Моноид - Википедия - Monoid

Алгебраические структуры между магмы и группы. Моноиды полугруппы с личностью.

В абстрактная алгебра, филиал математика, а моноид комплект, оснащенный ассоциативный бинарная операция и элемент идентичности.

Моноиды полугруппы с личностью. Такой алгебраические структуры встречаются в нескольких разделах математики.

Например, функции из набора в себя образуют моноид по отношению к композиции функций. В более общем плане в теория категорий, морфизмы объект сам по себе образуют моноид, и, наоборот, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом.

В Информатика и компьютерное программирование, набор струны построенный из заданного набора символы это свободный моноид. Переходные моноиды и синтаксические моноиды используются при описании конечные автоматы. Моноиды трассировки и история моноидов обеспечить основу для технологические расчеты и параллельные вычисления.

В теоретическая информатика, изучение моноидов является фундаментальным для теория автоматов (Теория Крона – Родса ), и формальная теория языка (проблема высоты звезды ).

Видеть Полугруппа для истории предмета и некоторых других общих свойств моноидов.

Определение

А набор S оснащен бинарная операция $S \times S \to S$ , который мы обозначим •, является моноид если он удовлетворяет следующим двум аксиомам:

Ассоциативность: Для всех а, б и c в S, уравнение $(а • б) • c = а • (б • c)$ держит.
Элемент идентичности: Существует элемент е в S так что для каждого элемента а в S, уравнения $е • а = а$ и $а • е = а$ держать.

Другими словами, моноид - это полугруппа с элемент идентичности. Его также можно рассматривать как магма с ассоциативностью и идентичностью. Единичный элемент моноида уникален.^[1] По этой причине личность рассматривается как постоянный, я. е. 0-арная (или нулевая) операция. Таким образом, моноид характеризуется спецификацией тройной (S, • , е).

В зависимости от контекста, символ двоичной операции может быть опущен, поэтому операция обозначается сопоставлением; например, аксиомы моноида могут быть записаны ${ displaystyle (ab) c = a (bc)}$ и ${ displaystyle ea = ae = a}$ . Это обозначение не означает, что это умножаемые числа.

Моноид, в котором каждый элемент имеет обратный это группа.

Моноидные структуры

Субмоноиды

А субмоноид моноида $(M, •)$ это подмножество N из M который замкнут относительно операции моноида и содержит единичный элемент е из M.^[2]^[3] Символично, N является подмоноидом M если $N \subseteq M$ , $Икс • у \in N$ в любое время $Икс, у \in N$ , и $е \in N$ . В этом случае, N является моноидом относительно бинарной операции, унаследованной от M.

С другой стороны, если N является подмножеством моноида, который закрыто при моноидной операции и является моноидом для этой унаследованной операции, то N не всегда является субмоноидом, поскольку элементы идентичности могут различаться. Например, одноэлементный набор ${0}$ замкнуто относительно умножения и не является подмоноидом (мультипликативного) моноида неотрицательные целые числа.

Генераторы

Подмножество S из M говорят генерировать M если наименьший подмоноид M содержащий S является M. Если существует конечное множество, порождающее M, тогда M считается конечно порожденный моноид.

Коммутативный моноид

Моноид, операция которого коммутативный называется коммутативный моноид (или, реже, абелев моноид). Коммутативные моноиды часто пишутся аддитивно. Любой коммутативный моноид наделен своим алгебраический предварительный заказ $\leq$ , определяется $Икс \leq у$ если существует z такой, что $Икс + z = у$ .^[4] An заказная единица коммутативного моноида M это элемент ты из M так что для любого элемента Икс из M, Существует v в наборе, порожденном ты такой, что $Икс \leq v$ . Это часто используется в случае, если M это положительный конус из частично заказанный абелева группа грамм, в этом случае мы говорим, что ты единица заказа грамм.

Частично коммутативный моноид

Моноид, для которого операция коммутативна для некоторых, но не для всех элементов, является след моноид; следовые моноиды обычно встречаются в теории параллельное вычисление.

