Логическая дизъюнкция - Википедия - Logical disjunction

Логическая дизъюнкция
ИЛИ ЖЕ
Определение
Таблица истинности
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный
Конъюнктивный
Полином Жегалкина
Решетки столба
0-сохранение	да
1-консервирующий	да
Монотонный	да
Аффинный	нет

Диаграмма Венна

{ displaystyle scriptstyle A lor B lor C}

В логика и математика, или же это истинно-функциональный оператор (включающий) дизъюнкция, также известный как чередование;^{[нужна цитата ]} то или же набора операндов верно если и только если один или больше его операндов истинно. В логическая связка , который представляет этот оператор, обычно записывается как ∨ или +.^[1]^[2]^[3]

Учитывая два предложения ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ , ${ Displaystyle A lor B}$ верно, если ${ displaystyle A}$ правда, или если ${ displaystyle B}$ верно, или если оба ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ верны.

По логике или же само по себе означает включающий или же. Это следует отличать от Эксклюзивный или, который, в отличие от обычного или же, ложно, если оба его аргумента верны.

Операнд дизъюнкции называется разъединять.

Концепция дизъюнкции также используется аналогичным образом в других областях:

В естественный язык, то координационное соединение "или же"
В языках программирования короткое замыкание или структура управления
В теория множеств, союз
В логика предикатов, экзистенциальная количественная оценка

Обозначение

Или же обычно выражается инфиксным оператором: в математике и логике ∨;^[1]^[2] в электронике, +; и в большинстве языков программирования |, ||, или же или же. В Ян Лукасевич с префиксное обозначение логики, оператор А, для польского альтернатива (Английский: альтернатива).^[4]

Определение

Логическая дизъюнкция является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, который имеет значение ложный тогда и только тогда, когда оба его операнда ложны. В более общем смысле дизъюнкция - это логическая формула, которая может иметь одно или несколько литералы разделены только "или". Одиночный литерал часто считается вырожденной дизъюнкцией.

Дизъюнктивный личность ложно, то есть или же выражения с ложью имеет то же значение, что и исходное выражение. В соответствии с концепцией пустая правда, когда дизъюнкция определяется как оператор или функция произвольного арность, пустая дизъюнкция (операция ИЛИ над пустым набором операндов) обычно определяется как ложь.

Таблица истинности

В таблица истинности из ${ Displaystyle A lor B}$ :^[2]

${ displaystyle A}$	${ displaystyle B}$	${ Displaystyle A lor B}$
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Характеристики

К дизъюнкции применяются следующие свойства:

Ассоциативность: ${ Displaystyle а лор (б лор с) экв (а лор б) лор с}$
Коммутативность: ${ Displaystyle а лор б эквив б лор а}$
Распределительность: ${ Displaystyle (а лор (Ь земля с)) экв ((а лор б) земля (а лор с))}$

{ Displaystyle (а лор (Ь лор с)) эквив ((а лор б) лор (а лор с))}

{ Displaystyle (а лор (б экв с)) экв ((а лор б) экв (а лор с))}

Идемпотентность: ${ Displaystyle а лор а эквив а}$
Монотонность: ${ Displaystyle (a rightarrow b) rightarrow ((с lor a) rightarrow (c lor b))}$

{ Displaystyle (a rightarrow b) rightarrow ((a lor c) rightarrow (b lor c))}

Сохраняющий правду: Интерпретация, согласно которой всем переменным присваивается значение истины of 'true', производит значение истинности 'true' в результате дизъюнкции.
Сохранение лжи: Интерпретация, согласно которой всем переменным присваивается значение истины of 'false', производит значение истинности 'false' в результате дизъюнкции.

Символ

Математический символ логической дизъюнкции варьируется в литературе. Помимо слова «или» и формулы «Аpq", символ " ${ displaystyle lor}$ ", происходящее от латинского слова вель («Либо», «или») обычно используется для обозначения дизъюнкции. Например: "А ${ displaystyle lor}$ B "читается как"А или же B ".^[1] Такая дизъюнкция неверна, если оба А и B ложны. Во всех остальных случаях это правда.

Все следующие дизъюнкции:

{ Displaystyle A lor B}

{ displaystyle neg A lor B}

{ displaystyle A lor neg B lor neg C lor D lor neg E.}

Соответствующей операцией в теории множеств является теоретико-множественное объединение.

Приложения в информатике

ИЛИ ЖЕ логический вентиль

Операторы соответствующие логической дизъюнкции существуют в большинстве языки программирования.

