Интеграл продукта - Product integral

А интеграл продукта есть ли товар -на основе аналог обычного сумма -основан интеграл из исчисление. Первый интеграл произведения (Тип I ниже) был разработан математиком Вито Вольтерра в 1887 г. для решения систем линейные дифференциальные уравнения.^[1]^[2] Другими примерами продуктовых интегралов являются геометрический интеграл (Тип II ниже большой геометрический интеграл (Тип III ниже) и некоторые другие интегралы неньютоновского исчисления.^[3]^[4]^[5]

Интегралы продукта нашли применение в областях от эпидемиология (в Оценка Каплана – Мейера ) к стохастическому динамика населения с использованием интегралов умножения (мультигралов), анализ и квантовая механика. В геометрический интеграл вместе с геометрическая производная, полезно в анализ изображений^[6]^[7]^[8]^[9] и при изучении явлений роста / распада (например, в экономический рост, рост бактерий, и радиоактивный распад )^[10]^[11]^[12]^[13]. В большой геометрический интеграл вместе с большой геометрической производной полезен в некоторых приложениях фракталы^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22], а в теории эластичность в экономике^[3]^[23]^[5]^[24]^[25].

В этой статье используется «продукт» ${displaystyle prod}$ обозначение интеграции продукта вместо «интеграла» ${displaystyle int}$ (обычно заменяется наложенным символом «времена» или буквой P), одобренная Вольтерра и другие. Также принята произвольная классификация типов, чтобы навести некоторый порядок в поле.

Основные определения

Классический Интеграл Римана из функция ${displaystyle f: [a, b] o mathbb {R}}$ можно определить соотношением

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x), dx = lim _ {Delta x o 0} sum f (x_ {i}), Delta x,}

где предел берет на себя все перегородки из интервал ${displaystyle [a, b]}$ чей нормы приближаются к нулю.

Грубо говоря, интегралы-произведения аналогичны, но возьмем предел из товар вместо предел из сумма. Их можно рассматривать как "непрерывный "версии"дискретный " товары.

Наиболее популярными интегралами продукта являются следующие:

Тип I: интеграл Вольтерра

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} {ig (} 1 + f (x), dx {ig)} = lim _ {Delta x o 0} prod {ig (} 1 + f (x_ {i}) , Дельта x {ig)}.}

Интеграл продукта типа I соответствует Вольтерра оригинальное определение.^[2]^[26]^[27] Следующие отношения существуют для скалярные функции ${displaystyle f: [a, b] o mathbb {R}}$ :

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} {ig (} 1 + f (x), dx {ig)} = exp left (int _ {a} ^ {b} f (x), dxight),}

что не мультипликативный оператор. (Итак, концепции целостного продукта и мультипликативный интегральные не совпадают).

Интеграл произведения Вольтерра наиболее полезен при применении к матричнозначным функциям или функциям со значениями в Банахова алгебра, где последнее равенство больше не выполняется (см. ссылки ниже).

При применении к скалярам, принадлежащим некоммутативному полю, матрицам и операторам, то есть к математическим объектам, которые не коммутируют, интеграл Вольтерра разбивается на два определения ^[28]

Интеграл левого произведения

{displaystyle P (A, D) = prod _ {i = m} ^ {1} (mathbb {1} + A (xi _ {i}) Delta t_ {i}) = (mathbb {1} + A (xi _ {m}) Дельта t_ {m}) ... (mathbb {1} + A (xi _ {1}) Дельта t_ {1})}

С обозначением левых продуктов (т.е. нормальные продукты, наносимые слева)

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} (mathbb {1} + A (t) dt) = lim _ {maxDelta t_ {i} o 0} P (A, D)}

Правильная интеграция продукта

{displaystyle P (A, D) ^ {*} = prod _ {i = 1} ^ {m} (mathbb {1} + A (xi _ {i}) Delta t_ {i}) = (mathbb {1} + A (xi _ {1}) Delta t_ {1}) ... (mathbb {1} + A (xi _ {m}) Delta t_ {m})}

С обозначением правильных продуктов (т.е. нанесенных справа)

{displaystyle (mathbb {1} + A (t) dt) prod _ {a} ^ {b} = lim _ {maxDelta t_ {i} o 0} P (A, D) ^ {*}}

Где ${displaystyle mathbb {1}}$ - единичная матрица, а D - разбиение интервала [a, b] в смысле Римана, то есть предел лежит на максимальном интервале в разбиении. Обратите внимание, как в этом случае заказ времени становится очевидным в определениях.

