Аддитивность сигмы - Sigma additivity

В математика, аддитивность (в частности, конечная аддитивность) и сигма-аддитивность (также называемая счетной аддитивностью) функция (часто мера ) определены на подмножества данного набор являются абстракциями того, как интуитивно понятные свойства размера (длина, площадь, объем ) установленной суммы при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность - более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть из σ-аддитивности следует аддитивность.

Аддитивные (или конечно аддитивные) функции множества

Позволять ${ displaystyle mu}$ быть функцией, определенной на алгебра множеств ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ со значениями в [−∞, + ∞] (см. расширенная строка действительных чисел ). Функция ${ displaystyle mu}$ называется аддитивным, или конечно аддитивным, если и когда А и B находятся непересекающиеся множества в ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ , надо

{ Displaystyle му (А чашка В) = му (А) + му (В). ,}

(Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать в качестве значений одновременно −∞ и + ∞, поскольку выражение ∞ - ∞ не определено.) °

Можно доказать математическая индукция что аддитивная функция удовлетворяет

{ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ {N} mu (A_ {n})}

для любого ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, dots, A_ {N}}$ непересекающиеся множества в ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ .

σ-аддитивные функции множества

Предположим, что ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ это σ-алгебра. Если для любого последовательность ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, dots, A_ {n}, dots}$ попарно непересекающихся множеств в ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ , надо

{ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (A_ {n}) }

,

мы говорим, что μ счетно аддитивна или σ-аддитивна.
Любая σ-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже.

τ-аддитивные функции множества

Предположим, что помимо сигма-алгебры ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ , у нас есть топология τ. Если для любого направленный семья измеримых открытые наборы ${ Displaystyle scriptstyle { mathcal {G}}}$ ⊆ ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {A}}}$ ∩ τ,

{ displaystyle mu left ( bigcup { mathcal {G}} right) = sup _ {G in { mathcal {G}}} mu (G)}

,

мы говорим, что μ является τ-аддитивной. В частности, если μ равно внутренний регулярный (относительно компактов), то он τ-аддитивен.^[1]

Характеристики

Основные свойства

К полезным свойствам аддитивной функции μ можно отнести следующее:

Либо μ (∅) = 0, либо μ присваивает ∞ всем наборам в своей области определения, либо μ присваивает −∞ всем наборам в своей области определения.
Если μ неотрицательно и А ⊆ B, то μ (А) ≤ μ (B).
Если А ⊆ B и μ (B) - μ (А) определено, то μ (B \ А) = μ (B) - μ (А).
Данный А и B, μ (А ∪ B) + μ (А ∩ B) = μ (А) + μ (B).

Примеры

Примером σ-аддитивной функции является функция μ, определенная над набор мощности из действительные числа, так что

{ displaystyle mu (A) = { begin {cases} 1 & { mbox {if}} 0 in A 0 & { mbox {if}} 0 notin A. end {cases}}}

Если ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, dots, A_ {n}, dots}$ является последовательностью непересекающихся множеств действительных чисел, то либо ни одно из множеств не содержит 0, либо ровно одно из них содержит. В любом случае равенство

{ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} mu (A_ {n}) }

держит.

Видеть мера и подписанная мера для получения дополнительных примеров σ-аддитивных функций.

Аддитивная функция, не являющаяся σ-аддитивной

Пример аддитивной функции, которая не является σ-аддитивной, получается при рассмотрении μ, определенной над множествами Лебега действительные числа по формуле

{ displaystyle mu (A) = lim _ {k to infty} { frac {1} {k}} cdot lambda left (A cap left (0, k right) right ),}

куда λ обозначает Мера Лебега и Lim то Предел Банаха.

Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств

{ Displaystyle A_ {п} = влево [п, п + 1 вправо)}

за п= 0, 1, 2, ... Объединение этих множеств составляет положительные реалы, и μ, примененный к объединению, тогда равен единице, в то время как μ, примененный к любому из отдельных наборов, равен нулю, поэтому сумма μ (А_п) также равен нулю, что доказывает контрпример.

Обобщения

Можно определить аддитивные функции со значениями в любой аддитивной моноид (например любой группа или чаще векторное пространство ). Для сигма-аддитивности необходимо дополнительно, чтобы понятие предел последовательности быть определенным на этом множестве. Например, спектральные меры сигма-аддитивные функции со значениями в Банахова алгебра. Другой пример, также из квантовой механики, - это положительная операторнозначная мера.

Смотрите также

Эта статья включает материал от добавок на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.