Побитовая операция

Дизъюнкция часто используется для побитовые операции. Примеры:

0 или 0 = 0
0 или 1 = 1
1 или 0 = 1
1 или 1 = 1
1010 или 1100 = 1110

В или же оператор может использоваться для установки битов в битовое поле к 1, по или же-содержание поля постоянным полем с соответствующими битами, установленными в 1. Например, х = х | 0b00000001 установит последний бит в 1, оставив остальные биты без изменений.

Логическая операция

Многие языки различают поразрядную и логическую дизъюнкцию, предоставляя два разных оператора; в языках, следующих за C, побитовая дизъюнкция выполняется с помощью однотрубного оператора (|), и логическая дизъюнкция с двойной трубкой (||) оператор.

Логическая дизъюнкция обычно закороченный; то есть, если первый (левый) операнд оценивается как истинный, то второй (правый) операнд не оценивается. Таким образом, оператор логической дизъюнкции обычно составляет точка последовательности.

В параллельном (параллельном) языке можно замкнуть обе стороны: они вычисляются параллельно, и если одна из них завершается со значением true, другая прерывается. Таким образом, этот оператор называется параллельно или.

Хотя тип логического выражения дизъюнкции является логическим в большинстве языков (и, следовательно, может иметь только значение истинный или же ложный), на некоторых языках (например, Python и JavaScript ), логический оператор дизъюнкции возвращает один из своих операндов: первый операнд, если он принимает истинное значение, и второй операнд в противном случае.

Конструктивная дизъюнкция

В Переписка Карри – Ховарда связывает конструктивист форма дизъюнкции помеченный союз типы.

Союз

В членство элемента союзный набор в теория множеств определяется в терминах логической дизъюнкции: Икс ∈ А ∪ B если и только если (Икс ∈ А) ∨ (Икс ∈ B). Из-за этого логическая дизъюнкция удовлетворяет многим из тех же тождеств, что и теоретико-множественное объединение, например ассоциативность, коммутативность, распределенность, и законы де Моргана, определяя логическое соединение с установить пересечение, логическое отрицание с набор дополнений.

Естественный язык

Как и в случае с другими понятиями, формализованными в математическая логика, то смысл естественного языка координационное соединение или же тесно связан с логическим, но отличается от него. или же. Например, «Пожалуйста, позвоните мне или отправьте электронное письмо», скорее всего, означает «сделайте то или другое, но не то и другое». С другой стороны, «ее оценки настолько хороши, что она либо очень умна, либо усердно учится» не исключает возможности того и другого. Другими словами, на обычном языке "или" (даже если используется с "либо")^{[нужна цитата ]} может означать либо включающее «или», либо исключающее «или».

Смотрите также

Примечания

Джордж Буль, в точности следуя аналогии с обычной математикой, в качестве необходимого условия к определению «x + y» полагает, что x и y являются взаимоисключающими. Джевонс и практически все математические логики после него на различных основаниях отстаивали определение «логического сложения» в форме, не требующей взаимной исключительности.

внешняя ссылка

«Дизъюнкция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Алони, Мария. «Дизъюнкция». В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
Эрик В. Вайсштейн. «Дизъюнкция». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram

[:0-1] а ^б ^c «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 2020-04-06. Получено 2020-09-03.

[:1-2] а ^б ^c Алони, Мария (2016), Залта, Эдвард Н. (ред.), «Дизъюнкция», Стэнфордская энциклопедия философии (Зима 2016 г.), Исследовательская лаборатория метафизики Стэнфордского университета., получено 2020-09-03

[3] «Дизъюнкция | логика». Энциклопедия Британника. Получено 2020-09-03.

[4] Юзеф Мария Бохенски (1959), Краткое изложение математической логики, перевод Отто Берда из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Северная Голландия: D. Reidel, passim.

[1]

[2]

[3]

[4]

Логические связки
Тавтология /Истинный ${ displaystyle top}$
Альтернативное отрицание (Ворота NAND ) ${ displaystyle uparrow}$ Обратное значение ${ displaystyle leftarrow}$ Последствия (НЕОБХОДИМО ворота ) ${ displaystyle rightarrow}$ Дизъюнкция (ИЛИ ворота ) ${ displaystyle lor}$
Отрицание (НЕ ворота ) ${ displaystyle neg}$ Эксклюзивный или (Ворота XOR ) ${ displaystyle not leftrightarrow}$ Двусмысленный (XNOR ворота ) ${ displaystyle leftrightarrow}$ Заявление (Цифровой буфер )
Совместное отрицание (Ворота NOR ) ${ displaystyle downarrow}$ Неимпликация (NIMPLY ворота ) ${ displaystyle nrightarrow}$ Конверс без импликации ${ displaystyle nleftarrow}$ Соединение (И ворота ) ${ displaystyle land}$
Противоречие /Ложь ${ displaystyle bot}$
Философский портал