За скалярные функции, производная в системе Вольтерра - это логарифмическая производная, поэтому система Вольтерра не является мультипликативным исчислением и не является неньютоновским исчислением.^[2]

Тип II: геометрический интеграл

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx} = lim _ {Delta x o 0} prod {f (x_ {i}) ^ {Delta x}} = exp left (int _ { a} ^ {b} ln f (x), dxight),}

который называется геометрический интеграл и является мультипликативный оператор.

Это определение интеграла продукта является непрерывный аналог дискретный товар оператор

{displaystyle prod _ {i = a} ^ {b}}

(с ${displaystyle i, a, bin mathbb {Z}}$ ) и мультипликативный аналог (нормальный / стандартный /добавка ) интеграл

{displaystyle int _ {a} ^ {b} dx}

(с ${displaystyle xin [a, b]}$ ):

	добавка	мультипликативный
дискретный	${displaystyle sum _ {i = a} ^ {b} f (i)}$	${displaystyle prod _ {i = a} ^ {b} f (i)}$
непрерывный	${displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x), dx}$	${displaystyle prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx}}$

Это очень полезно в стохастик, где логарифмическая вероятность (т.е. логарифм интегрального продукта независимый случайные переменные ) равно интеграл из логарифм из этих (бесконечно мало много) случайные переменные:

{displaystyle ln prod _ {a} ^ {b} p (x) ^ {dx} = int _ {a} ^ {b} ln p (x), dx.}

Тип III: большой геометрический интеграл

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {d (ln x)} = exp left (int _ {r} ^ {s} ln f (e ^ {x}), dxight),}

куда р = lnа, и s = lnб.

Интеграл-произведение типа III называется большой геометрический интеграл и является мультипликативный оператор.

Полученные результаты

Основные результаты

Следующие результаты относятся к интеграл продукта типа II (геометрический интеграл). Другие типы дают другие результаты.

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} c ^ {dx} = c ^ {b-a},}

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} x ^ {dx} = {frac {b ^ {b}} {a ^ {a}}} {m {e}} ^ {a-b},}

{displaystyle prod _ {0} ^ {b} x ^ {dx} = b ^ {b} {m {e}} ^ {- b},}

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} left (f (x) ^ {k} ight) ^ {dx} = left (prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx} ight) ^ {k},}

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} left (c ^ {f (x)} ight) ^ {dx} = c ^ {int _ {a} ^ {b} f (x), dx},}

В геометрический интеграл (тип II выше) играет центральную роль в геометрическое исчисление^[3]^[29]^[30], которое является мультипликативным исчислением.

Основная теорема

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} f ^ {*} (x) ^ {dx} = prod _ {a} ^ {b} exp left ({frac {f '(x)} {f (x) }}, dxight) = {frac {f (b)} {f (a)}},}

куда ${displaystyle f ^ {*} (x)}$ - геометрическая производная.

Правило продукта

{displaystyle (fg) ^ {*} = f ^ {*} g ^ {*}.}

Правило частного

{displaystyle (f / g) ^ {*} = f ^ {*} / g ^ {*}.}

Закон больших чисел

{displaystyle {sqrt [{n}] {X_ {1} X_ {2} cdots X_ {n}}} {underset {n o infty} {longrightarrow}} prod _ {x} X ^ {dF (x)}, }

куда Икс это случайная переменная с распределение вероятностей F(Икс).

Сравните со стандартом закон больших чисел:

{displaystyle {frac {X_ {1} + X_ {2} + cdots + X_ {n}} {n}} {underset {n o infty} {longrightarrow}} int X, dF (x).}

Интегралы-произведения типа Лебега

Как и Версия Лебега (классических) интегралов, можно вычислить интегралы продукта, аппроксимируя их интегралами продукта простые функции. Каждый тип интеграла продукта имеет разную форму для простые функции.

