Отношения зеленых - Википедия - Greens relations

В математика, Отношения Грина пять отношения эквивалентности которые характеризуют элементы полугруппа с точки зрения главные идеалы они производят. Отношения названы в честь Джеймс Александр Грин, который представил их в статье 1951 года. Джон Макинтош Хауи, известный теоретик полугруппы, описал эту работу как «настолько всепроникающую, что при встрече с новой полугруппой почти первым задается вопрос:« Каковы отношения Зеленых? »» (Howie 2002). Отношения полезны для понимания природы делимости в полугруппе; они также действительны для группы, но в этом случае ничего полезного нам не скажите, потому что группы всегда имеют делимость.

Вместо того, чтобы работать напрямую с полугруппой S, отношения Грина удобно определять над моноид S¹. (S¹ является "S с присоединением при необходимости удостоверения личности "; если S уже не является моноидом, новый элемент присоединяется и определяется как тождество.) Это гарантирует, что главные идеалы, порожденные некоторым элементом полугруппы, действительно содержат этот элемент. Для элемента а из S, актуальными идеалами являются:

В главный левый идеал создано а: ${ displaystyle S ^ {1} a = {sa mid s in S ^ {1} }}$ . Это то же самое, что и ${ displaystyle {sa mid s in S } cup {a }}$ , который ${ displaystyle Sa cup {a }}$ .
В главный правый идеал создано а: ${ displaystyle aS ^ {1} = {as mid s in S ^ {1} }}$ , или эквивалентно ${ Displaystyle AS чашка {а }}$ .
В главный двусторонний идеал создано а: ${ displaystyle S ^ {1} aS ^ {1}}$ , или же ${ Displaystyle SaS чашка AS чашка Sa чашка {a }}$ .

Отношения L, R и J

Для элементов а и б из S, Отношения Грина L, р и J определены

а L б если и только если S¹ а = S¹ б.
а р б если и только если а S¹ = б S¹.
а J б если и только если S¹ а S¹ = S¹ б S¹.

То есть, а и б находятся L-связанными, если они порождают один и тот же левый идеал; р-связанными, если они порождают один и тот же правильный идеал; и J-связанными, если они порождают одинаковый двусторонний идеал. Это отношения эквивалентности на S, поэтому каждый из них дает разбиение S в классы эквивалентности. В L-класс а обозначается L_а (и аналогично для других отношений). В L-классы и р-классы можно эквивалентно понимать как компоненты сильной связности левого и правого Графики Кэли из S¹.^[1] Далее L, р, и J отношения определяют три предварительные заказы ≤_L, ≤_р, и ≤_J, куда а ≤_J б выполняется для двух элементов а и б из S если J-класс а входит в б, т.е. S¹ а S¹ ⊆ S¹ б S¹, и ≤_L и ≤_р определяются аналогично.^[2]

Зеленый использовал строчные буквы чернокнижник ${ displaystyle { mathfrak {l}}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ для этих отношений и написал ${ Displaystyle а эквив б ({ mathfrak {l}})}$ за а L б (и аналогично для р и J). Сегодня математики, как правило, используют буквы алфавита, такие как ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ вместо этого и заменить Грина модульная арифметика -стиль с используемым здесь инфиксным стилем. Для классов эквивалентности используются обычные буквы.

В L и р отношения двойственны друг другу слева и справа; теоремы, относящиеся к одному, можно перевести в аналогичные утверждения о другом. Например, L является право-совместимый: если а L б и c это еще один элемент S, тогда ac L до н.э. Вдвойне, р является лево-совместимый: если а р б, тогда ок р cb.

Если S коммутативна, то L, р и J совпадают.

Отношения H и D

Остальные соотношения выводятся из L и р. Их пересечение ЧАС:

а ЧАС б если и только если а L б и а р б.

Это также отношение эквивалентности на S. Класс ЧАС_а это пересечение L_а и р_а. В более общем смысле, пересечение любых L-класс с любым р-класс - это либо ЧАС-класс или пустой набор.

