Звездный оператор Ходжа - Hodge star operator

В математика, то Звездный оператор Ходжа или же Ходжа звезда это линейная карта определены на внешняя алгебра конечномерного ориентированный векторное пространство наделен невырожденный симметричная билинейная форма. Применение оператора к элементу алгебры дает Ходж Дуал элемента. Эта карта была представлена В. В. Д. Ходж.

Например, в ориентированном трехмерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена внешний продукт двух базисных векторов, а двойственная по Ходжу - нормальный вектор данные их перекрестное произведение; наоборот, любой вектор двойственен перпендикулярной ему ориентированной плоскости, наделенной подходящим бивектором. Обобщая это на п-мерное векторное пространство, звезда Ходжа является взаимно однозначным отображением k-векторы в (п - к)-векторы; размеры этих пространств - биномиальные коэффициенты ${ displaystyle { tbinom {n} {k}} = { tbinom {n} {n-k}}}$.

В естественность оператора звезды означает, что он может играть роль в дифференциальной геометрии, когда применяется к котангенсу пучок из псевдориманово многообразие, а значит дифференциал k-формы. Это позволяет определить кодифференциал как сопряженный по Ходжу внешняя производная, ведущий к Оператор Лапласа – де Рама. Это обобщает случай 3-мерного евклидова пространства, в котором расхождение векторного поля можно реализовать как кодифференциал, противоположный градиент оператор, а Оператор Лапласа на функции - это дивергенция ее градиента. Важным приложением является Разложение Ходжа дифференциальных форм на закрыто Риманово многообразие.

Формальное определение для k-векторы

Позволять V быть п-размерный векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$, называемый здесь внутренним продуктом. Этот вызывает внутренний продукт на k-векторы ${ Displaystyle альфа, бета в { textstyle bigwedge} ^ {! k} V}$, за ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$, определив его на разложимом k-векторы ${ Displaystyle альфа = альфа _ {1} клин cdots клин альфа _ {к}}$ и ${ Displaystyle бета = бета _ {1} клин cdots клин бета _ {к}}$ чтобы равняться Определитель грамма^[1]:14

${ displaystyle langle alpha, beta rangle = det ( left langle alpha _ {i}, beta _ {j} right rangle) _ {i, j = 1} ^ {k} }$

распространен на ${ Displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {! k} V}$ за счет линейности.

Единица п-вектор ${ displaystyle omega in { textstyle bigwedge} ^ {! n} V}$ определяется в терминах ориентированного ортонормированный базис ${ Displaystyle {е_ {1}, ldots, е_ {п} }}$ из V в качестве:

${ displaystyle omega : = e_ {1} wedge cdots wedge e_ {n}.}$

В Звездный оператор Ходжа является линейным оператором на внешняя алгебра из V, отображение k-векторы в (п – k) -векторы, для ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$. Он имеет следующее свойство, которое полностью его определяет:^[1]:15

${ Displaystyle альфа клин ({ звезда} бета) = langle альфа, бета рангл , омега}$ для каждой пары k-векторы ${ Displaystyle альфа, бета в { textstyle bigwedge} ^ {! k} V.}$

Дважды в пространстве ${ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {! n} V ^ {*}}$из п-формы (чередующиеся п-моллинейные функции на ${ Displaystyle V ^ {п}}$), двойственный к ${ displaystyle omega}$ это объемная форма ${ displaystyle det}$, функция, значение которой на ${ Displaystyle v_ {1} клин cdots клин v_ {п}}$ это детерминант из ${ Displaystyle п раз п}$ матрица, собранная из векторов-столбцов ${ displaystyle v_ {i}}$ в ${ displaystyle e_ {i}}$-координаты.

Применение ${ displaystyle det}$ к приведенному выше уравнению, мы получаем двойственное определение:

${ displaystyle det ( alpha wedge { star} beta) = langle alpha, beta rangle.}$

или, что то же самое, взяв ${ Displaystyle альфа = альфа _ {1} клин cdots клин альфа _ {к}}$, ${ Displaystyle бета = бета _ {1} клин cdots клин бета _ {к}}$, и ${ displaystyle star beta = beta _ {1} ^ { star} wedge cdots wedge beta _ {n-k} ^ { star}}$:

${ Displaystyle Det ( альфа _ {1} клин cdots клин альфа _ {k} клин бета _ {1} ^ { звезда} клин cdots клин бета _ {nk} ^ { star}) = det ( langle alpha _ {i}, beta _ {j} rangle).}$

