Modus ponens - Modus ponens

В логика высказываний, modus ponens (/ˈмoʊdəsˈпoʊпɛпz/; Депутат), также известный как modus ponendo ponens (латинский для "способ, который, утверждая, утверждает")^[1] или же устранение последствий или же подтверждая антецедент^[2], это дедуктивный форма аргумента и правило вывода.^[3] Его можно резюмировать как "п подразумевает В. п правда. Следовательно Q тоже должно быть правдой ".

Modus ponens тесно связан с другим действительный форма аргументации, модус толленс. Оба имеют явно похожие, но недействительные формы, такие как подтверждая следствие, отрицая антецедент, и свидетельство отсутствия. Конструктивная дилемма это дизъюнктивный версия modus ponens. Гипотетический силлогизм тесно связан с modus ponens и иногда воспринимается как "двойной modus ponens."

История modus ponens возвращается к древность.^[4] Первый, кто явно описывает форму аргумента modus ponens был Теофраст.^[5] Это вместе с модус толленс, является одним из стандартных шаблонов вывода, который можно применять для вывода цепочек выводов, ведущих к желаемой цели.

Объяснение

Форма modus ponens аргумент напоминает силлогизм, с двумя предпосылками и выводом:

Если п, тогда Q.

п.

Следовательно, Q.

Первая посылка - это условный («если – то»), а именно, что п подразумевает Q. Вторая посылка - это утверждение, что п, то предшествующий условной претензии, есть случай. Из этих двух посылок можно логически заключить, что Q, то последующий условной претензии, также должно быть так.

Пример аргумента, подходящего к форме modus ponens:

Если сегодня вторник, то Джон пойдет на работу.

Сегодня вторник.

Следовательно, Джон пойдет на работу.

Этот аргумент действительный, но это не имеет никакого отношения к тому, действительно ли какое-либо из утверждений в аргументе истинный; за modus ponens быть звук аргумент, посылки должны быть верными для любых истинных случаев заключения. An аргумент может быть действительным, но, тем не менее, необоснованным, если одно или несколько посылок ложны; если аргумент действителен и все посылки верны, значит, аргумент верен. Например, в среду Джон может пойти на работу. В этом случае аргументы в пользу того, что Джон собирается работать (потому что сейчас среда), необоснованны. Аргумент верен только по вторникам (когда Джон идет на работу), но действителен в любой день недели. А пропозициональный аргумент с использованием modus ponens как говорят дедуктивный.

В едином заключении последовательные исчисления, modus ponens это правило вырезания. В теорема исключения сечения для исчисления говорится, что каждое доказательство, включающее Cut, может быть преобразовано (обычно конструктивным методом) в доказательство без Cut, и, следовательно, Cut является допустимый.

В Переписка Карри – Ховарда между доказательствами и программами связывает modus ponens к приложение функции: если ж это функция типа п → Q и Икс относится к типу п, тогда f x относится к типу Q.

В искусственный интеллект, modus ponens часто называют прямая цепочка.

Формальное обозначение

В modus ponens правило может быть записано в последовательный обозначение как

${displaystyle P o Q,; P ;; vdash ;; Q}$

куда п, Q и п → Q утверждения (или предложения) на формальном языке и ⊢ это металогический символ, означающий, что Q это синтаксическое следствие из п и п → Q в некоторых логическая система.

Обоснование с помощью таблицы истинности

Срок действия modus ponens в классической двузначной логике можно наглядно продемонстрировать с помощью таблица истинности.

В случаях modus ponens мы предполагаем как предпосылку, что п → q правда и п правда. Только одна строка таблицы истинности - первая - удовлетворяет этим двум условиям (п и п → q). В этой строке q тоже верно. Поэтому всякий раз, когда п → q правда и п правда, q тоже должно быть правдой.

Положение дел

Пока modus ponens один из наиболее часто используемых формы аргументов в логике его нельзя принимать за логический закон; скорее, это один из принятых механизмов построения дедуктивных доказательств, который включает «правило определения» и «правило подстановки».^[6] Modus ponens позволяет устранить Условный оператор из логическое доказательство или аргумент (антецеденты) и тем самым не переносят эти антецеденты вперед в постоянно удлиняющейся цепочке символов; по этой причине modus ponens иногда называют правило непривязанности^[7] или закон непривязанности.^[8] Эндертон, например, отмечает, что «modus ponens может производить более короткие формулы из более длинных»,^[9] и Рассел замечает, что «процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственная запись - это возникновение conseq [консеквента] ... вывод - это отказ от истинной посылки; это растворение импликации» .^[10]

Обоснованием «доверия к умозаключениям» является вера в то, что если два предыдущих утверждения [антецеденты] не ошибочны, то окончательное утверждение [следствие] не ошибочно ».^[10] Другими словами: если один утверждение или же предложение подразумевает второй, и первое утверждение или предложение истинно, то второе также верно. Если п подразумевает Q и п верно, тогда Q правда.^[11]

Соответствие другим математическим системам

Исчисление вероятностей

Modus ponens представляет собой экземпляр Закон полной вероятности что для двоичной переменной выражается как:

${displaystyle Pr (Q) = Pr (Qmid P) Pr (P) + Pr (Qmid lnot P) Pr (lnot P),}$,

где например ${displaystyle Pr (Q)}$ обозначает вероятность ${displaystyle Q}$ и условная возможность ${displaystyle Pr (Qmid P)}$ обобщает логическое следствие ${displaystyle P o Q}$. Предположить, что ${displaystyle Pr (Q) = 1}$ эквивалентно ${displaystyle Q}$ ИСТИНА, и это ${displaystyle Pr (Q) = 0}$ эквивалентно ${displaystyle Q}$ ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что ${displaystyle Pr (Q) = 1}$ когда ${displaystyle Pr (Qmid P) = 1}$ и ${displaystyle Pr (P) = 1}$. Следовательно закон полной вероятности представляет собой обобщение modus ponens.^[12]

Субъективная логика

Modus ponens представляет собой экземпляр оператора биномиального вывода в субъективная логика выражается как:

${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A} = (omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A}) в кружке омега _ {P} ^ {A} ,}$,

куда ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ обозначает субъективное мнение о ${displaystyle P}$ как указано в источнике ${displaystyle A}$, а условное мнение ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ обобщает логическое следствие ${displaystyle P o Q}$. Выведенное маргинальное мнение о ${displaystyle Q}$ обозначается ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$. Случай, когда ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ абсолютно ИСТИННОЕ мнение о ${displaystyle P}$ эквивалентно источнику ${displaystyle A}$ говоря это ${displaystyle P}$ ИСТИНА, и случай, когда ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ АБСОЛЮТНО ЛОЖНОЕ мнение о ${displaystyle P}$ эквивалентно источнику ${displaystyle A}$ говоря это ${displaystyle P}$ ЛОЖНО. Оператор дедукции ${displaystyle circleledcirc}$ из субъективная логика производит абсолютно ИСТИННОЕ выведенное мнение ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ когда условное мнение ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ Абсолютно ИСТИНА и предшествующее мнение ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ Абсолютно ИСТИНА. Следовательно, субъективная логическая дедукция представляет собой обобщение обоих modus ponens и Закон полной вероятности.^[13]

Предполагаемые случаи отказа

Философ и логик Ванн МакГи утверждал, что modus ponens может не иметь силы, если консеквент сам по себе является условным предложением.^[14] Вот пример:

Либо Шекспир или же Гоббс написал Гамлет.

Если бы Шекспир или Гоббс писали Гамлет, значит, если Шекспир этого не сделал, то сделал Гоббс.

Следовательно, если Шекспир не писал Гамлет, Гоббс это сделал.

Первая посылка кажется достаточно разумной, потому что Шекспиру обычно приписывают писательское мастерство. Гамлет. Вторая посылка тоже кажется разумной, потому что с набором Гамлет'Возможные авторы ограничиваются только Шекспиром и Гоббсом, исключая одного, оставляет только другой. Но вывод, рассмотренный сам собой и с возможными авторами нет ограничивается только Шекспиром и Гоббсом, сомнительно, потому что если Шекспир исключен как Гамлетавтора, есть гораздо более вероятные альтернативы, чем Гоббс.

Общий вид контрпримеров типа МакГи к modus ponens просто ${displaystyle P, Pightarrow (Qightarrow R)}$, следовательно ${displaystyle Qightarrow R}$; не обязательно, чтобы ${displaystyle P}$ быть дизъюнкцией, как в данном примере. Что такого рода случаи представляют собой отказ modus ponens остается мнением меньшинства среди логиков, но мнения расходятся относительно того, как следует избавляться от кейсов.^[15][16][17]

В деонтическая логика, некоторые примеры условного обязательства также повышают вероятность отказа modus ponens. Это случаи, когда условная посылка описывает обязательство, основанное на аморальном или неосмотрительном действии, например: «Если Доу убивает свою мать, он должен сделать это осторожно», для чего сомнительный безусловный вывод будет: «Доу должен мягко убить свою мать. мать."^[18] Из этого следует, что если Доу на самом деле нежно убивает свою мать, то, согласно modus ponens, он делает именно то, что должен, безусловно, делать. Опять же, отказ от modus ponens не является популярным диагнозом, но иногда его аргументируют.^[19]

Возможные заблуждения

Заблуждение подтверждая следствие - распространенное неверное толкование modus ponens.^[20]

Смотрите также

• Конденсированная отслойка
• Латинские фразы
• Modus tollens - Правило логического вывода
• Modus vivendi - договоренность, которая позволяет конфликтующим сторонам мирно сосуществовать
• Стоическая логика - Система логики высказываний, разработанная философами-стоиками
• "Что Черепаха сказала Ахиллу - Аллегорический диалог Льюиса Кэрролла »

Рекомендации

Источники

• Герберт Б. Эндертон, 2001 г., Математическое введение в логику, второе издание, Harcourt Academic Press, Берлингтон, Массачусетс, ISBN  978-0-12-238452-3.
• Аудун Йосанг, 2016 г., Субъективная логика; Формализм для рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN  978-3-319-42337-1
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел 1927 Principia Mathematica до * 56 (второе издание) издание в мягкой обложке, 1962, Cambridge at the University Press, Лондон, Великобритания. Ни ISBN, ни LCCCN.
• Альфред Тарский 1946 Введение в логику и методологию дедуктивных наук 2-е издание, перепечатано Dover Publications, Mineola NY. ISBN  0-486-28462-X (PBK).

внешняя ссылка

• "Modus ponens", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Modus ponens в PhilPapers
• Modus ponens в Wolfram MathWorld