Примеры

Из 16 возможных бинарные логические операторы, каждый из четырех, у которых есть двусторонняя идентичность, также коммутативен и ассоциативен и, таким образом, делает множество {False, True} коммутативным моноидом. Согласно стандартным определениям, И и XNOR иметь личность True, пока XOR и ИЛИ ЖЕ иметь личность Ложь. Моноиды из AND и OR также являются идемпотент в то время как XOR и XNOR - нет.
Набор натуральные числа ${ Displaystyle mathbf {N} = {0,1,2, ldots }}$ является коммутативным моноидом относительно сложения (единичный элемент 0 ) или умножение (элемент идентичности 1 ). Субмоноид $N$ под сложением называется числовой моноид.
Набор положительные целые числа ${ Displaystyle mathbf {N} setminus {0 }}$ является коммутативным моноидом относительно умножения (единица 1).
Учитывая набор $А$ , множество подмножеств $А$ коммутативный моноид относительно пересечения (единица $А$ сам).
Учитывая набор $А$ , множество подмножеств $А$ является коммутативным моноидом относительно объединения (единичным элементом является пустой набор ).
Обобщая предыдущий пример, каждый ограниченный полурешетка является идемпотент коммутативный моноид.
- В частности, любая ограниченная решетка может быть наделен как встретить - и присоединиться - моноидная структура. Элементами идентичности являются соответственно верх и низ решетки. Будучи решетками, Гейтинговые алгебры и Булевы алгебры наделены этими моноидными структурами.
Каждый одноэлементный набор ${Икс}$ замкнутый относительно бинарной операции • образует тривиальный (одноэлементный) моноид, который также является тривиальная группа.
Каждый группа моноид и каждый абелева группа коммутативный моноид.
Любой полугруппа S может быть превращен в моноид простым присоединением элемента е не в S и определение е • s = s = s • е для всех s ∈ S. Это преобразование любой полугруппы в моноид осуществляется свободный функтор между категорией полугрупп и категорией моноидов.^[5]
- Таким образом, идемпотентный моноид (иногда известный как найти первый) может быть образован путем присоединения элемента идентичности е к полугруппа левых нулей над набором S. Противоположный моноид (иногда называемый последняя находка) формируется из полугруппа правых нулей над S.
  - Присоединяйтесь к личности $е$ в полугруппу нулей слева с двумя элементами ${lt, gt}$ . Тогда полученный идемпотентный моноид ${lt, е, gt}$ моделирует лексикографический порядок последовательности, заданной порядком ее элементов, с е представляющий равенство.
Базовый набор любых звенеть, со сложением или умножением в качестве операции. (По определению, кольцо имеет мультипликативную единицу 1.)
- В целые числа, рациональное число, действительные числа или же сложные числа, со сложением или умножением в качестве операции.^[6]
- Набор всех $п$ к $п$ матрицы над данным кольцом, с матрица сложения или же матричное умножение как операция.
Множество всех конечных струны над некоторым фиксированным алфавитом $Σ$ образует моноид с конкатенация строк как операция. В пустой строкой служит элементом идентичности. Этот моноид обозначается $Σ *$ и называется свободный моноид над $Σ$ .
Для любого моноида $M$ , то противоположный моноид $M op$ имеет тот же набор носителей и идентичный элемент, что и $M$ , а его работа определяется $Икс • op у = у • Икс$ . Любой коммутативный моноид является противоположным моноидом самому себе.
Учитывая два набора $M$ и $N$ с моноидной структурой (или, вообще говоря, любым конечным числом моноидов, $M 1, ..., M k)$ , их декартово произведение $M \times N$ также является моноидом (соответственно $M 1 \times ... \times M k$ ). Ассоциативная операция и элемент идентичности определяются попарно.^[7]
Исправить моноид $M$ . Набор всех функций из данного набора в $M$ тоже моноид. Элементом идентичности является постоянная функция сопоставление любого значения с идентификатором $M$ ; ассоциативная операция определяется точечно.
Исправить моноид $M$ с операцией $•$ и элемент идентичности $е$ , и рассмотрим его набор мощности $п (M)$ состоящий из всех подмножества из $M$ . Бинарная операция для таких подмножеств может быть определена как $S • Т = {s • т : s \in S, т \in Т}$ . Это превращается $п (M)$ в моноид с элементом идентичности ${е}$ . Таким же образом силовой набор группы $грамм$ является моноидом под произведение групповых подмножеств.
Позволять $S$ быть набором. Набор всех функций $S \to S$ образует моноид под функциональная композиция. Личность - это просто функция идентичности. Его еще называют моноид полного преобразования из $S$ . Если $S$ конечно с $п$ элементов, моноид функций на $S$ конечно с $п п$ элементы.
Обобщая предыдущий пример, пусть $C$ быть категория и $Икс$ объект $C$ . Набор всех эндоморфизмы из $Икс$ , обозначенный $Конец C (Икс)$ , образует моноид в составе морфизмы. Подробнее о взаимосвязи между теорией категорий и моноидами см. Ниже.
Набор гомеоморфизм классы из компактные поверхности с связанная сумма. Единичный элемент - это класс обычной 2-сферы. Кроме того, если $а$ обозначает класс тор, и б обозначает класс проективной плоскости, то каждый элемент c моноида имеет единственное выражение в виде $c = на + мб$ куда $п$ положительное целое число и $м = 0, 1$ , или же $2$ . У нас есть $3 б = а + б$ .
Позволять ${ displaystyle langle f rangle}$ циклический моноид порядка $п$ , то есть, ${ displaystyle langle f rangle = {f ^ {0}, f ^ {1}, dots, f ^ {n-1} }}$ . потом ${ Displaystyle е ^ {п} = е ^ {к}}$ для некоторых ${ Displaystyle 0 Leq к <п}$ . Фактически каждый такой $k$ дает отличный моноид порядка $п$ , и каждый циклический моноид изоморфен одному из них.
Более того, $ж$ можно рассматривать как функцию от точек ${ Displaystyle {0,1,2, точки, п-1 }}$ данный

{ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 & dots & n-2 & n-1 1 & 2 & 3 & dots & n-1 & k end {bmatrix}}}

или, что то же самое

{ displaystyle f (i): = { begin {case} i + 1, & { text {if}} 0 leq i

Умножение элементов в

{ displaystyle langle f rangle}

затем задается композицией функций.

Когда

{ displaystyle k = 0}

тогда функция

ж

это перестановка

{ Displaystyle {0,1,2, точки, п-1 },}

и дает уникальный циклическая группа порядка

п

.

Характеристики

В моноиде можно определить положительные целые степени элемента Икс : Икс¹ = Икс, и Икс^п = Икс • ... • Икс (п раз) для п > 1. Власть власти Икс^{п + п} = Икс^п • Икс^п очевидно.

Из определения моноида можно показать, что единичный элемент е уникален. Тогда для любого Икс, можно установить Икс⁰ = е и правило власти все еще верно с неотрицательными показателями.

Можно определить обратимые элементы: элемент Икс называется обратимым, если существует элемент у такой, что $Икс • у = е$ и $у • Икс = е$ . Элемент у называется инверсией Икс. Если у и z инверсны Икс, то по ассоциативности $у = (zx) у = z (ху) = z$ . Таким образом, обратные символы, если они существуют, уникальны.^[8]

Если у является инверсией Икс, можно определить отрицательные степени Икс установив $Икс -1 = у$ и $Икс - п = у • ... • у$ (п раз) для $п > 1$ . И правило экспонент по-прежнему проверяется для всех целых чисел. $п, п$ . Вот почему обратное Икс обычно пишется $Икс -1$ . Множество всех обратимых элементов в моноиде Mвместе с операцией • образует группа. В этом смысле каждый моноид содержит группу (возможно, только тривиальная группа состоящий только из тождества).

Однако не каждый моноид находится внутри группы. Например, вполне возможно иметь моноид, в котором два элемента а и б существуют такие, что $а • б = а$ держит, хотя б не является элементом идентичности. Такой моноид не может быть вложен в группу, потому что в группе мы могли бы умножить обе части на обратное а и получил бы это $б = е$ , что не соответствует действительности. Моноид $(M, •)$ имеет аннулирование собственности (или есть отменяющий ) если для всех а, б и c в M, $а • б = а • c$ всегда подразумевает $б = c$ и $б • а = c • а$ всегда подразумевает $б = c$ . Коммутативный моноид со свойством сокращения всегда может быть вложен в группу с помощью Строительство Гротендика. Таким образом аддитивная группа целых чисел (группа с операцией +) строится из аддитивного моноида натуральных чисел (коммутативный моноид с операцией + и свойством сокращения). Однако некоммутативный сократительный моноид не обязательно должен быть вложен в группу.

Если моноид имеет свойство отмены и конечный, то это фактически группа. Доказательство: исправить элемент Икс в моноиде. Поскольку моноид конечен, $Икс п = Икс м$ для некоторых $м > п > 0$ . Но тогда при отмене мы получаем, что $Икс м - п = е$ куда е это личность. Следовательно, $Икс • Икс м - п - 1 = е$ , так Икс имеет обратное.

Правый и левый сократительные элементы моноида, каждый по очереди, образуют подмоноид (т.е., очевидно, включают в себя тождество и не так очевидно замкнуты относительно операции). Это означает, что сокращающие элементы любого коммутативного моноида можно продолжить до группы.

Оказывается, требование свойства сокращения в моноиде не требуется для выполнения конструкции Гротендика - достаточно коммутативности. Однако если исходный моноид имеет поглощающий элемент тогда его группа Гротендика является тривиальной группой. Следовательно, гомоморфизм, вообще говоря, не инъективен.

An обратный моноид моноид, где для каждого а в M, существует единственный а⁻¹ в M такой, что $а = а • а -1 • а$ и $а -1 = а -1 • а • а -1$ . Если обратный моноид сокращается, то это группа.

В обратном направлении моноид без нулей аддитивно записанный моноид, в котором $а + б = 0$ подразумевает, что $а = 0$ и $б = 0$ :^[9] эквивалентно, что никакой элемент, отличный от нуля, не имеет аддитивного обратного.

Акты и операторные моноиды

Позволять M - моноид, где двоичная операция обозначается символом •, а единичный элемент обозначается е. Затем (слева) M-действовать (или оставил действие M) - это множество Икс вместе с операцией $\cdot : M \times Икс \to Икс$ который совместим со структурой моноида следующим образом:

для всех Икс в Икс: $е \cdot Икс = Икс$ ;
для всех а, б в M и Икс в Икс: $а \cdot (б \cdot Икс) = (а • б) \cdot Икс$ .

Это аналог в теории моноидов (слева) групповое действие. Правильно M-акты определяются аналогичным образом. Моноид с действием также известен как операторный моноид. Важные примеры включают переходные системы из полуавтоматы. А полугруппа преобразований можно превратить в операторный моноид путем присоединения тождественного преобразования.

Гомоморфизмы моноидов

Пример моноидного гомоморфизма

Икс \mapsto 2 Икс

из

(N, +, 0)

к

(N, \times, 1)

. Это инъективно, но не сюръективно.

А гомоморфизм между двумя моноидами $(M, *)$ и $(N, •)$ это функция $ж : M \to N$ такой, что

$ж (Икс * у) = ж (Икс) • ж (у)$ для всех Икс, у в M
$ж (е M) = е N$ ,

куда е_M и е_N идентичности на M и N соответственно. Гомоморфизмы моноидов иногда называют просто моноидные морфизмы.

Не каждый гомоморфизм полугрупп между моноидами - это гомоморфизм моноидов, так как он не может отображать идентичность в идентичность целевого моноида, даже если идентичность является идентичностью образа гомоморфизма.^[10] Например, рассмотрим ${ displaystyle M_ {n}}$ , набор классы остатков по модулю ${ displaystyle n}$ оснащен умножением. В частности, класс ${ displaystyle 1}$ это личность. Функция ${ displaystyle f двоеточие M_ {3} to M_ {6}}$ данный ${ Displaystyle f (k) = 3k}$ является гомоморфизмом полугрупп как ${ Displaystyle 3k cdot 3l = 9kl = 3kl}$ в ${ displaystyle M_ {6}}$ . Тем не мение, ${ Displaystyle f (1) = 3 neq 1}$ , поэтому гомоморфизм моноида - это гомоморфизм полугруппы между моноидами, который отображает тождество первого моноида в тождество второго моноида, и последнее условие нельзя опустить.

Напротив, гомоморфизм полугрупп между группами всегда групповой гомоморфизм, поскольку он обязательно сохраняет идентичность (потому что в группе идентичность является единственным элементом, для которого $Икс \cdot Икс = Икс$ ).

А биективный гомоморфизм моноида называется моноидом изоморфизм. Два моноида называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм моноидов.

Эквациональное представление

Моноидам можно дать презентация, примерно так же, как группы могут быть указаны с помощью групповая презентация. Это достигается путем задания набора образующих Σ и набора отношений на свободный моноид Σ^∗. Это делается путем расширения (конечного) бинарные отношения на Σ^∗ с моноидными конгруэнциями, а затем построим фактор-моноид, как указано выше.

Учитывая бинарное отношение $р \subset Σ * \times Σ *$ , его симметричное замыкание определяется как $р \cup р -1$ . Это может быть расширено до симметричного соотношения $E \subset Σ * \times Σ *$ определяя $Икс ~ E у$ если и только если $Икс = сут$ и $у = свт$ для некоторых струн $ты, v, s, т \in Σ *$ с $(ты, v) \in р \cup р -1$ . Наконец, мы берем рефлексивное и транзитивное замыкание E, которая тогда является моноидной конгруэнцией.

В типичной ситуации соотношение р просто задается как система уравнений, так что ${ Displaystyle R = {u_ {1} = v_ {1}, cdots, u_ {n} = v_ {n} }}$ . Так, например,

{ Displaystyle langle p, q , vert ; pq = 1 rangle}

является эквациональным представлением для бициклический моноид, и

{ Displaystyle langle a, b , vert ; aba = baa, bba = bab rangle}

это пластический моноид степени 2 (имеет бесконечный порядок). Элементы этого пластического моноида можно записать как ${ displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}$ для целых чисел я, j, k, поскольку соотношения показывают, что ба ездит с обоими а и б.

Отношение к теории категорий

Групповые структуры
	Тотальность^α	Ассоциативность	Личность	Обратимость	Коммутативность
Полугрупоидный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Единичная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Обратная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
^ α Закрытие, который используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и по-другому.

Моноиды можно рассматривать как особый класс категории. Действительно, от операции моноида требуются именно те аксиомы, которые требуются от морфизм композиция, когда она ограничена набором всех морфизмов, источником и целью которых является данный объект.^[11] То есть,

По сути, моноид - это то же самое, что и категория с одним объектом.

Точнее, учитывая моноид $(M, •)$ , можно построить небольшую категорию только с одним объектом, морфизмы которого являются элементами M. Композиция морфизмов задается операцией моноида •.

Точно так же гомоморфизмы моноидов - это просто функторы между категориями отдельных объектов.^[11] Таким образом, эта конструкция дает эквивалентность между категория (малых) моноидов Пн и полная подкатегория категории (малых) категорий Кот. Точно так же категория групп эквивалентен другой полной подкатегории Кот.

В этом смысле теорию категорий можно рассматривать как расширение концепции моноида. Многие определения и теоремы о моноидах можно обобщить на небольшие категории с более чем одним объектом. Например, частное категории с одним объектом - это просто частный моноид.

Моноиды, как и другие алгебраические структуры, также образуют свою собственную категорию, Пн, объекты которого являются моноидами, а морфизмы - гомоморфизмами моноидов.^[11]

Также есть понятие моноидный объект что является абстрактным определением того, что является моноидом в категории. Моноидный объект в Набор это просто моноид.

Моноиды в информатике

В информатике многие абстрактные типы данных может быть наделен моноидной структурой. В общем образце последовательность элементов моноида "сложенный "или" накапливается "для получения окончательного значения. Например, многим итерационным алгоритмам необходимо обновлять некую" текущую сумму "на каждой итерации; этот шаблон может быть элегантно выражен с помощью операции моноида. В качестве альтернативы, ассоциативность операций моноида гарантирует что операция может быть распараллеленный используя сумма префикса или аналогичный алгоритм, чтобы эффективно использовать несколько ядер или процессоров.

Учитывая последовательность значений типа M с элементом идентичности ${ displaystyle varepsilon}$ и ассоциативная операция ${ displaystyle bullet}$ , то складывать операция определяется следующим образом:

{ displaystyle mathrm {fold}: M ^ {*} rightarrow M = l mapsto { begin {cases} varepsilon & { mbox {if}} l = mathrm {nil} m bullet mathrm {fold} , l '& { mbox {if}} l = mathrm {cons} , m , l' end {case}}}

Кроме того, любые структура данных можно «свернуть» аналогичным образом, учитывая сериализацию его элементов. Например, результат «сворачивания» двоичное дерево может отличаться в зависимости от предзаказа и постзаказа обход дерева.

Уменьшение карты

Применение моноидов в информатике называется так называемым Уменьшение карты модель программирования (см. Кодирование Map-Reduce как моноида со складыванием влево ). В вычислениях MapReduce состоит из двух или трех операций. Для данного набора данных «Карта» состоит из отображения произвольных данных на элементы определенного моноида. «Уменьшить» состоит в сворачивании этих элементов, так что в итоге мы получаем только один элемент.

Например, если у нас есть мультимножество, в программе он представлен в виде карты от элементов к их номерам. Элементы в этом случае называются ключами. Количество отдельных ключей может быть слишком большим, и в этом случае мультимножество сегментируется. Чтобы правильно завершить редукцию, на этапе «Перемешивание» данные перегруппировываются между узлами. Если этот шаг нам не нужен, вся Map / Reduce состоит из сопоставления и сокращения; обе операции являются параллелизируемыми, первая из-за ее поэлементного характера, вторая из-за ассоциативности моноида.

Полные моноиды

А полный моноид коммутативный моноид, снабженный бесконечный операция суммирования ${ displaystyle Sigma _ {I}}$ для любого набор индексов $я$ такой, что:^[12]^[13]^[14]^[15]

{ displaystyle sum _ {i in emptyset} {m_ {i}} = 0; quad sum _ {i in {j }} {m_ {i}} = m_ {j}; quad sum _ {i in {j, k }} {m_ {i}} = m_ {j} + m_ {k} quad { text {for}} j neq k}

и

{ displaystyle sum _ {j in J} { sum _ {i in I_ {j}} {m_ {i}}} = sum _ {i in I} (m_ {i}) quad { text {if}} bigcup _ {j in J} I_ {j} = I { text {and}} I_ {j} cap I_ {j '} = emptyset quad { text {для }} j neq j '}

А непрерывный моноид - упорядоченный коммутативный моноид, в котором каждый направленный набор имеет наименьшая верхняя граница совместим с моноидным режимом:

{ Displaystyle а + sup S = sup (а + S) .}

Эти два понятия тесно связаны: непрерывный моноид - это полный моноид, в котором бесконечная сумма может быть определена как

{ displaystyle sum _ {I} a_ {i} = sup sum _ {E} a_ {i}}

где супремум справа пробегает все конечные подмножества $E$ из $я$ и каждая сумма справа является конечной суммой в моноиде.^[15]

Смотрите также

Примечания

^ Если оба е₁ и е₂ удовлетворяют приведенным выше уравнениям, тогда е₁ = е₁ • е₂ = е₂.
^ Якобсон 2009.
^ Некоторые авторы опускают требование о том, что субмоноид должен содержать элемент идентичности из своего определения, требуя только, чтобы он имел ан элемент идентичности, который может отличаться от M.
^ Гондран, Мишель; Мину, Мишель (2008). Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы. Серия интерфейсов для исследования операций / информатики. 41. Дордрехт: Springer-Verlag. п. 13. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038.
^ Родос, Джон; Стейнберг, Бенджамин (2009), Q-теория конечных полугрупп: новый подход, Монографии Спрингера по математике, 71, Springer, стр. 22, ISBN 9780387097817.
^ Якобсон 2009, п. 29, примеры 1, 2, 4 и 5.
^ Якобсон 2009, п. 35.
^ Якобсон, I.5. п. 22
^ Верунг, Фридрих (1996). «Тензорные произведения структур с интерполяцией». Тихоокеанский математический журнал. 176 (1): 267–285. Zbl 0865.06010.
^ $ж (Икс)* ж (е M) = ж (Икс * е M) = ж (Икс)$ для каждого $Икс$ в $M$ , когда $ж$ является гомоморфизмом полугрупп и $е M$ тождество моноида его области $M$ .
^ ^а ^б ^c Awodey, Стив (2006). Теория категорий. Oxford Logic Guides. 49. Oxford University Press. п. 10. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001.
^ Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам, 3–28. Дои:10.1007/978-3-642-01492-5_1, стр. 7–10
^ Хебиш, Удо (1992). "Eine algebraische Theorie undendlicher Summen mit Anwendungen auf Halbgruppen und Halbringe". Bayreuther Mathematische Schriften (на немецком). 40: 21–152. Zbl 0747.08005.
^ Куич, Вернер (1990). «ω-непрерывные полукольца, алгебраические системы и автоматы проталкивания». В Патерсоне, Майкл С. (ред.). Автоматы, языки и программирование: 17-й международный коллоквиум, Уорикский университет, Англия, 16-20 июля 1990 г., Труды. Конспект лекций по информатике. 443. Springer-Verlag. стр.103–110. ISBN 3-540-52826-1.
^ ^а ^б Куич, Вернер (2011). «Алгебраические системы и выталкивающие автоматы». В Kuich, Вернер (ред.). Алгебраические основы информатики. Очерки Симеона Бозапалидиса по случаю выхода на пенсию. Конспект лекций по информатике. 7020. Берлин: Springer-Verlag. С. 228–256. ISBN 978-3-642-24896-2. Zbl 1251.68135.

внешняя ссылка

«Моноид», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Моноид». MathWorld.
Моноид в PlanetMath.

[1] Если оба е₁ и е₂ удовлетворяют приведенным выше уравнениям, тогда е₁ = е₁ • е₂ = е₂.

[FOOTNOTEJacobson2009-2] Якобсон 2009.

[3] Некоторые авторы опускают требование о том, что субмоноид должен содержать элемент идентичности из своего определения, требуя только, чтобы он имел ан элемент идентичности, который может отличаться от M.

[4] Гондран, Мишель; Мину, Мишель (2008). Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы. Серия интерфейсов для исследования операций / информатики. 41. Дордрехт: Springer-Verlag. п. 13. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038.

[5] Родос, Джон; Стейнберг, Бенджамин (2009), Q-теория конечных полугрупп: новый подход, Монографии Спрингера по математике, 71, Springer, стр. 22, ISBN 9780387097817.

[FOOTNOTEJacobson200929,_examples_1,_2,_4_&_5-6] Якобсон 2009, п. 29, примеры 1, 2, 4 и 5.

[FOOTNOTEJacobson200935-7] Якобсон 2009, п. 35.

[8] Якобсон, I.5. п. 22

[9] Верунг, Фридрих (1996). «Тензорные произведения структур с интерполяцией». Тихоокеанский математический журнал. 176 (1): 267–285. Zbl 0865.06010.

[10] $ж (Икс)* ж (е M) = ж (Икс * е M) = ж (Икс)$ для каждого $Икс$ в $M$ , когда $ж$ является гомоморфизмом полугрупп и $е M$ тождество моноида его области $M$ .

[Awo10-11] а ^б ^c Awodey, Стив (2006). Теория категорий. Oxford Logic Guides. 49. Oxford University Press. п. 10. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001.

[droste-12] Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам, 3–28. Дои:10.1007/978-3-642-01492-5_1, стр. 7–10

[13] Хебиш, Удо (1992). "Eine algebraische Theorie undendlicher Summen mit Anwendungen auf Halbgruppen und Halbringe". Bayreuther Mathematische Schriften (на немецком). 40: 21–152. Zbl 0747.08005.

[14] Куич, Вернер (1990). «ω-непрерывные полукольца, алгебраические системы и автоматы проталкивания». В Патерсоне, Майкл С. (ред.). Автоматы, языки и программирование: 17-й международный коллоквиум, Уорикский университет, Англия, 16-20 июля 1990 г., Труды. Конспект лекций по информатике. 443. Springer-Verlag. стр.103–110. ISBN 3-540-52826-1.

[Kuich11-15] а ^б Куич, Вернер (2011). «Алгебраические системы и выталкивающие автоматы». В Kuich, Вернер (ред.). Алгебраические основы информатики. Очерки Симеона Бозапалидиса по случаю выхода на пенсию. Конспект лекций по информатике. 7020. Берлин: Springer-Verlag. С. 228–256. ISBN 978-3-642-24896-2. Zbl 1251.68135.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

α

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]