Это означает, что запись ортонормированного базиса k-векторы как ${ Displaystyle е_ {I} = е_ {i_ {1}} клин cdots клин е_ {i_ {k}}}$ по всем подмножествам ${ Displaystyle I = {i_ {1} < cdots$ из ${ Displaystyle [п] = {1, ldots, п }}$, двойственным по Ходжу является (п - к) -вектор, соответствующий дополнительному множеству ${ displaystyle { bar {I}} = [n] setminus I = {{ bar {i}} _ {1} < cdots <{ bar {i}} _ {n-k} }}$:

${ displaystyle { star} e_ {I} = (- 1) ^ { sigma (I)} e _ { bar {I}},}$

куда ${ Displaystyle (-1) ^ { sigma (I)}}$ это знак перестановки ${ displaystyle sigma (I) = i_ {1} cdots i_ {k} { bar {i}} _ {1} cdots { bar {i}} _ {n-k}}$.

Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, она является изометрия на внешней алгебре ${ Displaystyle { textstyle bigwedge} V}$.

Геометрическое объяснение

Звезда Ходжа мотивируется соответствием между подпространством W из V и его ортогональное подпространство (по отношению к внутреннему продукту), где каждое пространство наделено ориентация и числовой коэффициент масштабирования. В частности, ненулевой разложимый k-вектор ${ displaystyle w_ {1} клин cdots клин w_ {k} in textstyle bigwedge ^ {! k} V}$ соответствует Плюккеровское вложение в подпространство ${ displaystyle W}$ с ориентированной базой ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {k}}$, наделенного масштабным коэффициентом, равным k-мерный объем параллелепипеда, натянутого на этот базис (равный Грамиан, определитель матрицы внутренних продуктов ${ displaystyle langle w_ {i}, w_ {j} rangle}$). Звезду Ходжа, действующую на разложимый вектор, можно записать как разложимую (п − k)-вектор:

${ Displaystyle звезда (w_ {1} клин cdots клин w_ {k}) , = , u_ {1} клин cdots wedge u_ {n-k},}$

куда ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n-k}}$ составляют ориентированную основу ортогональное пространство ${ Displaystyle U = W ^ { perp} !}$. Кроме того, (п − k) -объем ${ displaystyle u_ {i}}$-параллелепипед должен равняться k-объем ${ displaystyle w_ {i}}$-параллелепипед и ${ displaystyle w_ {1}, ldots, w_ {k}, u_ {1}, ldots, u_ {n-k}}$ должны составлять ориентированную основу V.

Генерал k-вектор - это линейная комбинация разложимых k-векторами, а определение звезды Ходжа распространяется на общие k-векторы, определив их как линейные.

Примеры

Два измерения

В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком (Икс, у), звезда Ходжа на k-forms задается

${ displaystyle { star} , 1 = dx wedge dy}$

${ displaystyle { star} , dx = dy}$

${ displaystyle { star} , dy = -dx}$

${ displaystyle { star} (dx wedge dy) = 1.}$

На комплексной плоскости, рассматриваемой как вещественное векторное пространство со стандартным полуторалинейная форма как метрика звезда Ходжа обладает тем замечательным свойством, что она инвариантна относительно голоморфный изменения координаты. z = Икс + иу является голоморфной функцией от ш = ты + iv, то по Уравнения Коши – Римана у нас есть это ∂Икс/∂ты = ∂у/∂v и ∂у/∂ты = –∂Икс/∂v. В новых координатах

${ Displaystyle альфа = п , dx + q , dy = left (p { frac { partial x} { partial u}} + q { frac { partial y} { partial u}} right) , du + left (p { frac { partial x} { partial v}} + q { frac { partial y} { partial v}} right) , dv = p_ {1} du + q_ {1} , dv,}$

так что

${ displaystyle { begin {align} { star} alpha = -q_ {1} , du + p_ {1} , dv & = - left (p { frac { partial x} { partial v }} + q { frac { partial y} { partial v}} right) du + left (p { frac { partial x} { partial u}} + q { frac { partial y} { partial u}} right) dv [4pt] & = - q left ({ frac { partial x} { partial u}} du + { frac { partial x} { partial v} } dv right) + p left ({ frac { partial y} { partial u}} du + { frac { partial y} { partial v}} dv right) [4pt] & = -q , dx + p , dy, end {выровнено}}}$

доказательство заявленной инвариантности.

