Modus tollens - Modus tollens

В логика высказываний, модус толленс (/ˈмoʊdəsˈтɒлɛпz/) (MT), также известный как modus tollendo tollens (латинский за "режим отрицания отрицает")^[1] и отрицание следствия,^[2] это дедуктивный форма аргумента и правило вывода. Modus tollens принимает форму «Если P, то Q. Не Q. Следовательно, не P.» Это приложение общей истины, что если утверждение истинно, то и его контрапозитивный. Форма показывает, что вывод из P влечет Q к отрицание Q означает отрицание P это действительный аргумент.

История правила вывода модус толленс восходит к древности.^[3] Первый, кто явно описывает форму аргумента модус толленс был Теофраст.^[4]

Modus tollens тесно связан с modus ponens. Есть два похожих, но недействительный, формы аргумента: подтверждая следствие и отрицая антецедент. Смотрите также противопоставление и доказательство контрапозитивным.

Объяснение

Форма модус толленс аргумент напоминает силлогизм, с двумя предпосылками и выводом:

Если п, тогда Q.

Нет Q.

Следовательно, не п.

Первая посылка - это условный ("если-то") утверждение, например п подразумевает Q. Вторая посылка - это утверждение, что Q, то последующий условной претензии, это не так. Из этих двух посылок можно логически заключить, что п, то предшествующий условной претензии, тоже не так.

Например:

Если собака обнаруживает злоумышленника, она лает.

Собака не лаяла.

Следовательно, злоумышленник не был обнаружен собакой.

Если предположить, что обе предпосылки верны (собака будет лаять, если обнаружит злоумышленника, и действительно не лает), то отсюда следует, что злоумышленник не был обнаружен. Это верный аргумент, поскольку заключение не может быть ложным, если посылки верны. (Вполне возможно, что здесь мог быть злоумышленник, которого собака не обнаружила, но это не отменяет аргументацию; первая посылка: «если собака обнаруживает злоумышленник ". Важно то, что собака обнаруживает или не обнаруживает злоумышленника, независимо от того, есть ли он.)

Другой пример:

Если я убийца с топором, то я могу использовать топор.

Я не могу использовать топор.

Следовательно, я не убийца с топором.

Другой пример:

Если Рекс - курица, значит, он птица.

Рекс - не птица.

Следовательно, Рекс не курица

Отношении modus ponens

Каждое использование модус толленс может быть преобразован в использование modus ponens и одно использование транспозиция к посылке, которая имеет материальный смысл. Например:

Если п, тогда Q. (посылка - материальный подтекст)

Если не Qто не п. (получено транспонированием)

Нет Q . (предпосылка)

Следовательно, не п. (получено modus ponens)

Точно так же при каждом использовании modus ponens может быть преобразован в использование модус толленс и транспонирование.

Формальное обозначение

В модус толленс Формально правило можно сформулировать так:

{displaystyle {frac {P o Q, например Q} {здесь, например, P}}}

куда ${displaystyle P o Q}$ означает утверждение «P влечет Q». ${displaystyle, например, Q}$ означает «дело не в том, что Q» (или, вкратце, «не в Q»). Затем, когда " ${displaystyle P o Q}$ " и " ${displaystyle, например, Q}$ "каждый появляется сам по себе как линия доказательство, тогда " ${displaystyle например, P}$ "может быть размещен на следующей строке.

В модус толленс правило может быть записано в последовательный обозначение:

{displaystyle P o Q, например Qvdash eg P}

куда ${displaystyle vdash}$ это металогический символ, означающий, что ${displaystyle например, P}$ это синтаксическое следствие из ${displaystyle P o Q}$ и ${displaystyle, например, Q}$ в некоторых логическая система;

или как утверждение функционала тавтология или же теорема логики высказываний:

{displaystyle ((P o Q) земля, например, Q) или например, P}

куда ${displaystyle P}$ и ${displaystyle Q}$ суждения, выраженные в некоторых формальная система;

или включая предположения:

{displaystyle {frac {Gamma vdash P o Q ~~~ Gamma vdash eg Q} {Gamma vdash eg P}}}

хотя, поскольку правило не меняет набор предположений, в этом нет строгой необходимости.

Более сложные переписывания, включающие модус толленс часто можно увидеть, например, в теория множеств:

{displaystyle Psubseteq Q}

{displaystyle xotin Q}

{displaystyle herefore xotin P}

(«P является подмножеством Q. x не входит в Q. Следовательно, x не находится в P.»)

Также в первом порядке логика предикатов:

{displaystyle forall x: ~ P (x) o Q (x)}

{displaystyle, например, Q (y)}

{displaystyle здесь ~ например, P (y)}

(«Для всех x, если x является P, то x является Q. y не является Q. Следовательно, y не является P.»)

Строго говоря, это не примеры модус толленс, но они могут быть получены из модус толленс используя несколько дополнительных шагов.

Обоснование с помощью таблицы истинности

Срок действия модус толленс можно ясно продемонстрировать через таблица истинности.

п	q	p → q
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

В случаях модус толленс мы предполагаем в качестве посылки, что p → q истинно, а q ложно. Этим двум условиям удовлетворяет только одна строка таблицы истинности - четвертая строка. В этой строке p ложно. Следовательно, в каждом случае, когда p → q истинно, а q ложно, p также должно быть ложным.

Формальное доказательство

Через дизъюнктивный силлогизм


Шаг	Предложение	Вывод
1	${displaystyle Pightarrow Q}$	Данный
2	${displaystyle, например, Q}$	Данный
3	${displaystyle, например, Plor Q}$	Материальное значение (1)
4	${displaystyle например, P}$	Дизъюнктивный силлогизм (2,3)

Через сокращение до абсурда


Шаг	Предложение	Вывод
1	${displaystyle Pightarrow Q}$	Данный
2	${displaystyle, например, Q}$	Данный
3	${displaystyle P}$	Предположение
4	${displaystyle Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${displaystyle Qland, например, Q}$	Введение в соединение (2,4)
6	${displaystyle например, P}$	Reductio ad absurdum (3,5)
7	${displaystyle, например, Qightarrow, например, P}$	Условное введение (2,6)

Через противопоставление


Шаг	Предложение	Вывод
1	${displaystyle Pightarrow Q}$	Данный
2	${displaystyle, например, Q}$	Данный
3	${displaystyle, например, Qightarrow, например, P}$	Противопоставление (1)
4	${displaystyle например, P}$	Modus ponens (2,3)

Соответствие другим математическим системам

Исчисление вероятностей

Modus tollens представляет собой экземпляр закон полной вероятности в сочетании с Теорема Байеса выражается как:

${displaystyle Pr (P) = Pr (Pmid Q) Pr (Q) + Pr (Pmid lnot Q) Pr (lnot Q),}$ ,

где условные ${displaystyle Pr (Pmid Q)}$ и ${displaystyle Pr (Pmid lnot Q)}$ получаются с (расширенной формой) Теорема Байеса выражается как:

${displaystyle Pr (Pmid Q) = {frac {Pr (Qmid P), a (P)} {Pr (Qmid P), a (P) + Pr (Qmid lnot P), a (lnot P)}} ;; ;}$ и ${displaystyle ;;; Pr (Pmid lnot Q) = {frac {Pr (lnot Qmid P), a (P)} {Pr (lnot Qmid P), a (P) + Pr (lnot Qmid lnot P), a ( lnot P)}}}$ .

В приведенных выше уравнениях ${displaystyle Pr (Q)}$ обозначает вероятность ${displaystyle Q}$ , и ${displaystyle a (P)}$ обозначает базовая ставка (он же. априорная вероятность ) из ${displaystyle P}$ . В условная возможность ${displaystyle Pr (Qmid P)}$ обобщает логическое утверждение ${displaystyle P o Q}$ , т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Предположить, что ${displaystyle Pr (Q) = 1}$ эквивалентно ${displaystyle Q}$ ИСТИНА, и это ${displaystyle Pr (Q) = 0}$ эквивалентно ${displaystyle Q}$ ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что ${displaystyle Pr (P) = 0}$ когда ${displaystyle Pr (Qmid P) = 1}$ и ${displaystyle Pr (Q) = 0}$ . Это потому что ${displaystyle Pr (lnot Qmid P) = 1-Pr (Qmid P) = 0}$ так что ${displaystyle Pr (Pmid lnot Q) = 0}$ в последнем уравнении. Следовательно, члены продукта в первом уравнении всегда имеют нулевой множитель, так что ${displaystyle Pr (P) = 0}$ что эквивалентно ${displaystyle P}$ ЛОЖЬ. Следовательно закон полной вероятности в сочетании с Теорема Байеса представляет собой обобщение модус толленс.^[5]

Субъективная логика

Modus tollens представляет собой экземпляр оператора абдукции в субъективная логика выражается как:

${displaystyle omega _ {P {ilde {|}} Q} ^ {A} = (omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A}) {widetilde {circleledcirc} } (а_ {P} ,, омега _ {Q} ^ {A}),}$ ,

куда ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ обозначает субъективное мнение о ${displaystyle Q}$ , и ${displaystyle (omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A})}$ обозначает пару биномиальных условных мнений, выраженных источником ${displaystyle A}$ . Параметр ${displaystyle a_ {P}}$ обозначает базовая ставка (он же априорная вероятность ) из ${displaystyle P}$ . Похищенное маргинальное мнение о ${displaystyle P}$ обозначается ${displaystyle omega _ {P {ilde {|}} Q} ^ {A}}$ . Условное мнение ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ обобщает логическое утверждение ${displaystyle P o Q}$ , т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источнику ${displaystyle A}$ может присвоить заявлению любое субъективное мнение. Случай, когда ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ является абсолютно ИСТИННЫМ мнением эквивалентно источнику ${displaystyle A}$ говоря это ${displaystyle Q}$ ИСТИНА, и случай, когда ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением эквивалентно источнику ${displaystyle A}$ говоря это ${displaystyle Q}$ ЛОЖНО. Оператор похищения ${displaystyle {widetilde {circledcirc}}}$ из субъективная логика производит АБСОЛЮТНО ЛОЖНОЕ похищенное мнение ${displaystyle omega _ {P {widetilde {|}} Q} ^ {A}}$ когда условное мнение ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ абсолютно ИСТИНА и последующее мнение ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ абсолютно ЛОЖНО. Следовательно, абдукция субъективной логики представляет собой обобщение обоих модус толленс и из Закон полной вероятности в сочетании с Теорема Байеса.^[6]