Тип I: интеграл Вольтерра

Потому что простые функции обобщать пошаговые функции, далее мы будем рассматривать только частный случай простых функций, которые являются ступенчатыми. Это также упростит сравнение Определение Лебега с Определение Римана.

Учитывая ступенчатая функция ${displaystyle f: [a, b] o mathbb {R}}$ с соответствующими раздел ${displaystyle a = y_ {0}$ и раздел с тегами

{displaystyle a = x_ {0}

один приближение "римановского определения" интеграл продукта типа I дан кем-то^[31]

{displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} left [{ig (} 1 + f (t_ {k}) {ig)} cdot (x_ {k + 1} -x_ {k}) ight] .}

Интеграл продукта (типа I) был определен как, грубо говоря, предел из этих товары к Людвиг Шлезингер в статье 1931 года.^{[который? ]}

Другое приближение "определения Римана" интеграла продукта типа I определяется как

{displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} exp {ig (} f (t_ {k}) cdot (x_ {k + 1} -x_ {k}) {ig)}.}

Когда ${displaystyle f}$ это постоянная функция, предел первого типа приближения равен второму типу приближения^[32]. Обратите внимание, что, как правило, для ступенчатой функции значение второго типа приближения не зависит от разбиения, пока разбиение является уточнение разбиения, определяющего ступенчатую функцию, а значение первого типа приближения делает зависит от тонкость разбиения, даже если это уточнение разбиения, определяющее ступенчатую функцию.

Оказывается, что^[33] это для любой интегрируемая с продуктом функция ${displaystyle f}$ , предел первого типа приближения равен пределу второго типа приближения. Поскольку для ступенчатых функций значение второго типа приближения не зависит от тонкости разбиения для «достаточно мелких» разбиений, имеет смысл определить^[34] "интеграл произведения Лебега (тип I)" ступенчатой функции как

{displaystyle prod _ {a} ^ {b} {ig (} 1 + f (x), dx {ig)} {overset {def} {=}} prod _ {k = 0} ^ {m-1} exp {ig (} f (s_ {k}) cdot (y_ {k + 1} -y_ {k}) {ig)},}

куда ${displaystyle y_ {0}$ это раздел с тегами, и снова ${displaystyle a = y_ {0}$ - разбиение, соответствующее ступенчатой функции ${displaystyle f}$ . (Напротив, соответствующая величина не могла бы быть однозначно определена с использованием первого типа приближения.)

Это обобщается на произвольный измерять пространства охотно. Если ${displaystyle X}$ это пространство меры с мера ${displaystyle mu}$ , то для любой интегрируемой по продукту простой функции ${displaystyle f (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} I_ {A_ {k}} (x)}$ (т.е. коническая комбинация из индикаторные функции для некоторых непересекающийся измеримые множества ${displaystyle A_ {0}, A_ {1}, dots, A_ {m-1} subteq X}$ ) интеграл продукта типа I определяется как

{displaystyle prod _ {X} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) {ig)} {overset {def} {=}} prod _ {k = 0} ^ {m-1} exp { ig (} a_ {k} mu (A_ {k}) {ig)},}

поскольку ${displaystyle a_ {k}}$ это ценность ${displaystyle f}$ в любой момент ${displaystyle A_ {k}}$ . В частном случае, когда ${displaystyle X = mathbb {R}}$ , ${displaystyle mu}$ является Мера Лебега, и все измеримые множества ${displaystyle A_ {k}}$ находятся интервалы, можно проверить, что это совпадает с определением, данным выше для этого частного случая. Аналогично теория (классических) интегралов Лебега, то Интеграл продукта Volterra любой функции, интегрируемой с продуктом ${displaystyle f}$ можно записать как предел возрастающей последовательность интегралов произведения Вольтерра интегрируемых по произведению простых функций.

