Спинор - Spinor

Спинор визуализируется как вектор, указывающий вдоль Лента Мебиуса, демонстрируя инверсию знака, когда круг («физическая система») непрерывно вращается на полный оборот на 360 °.^[а]

По геометрии и физике, спиноры /sпɪпər/ являются элементами сложный векторное пространство что может быть связано с Евклидово пространство.^[b] Нравиться геометрические векторы и более общие тензоры, спиноры преобразовывать линейно когда евклидово пространство подвергается незначительному (бесконечно малый ) вращение.^[c] Однако если составить последовательность таких небольших поворотов (интегрированный ), чтобы сформировать полное окончательное вращение, результирующее спинорное преобразование зависит от того, какая последовательность малых вращений была использована. В отличие от векторов и тензоров, спинор превращается в свой отрицательный, когда пространство непрерывно вращается на полный оборот от 0 ° до 360 ° (см. Рисунок). Это свойство характеризует спиноры: спиноры можно рассматривать как «квадратные корни» векторов (хотя это неточно и может вводить в заблуждение; их лучше рассматривать как «квадратные корни» из секций вектора). векторные пучки - в случае расслоения внешних алгебр кокасательного расслоения они, таким образом, становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм).

Также можно связать существенно похожее понятие спинора с Пространство Минковского, в этом случае Преобразования Лоренца из специальная теория относительности играют роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картан в 1913 г.^[1][d] В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственный угловой момент, или "вращение" электрон и другие субатомные частицы.^[e]

Для спиноров характерно особое поведение при вращении. Они меняются по-разному, в зависимости не только от общего окончательного поворота, но и от деталей того, как это вращение было достигнуто (непрерывным путем в группа ротации ). Есть два топологически различимых класса (гомотопические классы ) путей через вращения, которые приводят к одинаковому общему повороту, как показано на трюк с поясом головоломка. Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. В вращательная группа - это группа всех вращений, отслеживающих класс.^[f] Он вдвойне покрывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами в качестве конечной точки пути. Пространство спиноров по определению снабжено (комплексным) линейное представление спиновой группы, что означает, что элементы спиновой группы действовать как линейные преобразования в пространстве спиноров, действительно зависящим от гомотопического класса.^[грамм] Математически спиноры описываются двузначным проективное представление группы вращений SO (3).

Хотя спиноры можно определить чисто как элементы пространства представления спиновой группы (или ее Алгебра Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, которое несет линейное представление Алгебра Клиффорда. Алгебра Клиффорда - это ассоциативная алгебра которое может быть построено из евклидова пространства и его внутреннего продукта независимо от базиса. И спиновая группа, и ее алгебра Ли естественным образом вкладываются в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать.^[час] Пространство Клиффорда действует на спинорном пространстве, а элементами спинорного пространства являются спиноры.^[3] После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда порождается формулой гамма-матрицы, матрицы, удовлетворяющие набору канонических антикоммутационных соотношений. Спиноры - это векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы. Например, в трех евклидовом измерении Спиновые матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц,^[я] и двухкомпонентный комплекс вектор-столбец на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, а следовательно, и то, что именно составляет «вектор-столбец» (или спинор), по существу включает выбор базисной и гамма-матриц. Как представление спиновой группы, эта реализация спиноров как (комплексная^[j]) векторы-столбцы будут либо несводимый если размерность нечетная, или она распадется на пару так называемых «полуноспиновых» или представлений Вейля, если размерность четная.^[k]

Вступление

Постепенное вращение можно представить как ленту в пространстве.^[l] Два постепенных поворота с разными классами, один на 360 ° и один на 720 °, показаны здесь в трюк с поясом головоломка. Решение головоломки - непрерывное манипулирование ремнем, фиксация концов, раскручивание его. Это невозможно при повороте на 360 °, но возможно при повороте на 720 °. Решение, показанное на второй анимации, дает явное гомотопия в группе вращения между поворотом на 720 ° и поворотом на 0 °.

Воспроизвести медиа

Предмет, прикрепленный к ремню или струне, может непрерывно вращаться, не запутываясь. Обратите внимание, что после того, как куб совершает поворот на 360 °, спираль меняет свою первоначальную конфигурацию. Ремни возвращаются в исходную конфигурацию после поворота на 720 °.

Воспроизвести медиа

Более экстремальный пример, демонстрирующий, что это работает с любым количеством строк. В пределе кусок сплошного непрерывного пространства может вращаться на месте таким образом, не разрываясь и не пересекаясь.

Что характеризует спиноры и отличает их от геометрические векторы и другие тензоры неуловимы. Рассмотрите возможность вращения координат системы. Ни один объект в самой системе не переместился, только координаты, поэтому всегда будет компенсирующее изменение этих значений координат при применении к любому объекту системы. Например, геометрические векторы имеют компоненты, которые будут подвергаться одинаковый вращение как координаты. В более широком смысле любой тензор связанный с системой (например, стресс некоторой среды) также имеет описания координат, которые корректируются, чтобы компенсировать изменения в самой системе координат.

Спиноры не появляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах одного изолированного вращения координат. Скорее спиноры появляются, когда мы представляем себе, что вместо одного вращения система координат постепенно (непрерывно ) вращался между начальной и конечной конфигурациями. Для любой из знакомых и интуитивно понятных («тензорных») величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от точных деталей того, как координаты пришли к своей окончательной конфигурации. С другой стороны, спиноры устроены таким образом, что делают их чувствительный о том, как туда пришло постепенное вращение координат: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, для любой окончательной конфигурации координат на самом деле есть два ("топологически ") неэквивалентный постепенный (непрерывные) вращения системы координат, которые приводят к такой же конфигурации. Эта двусмысленность называется гомотопический класс постепенного вращения. В трюк с поясом головоломка (на рисунке) демонстрирует два разных поворота, одно на угол 2π а другой под углом 4π, имеющих одинаковые окончательные конфигурации, но разные классы. Спиноры на самом деле демонстрируют смену знака, которая действительно зависит от этого гомотопического класса. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых не может почувствовать класс.

Спиноры можно выставить как конкретные объекты, используя выбор Декартовы координаты. Например, в трех евклидовом измерении спиноры могут быть построены путем выбора Спиновые матрицы Паули соответствующий (угловые моменты о) по трем координатным осям. Это матрицы 2 × 2 с сложный записи, и двухкомпонентный комплекс вектор-столбец на которые эти матрицы действуют матричное умножение спиноры. В этом случае спиновая группа изоморфна группе 2 × 2 унитарные матрицы с детерминант один, который, естественно, находится внутри матричной алгебры. Эта группа действует путем сопряжения на вещественном векторном пространстве, натянутом на сами матрицы Паули,^[м] осознавая это как группу вращений среди них,^[n] но он также действует на векторы-столбцы (то есть спиноры).

