf {x})) eq F_ {heta} (mathbf {x})}$, и ${displaystyle z (mathbf {F} (mathbf {x})) eq F_ {z} (mathbf {x})}$. В частности, если мы рассмотрим тождественную функцию ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x}) = mathbf {x}}$, мы находим, что:

${displaystyle heta (mathbf {F} (mathbf {x})) = heta eq F_ {heta} (mathbf {x}) = 0}$.

Сферические координаты

В сферические координаты, с θ угол с z ось и φ вращение вокруг z ось, и ${displaystyle mathbf {F}}$ снова записано в координатах местной единицы, расхождение^[2]

${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = abla cdot mathbf {F} = {frac {1} {r ^ {2}}} {frac {partial} {partial r}} left (r ^ {2} F_ { r} ight) + {frac {1} {rsin heta}} {frac {partial} {partial heta}} (sin heta, F_ {heta}) + {frac {1} {rsin heta}} {frac {partial F_ {varphi}} {частичный varphi}}.}$

Тензорное поле

Позволять ${displaystyle mathbf {A}}$ быть непрерывно дифференцируемой второго порядка тензорное поле определяется следующим образом:

${displaystyle mathbf {A} = {egin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} конец {bmatrix}}}$

дивергенция в декартовой системе координат является тензорным полем первого порядка^[3] и может быть определен двумя способами:^[4]

${displaystyle operatorname {div} (mathbf {A}) = {cfrac {partial A_ {ik}} {partial x_ {k}}} ~ mathbf {e} _ {i} = A_ {ik, k} ~ mathbf {e } _ {i} = {egin {bmatrix} {dfrac {partial A_ {11}} {partial x_ {1}}} + {dfrac {partial A_ {12}} {partial x_ {2}}} + {dfrac { частичный A_ {13}} {частичный x_ {3}}} {dfrac {частичный A_ {21}} {частичный x_ {1}}} + {dfrac {частичный A_ {22}} {частичный x_ {2}}} + {dfrac {partial A_ {23}} {partial x_ {3}}} {dfrac {partial A_ {31}} {partial x_ {1}}}} + {dfrac {partial A_ {32}} {partial x_ { 2}}} + {dfrac {partial A_ {33}} {partial x_ {3}}} end {bmatrix}}}$

и^[5][6][7][8]

${displaystyle abla cdot mathbf {A} = {cfrac {partial A_ {ki}} {partial x_ {k}}} ~ mathbf {e} _ {i} = A_ {ki, k} ~ mathbf {e} _ {i } = {egin {bmatrix} {dfrac {частичный A_ {11}} {частичный x_ {1}}} + {dfrac {частичный A_ {21}} {частичный x_ {2}}} + {dfrac {частичный A_ {31 }} {частичный x_ {3}}} {dfrac {частичный A_ {12}} {частичный x_ {1}}} + {dfrac {частичный A_ {22}} {частичный x_ {2}}} + {dfrac { частичный A_ {32}} {частичный x_ {3}}} {dfrac {частичный A_ {13}} {частичный x_ {1}}} + {dfrac {частичный A_ {23}} {частичный x_ {2}}} + {dfrac {partial A_ {33}} {partial x_ {3}}} end {bmatrix}}}$

У нас есть

${displaystyle operatorname {div} (mathbf {A ^ {T}}) = abla cdot mathbf {A}}$

Если тензор симметричен ${displaystyle A_ {ij} = A_ {ji}}$ тогда ${displaystyle operatorname {div} (mathbf {A}) = abla cdot mathbf {A}}$ и по этой причине часто в литературе эти два определения (и символы ${displaystyle mathrm {div}}$ и ${displaystyle abla cdot}$) переключаются и взаимозаменяемы (особенно в уравнениях механики, где предполагается тензорная симметрия).

Выражения ${displaystyle abla cdot mathbf {A}}$ в цилиндрических и сферических координатах приведены в статье del в цилиндрических и сферических координатах.

Общие координаты

С помощью Обозначения Эйнштейна мы можем рассмотреть расхождение в общие координаты, который мы запишем как Икс¹, ..., Икс^я, ...,Икс^п, куда п - количество измерений домена. Здесь верхний индекс относится к номеру координаты или компонента, поэтому Икс² относится ко второму компоненту, а не к количеству Икс в квадрате. Индексная переменная я используется для обозначения произвольного элемента, такого как Икс^я. Тогда расхождение можно записать через Voss - Weyl формула^[9] в качестве:

${displaystyle operatorname {div} (mathbf {F}) = {frac {1} {ho}} {frac {partial left (ho, F ^ {i} ight)} {partial x ^ {i}}},}$

куда ${displaystyle ho}$ - локальный коэффициент элемент объема и F^я компоненты F по отношению к местным ненормализованный ковариантный базис (иногда пишется как ${displaystyle mathbf {e} _ {i} = частично mathbf {x} / частично x ^ {i}}$). Обозначения Эйнштейна подразумевают суммирование по я, поскольку он отображается как верхний и нижний индекс.

