Неравенства Фреше - Fréchet inequalities

В вероятностная логика, то Неравенства Фреше, также известный как Неравенства Буля – Фреше., правила, подразумеваемые в работе Джордж Буль[1][2] и явно получен Морис Фреше[3][4] которые управляют комбинацией вероятностей около логические предложения или же События логически связаны вместе в союзы (И операции) или дизъюнкции (ИЛИ ЖЕ операции) как в Логические выражения или же вина или же деревья событий общий в Рискованные оценки, инженерный дизайн и искусственный интеллект. Эти неравенства можно рассматривать как правила о том, как ограничивать вычисления, включающие вероятности, не предполагая независимость или, действительно, без каких-либо зависимость какие бы то ни было предположения. Неравенства Фреше тесно связаны с Неравенства Буля – Бонферрони – Фреше., и чтобы Границы Фреше.

Если Ая находятся логические предложения или же События, неравенства Фреше имеют вид

Вероятность логическое соединение (&)
макс (0, P (А1) + P (А2) + ... + P (Ап) − (п - 1)) ≤ P (А1 & А2 & ... & Ап) ≤ min (P (А1), П(А2), ..., П(Ап)),
Вероятность логическая дизъюнкция (∨)
макс (P (А1), П(А2), ..., П(Ап)) ≤ P (А1 ∨ А2 ∨ ... ∨ Ап) ≤ min (1, P (А1) + P (А2) + ... + P (Ап)),

где P () обозначает вероятность события или предложения. В случае, когда есть только два события, скажем А и B, неравенства сводятся к

Вероятность логического соединения (&)
макс (0, P (А) + P (B) - 1) ≤ P (А & B) ≤ min (P (А), П(B)),
Вероятность логической дизъюнкции (∨)
макс (P (А), П(B)) ≤ P (А ∨ B) ≤ min (1, P (А) + P (B)).

Неравенства ограничивают вероятности двух видов совместных событий с учетом вероятностей отдельных событий. Например, если A означает «рак легких», а B означает «мезотелиому», то A и B «имеют как рак легких, так и мезотелиому», а A ∨ B «имеет рак легких или мезотелиому, или оба заболевания», а неравенство связывает риски этих событий.

Обратите внимание, что логические союзы обозначаются по-разному в разных полях, включая AND, &, ∧ и графические И-ворота. Логические дизъюнкции также обозначаются различными способами, включая OR, |, ∨ и графические OR-ворота. Если события принимаются за наборы скорее, чем логические предложения, то теоретико-множественный версии неравенств Фреше:

Вероятность пересечение событий
макс (0, P (А) + P (B) - 1) ≤ P (А ∩ B) ≤ min (P (А), П(B)),
Вероятность союз событий
макс (P (А), П(B)) ≤ P (А ∪ B) ≤ min (1, P (А) + P (B)).

Числовые примеры

Если вероятность события A равна P (A) = а = 0,7, а вероятность события B равна P (B) = б = 0,8, то вероятность соединение, т.е. совместное событие A и B, обязательно находится в интервале

P (A & B) ∈ [max (0, а + б - 1), мин (а, б)]
= [макс (0, 0,7 + 0,8–1), мин (0,7, 0,8)]
= [0.5, 0.7].

Точно так же вероятность дизъюнкция A ∨ B обязательно находится в интервале

P (A ∨ B) ∈ [max (а, б), мин (1, а + б)]
= [макс (0,7; 0,8), минимум (1; 0,7 + 0,8)]
= [0.8, 1].

Эти интервалы контрастируют с результатами, полученными по правилам вероятность принятия независимости, где вероятность конъюнкции равна P (A & B) = а × б = 0,7 × 0,8 = 0,56, а вероятность дизъюнкции P (A ∨ B) = а + б − а × б = 0.94.

Когда предельные вероятности очень малы (или велики), интервалы Фреше сильно асимметричны по отношению к аналогичным результатам при независимости. Например, предположим, что P (A) = 0,000002 = 2 × 10−6 и P (B) = 0,000003 = 3 × 10−6. Тогда неравенства Фреше говорят, что P (A & B) находится в интервале [0, 2 × 10−6], а P (A ∨ B) находится в интервале [3 × 10−6, 5×10−6]. Однако, если A и B независимы, вероятность A и B равна 6 × 10.−12 что сравнительно очень близко к нижнему пределу (нулю) интервала Фреше. Точно так же вероятность A ∨ B равна 4,999994 × 10.−6, что очень близко к верхней границе интервала Фреше. Это оправдывает приближение редких событий.[5] часто используется в теория надежности.

Доказательства

Доказательства элементарны. Напомним, что P (А ∨ B) = P (А) + P (B) - P (А & B), откуда следует P (А) + P (B) - P (А ∨ B) = P (А & B). Поскольку все вероятности не больше единицы, мы знаем P (А ∨ B) ≤ 1, откуда следует, что P (А) + P (B) - 1 ≤ P (А & B). Поскольку все вероятности также положительны, мы можем аналогично сказать 0 ≤ P (А & B), поэтому max (0, P (А) + P (B) - 1) ≤ P (А & B). Это дает нижнюю оценку конъюнкции.

Чтобы получить оценку сверху, напомним, что P (А & B) = P (А|B) П(B) = P (B|А) П(А). Поскольку P (А|B) ≤ 1 и P (B|А) ≤ 1, мы знаем P (А & B) ≤ P (А) и P (А & B) ≤ P (B). Следовательно, P (А & B) ≤ min (P (А), П(B)), что является верхней оценкой.

Наилучший характер этих границ следует из наблюдения того, что они реализуются некоторой зависимостью между событиями A и B. Аналогичным образом выводятся сопоставимые границы дизъюнкции.