Три измерения

Типичным примером звездного оператора Ходжа является случай п = 3, когда его можно принять как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для Евклидово р³ с основанием ${ displaystyle dx, dy, dz}$ из одноформный часто используется в векторное исчисление, обнаруживается, что

${ displaystyle { begin {align} { star} , dx & = dy wedge dz { star} , dy & = dz wedge dx { star} , dz & = dx wedge dy. конец {выровнено}}}$

Звезда Ходжа связывает экстерьер и кросс-продукт в трех измерениях:^[2]

${ Displaystyle { звезда} ( mathbf {и} клин mathbf {v}) = mathbf {u} times mathbf {v} qquad { star} ( mathbf {u} times mathbf {v}) = mathbf {u} wedge mathbf {v}.}$

Применительно к трем измерениям звезда Ходжа дает изоморфизм между аксиальные векторы и бивекторы, поэтому каждый осевой вектор а связан с бивектором А и наоборот, то есть:^[2] ${ displaystyle mathbf {A} = { star} mathbf {a}, mathbf {a} = { star} mathbf {A}}$Звезду Ходжа можно также интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью и бесконечно малым вращением вокруг оси со скоростью, равной длине вектора оси. Внутренний продукт в векторном пространстве ${ displaystyle V}$ дает изоморфизм ${ Displaystyle V cong V ^ {*} !}$ идентификация ${ displaystyle V}$ с этими двойное пространство, а пространство всех линейных операторов ${ displaystyle L: V to V}$ естественно изоморфен тензорное произведение ${ displaystyle V ^ {*} ! ! otimes V cong V otimes V}$. Таким образом, для ${ Displaystyle V = mathbb {R} ^ {3}}$, звездная карта ${ displaystyle textstyle star: V to bigwedge ^ {! 2} ! V subset V otimes V}$ берет каждый вектор ${ displaystyle mathbf {v}}$ к бивектору ${ displaystyle star mathbf {v} in V otimes V}$, что соответствует линейному оператору ${ displaystyle L _ { mathbf {v}}: от V до V}$. Конкретно, ${ Displaystyle L _ { mathbf {v}}}$ это кососимметричный оператор, который соответствует бесконечно малое вращение: то есть макроскопические вращения вокруг оси ${ Displaystyle mathbb {v}}$ даны матрица экспонента ${ Displaystyle ехр (tL _ { mathbf {v}})}$. Что касается основы ${ displaystyle dx, dy, dz}$ из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, тензор ${ displaystyle dx otimes dy}$ соответствует координатной матрице с 1 в ${ displaystyle dx}$ ряд и ${ displaystyle dy}$ колонна и т. д., а клин ${ displaystyle dx wedge dy , = , dx otimes dy-dy otimes dx}$ кососимметричная матрица ${ displaystyle scriptscriptstyle left [{ begin {array} {rrr} , 0 ! ! & ! ! 1 & ! ! ! ! ! 0 ! ! ! ! ! ! [-. 5em] , ! - 1 ! ! & ! ! 0 ! ! & ! ! ! ! 0 ! ! ! ! ! ! [-. 5em] , 0 ! ! & ! ! 0 ! ! & ! ! ! ! 0 ! ! ! ! ! ! End {массив }}!!!верно]}$и т.д. То есть мы можем интерпретировать звездный оператор как:

${ displaystyle mathbf {v} = a , dx + b , dy + c , dz quad longrightarrow quad star { mathbf {v}} cong L _ { mathbf {v}} = left [{ begin {array} {rrr} 0 & c & -b - c & 0 & a b & -a & 0 end {array}} right].}$

При этом соответствии перекрестному произведению векторов соответствует коммутатор Кронштейн лжи линейных операторов: ${ displaystyle L _ { mathbf {u} times mathbf {v}} = L _ { mathbf {u}} L _ { mathbf {v}} -L _ { mathbf {v}} L _ { mathbf {u }}}$.

