Если и только если - If and only if

"Iff" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. IFF (значения).
«↔» перенаправляется сюда. Не следует путать с Двунаправленный трафик.

↔⇔≡⟺
Логические символы, представляющие если только

В логика и связанные поля, такие как математика и философия, если и только если (сокращено как если только[1]) это двухусловный логическая связка между утверждениями, где либо оба утверждения верны, либо оба ложны.

Соединительное слово двухусловный (заявление материальная эквивалентность),[2] и его можно сравнить со стандартным материальный условный ("только если", равно "если ... то") в сочетании с его обратным ("если"); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения истинны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли определенная таким образом связка передана англичанами "if и только если "- с уже существующим значением. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что единственный случай, когда п верно, если Q также верно, тогда как в случае P, если Q, могут быть другие сценарии, когда п правда и Q ложно.

В письменной форме фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P "тогда и только тогда, когда" Q, включают: Q - это необходимо и достаточно для P, P эквивалентен (или материально эквивалентен) Q (сравнить с материальное значение ), P в точности, если Q, P точно (или точно), когда Q, P именно в случае Q, и P на всякий случай Q.[3] Некоторые авторы считают «iff» неподходящим для формального письма;[4] другие считают его «пограничным случаем» и терпят его использование.[5]

В логические формулы, логические символы, такие как [6] и ,[7] используются вместо этих фраз; видеть § Обозначения ниже.

Определение

В таблица истинности из п Q как следует:[8][9]

Таблица истинности
пQп Qп Qп  Q
ТТТТТ
ТFFТF
FТТFF
FFТТТ

Это эквивалентно тому, что производится XNOR ворота, и противоположно тому, что производится Ворота XOR.[10]

использование

Обозначение

Соответствующие логические символы: «↔»,[6] "",[7] и "≡ ",[11] а иногда и «iff». Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако некоторые тексты математическая логика (особенно на логика первого порядка, скорее, чем логика высказываний ) проводят различие между ними, в которых первый,, используется как символ в логических формулах, а ⇔ используется в рассуждениях об этих логических формулах (например, в металогика ). В Лукасевич с Польская нотация, это префиксный символ "E".[12]

Другой термин для этого логическая связка является эксклюзивный ни.

В TeX, «тогда и только тогда» отображается в виде длинной двойной стрелки: с помощью команды iff.[13]

Доказательства

В большинстве логические системы, один доказывает утверждение формы «P, если и только если Q» путем доказательства либо «если P, то Q» и «если Q, то P», или «если P, то Q» и «если не-P, то не-Q».[1] Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, поскольку нет очевидных условий, при которых можно было бы напрямую вывести биконусловие. Альтернатива - доказать дизъюнкция «(P и Q) или (not-P и not-Q)», которое само по себе может быть выведено непосредственно из любого из его дизъюнктов, то есть потому, что «iff» истинно-функциональный, "P iff Q" следует, если P и Q были показаны как истинные, или оба ложные.

Происхождение iff и произношение

Аббревиатура «iff» впервые появилась в печати в Джон Л. Келли книга 1955 года Общая топология.[14]Его изобретение часто приписывают Пол Халмос, который написал: «Я изобрел« если и только если », то есть« если и только если »- но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем».[15]

Непонятно, как должно было произноситься слово «iff». В современной практике единственное «слово» «если и только если» почти всегда читается как четыре слова «если и только если». Однако в предисловии к Общая топология, Келли предлагает читать по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует« если и только если »и благозвучие требует чего-то меньшего. Я использую Halmos "iff". Авторы одного учебника дискретной математики предлагают:[16] "Если вам нужно произносить iff, действительно держись за "ff" чтобы люди слышали разницу от "если", подразумевая, что "если и только" можно произносить как [ɪfː].

Использование в определениях

Технически определения всегда являются утверждениями типа «если и только если»; некоторые тексты - например, Келли Общая топология - следуйте строгим требованиям логики и используйте «тогда и только тогда» или если только в определениях новых терминов.[17] Однако такое логически правильное использование слова «если и только если» относительно необычно, поскольку большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи на английском языке Википедии) следуют специальному соглашению интерпретировать «если» как «если и только если», всякий раз, когда задействовано математическое определение (например, «топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»).[18]

Отличие от «если» и «только если»

  • "Мэдисон съест фрукт если это яблоко." (эквивалентно "Только если Мэдисон съест фрукт, может это будет яблоко " или же "Мэдисон съест фрукт ← фрукт - яблоко ")
    В нем говорится, что Мэдисон будет есть яблоки. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон может также есть бананы или другие фрукты. Все, что известно наверняка, - это то, что она съест все яблоки, которые ей попадутся. Что фрукт - это яблоко, достаточный условие для Мэдисон съесть фрукт.
  • "Мэдисон съест фрукт только если это яблоко." (эквивалентно "Если Мэдисон съест фрукт, значит, это яблоко " или же "Мэдисон съест фрукт → фрукт - яблоко ")
    В нем говорится, что единственный фрукт, который Мэдисон ест, - это яблоко. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от яблока, если оно станет доступным, в отличие от пункта (1), который требует от Мэдисона съесть любое доступное яблоко. В этом случае, если данный фрукт является яблоком, необходимо условие, чтобы Мэдисон съела это. Это не достаточное условие, поскольку Мэдисон может съесть не все яблоки, которые ей дают.
  • "Мэдисон съест фрукт если и только если это яблоко." (эквивалентно "Мэдисон съест фрукт ↔ фрукт - яблоко ")
    Это заявление дает понять, что Мэдисон будет есть все и только те фрукты, которые являются яблоками. Она не оставит ни одного яблока несъеденным, и она не будет есть никаких других фруктов. То, что данный фрукт является яблоком, одновременно необходимо и достаточный условие для Мэдисон съесть фрукт.