Теорема Грина заявляет, что для любого ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ -учебный класс ЧАС полугруппы S либо (i) ${ Displaystyle H ^ {2} cap H = emptyset}$ или (ii) ${ displaystyle H ^ {2} = H}$ и ЧАС является подгруппой S. Важное следствие состоит в том, что класс эквивалентности ЧАС_е, куда е является идемпотент, является подгруппой S (его личность е, и все элементы имеют обратные), и действительно является наибольшей подгруппой S содержащий е. Нет ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ -class может содержать более одного идемпотента, поэтому ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ является идемпотентное разделение. В моноиде M, класс ЧАС₁ традиционно называется группа единиц.^[3] (Помните, что единица не означает идентичность в данном контексте, т.е. в целом в ЧАС₁. Терминология "единицы" происходит из теории колец.) Например, в моноид преобразования на п элементы Т_п, группа единиц - это симметричная группа S_п.

Ну наконец то, D определено: а D б тогда и только тогда, когда существует c в S такой, что а L c и c р б. На языке решетки, D это соединение L и р. (Соединение для отношений эквивалентности обычно труднее определить, но в этом случае оно упрощается тем, что а L c и c р б для некоторых c если и только если а р d и d L б для некоторых d.)

В качестве D наименьшее отношение эквивалентности, содержащее как L и р, мы знаем это а D б подразумевает а J б-так J содержит D. В конечной полугруппе D и J одинаковые,^[4] как и в рациональный моноид.^[5]^{[требуется разъяснение ]} Кроме того, они также совпадают в любых эпигруппа.^[6]

Также есть формулировка D в терминах классов эквивалентности, полученных непосредственно из приведенного выше определения:^[7]

а D б тогда и только тогда, когда пересечение р_а и L_б не пусто.

Следовательно, D-классы полугруппы можно рассматривать как объединения L-классы, как союзы р-классы или как союзы ЧАС-классы. Клиффорд и Престон (1961) предлагают рассматривать эту ситуацию в терминах «яичной коробки»:^[8]

Каждый ряд яиц представляет собой р-класс, и каждый столбец - L-учебный класс; сами яйца являются ЧАС-классы. Для группы есть только одно яйцо, потому что все пять отношений Грина совпадают и делают все элементы группы эквивалентными. Противоположный случай, например, в бициклическая полугруппа, где каждый элемент находится в ЧАС-собственный класс. Ящик для яиц для этой полугруппы может содержать бесконечно много яиц, но все яйца находятся в одном ящике, потому что есть только одно D-учебный класс. (Полугруппа, у которой все элементы D-связанный называется непростой.)

Можно показать, что в пределах D-класс, все ЧАС-классы одинакового размера. Например, полугруппа преобразований Т₄ содержит четыре D-классы, внутри которых ЧАС-классы содержат 1, 2, 6 и 24 элемента соответственно.

Последние достижения в комбинаторика полугрупп использовали отношения Грина, чтобы помочь перечислить полугруппы с определенными свойствами. Типичный результат (Сато, Яма и Токидзава, 1994) показывает, что существует ровно 1843 120 128 неэквивалентный полугруппы порядка 8, в том числе 221 805 коммутативных; их работа основана на систематическом исследовании возможных D-классы. (Напротив, есть только пять групп порядка 8.)

Пример

Полугруппа полного преобразования Т₃ состоит из всех функций от набора {1, 2, 3} до самого себя; их 27. Написать (а б c) для функции, которая отправляет 1 в а, От 2 до б, а с 3 до c. С Т₃ содержит тождественное отображение, (1 2 3), нет необходимости присоединять тождество.

Схема ящика для яиц для Т₃ имеет три D-классы. Они также J-классы, поскольку эти отношения совпадают для конечной полугруппы.

(1 1 1)

(2 2 2)

(3 3 3)

(1 2 2), (2 1 1)	(1 3 3), (3 1 1)	(2 3 3), (3 2 2)
(2 1 2), (1 2 1)	(3 1 3), (1 3 1)	(3 2 3), (2 3 2)
(2 2 1), (1 1 2)	(3 3 1), (1 1 3)	(3 3 2), (2 2 3)

(1 2 3), (2 3 1),
(3 1 2), (1 3 2),
(3 2 1), (2 1 3)

В Т₃, две функции L-связаны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые изображение. Такие функции появляются в том же столбце таблицы выше. Точно так же функции ж и грамм находятся р-связаны тогда и только тогда, когда

ж(Икс) = ж(у) ⇔ грамм(Икс) = грамм(у)

за Икс и у в {1, 2, 3}; такие функции находятся в одной строке таблицы. Следовательно, две функции D-связаны тогда и только тогда, когда их изображения одинакового размера.

Элементы, выделенные жирным шрифтом, - идемпотенты. Любой ЧАС-класс, содержащий одну из них, является (максимальной) подгруппой. В частности, третий D-класс изоморфен симметрической группе S₃. Также существует шесть подгрупп порядка 2 и три подгруппы порядка 1 (а также подгруппы этих подгрупп). Шесть элементов Т₃ не входят ни в одну подгруппу.

Обобщения

По сути, есть два способа обобщения алгебраической теории. Один из них - изменить его определения так, чтобы он охватывал больше или больше разных объектов; другой, более тонкий способ - найти желаемый результат теории и рассмотреть альтернативные пути к такому выводу.

Следуя первому пути, аналогичные версии соотношений Грина были определены для полукольца (Grillet 1970) и кольца (Petro 2002). Некоторые, но не все, свойства, связанные с отношениями в полугруппах, переносятся на эти случаи. Оставаясь в мире полугрупп, отношения Грина могут быть расширены на относительные идеалы, которые являются подмножествами, которые являются только идеалами относительно подполугруппы (Wallace 1963).

Для второго типа обобщения исследователи сосредоточили внимание на свойствах биекции между L- и р- классы. Если Икс р у, то всегда можно найти взаимное соответствие между L_Икс и L_у которые р-класссохраняющий. (То есть, если два элемента L-класс находятся в одном р-класс, то их изображения под биекцией все равно будут в том же р-класс.) Двойственное утверждение для Икс L у также имеет место. Эти биекции являются правым и левым переводами, ограниченными соответствующими классами эквивалентности. Возникает вопрос: как еще могли быть такие предубеждения?

Предположим, что Λ и - полугруппы частичных преобразований некоторой полугруппы S. При определенных условиях можно показать, что если Икс Ρ = у Ρ, с Икс ρ₁ = у и у ρ₂ = Икс, то ограничения

ρ₁ : Λ Икс → Λ у

ρ₂ : Λ у → Λ Икс

являются взаимно обратными биекциями. (Условно аргументы пишутся справа для Λ, а слева для.) Тогда L и р отношения могут быть определены

Икс L у тогда и только тогда, когда Λ Икс = Λ у

Икс р у если и только если Икс Ρ = у Ρ

и D и ЧАС следуйте как обычно. Обобщение J не является частью этой системы, так как не играет роли в желаемой собственности.

Мы называем (Λ, Ρ) Пара Грина. Есть несколько вариантов полугруппы частичных преобразований, которые дают исходные отношения. В качестве одного из примеров можно взять Λ как полугруппу всех левых переводов на S¹, ограниченный S, и Ρ соответствующая полугруппа ограниченных правых переводов.

Эти определения даны Кларком и Каррутом (1980). Они включают работу Уоллеса, а также различные другие обобщенные определения, предложенные в середине 1970-х годов. Полные аксиомы довольно длинны, чтобы изложить их; неформально, наиболее важные требования состоят в том, что и Λ, и Ρ должны содержать тождественное преобразование, и что элементы Λ должны коммутировать с элементами.

Смотрите также

Группа Schutzenberger