Четыре измерения

В случае п = 4, звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т.е. он отображает 2-формы в 2-формы, поскольку 4 − 2 = 2). Если подпись метрический тензор все положительно, т.е. на Риманово многообразие, то звезда Ходжа является инволюция; если подпись смешанная, то приложение дважды вернет аргумент до знака - см. § Двойственность ниже. Например, в пространстве-времени Минковского, где п = 4 с метрической подписью (+ − − −) и координаты (т, Икс, у, z) где (используя ${ displaystyle varepsilon _ {0123} = 1}$):

${ displaystyle { begin {align} star dt & = dx wedge dy wedge dz star dx & = dt wedge dy wedge dz star dy & = - dt wedge dx wedge dz звезда dz & = dt wedge dx wedge dy end {выравнивается}}}$

за одноформный пока

${ Displaystyle { begin {align} star (dt wedge dx) & = - dy wedge dz звезда (dt wedge dy) & = dx wedge dz звезда (dt wedge dz) & = - dx wedge dy star (dx wedge dy) & = dt wedge dz star (dx wedge dz) & = - dt wedge dy star (dy wedge dz) & = dt wedge dx end {выровнено}}}$

за 2-формы. Поскольку их детерминанты одинаковы в обоих (+ − − −) и (− + + +), знаки двойственных 2-форм пространству Минковского зависят только от выбранной ориентации.^{[требуется проверка ]}

Легкое правило, которое следует запомнить для описанных выше операций Ходжа, состоит в том, что при заданной форме ${ displaystyle alpha}$, его двойственный ходжа ${ displaystyle { star} alpha}$ можно получить, написав компоненты, не участвующие в ${ displaystyle alpha}$ в таком порядке, что ${ Displaystyle альфа клин ( звезда альфа) = dt клин dx клин dy клин dz}$.^{[требуется проверка ]} Дополнительный знак минус появится только в том случае, если ${ displaystyle alpha}$ не содержит ${ displaystyle dt}$. (Последнее соглашение проистекает из выбора (+ − − −) для подписи метрики. За (− + + +), ставится минус, только если ${ displaystyle alpha}$ вовлекает ${ displaystyle dt}$.)

Пример: производные в трех измерениях

Сочетание ${ displaystyle star}$ оператор и внешняя производная d порождает классические операторы град, завиток, и div на векторные поля в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d преобразует 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму и 2-форму в 3-форму (и переводит 3-форму в ноль). Для 0-формы ${ Displaystyle е = е (х, у, г)}$, первый случай, выписанный в компонентах, дает:

${ displaystyle df = { frac { partial f} { partial x}} , dx + { frac { partial f} { partial y}} , dy + { frac { partial f} { partial z}} , dz.}$

Внутренний продукт определяет 1-формы с векторными полями как ${ Displaystyle dx mapsto (1,0,0)}$и т. д., так что ${ displaystyle df}$ становится ${ Displaystyle mathrm {grad} , е = ({ tfrac { partial f} { partial x}}, { tfrac { partial f} { partial y}}, { tfrac { partial f } { partial z}})}$.

Во втором случае векторное поле ${ Displaystyle mathbf {F} = (А, В, С)}$ соответствует 1-форме ${ Displaystyle varphi = A , dx + B , dy + C , dz}$, имеющий внешнюю производную:

${ displaystyle d varphi = left ({ partial C over partial y} - { partial B over partial z} right) dy wedge dz + left ({ partial C over partial x } - { partial A over partial z} right) dx wedge dz + left ({ partial B over partial x} - { partial A over partial y} right) dx wedge dy .}$

Применение звезды Ходжа дает 1-форму:

${ displaystyle star d varphi = left ({ partial C over partial y} - { partial B over partial z} right) , dx- left ({ partial C over partial x} - { partial A over partial z} right) , dy + left ({ partial B over partial x} - { partial A over partial y} right) , dz ,}$

которое становится векторным полем ${ displaystyle mathrm {curl} , mathbf {F} = ({ tfrac { partial C} { partial y}} - { tfrac { partial B} { partial z}}, , - { tfrac { partial C} { partial x}} + { tfrac { partial A} { partial z}}, , { tfrac { partial B} { partial x}} - { tfrac { partial A} { partial y}})}$.