В более общем плане алгебру Клиффорда можно построить из любого векторного пространства. V оснащен (невырожденным) квадратичная форма, Такие как Евклидово пространство со стандартным скалярным произведением или Пространство Минковского со стандартной метрикой Лоренца. В пространство спиноров пространство векторов-столбцов с ${displaystyle 2 ^ {lfloor dim V / 2floor}}$ составные части. Ортогональная алгебра Ли (т. Е. Бесконечно малые «вращения») и спиновая группа, связанная с квадратичной формой, обе (канонически) содержатся в алгебре Клиффорда, поэтому каждое представление алгебры Клиффорда также определяет представление алгебры Ли и спиновой группы .^[o] В зависимости от размера и метрическая подпись, эта реализация спиноров как вектор-столбцов может быть несводимый или он может распадаться на пару так называемых «полоспиновых» или вейлевских представлений.^[п] Когда векторное пространство V четырехмерна, алгебра описывается гамма-матрицы.

Математическое определение

Пространство спиноров формально определяется как фундаментальное представление из Алгебра Клиффорда. (Это может или не может разлагаться на неприводимые представления.) Пространство спиноров можно также определить как представление вращения из ортогональная алгебра Ли. Эти спиновые представления также характеризуются как конечномерные проективные представления специальной ортогональной группы, которые не факторизуются через линейные представления. Эквивалентно спинор - это элемент конечномерного групповое представительство из вращательная группа на котором центр действует нетривиально.

Обзор

По сути, существует две основы для рассмотрения понятия спинора.

Из теоретические представления точки зрения, заранее известно, что есть некоторые представления о Алгебра Ли из ортогональная группа которые не могут быть сформированы обычными тензорными конструкциями. Эти недостающие представления затем помечаются как спиновые представления, и их составляющие спиноры. С этой точки зрения спинор должен принадлежать представление из двойная крышка из группа ротации ТАК(п, ℝ), или, в более общем смысле, двойного покрытия обобщенная специальная ортогональная группа ТАК⁺(п, q, ℝ) на пространствах с метрическая подпись из (п, q). Эти двойные обложки Группы Ли, называется спиновые группы Вращение(п) или же Вращение(п, q). Все свойства спиноров, их приложений и производных объектов сначала проявляются в спиновой группе. Представления двойных накрытий этих групп дают двузначные проективные представления самих групп. (Это означает, что действие определенного поворота на векторы в квантовом гильбертовом пространстве определено только с точностью до знака.)

С геометрической точки зрения можно явно сконструировать спиноры, а затем изучить, как они ведут себя под действием соответствующих групп Ли. Этот последний подход имеет то преимущество, что дает конкретное и элементарное описание того, что такое спинор. Однако такое описание становится громоздким, когда сложные свойства спиноров, такие как Фирменные личности, необходимы.

Алгебры Клиффорда

Язык Алгебры Клиффорда^[4] (иногда называют геометрические алгебры ) дает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп и различных отношений между этими представлениями через классификация алгебр Клиффорда. Это в значительной степени устраняет необходимость в для этого случая конструкции.

Подробно пусть V - конечномерное комплексное векторное пространство с невырожденной билинейной формой грамм. Алгебра Клиффорда Cℓ (V, грамм) это алгебра, порожденная V вместе с антикоммутационным соотношением ху + yx = 2грамм(Икс, у). Это абстрактная версия алгебры, порожденной гамма или же Матрицы Паули. Если V = ℂ^п, со стандартной формой грамм(Икс, у) = Икс^Ту = Икс₁у₁ + ... + Икс_пу_п обозначим алгебру Клиффорда через Cℓ_п( ℂ). Поскольку по выбору ортонормированного базиса каждое комплексное векторное пространство с невырожденной формой изоморфно этому стандартному примеру, этим обозначением злоупотребляют в более общем случае, если тусклый _ℂ(V) = п. Если п = 2k четно, Cℓ_п( ℂ) изоморфна как алгебра (неоднозначным образом) алгебре Мат (2^k,  ℂ) из 2^k × 2^k комплексные матрицы (по Теорема Артина-Веддерберна и легко доказать факт, что алгебра Клиффорда центральный простой ). Если п = 2k + 1 нечетное, Cℓ_2k+1( ℂ) изоморфна алгебре Мат (2^k,  ℂ) ⊕ Мат (2^k,  ℂ) двух экземпляров 2^k × 2^k сложные матрицы. Следовательно, в любом случае Cℓ (V, грамм) имеет единственное (с точностью до изоморфизма) неприводимое представление (также называемое простым Модуль Клиффорда ), обычно обозначаемую Δ, размерности 2^[п/2]. Поскольку алгебра Ли так(V, грамм) вкладывается как подалгебра Ли в Cℓ (V, грамм) с алгеброй Клиффорда коммутатор как скобка Ли, пространство Δ также является представлением алгебры Ли так(V, грамм) называется представление вращения. Если п нечетно, это представление алгебры Ли неприводимо. Если п четное, оно распадается на два неприводимых представления Δ = Δ₊ ⊕ Δ₋ называется Weyl или полспиновые представления.

Неприводимые представления над вещественными числами в случае, когда V реальное векторное пространство гораздо сложнее, и читатель отсылается к Алгебра Клиффорда статью для более подробной информации.

Спиновые группы

Спиновое представление Δ - это векторное пространство, снабженное представлением спиновой группы, которое не факторизуется через представление (специальной) ортогональной группы. Вертикальные стрелки обозначают короткая точная последовательность.

Спиноры образуют векторное пространство, обычно в течение сложные числа, оборудованный линейным групповое представительство из вращательная группа который не учитывается через представление группы поворотов (см. диаграмму). Спиновая группа - это группа вращений отслеживание класса гомотопии. Спиноры необходимы для кодирования основной информации о топологии группы вращений, потому что эта группа не является односвязный, но односвязная спиновая группа - это ее двойная крышка. Таким образом, для каждого вращения есть два элемента спиновой группы, которые его представляют. Геометрические векторы и другие тензоры не может почувствовать разницу между этими двумя элементами, но они производят противоположный признаки, когда они затрагивают любой спинор по представлению. Думая об элементах спиновой группы как гомотопические классы однопараметрических семейств поворотов каждое вращение представлено двумя различными гомотопическими классами путей к единице. Если однопараметрическое семейство поворотов визуализируется как лента в пространстве, причем параметр длины дуги этой ленты является параметром (ее касательная, нормальная, бинормальная рамка фактически дает вращение), то эти два различных гомотопических класса визуализируются в два государства трюк с поясом головоломка (вверху). Пространство спиноров - это вспомогательное векторное пространство, которое может быть явно построено в координатах, но в конечном итоге существует только с точностью до изоморфизма, поскольку не существует «естественного» их построения, которое не полагалось бы на произвольный выбор, такой как системы координат. Понятие спиноров в качестве вспомогательного математического объекта можно связать с любым векторным пространством, снабженным квадратичная форма Такие как Евклидово пространство со своим стандартом скалярное произведение, или же Пространство Минковского с этими Метрика Лоренца. В последнем случае «вращения» включают Лоренц усиливает, но в остальном теория по существу аналогична.

Спинорные поля в физике

Приведенные выше конструкции в терминах алгебры Клиффорда или теории представлений можно рассматривать как определение спиноров как геометрических объектов в нульмерном пространстве. пространство-время. Чтобы получить спиноры физики, такие как Спинор Дирака, расширяют конструкцию, чтобы получить спиновая структура в 4-мерном пространстве-времени (Пространство Минковского ). Фактически, каждый начинает с касательное многообразие пространства-времени, каждая точка которого представляет собой 4-мерное векторное пространство с ТАК(3,1) симметрии, а затем строит вращательная группа в каждой точке. Окрестности точек наделены понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция является одной из пучок волокон, слои которых являются аффинными пространствами, трансформирующимися относительно спиновой группы. После построения расслоения можно рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как Уравнение Дирака, или Уравнение Вейля на пучке волокон. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения, которые плоские волны, имеющий симметрию, характерную для волокон, т.е. имеющий симметрии спиноров, как получено из (нульмерной) алгебры Клиффорда / теории спинового представления, описанной выше. Такие плоско-волновые решения (или другие решения) дифференциальных уравнений в таком случае можно правильно назвать фермионы; фермионы обладают алгебраическими качествами спиноров. По общему соглашению, термины «фермион» и «спинор» часто используются в физике взаимозаменяемо, как синонимы друг друга.

Похоже, что все элементарные частицы в природе, которые имеют спин 1/2, описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино. Кажется, что нет априори причина, почему это так. Совершенно верным выбором для спиноров будет некомплексированная версия Cℓ_2,2(ℝ), то Майорана спинор.^[5] Также, похоже, нет особого запрета на Спиноры Вейля появляются в природе как элементарные частицы.

Спиноры Дирака, Вейля и Майорана взаимосвязаны, и их связь может быть выяснена на основе реальной геометрической алгебры.^[6] Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, в то время как спиноры Майораны являются действительными представлениями.

Спинора Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны, поскольку решения в виде плоских волн Вейля обязательно движутся со скоростью света; для массивных частиц Уравнение Дирака необходим. Первоначальное строительство Стандартная модель физика элементарных частиц начинается с электрона и нейтрино как безмассовых спиноров Вейля; то Механизм Хиггса придает электронам массу; классический нейтрино оставался безмассовым и, таким образом, являлся примером спинора Вейля.^[q] Однако из-за наблюдаемого осцилляция нейтрино, теперь считается, что это не спиноры Вейля, а, возможно, спиноры Майораны.^[7] Неизвестно, существуют ли в природе элементарные спинорные частицы Вейля.

Ситуация для физика конденсированного состояния отличается: можно построить двумерное и трехмерное "пространство-время" в большом количестве различных физических материалов, начиная от полупроводники к гораздо более экзотическим материалам. В 2015 году международная команда под руководством Университет Принстона ученые объявили, что нашли квазичастица который ведет себя как фермион Вейля.^[8]

Спиноры в теории представлений

Одно из основных математических приложений построения спиноров - сделать возможным явное построение линейные представления из Алгебры Ли из специальные ортогональные группы, и, следовательно, спинорные представления самих групп. На более глубоком уровне спиноры оказались в основе подходов к Теорема Атьи – Зингера об индексе, и предоставить конструкции, в частности, для дискретная серия представления полупростые группы.

Спиновые представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензор представления, данные Конструкция Вейля посредством веса. В то время как веса тензорных представлений являются целочисленными линейными комбинациями корней алгебры Ли, веса спиновых представлений являются их полуцелыми линейными комбинациями. Подробные сведения можно найти в представление вращения статья.

Попытки интуитивного понимания

Простыми словами, спинор можно описать как «векторы пространства, преобразования которых определенным образом связаны с вращениями в физическом пространстве».^[9] Говорят иначе:

Спиноры ... обеспечивают линейное представление группы вращения в пространстве с любым номером ${displaystyle n}$ размеров, каждый спинор имеет ${displaystyle 2 ^ {u}}$ компоненты, где ${displaystyle n = 2u +1}$ или же ${displaystyle 2u}$.^[2]

Было сформулировано несколько способов иллюстрации повседневных аналогий в терминах трюк с тарелкой, танглоиды и другие примеры ориентационная запутанность.

Тем не менее, эта концепция обычно считается трудной для понимания, о чем свидетельствует Майкл Атья Заявление, которое пересказывает биограф Дирака Грэм Фармело:

Никто до конца не понимает спиноров. Их алгебра формально понятна, но их общее значение загадочно. В некотором смысле они описывают «квадратный корень» из геометрии и, так же как понимание квадратный корень из −1 потребовались столетия, то же самое можно сказать и о спинорах.^[10]

История

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картан в 1913 г.^[11] Слово «спинор» было придумано Поль Эренфест в своей работе над квантовая физика.^[12]

Спиноры впервые были применены к математическая физика к Вольфганг Паули в 1927 году, когда он представил свой спиновые матрицы.^[13] В следующем году, Поль Дирак открыл полностью релятивистский теория электрон вращение показав связь между спинорами и Группа Лоренца.^[14] К 1930-м годам Дирак, Пит Хайн и другие на Институт Нильса Бора (тогда известный как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создал такие игрушки, как Танглоиды научить и моделировать исчисление спиноров.

Спинорные пространства были представлены в виде левые идеалы матричной алгебры в 1930 г. Г. Жювет^[15] и по Фриц Заутер.^[16][17] В частности, вместо представления спиноров в виде комплексных двумерных векторов-столбцов, как это сделал Паули, они представили их в виде комплекснозначных матриц 2 × 2, в которых только элементы левого столбца не равны нулю. Таким образом спинорное пространство стало минимальный левый идеал в Мат (2, ℂ).^[р][19]

В 1947 г. Марсель Рис построенные спинорные пространства как элементы минимального левого идеала Алгебры Клиффорда. В 1966/1967 г. Дэвид Хестенес^[20][21] заменили спинорные пространства на даже подалгебра Cℓ⁰_1,3(ℝ) из алгебра пространства-времени Cℓ_1,3(ℝ).^[17][19] С 1980-х годов группа теоретической физики Биркбек колледж вокруг Дэвид Бом и Бэзил Хили развивается алгебраические подходы к квантовой теории которые основываются на отождествлении Заутера и Рисса спиноров с минимальными левыми идеалами.

Примеры

Некоторые простые примеры спиноров в малых размерностях возникают из рассмотрения четных подалгебр алгебры Клиффорда Cℓ_п, q(ℝ). Это алгебра, построенная на ортонормированном базисе п = п + q взаимно ортогональные векторы при сложении и умножении, п из которых имеют норму +1 и q из которых имеют норму −1, с правилом произведения для базисных векторов

${displaystyle e_ {i} e_ {j} = {egin {case} + 1 & i = j ,, iin (1, ldots, p) - 1 & i = j ,, iin (p + 1, ldots, n) - e_ {j} e_ {i} & ieq j.end {case}}}$

Два измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ_2,0(ℝ) строится на основе одного единичного скаляра, 1, двух ортогональных единичных векторов, σ₁ и σ₂, и один блок псевдоскалярный я = σ₁σ₂. Из приведенных выше определений очевидно, что (σ₁)² = (σ₂)² = 1, и (σ₁σ₂)(σ₁σ₂) = −σ₁σ₁σ₂σ₂ = −1.

Четная подалгебра Cℓ⁰_2,0(ℝ), натянутый на четный базисные элементы Cℓ_2,0(ℝ), определяет пространство спиноров через свои представления. Он состоит из реальных линейных комбинаций 1 и σ₁σ₂. Как вещественная алгебра Cℓ⁰_2,0(ℝ) изоморфно полю сложные числа ℂ. В результате он допускает операцию сопряжения (аналогично комплексное сопряжение ), иногда называемый обеспечить регресс элемента Клиффорда, определяемого

${displaystyle (a + bsigma _ {1} sigma _ {2}) ^ {*} = a + bsigma _ {2} sigma _ {1}.}$

что, согласно соотношениям Клиффорда, можно записать

${displaystyle (a + bsigma _ {1} sigma _ {2}) ^ {*} = a + bsigma _ {2} sigma _ {1} = a-bsigma _ {1} sigma _ {2}.}$

Действие ровного элемента Клиффорда γ ∈ Cℓ⁰_2,0(ℝ) на векторах, рассматриваемых как 1-градуированные элементы Cℓ_2,0(ℝ), определяется отображением общего вектора ты = а₁σ₁ + а₂σ₂ к вектору

${displaystyle gamma (u) = gamma ugamma ^ {*},}$

куда γ^∗ является конъюгатом γ, а произведение - умножение Клиффорда. В этой ситуации спинор^[s] обычное комплексное число. Действие γ на спиноре φ дается обычным комплексным умножением:

${displaystyle gamma (phi) = gamma phi}$.

Важной особенностью этого определения является различие между обычными векторами и спинорами, которое проявляется в том, как четные элементы действуют на каждый из них по-разному. В общем, быстрая проверка соотношений Клиффорда показывает, что четные элементы сопряжены-коммутируют с обычными векторами:

${displaystyle gamma (u) = gamma ugamma ^ {*} = gamma ^ {2} u.}$

С другой стороны, по сравнению с действием на спиноры γ(φ) = γφ, γ на обычных векторах действует как квадрат его действия на спиноры.

Рассмотрим, например, значение этого для вращения плоскости. Поворот вектора на угол θ соответствует γ² = ехр (θ σ₁σ₂), так что соответствующее действие на спиноры осуществляется через γ = ± ехр (θ σ₁σ₂/2). В общем, из-за логарифмическое ветвление, невозможно выбрать знак последовательно. Таким образом, представление плоских вращений на спинорах двузначно.

В приложениях спиноров в двух измерениях обычно используется тот факт, что алгебра четных элементов (то есть просто кольцо комплексных чисел) идентична пространству спиноров. Итак, по злоупотребление языком, эти два понятия часто смешивают. Тогда можно говорить о «действии спинора на вектор». В общем случае такие утверждения бессмысленны. Но в размерностях 2 и 3 (применительно, например, к компьютерная графика ) они имеют смысл.

Примеры

• Четный элемент

${displaystyle gamma = {frac {1} {sqrt {2}}} (1-sigma _ {1} sigma _ {2})}$

соответствует повороту вектора на 90 ° от σ₁ вокруг к σ₂, что можно проверить, подтвердив, что

${displaystyle {frac {1} {2}} (1-sigma _ {1} sigma _ {2}) {a_ {1} sigma _ {1} + a_ {2} sigma _ {2}} (1-sigma _ {2} сигма _ {1}) = а_ {1} сигма _ {2} -а_ {2} сигма _ {1}}$

Однако это соответствует вращению спинора всего на 45 °:

${displaystyle {frac {1} {sqrt {2}}} (1-sigma _ {1} sigma _ {2}) {a_ {1} + a_ {2} sigma _ {1} sigma _ {2}} = {frac {a_ {1} + a_ {2}} {sqrt {2}}} + {frac {-a_ {1} + a_ {2}} {sqrt {2}}} sigma _ {1} sigma _ { 2}}$

• Подобным образом четный элемент γ = −σ₁σ₂ соответствует повороту вектора на 180 °:

${displaystyle (-sigma _ {1} sigma _ {2}) {a_ {1} sigma _ {1} + a_ {2} sigma _ {2}} (- sigma _ {2} sigma _ {1}) = -a_ {1} сигма _ {1} -a_ {2} сигма _ {2}}$

но вращение спинора всего на 90 °:

${displaystyle (-sigma _ {1} sigma _ {2}) {a_ {1} + a_ {2} sigma _ {1} sigma _ {2}} = a_ {2} -a_ {1} sigma _ {1 } сигма _ {2}}$

• Продолжая далее, равномерный элемент γ = −1 соответствует векторному вращению на 360 °:

${displaystyle (-1) {a_ {1} sigma _ {1} + a_ {2} sigma _ {2}}, (- 1) = a_ {1} sigma _ {1} + a_ {2} sigma _ { 2}}$

но вращение спинора на 180 °.

Три измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ_3,0(ℝ) строится на основе одного единичного скаляра, 1, трех ортогональных единичных векторов, σ₁, σ₂ и σ₃, три единичных бивектора σ₁σ₂, σ₂σ₃, σ₃σ₁ и псевдоскалярный я = σ₁σ₂σ₃. Несложно показать, что (σ₁)² = (σ₂)² = (σ₃)² = 1, и (σ₁σ₂)² = (σ₂σ₃)² = (σ₃σ₁)² = (σ₁σ₂σ₃)² = −1.

Подалгебра четных элементов состоит из скалярных растяжений,

${displaystyle u '= ho ^ {left ({frac {1} {2}} ight)} uho ^ {left ({frac {1} {2}} ight)} = ho u,}$

и векторные вращения

${displaystyle u '= гамма-угамма ^ {*},}$

куда

${displaystyle left. {egin {align} gamma & = cos left ({frac {heta} {2}} ight) - {a_ {1} sigma _ {2} sigma _ {3} + a_ {2} sigma _ { 3} sigma _ {1} + a_ {3} sigma _ {1} sigma _ {2}} sin left ({frac {heta} {2}} ight) & = cos left ({frac {heta} {2 }} ight) -i {a_ {1} sigma _ {1} + a_ {2} sigma _ {2} + a_ {3} sigma _ {3}} sin left ({frac {heta} {2}} ight ) & = cos left ({frac {heta} {2}} ight) -ivsin left ({frac {heta} {2}} ight) end {align}} ight}}$ (1)

соответствует повороту вектора на угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором v = а₁σ₁ + а₂σ₂ + а₃σ₃.

В качестве частного случая легко увидеть, что если v = σ₃, это воспроизводит σ₁σ₂ ротация, рассмотренная в предыдущем разделе; и что такое вращение оставляет коэффициенты векторов в σ₃ направление инвариантно, так как

${displaystyle left [cos left ({frac {heta} {2}} ight) -isigma _ {3} sin left ({frac {heta} {2}} ight) ight] sigma _ {3} left [cos left ( {frac {heta} {2}} ight) + isigma _ {3} sin left ({frac {heta} {2}} ight) ight] = left [cos ^ {2} left ({frac {heta} {2 }} ight) + sin ^ {2} left ({frac {heta} {2}} ight) ight] sigma _ {3} = sigma _ {3}.}$

Бивекторы σ₂σ₃, σ₃σ₁ и σ₁σ₂ на самом деле Гамильтона кватернионы я, j, и k, обнаруженный в 1843 г .:

${displaystyle {egin {align} mathbf {i} & = - sigma _ {2} sigma _ {3} = - isigma _ {1} mathbf {j} & = - sigma _ {3} sigma _ {1} = -isigma _ {2} mathbf {k} & = - sigma _ {1} sigma _ {2} = - isigma _ {3} конец {выровнено}}}$

С отождествлением четных элементов с алгеброй ℍ кватернионов, так как в случае двух измерений единственное представление алгебры четно-градуированных элементов находится на самом себе.^[т] Таким образом (реальный^[u]) спиноры в трех измерениях являются кватернионами, а действие четно-градуированного элемента на спинор задается обычным кватернионным умножением.

Отметим, что выражение (1) для поворота вектора на угол θ, угол в γ был уменьшен вдвое. Таким образом, вращение спинора γ(ψ) = γψ (обычное кватернионное умножение) вращает спинор ψ на угол, составляющий половину угла поворота соответствующего вектора. И снова задача преобразования векторного вращения в спинорное вращение двузначна: выражение (1) с (180° + θ/2) на месте θ/ 2 будет производить такое же вращение вектора, но отрицательное вращение спинора.

Спинор / кватернионное представление вращений в 3D становится все более распространенным в компьютерной геометрии и других приложениях из-за заметной краткости соответствующей спиновой матрицы и простоты, с которой их можно перемножить, чтобы вычислить комбинированный эффект последовательных вращений вокруг. разные оси.

Явные конструкции

Пространство спиноров можно явно построить с помощью конкретных и абстрактных конструкций. Эквивалентность этих конструкций является следствием единственности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда. Полный пример измерения 3 см. спиноры в трех измерениях.

Компонентные спиноры

Учитывая векторное пространство V и квадратичная форма грамм явное матричное представление алгебры Клиффорда Cℓ (V, грамм) можно определить следующим образом. Выберите ортонормированный базис е¹ … е^п за V т.е. грамм(е^μе^ν) = η^μν куда η^μμ = ±1 и η^μν = 0 за μ ≠ ν. Позволять k = ⌊п/2⌋. Исправить набор 2^k × 2^k матрицы γ¹ … γ^п такой, что γ^μγ^ν + γ^νγ^μ = 2η^μν1 (т.е. зафиксировать соглашение для гамма-матрицы ). Тогда задание е^μ → γ^μ однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр Cℓ (V, грамм) → Мат (2^k,  ℂ) отправив моном е^μ₁ … е^μ_k в алгебре Клиффорда к произведению γ^μ₁ … γ^μ_k матриц и продолжаются линейно. Космос Δ = ℂ^2k на которое действуют гамма-матрицы, теперь представляет собой пространство спиноров. Однако необходимо явно строить такие матрицы. В размерности 3 определение гамма-матриц как Сигма-матрицы Паули дает начало знакомым двухкомпонентным спинорам, используемым в нерелятивистских квантовая механика. Аналогичным образом с помощью 4 × 4 Гамма-матрицы Дирака порождают 4-компонентные спиноры Дирака, используемые в 3 + 1-мерных релятивистских системах. квантовая теория поля. В общем, для определения гамма-матриц требуемого типа можно использовать Матрицы Вейля – Брауэра.

В этой конструкции представление алгебры Клиффорда Cℓ (V, грамм), алгебра Ли так(V, грамм), а группа Spin Вращение(V, грамм), все зависит от выбора ортонормированного базиса и выбора гамма-матриц. Это может вызвать путаницу в соглашениях, но инварианты, такие как трассировки, не зависят от выбора. В частности, все физически наблюдаемые величины не должны зависеть от такого выбора. В этой конструкции спинор можно представить в виде вектора 2^k комплексные числа и обозначается спинорными индексами (обычно α, β, γ). В физической литературе абстрактные спинорные индексы часто используются для обозначения спиноров даже при использовании абстрактной спинорной конструкции.

Абстрактные спиноры

Есть по крайней мере два разных, но по существу эквивалентных способа абстрактного определения спиноров. Один из подходов направлен на выявление минимальных идеалов для левого действия Cℓ (V, грамм) на себя. Это подпространства алгебры Клиффорда вида Cℓ (V, грамм)ω, допуская очевидное действие Cℓ (V, грамм) умножением слева: c : xω → cxω. На эту тему есть две вариации: можно найти примитивный элемент. ω это нильпотентный элемент алгебры Клиффорда, или тот, который является идемпотент. Конструкция с помощью нильпотентных элементов более фундаментальна в том смысле, что затем из нее может быть получен идемпотент.^[22] Таким образом спинорные представления отождествляются с некоторыми подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход заключается в построении векторного пространства с использованием выделенного подпространства V, а затем указать действие алгебры Клиффорда внешне в это векторное пространство.

В любом подходе фундаментальным понятием является понятие изотропное подпространство W. Каждая конструкция зависит от начальной свободы выбора этого подпространства. С физической точки зрения это соответствует тому факту, что не существует протокола измерения, который мог бы указать основу пространства спинов, даже если предпочтительная основа V дано.

Как и выше, мы позволяем (V, грамм) быть п-мерное комплексное векторное пространство с невырожденной билинейной формой. Если V является реальным векторным пространством, то заменим V своим комплексирование V ⊗_ℝ  ℂ и разреши грамм обозначим индуцированную билинейную форму на V ⊗_ℝ  ℂ. Позволять W - максимальное изотропное подпространство, т.е. максимальное подпространство в V такой, что грамм|_W = 0. Если п =  2k четно, тогда пусть W′ - изотропное подпространство, дополнительное к W. Если п =  2k + 1 странно, пусть W′ - максимальное изотропное подпространство с W ∩ W′ = 0, и разреши U быть ортогональным дополнением к W ⊕ W′. Как в четном, так и в нечетномерном случаях W и W′ иметь размер k. В нечетномерном случае U одномерный, натянутый на единичный вектор ты.

Минимальные идеалы

С W′ изотропно, умножение элементов W′ внутри Cℓ (V, грамм) является перекос. Следовательно, векторы в W′ антикоммутируют, и Cℓ (W′, грамм|_W′) = Cℓ (W′, 0) это просто внешняя алгебра Λ^∗W′. Следовательно, k-складчатое произведение W′ с собой, W′^k, является одномерным. Позволять ω быть генератором W′^k. С точки зрения основы ш′₁, …, ш′_k из в W′, одна из возможностей - установить

${displaystyle omega = w '_ {1} w' _ {2} cdots w '_ {k}.}$

Обратите внимание, что ω² = 0 (т.е. ω нильпотентна порядка 2) и, кроме того, ш′ω = 0 для всех ш′ ∈ W′. Легко доказать следующие факты:

1. Если п = 2k, то левый идеал Δ = Cℓ (V, грамм)ω - минимальный левый идеал. Кроме того, это разбивается на два спиновых пространства Δ₊ = Cℓ^четноеω и Δ₋ = Cℓ^{странный}ω об ограничении на действие четной алгебры Клиффорда.
2. Если п = 2k + 1, то действие единичного вектора ты слева идеал Cℓ (V, грамм)ω разлагает пространство на пару изоморфных неприводимых собственных подпространств (оба обозначаются Δ), соответствующих собственным значениям +1 и −1.

Подробно предположим, например, что п даже. Предположим, что я - ненулевой левый идеал, содержащийся в Cℓ (V, грамм)ω. Мы покажем, что я должно быть равно Cℓ (V, грамм)ω доказав, что он содержит ненулевое скалярное кратное ω.

Закрепить основу ш_я из W и дополнительная основа ш_я' из W′ так что

ш_яш_j′ +ш_j′ш_я = δ_ij, и

(ш_я)² = 0, (ш_я′)² = 0.

Обратите внимание, что любой элемент я должен иметь форму αω, в силу нашего предположения, что я ⊂ Cℓ (V, грамм) ω. Позволять αω ∈ я быть любым таким элементом. Используя выбранный базис, мы можем написать

${displaystyle alpha = sum _ {i_ {1}$

где а_я1…яп скаляры, а B_j являются вспомогательными элементами алгебры Клиффорда. Обратите внимание, что продукт

${displaystyle alpha omega = sum _ {i_ {1}$

Выберите любой ненулевой моном а в расширении α с максимальной однородностью по элементам ш_я:

${displaystyle a = a_ {i_ {1} dots i_ {ext {max}}} w_ {i_ {1}} dots w_ {i_ {ext {max}}}}$ (без суммирования),

тогда

${displaystyle w '_ {i_ {ext {max}}} cdots w' _ {i_ {1}} alpha omega = a_ {i_ {1} dots i_ {ext {max}}} omega}$

является ненулевым скалярным кратным ω, как требуется.

Обратите внимание, что для п даже, это вычисление также показывает, что

${displaystyle Delta = mathrm {C} ell (W) omega = left (Lambda ^ {*} Wight) omega}$.

как векторное пространство. В последнем равенстве мы снова использовали это W изотропен. С точки зрения физики это показывает, что Δ строится как Пространство фока к создание спиноров, использующих антикоммутирующие операторы создания в W действуя на вакуум ω.

Построение внешней алгебры

Вычисления с использованием конструкции минимального идеала показывают, что спинорное представление также может быть определено непосредственно с помощью внешняя алгебра Λ^∗ W = ⊕_j Λ^j W изотропного подпространства W.Позволять Δ = Λ^∗ W обозначим внешнюю алгебру W рассматривается только как векторное пространство. Это будет спиновое представление, и его элементы будем называть спинорами.^[23][24]

Действие алгебры Клиффорда на Δ сначала определяется действием элемента из V на Δ, а затем показав, что это действие соблюдает соотношение Клиффорда и, таким образом, продолжается до гомоморфизм полной алгебры Клиффорда в кольцо эндоморфизмов End (Δ) универсальное свойство алгебр Клиффорда. Детали немного отличаются в зависимости от того, размер V четное или нечетное.

