Противопоставление - Википедия - Contraposition

В логика и математика, противопоставление относится к вывод выхода из Условный оператор в его логически эквивалентный контрапозитивный, и связанный с ним метод доказательства, известный как доказательство противопоставлением.^[1] Противоположность утверждения имеет предшествующий и последующий перевернутый и перевернутый. Например, противоположность условного утверждения "Если идет дождь, я ношу пальто » это заявление "Если я не ношу пальто, значит, дождя не будет ". В формулы: контрапозитив ${ displaystyle P rightarrow Q}$ является ${ displaystyle neg Q rightarrow neg P}$ .^[2] Закон противопоставления гласит, что условное утверждение истинно тогда и только тогда, когда истинно его противоположное утверждение.^[3]

Контрапозитив можно сравнить с тремя другими условными утверждениями, относящимися к ${ displaystyle P rightarrow Q}$ :

Инверсия (в обратный), ${ displaystyle neg P rightarrow neg Q}$: "Если не идет дождь, я не ношу пальто. "В отличие от контрапозитива, обратный значение истины совершенно не зависит от того, было ли истинным исходное предложение, как показано здесь.
Преобразование (в разговаривать), ${ displaystyle Q rightarrow P}$: "Если я ношу пальто, значит идет дождь. »Обратное фактически является противоположностью обратного, и поэтому всегда имеет то же значение истинности, что и обратное (которое, как было сказано ранее, не всегда имеет то же значение истинности, что и исходное суждение).
Отрицание, ${ Displaystyle neg (P rightarrow Q)}$: "Дело не в том, что если идет дождь, я ношу пальто."или эквивалентно"Иногда, когда идет дождь, я не ношу пальто. «Если отрицание истинно, то исходное суждение (и, соответственно, контрапозитив) ложно.

Обратите внимание, что если ${ displaystyle P rightarrow Q}$ верно и дано, что ${ displaystyle Q}$ ложно (т.е. ${ displaystyle neg Q}$ ), то логически можно сделать вывод, что ${ displaystyle P}$ также должно быть ложным (т.е. ${ displaystyle neg P}$ ). Это часто называют закон контрапозитива, или модус толленс правило вывода.^[4]

Интуитивное объяснение

в Диаграмма Эйлера показано, что если что-то находится в A, это также должно быть в B. Таким образом, мы можем интерпретировать «все A находится в B» как:

{ displaystyle от A до B}

Также ясно, что все, что есть нет внутри B (синяя область) не можешь быть в пределах A. Это утверждение, которое можно выразить как:

{ displaystyle neg B to neg A}

является противоположностью приведенного выше утверждения. Поэтому можно сказать, что

{ Displaystyle (от A к B) leftrightarrow ( neg B to neg A)}

.

На практике эту эквивалентность можно использовать, чтобы упростить доказательство утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что у каждой девушки в Соединенных Штатах (A) каштановые волосы (B), можно попытаться напрямую доказать ${ displaystyle от A до B}$ проверив, что у всех девушек в США действительно каштановые волосы, или попытайтесь доказать ${ displaystyle neg B to neg A}$ проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы можно было найти хотя бы одну девушку без каштановых волос в США, то можно было бы опровергнуть ${ displaystyle neg B to neg A}$ , и эквивалентно ${ displaystyle от A до B}$ .

В общем, для любого утверждения, где А подразумевает B, не B всегда подразумевает не А. В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Формальное определение

Предложение Q подразумевается предложением п когда выполняются следующие отношения:

{ Displaystyle (от P до Q)}

В нем говорится, что "если п, тогда Q", или если Сократ мужчина, тогда Сократ человек. "В таком условном выражении п это предшествующий, и Q это последующий. Одно заявление - это контрапозитивный другого только тогда, когда его антецедентом является отрицается как следствие другого, и наоборот. Таким образом, противозачаточные средства обычно имеют форму:

{ Displaystyle ( neg Q к neg P)}

.

То есть «Если нет-Q, то не-п", или, точнее," Если Q это не так, тогда п это не так ». В нашем примере это отображается как« Если Сократ не человек, тогда Сократ не мужчина. "Это заявление считается противопоставленный оригиналу и логически эквивалентен ему. Благодаря их логическая эквивалентность, заявляя, что одно эффективно утверждает другое; когда один истинный, другое также верно, и когда одно ложно, другое также ложно.

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых условных выражениях. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных универсальных условных выражениях, если они похожи. Таким образом, ${ displaystyle forall {x} (от P {x} до Q {x})}$ , или "Все пs есть Qs, "противопоставляется ${ displaystyle forall {x} ( neg Q {x} to neg P {x})}$ , или "Все неQs непs. "^[5]

Простое доказательство по определению условного

В логика первого порядка, условное выражение определяется как:

{ displaystyle A to B , leftrightarrow , neg A lor B}

что можно сделать эквивалентным его противоположному положению, следующим образом:

{ displaystyle { begin {align} neg A lor B , & , leftrightarrow B lor neg A , & , leftrightarrow neg B to neg A end {выровнено} }}

Простое доказательство от противного

Позволять:

{ Displaystyle (от A до B) земля neg B}

Принято, что если A истинно, то B истинно, и также дано, что B не истинно. Затем мы можем показать, что A не может быть истинным от противного. Ведь если бы А было правдой, то Б тоже должно было бы быть правдой (по Modus Ponens ). Однако указано, что B неверно, поэтому мы приходим к противоречию. Следовательно, A неверно (при условии, что мы имеем дело с бивалентные заявления которые либо истинны, либо ложны):

{ Displaystyle (от А к В) к ( отр В к от А)}

Мы можем применить тот же процесс в обратном порядке, исходя из предположений, что:

{ displaystyle ( neg B to neg A) land A}

Здесь мы также знаем, что B либо верно, либо нет. Если B неверно, то A также неверно. Однако предполагается, что A истинно, поэтому предположение, что B не истинно, приводит к противоречию, что означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:

{ Displaystyle ( от В к от А) к (от А к В)}

Объединив два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между условным условием и его противоположностью:

{ Displaystyle (от А к В) эквив ( от В к от А)}

Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов

Логическая эквивалентность двух предложений означает, что они истинны вместе или ложны вместе. Доказать, что контрапозитивы логически эквивалентный, нам нужно понять, когда материальный подтекст верен или ложен.

{ displaystyle P to Q}

Это неверно только тогда, когда п правда и Q ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда п и нет-Q"(т.е." Верно, если это не так, п и нет-Q"):

{ Displaystyle neg (п земля neg Q)}

Элементы соединение может быть отменен без эффекта ( коммутативность ):

{ displaystyle neg ( neg Q land P)}

Мы определяем ${ displaystyle R}$ как равно " ${ displaystyle neg Q}$ ", и ${ displaystyle S}$ как равный ${ displaystyle neg P}$ (из этого, ${ displaystyle neg S}$ равно ${ Displaystyle neg neg P}$ , что равно ${ displaystyle P}$ ):

{ Displaystyle neg (р земля neg S)}

Это гласит: "Это не тот случай, когда (р правда и S ложно) ", что является определением материального условного условия. Затем мы можем сделать такую замену:

{ displaystyle R to S}

Вернув р и S назад в п и Q, то получаем желаемый контрапозитив:

{ displaystyle neg Q to neg P}

Сравнения

имя	форма	описание
значение	если п тогда Q	первое утверждение подразумевает истинность второго
обратный	если не п тогда не Q	отрицание обоих утверждений
разговаривать	если Q тогда п	изменение обоих утверждений
контрапозитивный	если не Q тогда не п	обращение и отрицание обоих утверждений
отрицание	п и нет Q	противоречит подтексту

Примеры

Возьмите заявление "Все красные объекты имеют цвет."Это может быть эквивалентно выражено как"Если объект красный, значит, он имеет цвет."

В контрапозитивный является "Если у объекта нет цвета, значит, он не красный."Это логически следует из нашего первоначального заявления и, как и оно, очевидно, верно.
В обратный является "Если объект не красный, значит, у него нет цвета."Синий объект не является красным и все еще имеет цвет. Следовательно, в данном случае обратное неверно.
В разговаривать является "Если у объекта есть цвет, то он красный.«Объекты могут иметь другие цвета, поэтому обратное утверждение неверно.
В отрицание является "Есть красный предмет, не имеющий цвета."Это утверждение ложно, потому что исходное утверждение, которое оно отрицает, истинно.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условный заявление, хотя и недостаточное для двухусловный.

Аналогичным образом возьмем утверждение "Все четырехугольники иметь четыре стороны,"или равнозначно выраженный"Если многоугольник четырехугольник, то у него четыре стороны."

В контрапозитивный является "Если многоугольник не имеет четырех сторон, то это не четырехугольник."Это следует логически, и, как правило, контрапозитивы разделяют значение истины их условные.
В обратный является "Если многоугольник не четырехугольник, то у него нет четырех сторон.«В этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
В разговаривать является "Если у многоугольника четыре стороны, то это четырехугольник."Опять же, в этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
В отрицание является "Есть как минимум один четырехугольник, у которого нет четырех сторон."Это заявление явно ложно.

Так как утверждение и обратное верны, это называется двухусловный, и может быть выражено как "Многоугольник - это четырехугольник если и только если, у него четыре стороны." (фраза если и только если иногда сокращается как если только.) То есть четыре стороны необходимы для того, чтобы быть четырехугольником, и одного достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Правда

Если утверждение верно, то его противоположность истинна (и наоборот).
Если утверждение ложно, то его противоположность ложна (и наоборот).
Если обратное утверждение верно, то верно и обратное (и наоборот).
Если обратное утверждение ложно, то его обратное неверно (и наоборот).
Если отрицание утверждения ложно, то утверждение истинно (и наоборот).
Если утверждение (или его противоположное) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то оно известно как логическая двусмысленность.

Заявление

Поскольку контрапозитивный утверждения всегда имеет то же значение истинности (истинность или ложность), что и само утверждение, оно может быть мощным инструментом для доказательства математического теоремы (особенно, если истинность контрапозитива установить легче, чем истинность самого утверждения).^[1] А доказательство противопоставлением (контрапозитив) это прямое доказательство контраположения утверждения.^[6] Однако косвенные методы, такие как доказательство от противного может также использоваться с противопоставлением, как, например, при доказательстве иррациональности квадратный корень из 2. По определению Рациональное число, можно сказать, что "Если ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ рационально, то его можно выразить как несократимая дробь ". Это заявление истинный потому что это повторение определения. Противоположным этому утверждению является "Если ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ не может быть выражена в виде несократимой дроби, тогда это не рационально". Этот контрапозитив, как и исходное утверждение, также верен. Следовательно, если будет доказано, что ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ не может быть выражена как несократимая дробь, тогда должно быть так, что ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ не рациональное число. Последнее можно доказать от противного.

В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалось противоположное определение. Можно также доказать теорему, доказав противоположность утверждения теоремы. Чтобы доказать, что если положительное целое число N это неквадратное число, его квадратный корень иррационален, мы можем эквивалентным образом доказать его противоположность, что если положительное целое число N имеет рациональный квадратный корень, то N квадратное число. Это можно показать, установив √N равно рациональному выражению а / б с а и б положительные целые числа без общего простого множителя и возведение в квадрат для получения N = а²/б² и отмечая, что с тех пор N положительное целое число б= 1, так что N = а², квадратное число.

Соответствие другим математическим системам

Исчисление вероятностей

Противопоставление представляет собой экземпляр Теорема Байеса который в конкретной форме может быть выражен как:

${ Displaystyle Pr ( lnot P mid lnot Q) = { frac { Pr ( lnot Q mid lnot P) , a ( lnot P)} { Pr ( lnot Q mid lnot P) , a ( lnot P) + Pr ( lnot Q mid P) , a (P)}}}$ .

В уравнении выше условная возможность ${ Displaystyle Pr ( lnot Q mid P)}$ обобщает логическое утверждение ${ displaystyle P to lnot Q}$ , т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить утверждению любую вероятность. Период, термин ${ Displaystyle а (P)}$ обозначает базовая ставка (он же априорная вероятность ) из ${ displaystyle P}$ . Предположить, что ${ Displaystyle Pr ( lnot Q mid P) = 1}$ эквивалентно ${ displaystyle P to lnot Q}$ ИСТИНА, и это ${ Displaystyle Pr ( lnot Q mid P) = 0}$ эквивалентно ${ displaystyle P to lnot Q}$ ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, что ${ Displaystyle Pr ( lnot P mid lnot Q) = 1}$ когда ${ Displaystyle Pr (Q середина P) = 1}$ т.е. когда ${ displaystyle P to Q}$ правда. Это потому что ${ Displaystyle Pr ( lnot Q mid P) = 1- Pr (Q mid P) = 0}$ так что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1, и, следовательно, ${ Displaystyle Pr ( lnot P mid lnot Q) = 1}$ что эквивалентно ${ Displaystyle lnot Q to lnot P}$ быть ИСТИННЫМ. Следовательно, Теорема Байеса представляет собой обобщение противопоставление.^[7]

Субъективная логика

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективная логика выражается как:

${ displaystyle ( omega _ {P { тильда {|}} Q} ^ {A}, omega _ {P { tilde {|}} lnot Q} ^ {A}) = ( omega _ { Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A}) , { widetilde { phi ,}} , a_ {P} ,}$ ,

куда ${ displaystyle ( omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A})}$ обозначает пару биномиальных условных мнений, данных источником ${ displaystyle A}$ . Параметр ${ displaystyle a_ {P}}$ обозначает базовая ставка (он же априорная вероятность ) из ${ displaystyle P}$ . Обозначается пара перевернутых условных мнений. ${ displaystyle ( omega _ {P { tilde {|}} Q} ^ {A}, omega _ {P { tilde {|}} lnot Q} ^ {A})}$ . Условное мнение ${ displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ обобщает логическое утверждение ${ displaystyle P to Q}$ , т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ источнику ${ displaystyle A}$ может присвоить заявлению любое субъективное мнение. Случай, когда ${ displaystyle omega _ {Q mid P} ^ {A}}$ является абсолютно ИСТИННЫМ мнением эквивалентно источнику ${ displaystyle A}$ говоря это ${ displaystyle P to Q}$ ИСТИНА, и случай, когда ${ displaystyle omega _ {Q mid P} ^ {A}}$ является абсолютно ЛОЖНЫМ мнением эквивалентно источнику ${ displaystyle A}$ говоря это ${ displaystyle P to Q}$ ЛОЖНО. В случае, когда условное мнение ${ displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ Абсолютно ИСТИНА оператор субъективной теоремы Байеса ${ displaystyle { widetilde { phi ,}}}$ из субъективная логика производит абсолютно ЛОЖНОЕ условное мнение ${ displaystyle omega _ {P { widetilde {|}} lnot Q} ^ {A}}$ и тем самым абсолютно ИСТИННО условное мнение ${ displaystyle omega _ { lnot P { widetilde {|}} lnot Q} ^ {A}}$ что эквивалентно ${ Displaystyle lnot Q to lnot P}$ быть ИСТИННЫМ. Следовательно, субъективная теорема Байеса представляет собой обобщение обоих противопоставление и Теорема Байеса.^[8]