Принимая логарифмы обеих сторон приведенного выше определения, получается, что для любой интегрируемой по продукту простой функции ${displaystyle f}$ :

{displaystyle ln left (prod _ {X} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) {ig)} ight) = ln left (prod _ {k = 0} ^ {m-1} exp { ig (} a_ {k} mu (A_ {k}) {ig)} ight) = sum _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} mu (A_ {k}) = int _ {X } f (x), dmu (x) тогда и только тогда}

{displaystyle prod _ {X} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) {ig)} = exp left (int _ {X} f (x), dmu (x) ight),}

где мы использовали определение интеграла для простых функций. Более того, поскольку непрерывные функции подобно ${displaystyle exp}$ можно поменять местами с ограничениями, и интеграл от произведения любой интегрируемой по продукту функции ${displaystyle f}$ равно пределу интегралов произведения простых функций, то соотношение

{displaystyle prod _ {X} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) {ig)} = exp left (int _ {X} f (x), dmu (x) ight)}

в целом справедливо для любой интегрируемый в продукт ${displaystyle f}$ . Это явно обобщает свойство упомянутый выше.

В Интеграл продукта Volterra является мультипликативный как установить функцию^[35], который можно отобразить с помощью указанного выше свойства. Более конкретно, учитывая интегрируемую с продуктом функцию ${displaystyle f}$ можно определить заданную функцию ${displaystyle {cal {V}} _ {f}}$ путем определения для каждого измеримого множества ${displaystyle Bsubseteq X}$ ,

{displaystyle {cal {V}} _ {f} (B) {overset {def} {=}} prod _ {B} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) {ig)} {overset {def} {=}} prod _ {X} {ig (} 1+ (fcdot I_ {B}) (x), dmu (x) {ig)},}

куда ${displaystyle I_ {B} (x)}$ обозначает индикаторная функция из ${displaystyle B}$ . Тогда для любых двух непересекающийся измеримые множества ${displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$ надо

{displaystyle {egin {align} {cal {V}} _ {f} (B_ {1} sqcup B_ {2}) & = prod _ {B_ {1} sqcup B_ {2}} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) {ig)} & = exp left (int _ {B_ {1} sqcup B_ {2}} f (x), dmu (x) ight) & = exp left (int _ {B_ {1}} f (x), dmu (x) + int _ {B_ {2}} f (x), dmu (x) ight) & = exp left (int _ {B_ {1}} f (x), dmu (x) ight) exp left (int _ {B_ {2}} f (x), dmu (x) ight) & = prod _ {B_ {1}} (1 + f (x) dmu (x)) prod _ {B_ {2}} (1 + f (x), dmu (x)) & = {cal {V}} _ {f} (B_ {1}) {cal {V} } _ {f} (B_ {2}). конец {выровнено}}}

Это свойство можно противопоставить меры, которые добавка набор функций.

Тем не менее Интеграл продукта Volterra является нет мультипликативный как функциональный. Учитывая две функции, интегрируемые с продуктом ${displaystyle f, g}$ , и измеримое множество ${displaystyle A}$ , как правило,

{displaystyle prod _ {A} {ig (} 1+ (fg) (x), dmu (x) {ig)} eq prod _ {A} {ig (} 1 + f (x), dmu (x) { ig)} prod _ {A} {ig (} 1 + g (x), dmu (x) {ig)}.}

Тип II: геометрический интеграл

Если ${displaystyle X}$ это измерить пространство с мера ${displaystyle mu}$ , то для любого интегрируемого по продукту простая функция ${displaystyle f (x) = сумма _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} I_ {A_ {k}} (x)}$ (т.е. коническая комбинация из индикаторные функции для некоторых непересекающийся измеримые множества ${displaystyle A_ {0}, A_ {1}, dots, A_ {m-1} subteq X}$ ), это интеграл продукта типа II определяется как

{displaystyle prod _ {X} f (x) ^ {dmu (x)} {overset {def} {=}} prod _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} ^ {mu (A_ { k})}.}

Это можно увидеть как обобщение данного выше определения.