Когда тусклый (V) даже, V = W ⊕ W ′ куда W ′ является выбранным изотропным дополнением. Следовательно, любой v ∈ V разлагается однозначно как v = ш + w ′ с ш ∈ W и w ′ ∈ W ′. Действие v на спиноре задается

${displaystyle c (v) w_ {1} клин cdots клин w_ {n} = left (epsilon (w) + ileft (w'ight) ight) left (w_ {1} клин cdots клин w_ {n} ight)}$

куда я(w ′) является интерьерный продукт с w ′ используя невырожденную квадратичную форму для идентификации V с V^∗, а ε (w) обозначает внешний продукт. Это действие иногда называют Клиффорд продукт. Можно проверить, что

${displaystyle c (u), c (v) + c (v), c (u) = 2, g (u, v) ,,}$

и так c соблюдает отношения Клиффорда и продолжается до гомоморфизма от алгебры Клиффорда до End (Δ).

Спиновое представление Δ далее распадается на пару неприводимых комплексных представлений группы Spin^[25] (представления полуспина, или спиноры Вейля) через

${displaystyle Delta _ {+} = Lambda ^ {ext {even}} W ,, Delta _ {-} = Lambda ^ {ext {odd}} W}.$.

Когда тусклый (V) нечетно, V = W ⊕ U ⊕ W′, куда U натянуто на единичный вектор ты ортогонален W. Действие Клиффорда c определяется, как и раньше, на W ⊕ W′, в то время как действие Клиффорда (кратное) ты определяется

${displaystyle c (u) alpha = {egin {case} alpha & {hbox {if}} alpha в Lambda ^ {ext {even}} W -alpha & {hbox {if}} alpha в Lambda ^ {ext {odd }} Wend {case}}}$

Как и раньше, проверяется, что c соблюдает отношения Клиффорда и тем самым индуцирует гомоморфизм.

Эрмитовы векторные пространства и спиноры

Если векторное пространство V имеет дополнительную структуру, которая обеспечивает разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, тогда определение спиноров (любым методом) становится естественным.

Основным примером является случай, когда реальное векторное пространство V это Эрмитское векторное пространство (V, час), т.е. V оснащен сложная структура J это ортогональное преобразование относительно внутреннего продукта грамм на V. потом V ⊗_ℝ ℂ расщепляется на ±я собственные подпространства J. Эти собственные подпространства изотропны для комплексирования грамм и может быть отождествлен с комплексным векторным пространством (V, J) и его комплексно сопряженный (V, −J). Следовательно, для эрмитова векторного пространства (V, час) векторное пространство Λ^⋅
_ℂV (а также его комплексно сопряженное Λ^⋅
_ℂV) является спинорным пространством для лежащего в основе реального евклидова векторного пространства.

С действием Клиффорда, как указано выше, но с сжатием с использованием эрмитовой формы, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке почти эрмитово многообразие и это причина, почему каждый почти комплексное многообразие (в частности, каждый симплектическое многообразие ) имеет Вращение^c структура. Точно так же каждое комплексное векторное расслоение на многообразии несет Spin^c структура.^[26]

Разложение Клебша – Гордана

Номер Разложения Клебша – Гордана возможны на тензорное произведение одного представления спина с другим.^[27] Эти разложения выражают тензорное произведение через альтернирующие представления ортогональной группы.

Для реального или сложного случая альтернативные представления

• Γ_р = Λ^рV, представление ортогональной группы на косых тензорах ранга р.

Кроме того, для реальных ортогональных групп существует три символы (одномерные представления)

• σ₊ : O (п, q) → {−1, +1}, задаваемое формулой σ₊(R) = −1, если р меняет пространственную ориентацию V, +1, если р сохраняет пространственную ориентацию V. (Пространственный характер.)
• σ₋ : O (п, q) → {−1, +1}, задаваемое формулой σ₋(R) = −1, если р меняет временную ориентацию V, +1, если р сохраняет временную ориентацию V. (Временной характер.)
• σ = σ₊σ₋ . (Ориентационный персонаж.)

Разложение Клебша – Гордана позволяет, среди прочего, определить:

• Действие спиноров на векторы.
• А Эрмитова метрика на комплексных представлениях вещественных спиновых групп.
• А Оператор Дирака на каждом представлении спина.

Четные размеры

Если п = 2k четно, то тензорное произведение Δ на противоположное представление разлагается как

${displaystyle Delta otimes Delta ^ {*} cong igoplus _ {p = 0} ^ {n} Gamma _ {p} cong igoplus _ {p = 0} ^ {k-1} left (Gamma _ {p} oplus sigma Gamma _ {p} ight) oplus Gamma _ {k}}$

что можно увидеть явно, рассматривая (в явной конструкции) действие алгебры Клиффорда на разложимых элементах αω ⊗ βω′. Самая правая формулировка следует из свойств преобразования Звездный оператор Ходжа. Заметим, что при ограничении на четную алгебру Клиффорда парные слагаемые Γ_п ⊕ σΓ_п изоморфны, но в полной алгебре Клиффорда нет.

Существует естественное отождествление Δ с его контрагредиентным представлением через сопряжение в алгебре Клиффорда:

${displaystyle (alpha omega) ^ {*} = omega left (alpha ^ {*} ight).}$

Так Δ ⊗ Δ также разлагается указанным выше образом. Кроме того, в четной алгебре Клиффорда представления полспина разлагаются

${displaystyle {egin {align} Delta _ {+} иногда Delta _ {+} ^ {*} cong Delta _ {-} иногда Delta _ {-} ^ {*} & cong igoplus _ {p = 0} ^ {k} Гамма _ {2p} Delta _ {+} иногда Delta _ {-} ^ {*} cong Delta _ {-} иногда Delta _ {+} ^ {*} & cong igoplus _ {p = 0} ^ {k-1 } Гамма _ {2p + 1} конец {выровнено}}}$

Для комплексных представлений вещественных алгебр Клиффорда ассоциированные структура реальности на комплексной алгебре Клиффорда спускается в пространство спиноров (например, с помощью явной конструкции в терминах минимальных идеалов). Таким образом, мы получаем комплексно сопряженный Δ представления Δ, и выполняется следующий изоморфизм:

${displaystyle {ar {Delta}} cong sigma _ {-} Delta ^ {*}}$

В частности, отметим, что представление Δ ортохронной спиновой группы является унитарное представительство. В общем случае существуют разложения Клебша – Гордана

${displaystyle Delta otimes {ar {Delta}} cong igoplus _ {p = 0} ^ {k} left (sigma _ {-} Gamma _ {p} oplus sigma _ {+} Gamma _ {p} ight).}$

В метрической подписи (п, q), для сопряженных полусиновых представлений имеют место следующие изоморфизмы

• Если q четно, тогда ${displaystyle {ar {Delta}} _ {+} cong sigma _ {-} иногда Delta _ {+} ^ {*}}$ и ${displaystyle {ar {Delta}} _ {-} cong sigma _ {-} иногда Delta _ {-} ^ {*}.}$
• Если q странно, то ${displaystyle {ar {Delta}} _ {+} cong sigma _ {-} иногда Delta _ {-} ^ {*}}$ и ${displaystyle {ar {Delta}} _ {-} cong sigma _ {-} иногда Delta _ {+} ^ {*}.}$

Используя эти изоморфизмы, можно вывести аналогичные разложения для тензорных произведений полуспиновых представлений Δ_± ⊗ Δ_±.

Нечетные размеры

Если п = 2k + 1 странно, то

${displaystyle Delta otimes Delta ^ {*} cong igoplus _ {p = 0} ^ {k} Gamma _ {2p}.}$

В реальном случае снова имеет место изоморфизм

${displaystyle {ar {Delta}} cong sigma _ {-} Delta ^ {*}.}$

Следовательно, существует разложение Клебша – Гордана (снова с использованием звезды Ходжа для дуализации), задаваемое формулой

${displaystyle Delta otimes {ar {Delta}} cong sigma _ {-} Gamma _ {0} oplus sigma _ {+} Gamma _ {1} oplus dots oplus sigma _ {pm} Gamma _ {k}}$

Последствия

Есть много далеко идущих последствий разложения Клебша – Гордана спинорных пространств. Наиболее фундаментальные из них относятся к теории электрона Дирака, среди основных требований которой:

• Способ рассмотрения произведения двух спиноров ϕψ как скаляр. С физической точки зрения спинор должен определять амплитуда вероятности для квантовое состояние.
• Способ рассмотрения продукта ψϕ как вектор. Это существенная особенность теории Дирака, которая связывает спинорный формализм с геометрией физического пространства.
• Способ рассмотрения спинора как действующего на вектор с помощью такого выражения, как ψvψ. В физическом плане это представляет собой электрический ток Максвелла электромагнитная теория, или в более общем смысле ток вероятности.

Резюме в малых размерах

• В одномерном измерении (тривиальный пример) единственное спинорное представление формально является майорановским, т.е. настоящий 1-мерное представление, которое не преобразуется.
• В 2-х евклидовых измерениях левый и правый спиноры Вейля являются однокомпонентными. сложные представления, т.е. комплексные числа, которые умножаются на е^±iφ/2 при повороте на угол φ.
• В 3-х евклидовых измерениях единичное спинорное представление двумерно и кватернионный. Существование спиноров в трех измерениях следует из изоморфизма группы SU (2) ≅ Отжим (3) что позволяет нам определить действие Spin (3) на сложный 2-компонентный столбец (спинор); генераторы SU (2) можно записать как Матрицы Паули.
• В 4-х евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм Спин (4) ≅ SU (2) × SU (2). Есть два неэквивалентных кватернионный 2-компонентные спиноры Вейля, и каждый из них трансформируется только под действием одного из SU (2) факторов.
• В 5 евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм Отжим (5) ≅ USp (4) ≅ Sp (2) это означает, что представление единственного спинора является 4-мерным и кватернионным.
• В 6 евклидовых измерениях изоморфизм Отжим (6) ≅ СУ (4) гарантирует, что существуют два 4-мерных комплексных представления Вейля, которые комплексно сопряжены друг с другом.
• В 7 евклидовых измерениях единственное спинорное представление 8-мерно и реально; изоморфизмов алгебры Ли из другой серии (A или C) не существует, начиная с этой размерности.
• В 8-мерном евклидовом измерении есть два вещественных 8-мерных представления Вейля – Майорана, которые связаны с 8-мерным вещественным векторным представлением особым свойством Отжим (8) называется триальность.
• В d + 8 размерностей, количество различных неприводимых спинорных репрезентаций и их реальность (являются ли они реальными, псевдореальными или сложными) имитируют структуру в d габариты, но их габариты в 16 раз больше; это позволяет разобраться во всех остальных случаях. Видеть Периодичность Ботта.
• В пространстве-времени с п пространственные и q временные направления, измерения, рассматриваемые как измерения над комплексными числами, совпадают со случаем (п + q)-мерное евклидово пространство, но проекции реальности имитируют структуру в |п − q| Евклидовы измерения. Например, в 3 + 1 Есть два неэквивалентных комплекса Вейля (как в 2-х измерениях) 2-компонентных (как в 4-х мерных) спинорах, что следует из изоморфизма SL (2, ℂ) ≅ Спин (3,1).

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Брауэр, Ричард; Вейль, Германн (1935). "Спиноры в п размеры". Американский журнал математики. Издательство Университета Джона Хопкинса. 57 (2): 425–449. Дои:10.2307/2371218. JSTOR  2371218.
• Картан, Эли (1913). "Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane" (PDF). Бык. Soc. Математика. Пт. 41: 53–96. Дои:10.24033 / bsmf.916.
• Картан, Эли (1981) [1966]. Теория спиноров (переиздание ред.). Париж, Франция: Герман (1966); Dover Publications (1981). ISBN  978-0-486-64070-9.
• Шевалле, Клод (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда (переиздание ред.). Издательство Колумбийского университета (1954); Спрингер (1996). ISBN  978-3-540-57063-9.
• Дирак, Поль М. (1928). «Квантовая теория электрона». Труды Лондонского королевского общества A. 117 (778): 610–624. Bibcode:1928RSPSA.117..610D. Дои:10.1098 / RSPA.1928.0023. JSTOR  94981.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  0-387-97495-4. МИСТЕР  1153249.
• Гилки, Питер Б. (1984). Теория инвариантности: уравнение теплопроводности и теорема Атьи – Зингера об индексе. Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-20-9.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-329650-4.
• Хитчин, Найджел Дж. (1974). «Гармонические спиноры». Успехи в математике. 14: 1–55. Дои:10.1016/0001-8708(74)90021-8. МИСТЕР  0358873.
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08542-0.
• Паули, Вольфганг (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik. 43 (9–10): 601–632. Bibcode:1927ZPhy ... 43..601P. Дои:10.1007 / BF01397326. S2CID  128228729.
• Пенроуз, Роджер; Риндлер, В. (1988). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. Спиноры и пространство-время. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34786-6.
• Томонага, Син-Итиро (1998). «Лекция 7: Величина, которая не является ни векторной, ни тензорной». История спина. Издательство Чикагского университета. п. 129. ISBN  0-226-80794-0.