Достаточность - это противоположность необходимости. Так сказать, учитывая п→Q (т.е. если п тогда Q), п было бы достаточным условием для Q, и Q было бы необходимым условием для п. Кроме того, учитывая п→Q, правда, что ¬Q→¬P (где ¬ - оператор отрицания, т.е. «не»). Это означает, что отношения между п и Q, установленный п→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:

п достаточно для Q
Q необходимо для п
¬Q достаточно для ¬P
¬P необходимо для ¬Q

В качестве примера возьмем первый пример выше, в котором говорится п→Q, куда п "рассматриваемый фрукт - яблоко" и Q "Мэдисон съест упомянутый фрукт". Ниже приведены четыре эквивалентных способа выражения этих отношений:

Если рассматриваемый фрукт - яблоко, Мэдисон съест его.
Только если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, будет ли это яблоко.
Если Мэдисон не съест рассматриваемый фрукт, то это не яблоко.
Мэдисон не будет есть его, только если это не яблоко.

Здесь второй пример можно переформулировать в виде если ... то как «Если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, то это яблоко»; рассматривая это вместе с первым примером, мы обнаруживаем, что третий пример можно сформулировать так: «Если рассматриваемый фрукт является яблоком, то Мэдисон съест его; и если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко ».

В терминах диаграмм Эйлера

  • А является собственным подмножеством B. Номер находится в А только если это в B; номер в B если это в А.

  • C является подмножеством, но не правильным подмножеством B. Номер находится в B если и только если это в C, а число находится в C если и только если это в B.

Диаграммы Эйлера показать логические отношения между событиями, свойствами и т. д. «P, только если Q», «если P, то Q» и «P → Q» означают, что P является подмножество, собственное или несобственное, Q. «P, если Q», «если Q, то P» и Q → P означают, что Q является собственным или несобственным подмножеством P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P "оба означают, что множества P и Q идентичны друг другу.

Более общее использование

Iff также используется вне области логики. Где бы ни применялась логика, особенно в математический обсуждения, оно имеет то же значение, что и выше: это сокращение от если и только если, что указывает на то, что одно утверждение одновременно необходимо и достаточно для другого.[1] Это пример математический жаргон (хотя, как отмечалось выше, если используется чаще, чем если только в формулировках определения).

Элементы Икс находятся все и только элементы Y означает: "Для любого z в область дискурса, z в Икс если и только если z в Y."

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - если и только если». Математическое хранилище. 1 августа 2019 г.. Получено 22 октября 2019.
  2. ^ Копи, И. М .; Cohen, C .; Флаж, Д. Э. (2006). Основы логики (Второе изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Education. п. 197. ISBN  978-0-13-238034-8.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Ифф". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
  4. ^ Например. Дэпп, Ульрих; Горкин Памела (2011), Чтение, письмо и доказательство: более пристальный взгляд на математику, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 52, ISBN  9781441994790, Хотя это может реально сэкономить время, мы не рекомендуем его в письменной форме.
  5. ^ Ротвелл, Эдвард Дж .; Клауд, Майкл Дж. (2014), Инженерное письмо по дизайну: создание официальных документов, имеющих непреходящую ценность, CRC Press, стр. 98, ISBN  9781482234312, Это обычное дело в математическом письме
  6. ^ а б «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 6 апреля 2020 г.. Получено 4 сентября 2020.
  7. ^ а б Пейл, Тимоти. «Условные и двусмысленные». web.mnstate.edu. Получено 4 сентября 2020.
  8. ^ р <=> д. Вольфрам | Альфа
  9. ^ Если и только если, Кафедра математики УХМ, Теоремы, имеющие вид «P тогда и только Q», высоко ценятся в математике. Они дают так называемые «необходимые и достаточные» условия и дают совершенно эквивалентные и, надеюсь, интересные новые способы сказать одно и то же.
  10. ^ «XOR / XNOR / Odd Parity / Четный шлюз». www.cburch.com. Получено 22 октября 2019.
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Эквивалент». mathworld.wolfram.com. Получено 4 сентября 2020.
  12. ^ "Ян Лукасевич> Без скобок или польская нотация Лукасевича (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu. Получено 22 октября 2019.
  13. ^ «LaTeX: символ». Искусство решения проблем. Получено 22 октября 2019.
  14. ^ Общая топология, переиздать ISBN  978-0-387-90125-1
  15. ^ Николас Дж. Хайэм (1998). Справочник по письму для математических наук (2-е изд.). СИАМ. п. 24. ISBN  978-0-89871-420-3.
  16. ^ Маурер, Стивен Б .; Ральстон, Энтони (2005). Дискретная алгоритмическая математика (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 60. ISBN  1568811667.
  17. ^ Например, из Общая топология, п. 25: "Набор счетный если и только если оно конечно или счетно бесконечно ". [жирный шрифт в оригинале]
  18. ^ Кранц, Стивен Г. (1996), Учебник по математическому письму, Американское математическое общество, стр.71, ISBN  978-0-8218-0635-7

внешняя ссылка