Принимая логарифмы обеих сторон, мы видим, что для любого продукта, интегрируемого простая функция ${displaystyle f}$ :

{displaystyle ln left (prod _ {X} f (x) ^ {dmu (x)} ight) = sum _ {k = 0} ^ {m-1} ln (a_ {k}) mu (A_ {k} ) = int _ {X} ln f (x), dmu (x) тогда и только тогда, когда prod _ {X} f (x) ^ {dmu (x)} = exp left (int _ {X} ln f (x), dmu (x) ight),}

где мы использовали определение интеграла Лебега для простых функций. Это наблюдение, аналогичное уже сделанному. над, позволяет полностью уменьшить "Теория Лебега из геометрические интегралы "к Теория Лебега (классических) интегралов. Другими словами, потому что непрерывные функции подобно ${displaystyle exp}$ и ${displaystyle ln}$ можно поменять местами с ограничениями, и интеграл от произведения любой интегрируемой по продукту функции ${displaystyle f}$ равно предел некоторого увеличения последовательность интегралов продукта простые функции, следует, что отношение

{displaystyle prod _ {X} f (x) ^ {dmu (x)} = exp left (int _ {X} ln f (x), dmu (x) ight)}

в целом справедливо для любой интегрируемый в продукт ${displaystyle f}$ . Это обобщает свойство геометрические интегралы упомянутый выше.

Смотрите также

внешняя ссылка

Сайт неньютоновского исчисления
Ричард Гилл, Интеграция продуктов
Ричард Гилл, Интегральный символ продукта
Давид Манура, Расчет продукта
Тайлер Нейлон, Легкие оценки для n!
Введение в многогранный (продукт) исчисление без Dx
Примечания к уравнению Лакса
Антонин Славик, Введение в интеграцию продукта
Антонин Славик, Интеграция продуктов Henstock – Kurzweil и McShane

[1] В. Вольтерра, Б. Хостинский, Операции Infinitésimales Linéaires, Готье-Виллар, Париж (1938).

[slavik-2] а ^б ^c А. Славик, Интеграция продукта, его история и приложения, ISBN 80-7378-006-2, Матфизпресс, Прага, 2007.

[nnc-3] а ^б ^c М. Гроссман, Р. Кац, Неньютоновское исчисление, ISBN 0-912938-01-3, Ли Пресс, 1972.

[fnc1-4] Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления., ISBN 0977117006, 1979.

[bc-5] а ^б Майкл Гроссман. Бигеометрическое исчисление: система с безмасштабной производной, ISBN 0977117030, 1983.

[FvA-6] Люк Флорак и Ханс ван Ассен.«Мультипликативное исчисление в биомедицинском анализе изображений», Журнал математической визуализации и зрения, Дои:10.1007 / s10851-011-0275-1, 2011.

[reg-7] Люк Флорак.«Регуляризация положительно определенных матричных полей на основе мультипликативного исчисления», Ссылка 9, Масштабное пространство и вариационные методы в компьютерном зрении, Лекционные заметки по информатике, том 6667/2012, страницы 786–796, Дои:10.1007/978-3-642-24785-9_66, Springer, 2012.

[Israel-8] Люк Флорак.«Регуляризация положительно определенных матричных полей на основе мультипликативного исчисления», Третья международная конференция по масштабному пространству и вариационным методам компьютерного зрения, курорт Эйн-Геди, Мертвое море, Израиль, конспект лекций по компьютерным наукам: 6667, ISBN 978-3-642-24784-2, Springer, 2012.

[JW-9] Иоахим Вейкерт и Лоран Хельтген. Университетский курс: «Анализ за пределами Ньютона и Лейбница», Саарландский университет в Германии, группа математического анализа изображений, лето 2012 г.

[filip-10] Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Неньютоновское исследование теории экзогенного экономического роста», CNCSIS - UEFISCSU В архиве 2009-01-06 на Wayback Machine (номер проекта ПНИИ ИДЭИ 2366/2008) и ЛЕО В архиве 2010-02-08 в Wayback Machine, 2010.

[11] Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Обзор неньютоновского исчисления и его потенциальных приложений в экономике», Прикладная математика - Журнал китайских университетов, том 28, Китайское общество промышленной и прикладной математики, Springer, 2014.

[model-12] Агамирза Э. Баширов, Эмине Мисирли, Юджел Тандогду и Али Озяпичи.«О моделировании мультипликативными дифференциальными уравнениями», Прикладная математика - Журнал китайских университетов, Том 26, номер 4, страницы 425–428, Дои:10.1007 / s11766-011-2767-6, Springer, 2011.

[13] Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «В защиту неньютоновского экономического анализа», http://www.univ-orleans.fr/leo/infer/PIATECKI.pdf^{[постоянная мертвая ссылка ]}, CNCSIS - UEFISCSU (Университет Бабеша-Бойяи в Клуж-Напока, Румыния) и LEO (Орлеанский университет, Франция), 2013 г.