Расширения

Когда входные вероятности сами являются диапазонами интервалов, формулы Фреше по-прежнему работают как анализ границ вероятности.Hailperin[2] рассмотрел проблему вычисления вероятностных булевых выражений, включающих множество событий в сложных конъюнкциях и дизъюнкциях.[6][7] предложили использовать неравенства в различных приложениях искусственного интеллекта и расширили правила, чтобы учесть различные предположения о зависимости между событиями. Неравенства также могут быть обобщены на другие логические операции, включая даже modus ponens.[6][8] Когда входные вероятности характеризуются распределения вероятностей, аналогичные операции, которые обобщают логические и арифметические свертки без предположений о зависимости между входами, могут быть определены на основе связанного понятия Границы Фреше.[7][9][10]

Квантовые границы Фреше

Интересно, что аналогичные оценки верны и в Квантовая механика в случае разделимые квантовые системы и это запутанный государства нарушают эти границы.[11] Рассмотрим составную квантовую систему. В частности, мы сосредоточимся на сложной квантовой системе AB состоящий из двух конечных подсистем, обозначенных как А и B. Предположим, что мы знаем матрица плотности подсистемы А, т.е. это положительно определенная матрица со следом один в (пространство Эрмитовы матрицы измерения ), а матрица плотности подсистемы B обозначается как Мы можем думать о и как маргиналы подсистем А и B. Зная об этих маргиналах, мы хотим кое-что сделать о соединение в Мы ограничиваем наше внимание соединение которые отделяемый. Матрица плотности в составной системе отделима, если существуют и которые являются смешанными состояниями соответствующих подсистем, такими что

куда

Иначе называется запутанным состоянием.

За разделимые матрицы плотности в справедливы следующие оценки типа Фреше:

Неравенства матричные неравенства, обозначает тензорное произведение и то единичная матрица измерения . Очевидно, что структурно указанные неравенства являются аналогами классических оценок Фреше для логической конъюнкции. Также стоит отметить, что когда матрицы и ограничены диагональностью, получаем классические оценки Фреше.

Верхняя граница известна в квантовой механике как критерий редукции для матриц плотности; это было впервые доказано[12] и независимо сформулированы.[13] Нижняя оценка была получена в[11]:Теорема A.16. что обеспечивает байесовскую интерпретацию этих границ.

Числовые примеры

Мы наблюдали, когда матрицы и все диагональны, получаем классические оценки Фреше. Чтобы показать это, снова рассмотрим предыдущий числовой пример:

тогда у нас есть:

что значит:

Стоит отметить, что запутанный состояния нарушают указанные выше границы Фреше. Рассмотрим, например, запутанную матрицу плотности (которая неотделима):

который имеет маргинальный

Запутанные состояния неотделимы, и легко проверить, что

так как полученные матрицы имеют одно отрицательное собственное значение.

Другой пример нарушения вероятностных границ дается известным Неравенство Белла: запутанные состояния проявляют форму стохастический зависимость сильнее, чем самая сильная классическая зависимость: и фактически они нарушают границы Фреше.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Буль, Г. (1854). Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей. Уолтон и Маберли, Лондон. См. «Основные» и «второстепенные» пределы союза Буля на стр. 299.
  2. ^ а б Хайлперин, Т. (1986). Логика и вероятность Буля. Северная Голландия, Амстердам.
  3. ^ Фреше, М. (1935). Généralisations du théorème des probabilités totales. Fundamenta Mathematicae 25: 379–387.
  4. ^ Фреше, М. (1951). Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Annales de l'Université de Lyon. Раздел A: математические науки и астрономия 9: 53–77.
  5. ^ Колле, Дж. (1996). Несколько замечаний по поводу приближения редких событий. Транзакции IEEE о надежности 45: 106–108.
  6. ^ а б Уайз Б.П. и М. Хенрион (1986). Структура для сравнения систем неопределенного вывода с вероятностью. Неопределенность в искусственном интеллектепод редакцией Л. Kanal и J.F. Lemmer, Elsevier Science Publishers, B.V. North-Holland, Амстердам.
  7. ^ а б Уильямсон, Р. (1989). Вероятностная арифметика. Диссертация, Университет Квинсленда.
  8. ^ Вагнер, К. (2004). Modus tollens вероятный. Британский журнал философии науки 55: 747–753.
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. Границы Фреше. MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
  10. ^ Рюшендорф, Л. (1991). Границы Фреше и их приложения. Страницы 151–187 в Достижения в области вероятностных распределений с заданными запасами, математики и ее приложений 67, под редакцией Г. Далл'Аглио, С. Коца и Г. Салинетти, Kluwer, Dordrecht.
  11. ^ а б Benavoli, A .; Факкини, А .; Заффалон, М. (10 октября 2016 г.). «Квантовая механика: байесовская теория, обобщенная на пространство эрмитовых матриц». Физический обзор A. 94 (4): 1–27. arXiv:1605.08177. Bibcode:2016PhRvA..94d2106B. Дои:10.1103 / PhysRevA.94.042106.
  12. ^ М. Городецкий и П. Городецкий (1999). «Редукционный критерий разделимости и пределы для класса протоколов дистилляции». Phys. Ред. А. 59: 4206. arXiv:Quant-ph / 9708015. Bibcode:1999PhRvA..59.4206H. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.4206.
  13. ^ Н. Серф; и другие. (1999). «Критерий редукции отделимости». Phys. Ред. А. 60: 898. arXiv:Quant-ph / 9710001. Bibcode:1999PhRvA..60..898C. Дои:10.1103 / PhysRevA.60.898.