Коэффициент объема ${displaystyle ho}$ является функцией положения, которая зависит от системы координат. В декартовых, цилиндрических и сферических координатах, используя те же соглашения, что и раньше, мы имеем ${displaystyle ho = 1}$, ${displaystyle ho = r}$ и ${displaystyle ho = r ^ {2} sin {heta}}$, соответственно. Объем также можно выразить как ${displaystyle ho = {sqrt {| имя оператора {det} g_ {ab} |}}}$, куда ${displaystyle g_ {ab}}$ это метрический тензор. В детерминант появляется потому, что он обеспечивает соответствующее инвариантное определение объема для данного набора векторов. Поскольку определитель является скалярной величиной, не зависящей от индексов, их можно подавить, записав ${displaystyle ho = {sqrt {| имя оператора {det} g |}}}$. Абсолютное значение берется для обработки общего случая, когда определитель может быть отрицательным, например, в псевдоримановых пространствах. Причина использования квадратного корня немного тонка: он эффективно позволяет избежать двойного счета при переходе от кривых к декартовым координатам и обратно. Объем (определитель) также можно понимать как Якобиан преобразования декартовых координат в криволинейные, что для п = 3 дает ${displaystyle ho = left | {frac {partial (x, y, z)} {partial (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}} ight |.}$

Некоторые соглашения предполагают, что все локальные базовые элементы будут нормализованы к единице длины, как это было сделано в предыдущих разделах. Если мы напишем ${displaystyle {hat {mathbf {e}}} _ {i}}$ для нормализованного базиса и ${displaystyle {hat {F}} ^ {i}}$ для компонентов F в отношении этого мы имеем

${displaystyle mathbf {F} = F ^ {i} mathbf {e} _ {i} = F ^ {i} {lVert {mathbf {e} _ {i}} Vert} {frac {mathbf {e} _ {i }} {lVert {mathbf {e} _ {i}} Vert}} = F ^ {i} {sqrt {g_ {ii}}}, {hat {mathbf {e}}} _ {i} = {hat { F}} ^ {i} {hat {mathbf {e}}} _ {i},}$

используя одно из свойств метрического тензора. Расставив точки по обе стороны последнего равенства с контравариантным элементом ${displaystyle {hat {mathbf {e}}} ^ {i}}$, можно сделать вывод, что ${displaystyle F ^ {i} = {шляпа {F}} ^ {i} / {sqrt {g_ {ii}}}}$. После замены формула принимает следующий вид:

${displaystyle operatorname {div} (mathbf {F}) = {frac {1} {ho}} {frac {partial left ({frac {ho} {sqrt {g_ {ii}}}}} {hat {F}} ^ {i} ight)} {partial x ^ {i}}} = {frac {1} {sqrt {operatorname {det} g}}} {frac {partial left ({sqrt {frac {operatorname {det} g} { g_ {ii}}}}, {шляпа {F}} ^ {i} ight)} {частичное x ^ {i}}}}$.

Видеть § В криволинейных координатах для дальнейшего обсуждения.

Характеристики

Следующие ниже свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования исчисление. Самое главное, что расхождение - это линейный оператор, т.е.

${displaystyle operatorname {div} (amathbf {F} + bmathbf {G}) = aoperatorname {div} mathbf {F} + boperatorname {div} mathbf {G}}$

для всех векторных полей F и грамм и все действительные числа а и б.

Существует правило продукта следующего типа: если φ - скалярная функция и F векторное поле, то

${displaystyle operatorname {div} (varphi mathbf {F}) = operatorname {grad} varphi cdot mathbf {F} + varphi operatorname {div} mathbf {F},}$

или в более информативных обозначениях

${displaystyle abla cdot (varphi mathbf {F}) = (abla varphi) cdot mathbf {F} + varphi (abla cdot mathbf {F}).}$

Еще одно правило продукта для перекрестное произведение двух векторных полей F и грамм в трех измерениях включает завиток и гласит:

${displaystyle operatorname {div} (mathbf {F} imes mathbf {G}) = operatorname {curl} mathbf {F} cdot mathbf {G} -mathbf {F} cdot operatorname {curl} mathbf {G},}$

или же

${displaystyle abla cdot (mathbf {F} imes mathbf {G}) = (abla imes mathbf {F}) cdot mathbf {G} -mathbf {F} cdot (abla imes mathbf {G}).}$

В Лапласиан из скалярное поле - расходимость поля градиент:

${displaystyle operatorname {div} (operatorname {grad} varphi) = Delta varphi.}$

Расхождение завиток любого векторного поля (в трех измерениях) равно нулю:

${displaystyle abla cdot (abla imes mathbf {F}) = 0.}$

Если векторное поле F с нулевой дивергенцией определена на шаре в р³, то существует некоторое векторное поле грамм на шаре с F = завиток грамм. Для регионов в р³ более сложное с точки зрения топологии, последнее утверждение может быть ложным (см. Лемма Пуанкаре ). Степень отказ истинности утверждения, измеренной гомология из цепной комплекс

${displaystyle {{ext {скалярные поля на}} U} ~ {overset {operatorname {grad}} {ightarrow}} ~ {{ext {векторные поля на}} U} ~ {overset {operatorname {curl}} {ightarrow} } ~ {{ext {векторные поля на}} U} ~ {overset {operatorname {div}} {ightarrow}} ~ {{ext {скалярные поля на}} U}}$

служит хорошей количественной оценкой сложности основного региона U. Это начало и основные мотивы когомологии де Рама.

Теорема разложения

Можно показать, что любой стационарный поток v(р) который дважды непрерывно дифференцируем в р³ и исчезает достаточно быстро для |р| → ∞ можно однозначно разложить на иротационная часть E(р) и часть без исходного кода B(р). Более того, эти части явно определяются соответствующими плотности источников (см. выше) и плотности обращения (см. статью Завиток ):

Для безвихревой части

${displaystyle mathbf {E} = -abla Phi (mathbf {r}),}$

с

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = int _ {mathbb {R} ^ {3}}, d ^ {3} mathbf {r} '; {frac {operatorname {div} mathbf {v} (mathbf {r}) ')} {4pi left | mathbf {r} -mathbf {r}' ight |}}.}$

Часть без исходных текстов, B, можно записать аналогично: нужно только заменить скалярный потенциал Φ (р) по векторный потенциал А(р) и условия −∇Φ к +∇ × А, а плотность источника div vпо плотности обращения ∇ × v.

Эта "теорема разложения" является побочным продуктом стационарного случая электродинамика. Это частный случай более общего Разложение Гельмгольца, который также работает с размерами больше трех.

В произвольных размерах

Дивергенция векторного поля может быть определена в любом количестве измерений. Если

${displaystyle mathbf {F} = (F_ {1}, F_ {2}, ldots F_ {n}),}$

в евклидовой системе координат с координатами Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п, определять

${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} = abla cdot mathbf {F} = {frac {partial F_ {1}} {partial x_ {1}}} + {frac {partial F_ {2}} {partial x_ {2} }}} + cdots + {frac {partial F_ {n}} {partial x_ {n}}}.}$

В случае одного измерения F сводится к регулярной функции, а дивергенция - к производной.

Для любого п, дивергенция является линейным оператором и удовлетворяет «правилу произведения»

${displaystyle abla cdot (varphi mathbf {F}) = (abla varphi) cdot mathbf {F} + varphi (abla cdot mathbf {F})}$

для любой скалярной функции φ.

Отношение к внешней производной

Можно выразить расхождение как частный случай внешняя производная, что требует 2-форма к 3-форме в р³. Определите текущую двойную форму как

${displaystyle j = F_ {1}, dywedge dz + F_ {2}, dzwedge dx + F_ {3}, dxwedge dy.}$

Он измеряет количество «вещества», протекающего через поверхность в единицу времени в «текучей среде» плотности. ρ = 1 dx ∧ dy ∧ дз движется с местной скоростью F. Его внешняя производная диджей тогда дается

${displaystyle dj = left ({frac {partial F_ {1}} {partial x}} + {frac {partial F_ {2}} {partial y}}} + {frac {partial F_ {3}} {partial z}}) ight) dxwedge dywedge dz = (abla cdot {mathbf {F}}) ho}$

куда ${displaystyle wedge}$ это клин.

Таким образом, расходимость векторного поля F можно выразить как:

${displaystyle abla cdot {mathbf {F}} = {star} d {star} {ig (} {mathbf {F}} ^ {flat} {ig)}.}$

Здесь верхний индекс ♭ один из двух музыкальные изоморфизмы, и ⋆ это Звездный оператор Ходжа. При такой записи расходимости оператор ${displaystyle {star} d {star}}$ называется кодифференциальный. Работать с текущей двумерной формой и внешней производной обычно проще, чем с векторным полем и дивергенцией, потому что, в отличие от дивергенции, внешняя производная коммутирует с изменением (криволинейной) системы координат.

В криволинейных координатах

Соответствующее выражение сложнее в криволинейные координаты. Дивергенция векторного поля естественным образом распространяется на любую дифференцируемое многообразие измерения п что есть объемная форма (или же плотность ) μ, например а Риманов или же Лоренцево многообразие. Обобщая конструкцию двойная форма для векторного поля на р³, на таком многообразии векторное поле Икс определяет (п − 1)-форма j = я_Икс μ полученный путем заключения договора Икс с μ. Дивергенция - это функция, определяемая формулой

${displaystyle dj = (operatorname {div} X) mu.}$

Расхождение можно определить в терминах Производная Ли в качестве

${displaystyle {mathcal {L}} _ {X} mu = (operatorname {div} X) mu.}$

Это означает, что дивергенция измеряет скорость расширения единицы объема (a элемент объема )) в потоке с векторным полем.

На псевдориманово многообразие, расхождение по объему можно выразить через Леви-Чивита связь ∇:

${displaystyle operatorname {div} X = abla cdot X = {X ^ {a}} _ {; a},}$

где второе выражение является сжатием однозначной 1-формы векторного поля ∇Икс с самим собой, а последнее выражение - традиционное координатное выражение из Исчисление Риччи.

Эквивалентное выражение без использования соединения:

${displaystyle operatorname {div} (X) = {frac {1} {sqrt {| operatorname {det} g |}}} partial _ {a} left ({sqrt {| operatorname {det} g |}}, X ^ {a} ight),}$

куда грамм это метрика и ${displaystyle partial _ {a}}$ обозначает частную производную по координате Икс^а. Квадратный корень из (абсолютное значение детерминант метрики) появляется потому, что расхождение должно быть записано с правильной концепцией объем. В криволинейных координатах базисные векторы больше не ортонормированы; в этом случае определитель кодирует правильное представление об объеме. Он появляется дважды, здесь один раз, так что ${displaystyle X ^ {a}}$ можно преобразовать в «плоское пространство» (где координаты на самом деле ортонормированы), и еще раз так, чтобы ${displaystyle partial _ {a}}$ также трансформируется в «плоское пространство», так что, наконец, «обычное» расхождение можно записать с «обычным» понятием объема в плоском пространстве (т.е. единичный объем, т.е. один, т.е. не записано). Квадратный корень стоит в знаменателе, потому что производная преобразуется противоположным образом (противоречиво ) к вектору (который ковариантный ). Идея перехода к «плоской системе координат», в которой локальные вычисления могут выполняться обычным способом, называется vielbein. Другой способ увидеть это - заметить, что расхождение - это кодифференциальный в маскировке. То есть дивергенция соответствует выражению ${displaystyle star dstar}$ с ${displaystyle d}$ то дифференциал и ${displaystyle star}$ то Ходжа звезда. Звезда Ходжа по своей конструкции вызывает объемная форма появляться во всех нужных местах.

Расходимость тензоров

Дивергенцию также можно обобщить на тензоры. В Обозначения Эйнштейна, расходимость контравариантный вектор F^μ дан кем-то

${displaystyle abla cdot mathbf {F} = abla _ {mu} F ^ {mu},}$

куда ∇_μ обозначает ковариантная производная. В этой общей обстановке правильная формулировка расхождения состоит в том, чтобы признать, что это кодифференциальный; соответствующие свойства следуют отсюда.

Аналогичным образом некоторые авторы определяют дивергенцию смешанный тензор используя музыкальный изоморфизм ♯: если Т это (п, q)-тензор (п для контравариантного вектора и q для ковариантного), то определим расхождение Т быть (п, q − 1)-тензор

${displaystyle (operatorname {div} T) (Y_ {1}, ldots, Y_ {q-1}) = {operatorname {trace}} {Big (} Xmapsto sharp (abla T) (X, cdot, Y_ {1}) , ldots, Y_ {q-1}) {Big)};}$

то есть проводим след по первые два ковариантные индексы ковариантной производной.^[а]В ${displaystyle sharp}$ символ относится к музыкальный изоморфизм.

Смотрите также

• Завиток
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Теорема расходимости
• Градиент

Примечания

Цитаты

Рекомендации

• Брюэр, Джесс Х. (1999). «РАЗНООБРАЗИЕ векторного поля». musr.phas.ubc.ca. Архивировано из оригинал на 2007-11-23. Получено 2016-08-09.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-X.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Эдвардс, К. Х. (1994). Расширенное исчисление нескольких переменных. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-68336-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Гуртин, Мортон (1981). Введение в механику сплошной среды. Академическая пресса. ISBN  0-12-309750-9.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Тереза, М. Корн; Корн, Гранино Артур (январь 2000 г.). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора. Нью-Йорк: Dover Publications. С. 157–160. ISBN  0-486-41147-8.CS1 maint: ref = harv (связь)

внешняя ссылка

• «Дивергенция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Идея расходимости векторного поля
• Khan Academy: видеоурок о дивергенции
• Сандерсон, Грант (21 июня 2018 г.). «Дивергенция и завиток: язык уравнений Максвелла, поток жидкости и многое другое». 3Синий 1Коричневый - через YouTube.