В третьем случае ${ Displaystyle mathbf {F} = (А, В, С)}$ снова соответствует ${ Displaystyle varphi = A , dx + B , dy + C , dz}$. Снова применяя звезду Ходжа, внешнюю производную и звезду Ходжа:

${ displaystyle { begin {align} star varphi & = A , dy wedge dz-B , dx wedge dz + C , dx wedge dy, d { star varphi} & = left ({ frac { partial A} { partial x}} + { frac { partial B} { partial y}} + { frac { partial C} { partial z}} right) dx wedge dy wedge dz, star d { star varphi} & = { frac { partial A} { partial x}} + { frac { partial B} { partial y}} + { frac { partial C} { partial z}} = mathrm {div} , mathbf {F}. end {выравнивается}}}$

Одним из преимуществ этого выражения является то, что идентичность d² = 0, что верно во всех случаях, суммирует два других, а именно, что завиток град ж = 0 и div curl F = 0. Особенно, Уравнения Максвелла принимают особенно простую и элегантную форму, когда выражаются в терминах внешней производной и звезды Ходжа. Выражение ${ displaystyle star d star}$ называется кодифференциальный; он определяется в общих чертах для любого измерения далее в статье ниже.

Также можно получить Лапласиан Δж = div gradж с точки зрения вышеуказанных операций:

${ displaystyle Delta f = star d { star df} = { frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f } { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} f} { partial z ^ {2}}}.}.$

Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общего Оператор Лапласа – деРама ${ displaystyle Delta = d delta + delta d}$ куда ${ Displaystyle дельта = (- 1) ^ {к} звезда д звезда}$ кодифференциал для ${ displaystyle k}$-форм. Любая функция ${ displaystyle f}$ является 0-формой, и ${ displaystyle delta f = 0}$ и это сводится к обычному лапласиану. Для 1-формы ${ displaystyle varphi}$ выше кодифференциал ${ displaystyle delta = - star d star}$ и после некоторых подключи и выпей, получаем лапласиан, действующий на ${ displaystyle varphi}$.

Двойственность

Применение звезды Ходжа дважды оставляет k-вектор не изменился, кроме его знака: для ${ displaystyle eta in { textstyle bigwedge} ^ {k} V}$ в п-мерное пространство V, надо

${ displaystyle { star} { star} eta = (- 1) ^ {k (n-k)} s eta,}$

куда s равенство подпись внутреннего продукта на V, то есть знак детерминант матрицы внутреннего произведения относительно любого базиса. Например, если п = 4 и подпись внутреннего продукта либо (+ − − −) или же (− + + +) тогда s = −1. Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) всегда имеем s = 1.

Приведенное выше тождество означает, что обратное к ${ displaystyle star}$ можно представить как

${ displaystyle { begin {align} { star} ^ {- 1}: ~ & { textstyle bigwedge} ^ {! k} to { textstyle bigwedge} ^ {! nk} & eta mapsto (-1) ^ {k (nk)} ! s { star} eta end {выровнено}}}$

Если п странно тогда k(п − k) даже для любого k, тогда как если п даже тогда k(п − k) имеет паритет k. Следовательно:

${ displaystyle { star} ^ {- 1} = { begin {cases} s { star} & n { text {is odd}} (- 1) ^ {k} s { star} & n { text {четно}} end {case}}}$

куда k - степень воздействия на элемент.

На многообразиях

Для п-размерно ориентированный псевдориманово многообразие M, применим указанную выше конструкцию к каждому котангенс пространство ${ displaystyle { text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ и его внешние силы ${ Displaystyle клин ^ {k} { text {T}} _ {p} ^ {*} M}$, а значит, и дифференциалу k-формы ${ displaystyle zeta in Omega ^ {k} (M) = Gamma left ( wedge ^ {k} { text {T}} ^ {*} ! M right)}$, то глобальные разделы из пучок ${ Displaystyle клин ^ {к} mathrm {T} ^ {*} ! M to M}$. Метрика Риманина индуцирует скалярное произведение на ${ Displaystyle клин ^ {k} { text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ в каждой точке ${ displaystyle p in M}$. Мы определяем Ходж Дуал из k-форма ${ displaystyle zeta}$, определяя ${ displaystyle { star} zeta}$ как уникальный (п – k) -форма, удовлетворяющая

${ displaystyle eta wedge { star} zeta = langle eta, zeta rangle , omega}$

для каждого k-форма ${ displaystyle eta}$, куда ${ Displaystyle langle eta, zeta rangle}$ является действительной функцией на ${ displaystyle M}$, а объемная форма ${ displaystyle omega}$ индуцирована римановой метрикой. Интегрируя это уравнение по ${ displaystyle M}$, правая сторона становится ${ displaystyle L ^ {2}}$ (квадратично интегрируемый ) внутренний продукт на k-формы, и получаем:

${ displaystyle int _ {M} eta wedge { star} zeta = langle ! langle eta, zeta rangle ! rangle.}$

В более общем смысле, если ${ displaystyle M}$ неориентирована, можно определить звезду Ходжа k-форма как (п – k)-псевдодифференциальная форма; то есть дифференциальная форма со значениями в канонический набор строк.

Вычисление в индексной записи

Мы вычисляем с точки зрения обозначение тензорного индекса относительно базиса (не обязательно ортонормированного) ${ Displaystyle {{ tfrac { partial} { partial x_ {1}}}, ldots, { tfrac { partial} { partial x_ {n}}} }}$ в касательном пространстве ${ Displaystyle V = T_ {p} M}$ и его двойственная основа ${ Displaystyle {dx_ {1}, ldots, dx_ {п} }}$ в ${ displaystyle V ^ {*} = T_ {p} ^ {*} M}$, имеющий метрическую матрицу ${ Displaystyle (g_ {ij}) = ( langle { tfrac { partial} { partial x_ {i}}}, { tfrac { partial} { partial x_ {j}}} rangle )}$ и его обратная матрица ${ Displaystyle (г ^ {ij}) = ( langle dx_ {i}, dx_ {j} rangle)}$. Двойственный по Ходжу разложимой k-форма:

${ displaystyle star left (dx ^ {i_ {1}} wedge dots wedge dx ^ {i_ {k}} right) = { frac { sqrt {| det [g_ {ab }] |}} {(nk)!}} g ^ {i_ {1} j_ {1}} cdots g ^ {i_ {k} j_ {k}} varepsilon _ {j_ {1} dots j_ { n}} dx ^ {j_ {k + 1}} wedge dots wedge dx ^ {j_ {n}}.}$

Здесь ${ displaystyle varepsilon _ {j_ {1} dots j_ {n}}}$ это Символ Леви-Чивита с ${ Displaystyle varepsilon _ {1 точки п} = 1}$, и мы неявно взять сумму по всем значениям повторяющихся индексов ${ displaystyle j_ {1}, ldots, j_ {n}}$. Факториал ${ Displaystyle (п-к)!}$ учитывает двойной счет и отсутствует, если индексы суммирования ограничены так, что ${ displaystyle j_ {k + 1} < dots$. Абсолютное значение определителя необходимо, поскольку оно может быть отрицательным, что касается касательных пространств к Лоренцевы многообразия.

Произвольную дифференциальную форму можно записать:

${ displaystyle alpha = { frac {1} {k!}} alpha _ {i_ {1}, dots, i_ {k}} dx ^ {i_ {1}} wedge dots wedge dx ^ {i_ {k}} = sum _ {i_ {1} < dots$

Факториал ${ displaystyle k!}$ снова включается для учета двойного счета, когда мы разрешаем нерастущие индексы. Мы хотели бы определить двойственность компонента ${ displaystyle alpha _ {i_ {1}, dots, i_ {k}}}$ так что двойственная по Ходжу форма дается формулой

${ displaystyle star alpha = { frac {1} {(nk)!}} ( star alpha) _ {i_ {k + 1}, dots, i_ {n}} dx ^ {i_ {k +1}} wedge dots wedge dx ^ {i_ {n}}.}$

Используя приведенное выше выражение для двойственного по Ходжу ${ displaystyle dx ^ {i_ {1}} wedge dots wedge dx ^ {i_ {k}}}$, мы нашли:^[3]

${ displaystyle ( star alpha) _ {i_ {k + 1}, dots, i_ {n}} = { frac { sqrt {| det [g_ {ab}] |}} {k!} } alpha ^ {i_ {1}, dots, i_ {k}} , , varepsilon _ {i_ {1}, dots, i_ {n}}.}$

Хотя это выражение можно применить к любому тензору ${ displaystyle alpha}$, результат будет антисимметричным, так как сокращение с полностью антисимметричным символом Леви-Чивиты отменяет все, кроме полностью антисимметричной части тензора. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.

Форма единицы объема ${ displaystyle omega = звезда 1 in wedge ^ {n} V ^ {*}}$ дан кем-то:

${ displaystyle omega = { sqrt { left | det [g_ {ij}] right |}} ; dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {n}.}$

Кодифференциальный

Наиболее важное применение звезды Ходжа на многообразиях - определение кодифференциальный ${ displaystyle delta}$ на k-форм. Позволять

${ displaystyle delta = (- 1) ^ {n (k-1) +1} s { star} d { star} = (- 1) ^ {k} , { star} ^ {- 1} г { star}}$

куда ${ displaystyle d}$ это внешняя производная или дифференциал, и ${ displaystyle s = 1}$ для римановых многообразий. потом

${ Displaystyle d: Omega ^ {k} (M) to Omega ^ {k + 1} (M)}$

пока

${ Displaystyle delta: Omega ^ {k} (M) to Omega ^ {k-1} (M).}$

Кодифференциал не антидеривация на внешней алгебре, в отличие от внешней производной.

Кодифференциальный прилегающий внешней производной относительно интегрируемого с квадратом внутреннего произведения:

${ displaystyle langle ! langle eta, delta zeta rangle ! rangle = langle ! langle d eta, zeta rangle ! rangle,}$

куда ${ displaystyle zeta}$ это (k + 1)-форма и ${ displaystyle eta}$ а k-форма. Это тождество следует из теоремы Стокса для гладких форм:

${ Displaystyle 0 = int _ {M} d ( eta wedge { star} zeta) = int _ {M} left (d eta wedge { star} zeta - eta wedge { star} (- 1) ^ {k + 1} , { star} ^ {- 1} d { star} zeta right) = langle ! langle d eta, zeta rangle ! rangle - langle ! langle eta, delta zeta rangle ! rangle,}$

при условии M имеет пустую границу, или ${ displaystyle eta}$ или же ${ displaystyle star zeta}$ имеет нулевые граничные значения. (Правильное определение вышеизложенного требует указания топологическое векторное пространство которая замкнута и завершена на пространстве гладких форм. В Соболевское пространство обычно используется; он позволяет сходиться последовательности форм ${ displaystyle zeta _ {i} to zeta}$ (в качестве ${ Displaystyle я к infty}$) заменить на комбинированные дифференциальные и интегральные операции, так что ${ displaystyle langle ! langle eta, delta zeta _ {i} rangle ! rangle to langle ! langle eta, delta zeta rangle ! rangle}$ и аналогично для последовательностей, сходящихся к ${ displaystyle eta}$.)

Поскольку дифференциал удовлетворяет ${ displaystyle d ^ {2} = 0}$кодифференциал обладает соответствующим свойством

${ displaystyle delta ^ {2} = s ^ {2} { star} d { star} { star} d { star} = (- 1) ^ {k (nk)} s ^ {3} { star} d ^ {2} { star} = 0.}$

В Лаплас-деРам оператор задается

${ Displaystyle Delta = ( delta + d) ^ {2} = delta d + d delta}$

и лежит в основе Теория Ходжа. Он симметричен:

${ displaystyle langle ! langle Delta zeta, eta rangle ! rangle = langle ! langle zeta, Delta eta rangle ! rangle}$

и неотрицательный:

${ displaystyle langle ! langle Delta eta, eta rangle ! rangle geq 0.}$

Звезда Ходжа посылает гармонические формы к гармоническим формам. Как следствие Теория Ходжа, то когомологии де Рама естественно изоморфно пространству гармонических k-форм, поэтому звезда Ходжа индуцирует изоморфизм групп когомологий

${ displaystyle { star}: H _ { Delta} ^ {k} (M) to H _ { Delta} ^ {n-k} (M),}$

что, в свою очередь, дает канонические отождествления через Двойственность Пуанкаре из ЧАС ^k(M) с этими двойное пространство.

Примечания

Рекомендации

• Дэвид Бликер (1981) Калибровочная теория и вариационные принципы. Эддисон-Уэсли Паблишинг. ISBN  0-201-10096-7. Гл. 0 содержит сжатый обзор неримановой дифференциальной геометрии.
• Юрген Йост (2002) Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2. Подробное изложение, начиная с основных принципов; не рассматривает псевдориманов случай.
• Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер (1970) Гравитация. W.H. Фримен. ISBN  0-7167-0344-0. Базовый обзор дифференциальная геометрия в частном случае четырехмерного пространство-время.
• Стивен Розенберг (1997) Лапласиан на римановом многообразии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46831-0. Введение в уравнение теплопроводности и Теорема Атьи – Зингера.
• Тевиан Дрей (1999) Двойственный оператор Ходжа. Подробный обзор определения и свойств звездного оператора Ходжа.