[sites.google.com-14] Войбор Войчнски.«Неньютоновское исчисление для динамики случайных фрактальных структур: линейное и нелинейное», семинар в Государственном университете Кливленда 2 мая 2012 г.

[arkq73u5d7.wordpress.tal.ki-15] Войбор Войчнски.«Дробное исчисление для случайных фракталов», семинар в Университете Кейс Вестерн Резерв 3 апреля 2013 г.

[16] Мартин Остоя-Старжевский.«Внутреннее устройство фрактальных материалов»^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Media-Upload, Иллинойсский университет в Урбана-Шампейн.

[17] Марек Рыбачук.«Критический рост фрактальных паттернов в биологических системах», Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw University of Technology, 1999.

[dimension-18] Марек Рыбачук, Алисия Кедзия и Витольд Зелински (2001) «Понятие физической и фрактальной размерности II. Дифференциальное исчисление в размерных пространствах», Хаос, солитоны и фракталыТом 12, выпуск 13, октябрь 2001 г., страницы 2537–2552.

[runge-19] Анишевская, Дорота (октябрь 2007 г.). «Мультипликативные методы Рунге – Кутты». Нелинейная динамика. 50 (1–2): 265–272. Дои:10.1007 / s11071-006-9156-3.

[20] Дорота Анишевска и Марек Рыбачук (2005) «Анализ мультипликативной системы Лоренца», Хаос, солитоны и фракталыТом 25, выпуск 1, июль 2005 г., страницы 79–90.

[lyapunov-21] Анишевская, Дорота; Рыбачук, Марек (2008). «Устойчивость типа Ляпунова и показатель Ляпунова для примерных мультипликативных динамических систем». Нелинейная динамика. 54 (4): 345–354. Дои:10.1007 / s11071-008-9333-7..

[22] М. Рыбачук, П. Стоппель (2000) «Фрактальный рост усталостных дефектов в материалах»., Международный журнал разрушения, Том 103, номер 1 / май 2000 г.

[23] Фернандо Кордова-Лепе. «Мультипликативная производная как мера эластичности в экономике», TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, том 2, номер 3, 2006 г.

[24] Фернандо Кордова-Лепе. «От частного к пропорциональному исчислению», Международный журнал математики, том 18, номер 6, страницы 527-536, 2009 г.

[25] Мурат Кириши. «Топологические структуры неньютоновских метрических пространств», Электронный журнал математического анализа и приложений, Том 5, номер 2, ISSN: 2090-729X (онлайн), 2017.

[dollardfriedman-26] Дж. Д. Доллард, К. Н. Фридман, Интеграция продукта с приложениями к дифференциальным уравнениям, Издательство Addison Wesley Publishing Company, 1979.

[gantmacher-27] Ф. Р. Гантмахер (1959) Теория матриц, тома 1 и 2.

[WilsonLines-28] Линии Вильсона в квантовой теории поля [1]

[fnc2-29] Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления., ISBN 0977117006, 1979.

[30] А. Э. Баширов, Э. М. Курпынар, А. Озяпичи. Мультипликативное исчисление и его приложения, Журнал математического анализа и приложений, 2008.

[slavik2-31] А. Славик, Интеграция продукта, его история и приложения, п. 65. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2.

[slavik3-32] А. Славик, Интеграция продукта, его история и приложения, п. 71. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2.

[slavik4-33] А. Славик, Интеграция продукта, его история и приложения, п. 72. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2.

[slavik5-34] А. Славик, Интеграция продукта, его история и приложения, п. 80. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2

[35] Гилл, Ричард Д., Сорен Йохансен. «Обзор интеграции продукта с точки зрения применения в анализе выживаемости». Анналы статистики 18, вып. 4 (декабрь 1990 г.): 1501–555, с. 1503.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

Интеграл продукта - Product integral

Содержание

Основные определения

Тип I: интеграл Вольтерра

Тип II: геометрический интеграл

Тип III: большой геометрический интеграл

Полученные результаты

Интегралы-произведения типа Лебега

Тип I: интеграл Вольтерра

Тип II: геометрический интеграл

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка