Корень квадратный из 2 - Square root of 2

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенуза из равнобедренный прямоугольный треугольник с ножками длиной 1.

В квадратный корень из 2, или половина степени 2, записанный в математике как ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ или же ${ displaystyle 2 ^ {1/2}}$, положительный алгебраическое число что при умножении на себя равно номер 2.^[1] Технически его следует называть главный квадратный корень из 2, чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством.

Геометрически квадратный корень 2 - это длина диагонали поперек квадрат со сторонами в одну единицу длины;^[2] это следует из теорема Пифагора. Вероятно, это был первый известный номер иррациональный.^[3] Фракция 99/70 (≈ 1.4142857) иногда используется как хорошее рациональное приближение с достаточно малым знаменателем.

Последовательность A002193 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей состоит из цифр десятичного разложения квадратного корня из 2, здесь усеченного до 65 десятичные знаки:^[4]

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799

Список номеров Иррациональные числа ζ(3) √2 √3 √5 φ е π
Двоичный	1.01101010000010011110…
Десятичный	1.4142135623730950488…
Шестнадцатеричный	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${ displaystyle 1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2+ ddots}}}}}}} }}$

История

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Помимо отображения квадратного корня из 2 в шестидесятеричный (1 24 51 10), на планшете также приведен пример, в котором одна сторона квадрата равна 30, а диагональ равна 42 25 35. Шестидесятеричная цифра 30 может также обозначать 0 30 = 1/2, в таком случае 0 42 25 35 составляет приблизительно 0,7071065.

В Вавилонский глиняная табличка YBC 7289 (ок. 1800–1600 до н.э.) дает приближение √2 в четыре шестидесятеричный цифры, 1 24 51 10, что примерно с точностью до шести десятичный цифры^[5] и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением √2:

${ displaystyle 1 + { frac {24} {60}} + { frac {51} {60 ^ {2}}} + { frac {10} {60 ^ {3}}} = { frac { 305470} {216000}} = 1.41421 { overline {296}}.}$

Другое раннее приближение дается в древний индийский математические тексты, Сульбасутрас (ок. 800–200 до н. э.), а именно: Увеличьте длину [стороны] на ее треть, а эту треть - на свою четвертую за вычетом тридцать четвертой части этой четвертой.^[6] То есть,

${ displaystyle 1 + { frac {1} {3}} + { frac {1} {3 times 4}} - { frac {1} {3 times 4 times 34}} = { frac {577} {408}} = 1.41421 { overline {56862745098039}}.}$

Это приближение является седьмым в последовательности все более точных приближений, основанных на последовательности Числа Пелла, который можно получить из непрерывная дробь расширение √2. Несмотря на меньший знаменатель, оно лишь немного менее точно, чем вавилонское приближение.

Пифагорейцы обнаружил, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или, говоря современным языком, квадратный корень из двух равен иррациональный. Мало что известно с уверенностью о времени или обстоятельствах этого открытия, но имя Гиппас of Metapontum. Какое-то время пифагорейцы считали официальной тайной открытие, что квадратный корень из двух является иррациональным, и, согласно легенде, Гиппас был убит за разглашение этого.^[2][7][8][9] Квадратный корень из двух иногда называют Число Пифагора или же Постоянная пифагора, например, Конвей и Гай (1996).^[10]

Древнеримская архитектура

В древнеримская архитектура, Витрувий описывает использование квадратного корня из 2-й прогрессии или ad quadratum техника. Он состоит в основном из геометрического, а не арифметического метода удвоения квадрата, в котором диагональ исходного квадрата равна стороне полученного квадрата. Витрувий приписывает идею Платон. Система использовалась для строительства тротуаров путем создания квадрата касательная к углам исходного квадрата под углом 45 градусов. Пропорция также использовалась для оформления предсердие придав им длину, равную диагонали, взятой из квадрата, стороны которого эквивалентны предполагаемой ширине атриума.^[11]

Десятичное значение

Алгоритмы вычислений

Есть ряд алгоритмы для приближения √2 как отношение целых чисел или как десятичное число. Наиболее распространенный алгоритм для этого, который используется в качестве основы во многих компьютерах и калькуляторах, - это Вавилонский метод^[12] для вычисления квадратных корней, который является одним из многих методы вычисления квадратных корней. Это выглядит следующим образом:

Сначала выберите предположение, а₀ > 0; значение предположения влияет только на то, сколько итераций требуется для достижения приближения определенной точности. Затем, используя это предположение, выполните итерацию по следующему рекурсивный вычисление:

${ displaystyle a_ {n + 1} = { frac {a_ {n} + { frac {2} {a_ {n}}}} {2}} = { frac {a_ {n}} {2} } + { frac {1} {a_ {n}}}.}$

Чем больше итераций проходит через алгоритм (то есть, чем больше вычислений выполняется и тем больше "п"), тем лучше приближение. Каждая итерация примерно удваивает количество правильных цифр. Начиная с а₀ = 1, результаты алгоритма следующие:

• 1 (а₀)
• 3/2 = 1.5 (а₁)
• 17/12 = 1.416... (а₂)
• 577/408 = 1.414215... (а₃)
• 665857/470832 = 1.4142135623746... (а₄)

Рациональные приближения

Простое рациональное приближение 99/70 (≈ 1.4142857) иногда используется. Несмотря на наличие знаменатель всего 70, оно отличается от правильного менее чем на 1/10,000 (прибл. +0.72×10⁻⁴). Поскольку это сходится представление непрерывной дроби из квадратного корня из двух, любое более рациональное приближение имеет знаменатель не менее 169, поскольку 239/169 (≈ 1.4142012) - следующая сходящаяся с ошибкой ок. −0.12×10⁻⁴.

Рациональное приближение квадратного корня из двух, полученное в результате четырех итераций вавилонского метода после начала а₀ = 1 (665,857/470,832) слишком велик примерно на 1.6×10⁻¹²; его площадь ≈ 2.0000000000045.

Записи в вычислениях

В 1997 г. стоимость √2 было вычислено до 137 438 953 444 десятичных знаков Yasumasa Kanada 'пар. В феврале 2006 г. рекорд по расчету √2 затмило использование домашнего компьютера. Сигеру Кондо рассчитал 1 триллион десятичные знаки в 2010 году.^[13] Среди математические константы с вычислительно сложными десятичными разложениями, только π был рассчитан более точно.^[14] Такие вычисления направлены на эмпирическую проверку того, соответствуют ли такие числа нормальный.

Это таблица последних записей при расчете цифр √2.^[15]

Доказательства иррациональности

Краткое доказательство иррациональности √2 можно получить из теорема о рациональном корне, то есть если п(Икс) это монический многочлен с целыми коэффициентами, то любые рациональный корень из п(Икс) обязательно целое число. Применяя это к многочлену п(Икс) = Икс² − 2, следует, что √2 либо целое, либо иррациональное. Потому что √2 не является целым числом (2 не является полным квадратом), √2 следовательно, должно быть иррациональным. Это доказательство можно обобщить, чтобы показать, что любой квадратный корень из любого натурального числа, не являющегося квадратом натурального числа, является иррациональным.

Для доказательства иррациональности квадратного корня из любого неквадратного натурального числа см. квадратичный иррациональный или же бесконечный спуск.

Доказательство бесконечным спуском

Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечный спуск. Это также доказательство от противного, также известное как косвенное доказательство, в котором предложение доказывается, предполагая, что противоположное предложению истинно, и показывая, что это предположение ложно, тем самым подразумевая, что предложение должно быть истинным.

1. Предположить, что √2 является рациональным числом, что означает, что существует пара целых чисел, отношение которых точно равно √2.
2. Если два целых числа имеют общий множитель, его можно исключить с помощью Евклидов алгоритм.
3. потом √2 можно записать как несократимая дробь а/б такой, что а и б находятся совмещать целые числа (не имеющие общего множителя), что дополнительно означает, что хотя бы один из а или же б должно быть странно.
4. Следует, что а²/б² = 2 и а² = 2б².   ( (а/б)^п = а^п/б^п  )   ( а² и б² целые числа)
5. Следовательно, а² даже потому, что он равен 2б². (2б² обязательно даже, потому что оно в 2 раза больше другого целого числа, а числа, кратные 2, четны.)
6. Следует, что а должно быть четным (поскольку квадраты нечетных целых чисел никогда не бывают четными).
7. Потому что а четно, существует целое число k что выполняет: а = 2k.
8. Подстановка 2k с шага 7 для а во втором уравнении этапа 4: 2б² = (2k)² эквивалентно 2б² = 4k², что эквивалентно б² = 2k².
9. Потому что 2k² делится на два и, следовательно, даже, и поскольку 2k² = б², следует, что б² также даже, что означает, что б даже.
10. Шагами 5 и 8 а и б оба четны, что противоречит тому, что а/б неприводимо, как указано в шаге 3.

Q.E.D.

Ввиду противоречия предположение (1) о том, что √2 рациональное число должно быть ложным. Это означает, что √2 не рациональное число. То есть, √2 иррационально.

На это доказательство намекнули Аристотель, в его Аналитика Приора, §I.23.^[16] Впервые оно появилось как полное доказательство в Евклид с Элементы, как предложение 117 Книги X. Однако с начала 19 века историки согласились, что это доказательство является интерполяция и не связано с Евклидом.^[17]

Доказательство уникальной факторизацией

Как и в случае доказательства бесконечным спуском, получаем ${ displaystyle a ^ {2} = 2b ^ {2}}$. Поскольку количество одинаковое, каждая сторона имеет одинаковое разложение на простые множители. основная теорема арифметики, и, в частности, множитель 2 должен встречаться одинаковое количество раз. Однако множитель 2 появляется нечетное количество раз справа, но четное количество раз слева - противоречие.

Геометрическое доказательство

Рис. 1. Геометрическое доказательство Стэнли Тенненбаума иррациональность из √2

Простое доказательство приписывается Джон Хортон Конвей к Стэнли Тенненбаум когда последний был студентом в начале 1950-х^[18] и последнее появление которого - в статье Носона Янофски в номере журнала за май – июнь 2016 г. Американский ученый.^[19] Даны два квадрата с целыми сторонами соответственно а и б, один из которых в два раза больше другого, поместите две копии меньшего квадрата в больший, как показано на рисунке 1. Квадратная область перекрытия в середине ((2б − а)²) должен равняться сумме двух непокрытых квадратов (2(а − б)²). Однако эти квадраты на диагонали имеют положительные целые стороны, которые меньше исходных квадратов. При повторении этого процесса появляются произвольно маленькие квадраты, один в два раза превышающий площадь другого, но оба имеют положительные целые стороны, что невозможно, поскольку положительные целые числа не могут быть меньше 1.

Рисунок 2. Геометрическое доказательство Тома Апостола иррациональности √2

Другой геометрический сокращение до абсурда аргумент, показывающий, что √2 иррационально появилось в 2000 г. Американский математический ежемесячный журнал.^[20] Это также пример доказательства бесконечный спуск. Он использует классический компас и линейка построение, доказывая теорему методом, аналогичным тому, который использовался древнегреческими геометрами. По сути, это алгебраическое доказательство предыдущего раздела, рассматриваемое с геометрической точки зрения еще и с другой стороны.

Позволять △ABC - прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы м и ноги п как показано на рисунке 2. теорема Пифагора, м/п = √2. Предполагать м и п находятся целые числа. Позволять м:п быть соотношение данный в его самые низкие сроки.

Нарисуйте дуги BD и CE с центром А. Присоединиться DE. Следует, что AB = ОБЪЯВЛЕНИЕ, AC = AE и ∠BAC и ∠DAE совпадают. Следовательно, треугольники ABC и ADE находятся конгруэнтный к SAS.

Потому что ∠EBF это прямой угол и ∠BEF это половина прямого угла, △BEF также является правильным равнобедренным треугольником. Следовательно БЫТЬ = м − п подразумевает BF = м − п. По симметрии DF = м − п, и △FDC также является правильным равнобедренным треугольником. Отсюда также следует, что FC = п − (м − п) = 2п − м.

Следовательно, существует еще меньший прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы 2п − м и ноги м − п. Эти значения целые числа даже меньше, чем м и п и в том же соотношении, что противоречит гипотезе о том, что м:п находится в самых низких условиях. Следовательно, м и п не может быть одновременно целыми числами, поэтому √2 иррационально.

Конструктивное доказательство

При конструктивном подходе проводится различие между, с одной стороны, нерациональностью, а с другой стороны, иррациональностью (то есть, количественно отличным от каждого рационального), причем последнее является более сильным свойством. Учитывая положительные целые числа а и б, поскольку оценка (т. е. наибольшая степень двойки при делении числа) 2б² нечетная, а оценка а² четно, они должны быть разными целыми числами; таким образом |2б² − а²| ≥ 1. потом^[21]

${ displaystyle left | { sqrt {2}} - { frac {a} {b}} right | = { frac {| 2b ^ {2} -a ^ {2} |} {b ^ { 2} left ({ sqrt {2}} + { frac {a} {b}} right)}} geq { frac {1} {b ^ {2} left ({ sqrt {2 }} + { frac {a} {b}} right)}} geq { frac {1} {3b ^ {2}}},}$

последнее неравенство верно, поскольку предполагается, что а/б ≤ 3 − √2 (в противном случае количественное разделение может быть установлено тривиально). Это дает нижнюю оценку 1/3б² для разницы |√2 − а/б|, давая прямое доказательство иррациональности, не полагаясь на закон исключенного среднего; видеть Эрретт Бишоп (1985, с. 18). Это доказательство конструктивно демонстрирует несоответствие между √2 и любой рациональный.

Доказательство диофантовыми уравнениями

• Лемма: Для Диофантово уравнение ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}$ в своей примитивной (простейшей) форме целочисленные решения существуют тогда и только тогда, когда либо ${ displaystyle x}$ или же ${ displaystyle y}$ странно, но никогда, когда оба ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ странные.^[22]

Доказательство: Для данного уравнения существует только шесть возможных комбинаций нечетности и четности для целочисленных значений ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ которые производят целочисленное значение для ${ displaystyle z}$. Простое перечисление всех шести возможностей показывает, почему четыре из этих шести невозможны. Из двух оставшихся возможностей можно доказать, что одна не содержит никаких решений, используя модульную арифметику, оставляя единственную оставшуюся возможность как единственную, которая содержит решения, если таковые имеются.

Пятая возможность (обе ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ странно и ${ displaystyle z}$ даже) можно показать, что она не содержит решений следующим образом.

С ${ displaystyle z}$ даже, ${ displaystyle z ^ {2}}$ должен делиться на ${ displaystyle 4}$, следовательно

${ Displaystyle х ^ {2} + y ^ {2} Equiv 0 mod 4}$

Квадрат любого нечетного числа всегда ${ Displaystyle Equiv 1 { bmod {4}}}$. Квадрат любого четного числа всегда ${ Displaystyle Equiv 0 { bmod {4}}}$. Поскольку оба ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ странные и ${ displaystyle z}$ даже:

${ Displaystyle 1 + 1 Equiv 0 mod 4}$

${ Displaystyle 2 Equiv 0 Mod 4}$

что невозможно. Таким образом, пятая возможность также исключается, а шестая остается единственно возможной комбинацией, содержащей решения, если таковые имеются.

Расширение этой леммы - результат того, что два идентичных квадрата целых чисел никогда не могут быть добавлены для получения другого квадрата целых чисел, даже если уравнение не в его простейшей форме.

• Теорема: ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ иррационально.

Доказательство: Предполагать ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ рационально. Следовательно,

${ displaystyle { sqrt {2}} = {a over b}}$

куда ${ displaystyle a, b in mathrm {Z}}$

Квадрат с обеих сторон,

${ displaystyle 2 = {a ^ {2} over b ^ {2}}}$

${ displaystyle 2b ^ {2} = a ^ {2}}$

${ displaystyle b ^ {2} + b ^ {2} = a ^ {2}}$

Но лемма доказывает, что сумма двух одинаковых квадратов целых чисел не может дать другого квадрата целых чисел.

Следовательно, предположение, что ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ рационально противоречит.

${ displaystyle { sqrt {2}}}$ иррационально. К. Э. Д.

Мультипликативный обратный

В мультипликативный обратный (обратная величина) квадратного корня из двух (т. е. квадратного корня из 1/2) широко используется постоянный.

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} = { frac { sqrt {2}} {2}} = sin 45 ^ { circ} = cos 45 ^ { circ} = 0,70710 , 67811 , 86547 , 52440 , 08443 , 62104 , 84903 , 92848 ...}$ (последовательность A010503 в OEIS )

Половина √2, также обратная √2, является общей величиной в геометрии и тригонометрия поскольку единичный вектор который составляет угол 45 ° с осями на плоскости, имеет координаты

${ displaystyle left ({ frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}} right).}$

Это число удовлетворяет

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} { sqrt {2}} = { sqrt { tfrac {1} {2}}} = { frac {1} { sqrt {2}}} = cos 45 ^ { circ} = sin 45 ^ { circ}.}$

Характеристики

Угол размер и сектор площадь такие же, когда радиус конуса √2. Эта диаграмма иллюстрирует круговые и гиперболические функции на основе секторных площадей. ты.

Одно интересное свойство √2 является

${ displaystyle ! {1 over {{ sqrt {2}} - 1}} = { sqrt {2}} + 1}$

поскольку

${ displaystyle left ({ sqrt {2}} + 1 right) left ({ sqrt {2}} - 1 right) = 2-1 = 1.}$

Это связано со свойством соотношение серебра.

√2 можно также выразить в виде копий мнимая единица я используя только квадратный корень и арифметические операции, если символ квадратного корня интерпретируется соответствующим образом для сложные числа я и −я:

${ displaystyle { frac {{ sqrt {i}} + i { sqrt {i}}} {i}} { text {and}} { frac {{ sqrt {-i}} - i { sqrt {-i}}} {- i}}}$

√2 также единственное действительное число, кроме 1, бесконечное тетрат (т.е. бесконечная экспоненциальная башня) равна ее квадрату. Другими словами: если для c> 1, Икс₁ = c и Икс_п+1 = c^Икс_п за п > 1, предел Икс_п будет называться п → ∞ (если этот предел существует) ж(c). потом √2 это единственный номер c > 1 для которого ж(c) = c². Или символически:

${ displaystyle { sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {{ sqrt {2}} ^ {~ cdot ^ {~ cdot ^ {~ cdot}}}}} = 2 .}$

√2 появляется в Формула Вьете за π:

${ displaystyle 2 ^ {m} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2+ cdots + { sqrt {2}}}}}}}} to pi { text { as}} m to infty}$

за м квадратные корни и только один знак минус.^[23]

Похоже на вид, но с конечным числом терминов, √2 появляется в различных тригонометрических константах:^[24]

${ displaystyle { begin {align} sin { frac { pi} {32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {) 2 + { sqrt {2}}}}}}}} & quad sin { frac {3 pi} {16}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2- { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}} & quad sin { frac {11 pi} {32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt { 2 + { sqrt {2 - { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}}}} [6pt] sin { frac { pi} {16}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} & quad sin { frac {7 pi} {32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}} и quad sin { frac {3 pi} {8}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} [6pt] sin { frac {3 pi} { 32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}}}} & quad sin { frac { pi} {4}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2}} & quad sin { frac {13 pi} {32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}}}} [6pt] sin { frac { pi} {8}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} & quad sin { frac {9 pi} { 32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 - { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}} & quad грех { frac {7 pi} {16}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} [6pt] sin { frac {5 pi} {32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 - { sqrt {2 - { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}}}} и quad sin { frac {5 pi} {16}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}}} & quad sin { frac { 15 pi} {32}} & = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}}}} } конец {выровнено}}}$

Неизвестно, были ли √2 это нормальный номер, более сильное свойство, чем иррациональность, но статистический анализ его двоичное расширение согласуются с гипотезой о том, что нормально база два.^[25]

Представления

Серия и продукт

Личность потому что π/4 = грех π/4 = 1/√2, наряду с бесконечным представлением произведения для синуса и косинуса, приводит к таким продуктам, как

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} = prod _ {k = 0} ^ { infty} left (1 - { frac {1} {(4k + 2) ^ { 2}}} right) = left (1 - { frac {1} {4}} right) left (1 - { frac {1} {36}} right) left (1- { frac {1} {100}} right) cdots}$

и

${ displaystyle { sqrt {2}} = prod _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(4k + 2) ^ {2}} {(4k + 1) (4k + 3)} } = left ({ frac {2 cdot 2} {1 cdot 3}} right) left ({ frac {6 cdot 6} {5 cdot 7}} right) left ({ frac {10 cdot 10} {9 cdot 11}} right) left ({ frac {14 cdot 14} {13 cdot 15}} right) cdots}$

или эквивалентно,

${ displaystyle { sqrt {2}} = prod _ {k = 0} ^ { infty} left (1 + { frac {1} {4k + 1}} right) left (1- { frac {1} {4k + 3}} right) = left (1 + { frac {1} {1}} right) left (1 - { frac {1} {3}} right ) left (1 + { frac {1} {5}} right) left (1 - { frac {1} {7}} right) cdots.}$

Число также можно выразить, взяв Серия Тейлор тригонометрической функции. Например, серия для потому что π/4 дает

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} left ({ frac { pi} {4}} right) ^ {2k}} {(2k)!}}.}$

Серия Тейлора √1 + Икс с Икс = 1 и используя двойной факториал п!! дает

${ displaystyle { sqrt {2}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k + 1} { frac {(2k-3) !!} {(2k) !!}} = 1 + { frac {1} {2}} - { frac {1} {2 cdot 4}} + { frac {1 cdot 3} {2 cdot 4 cdot 6} } - { frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6 cdot 8}} + cdots.}$

Сходимость этого ряда можно ускорить с помощью Преобразование Эйлера, производя

${ displaystyle { sqrt {2}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(2k + 1)!} {2 ^ {3k + 1} (k!) ^ {2 }}} = { frac {1} {2}} + { frac {3} {8}} + { frac {15} {64}} + { frac {35} {256}} + { frac {315} {4096}} + { frac {693} {16384}} + cdots.}$

Неизвестно, были ли √2 можно представить как Формула типа BBP. Формулы типа BBP известны π√2 и √2ln (1+√2), тем не мение.^[26]

Число может быть представлено бесконечной серией Египетские фракции, со знаменателем, определяемым 2^пые условия Фибоначчи -подобное рекуррентное соотношение a (n) = 34a (n-1) -a (n-2), a (0) = 0, a (1) = 6.^[27]

${ displaystyle { sqrt {2}} = { frac {3} {2}} - { frac {1} {2}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 } {a (2 ^ {n})}} = { frac {3} {2}} - { frac {1} {2}} left ({ frac {1} {6}} + { frac {1} {204}} + { frac {1} {235416}} + dots right)}$

Непрерывная дробь

Квадратный корень из 2 и приближения подходящие дроби непрерывных дробей

Квадратный корень из двух имеет следующее непрерывная дробь представление:

${ Displaystyle ! { sqrt {2}} = 1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} { 2+ ddots}}}}}}}}.}$

В сходящиеся сформированные путем усечения этого представления, образуют последовательность дробей, которые приближают квадратный корень из двух с повышенной точностью, и которые описываются Числа Пелла (называемые числами сторон и диаметров у древних греков из-за их использования для аппроксимации отношения сторон и диагонали квадрата). Первые сходящиеся: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Сходящийся п/q отличается от √2 почти точно 1/2q²√2^{[нужна цитата ]} а затем следующая сходящаяся п + 2q/п + q.

Вложенный квадрат

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к √2:

${ displaystyle { begin {align} { sqrt {2}} & = { tfrac {3} {2}} - 2 left ({ tfrac {1} {4}} - left ({ tfrac {1} {4}} - left ({ tfrac {1} {4}} - left ({ tfrac {1} {4}} - cdots right) ^ {2} right) ^ { 2} right) ^ {2} right) ^ {2} & = { tfrac {3} {2}} - 4 left ({ tfrac {1} {8}} + left ({ tfrac {1} {8}} + left ({ tfrac {1} {8}} + left ({ tfrac {1} {8}} + cdots right) ^ {2} right) ^ {2} right) ^ {2} right) ^ {2}. End {align}}}$

Приложения

Размер бумаги

В 1786 году немецкий профессор физики Георг Лихтенберг^[28] обнаружил, что любой лист бумаги, длинный край которого √2 в несколько раз длиннее, чем его короткий край, можно было сложить пополам и выровнять с более короткой стороной, чтобы получить лист с точно такими же пропорциями, как оригинал. Это соотношение длин большей и короткой стороны гарантирует, что разрезание листа пополам по линии приведет к тому, что меньшие листы будут иметь такое же (приблизительное) соотношение, что и исходный лист. Когда Германия стандартизировала размеры бумаги в начале 20-го века, они использовали соотношение Лихтенберга, чтобы создать "Серия форматов бумаги.^[28] Сегодня (приблизительный) соотношение сторон из размеры бумаги под ISO 216 (A4, A0 и т. Д.) Равно 1:√2.

Доказательство:
Позволять ${ Displaystyle S =}$ короче и ${ Displaystyle L =}$ большая длина сторон листа бумаги, с

${ displaystyle R = { frac {L} {S}} = { sqrt {2}}}$ в соответствии с требованиями ISO 216.

Позволять ${ displaystyle R '= { frac {L'} {S '}}}$ - соотношение аналога разрезанного пополам листа, тогда

${ displaystyle R '= { frac {S} {L / 2}} = { frac {2S} {L}} = { frac {2} {(L / S)}} = { frac {2 } { sqrt {2}}} = { sqrt {2}} = R}$.

Физические науки

Есть несколько интересных свойств, связанных с квадратным корнем из 2 в физические науки:

• Квадратный корень из двух - это соотношение частот из тритон интервал в двенадцати тонах равный темперамент Музыка.
• Квадратный корень из двух образует отношение f-стопы в фотографических объективах, что, в свою очередь, означает, что соотношение области между двумя последовательными отверстия равно 2.
• Небесная широта (склонение) Солнца во время астрономического межквартальный день точек равно наклону оси планеты, деленному на √2.

Видеоигры

Номер имеет приложения в области видеоигр. В частности, популярность MOBA с тремя полосами на квадратной карте означает, что геометрия карты такова, что средняя полоса короче верхней и нижней полос примерно на 70%, как указано соотношением √2/2, то взаимный. Это означает, что игрок может перемещаться по карте по диагонали от базы к базе менее чем за три четверти времени, необходимого для использования верхней или нижней полосы.

Смотрите также

• Список математических констант
• Корень квадратный из 3, √3
• Корень квадратный из 5, √5
• Постоянная Гельфонда – Шнайдера, 2^√2
• Соотношение серебра, 1 + √2

Примечания

Рекомендации

• Апостол, Том М. (2000), «Иррациональность квадратного корня из двух - геометрическое доказательство», Американский математический ежемесячный журнал, 107 (9): 841–842, Дои:10.2307/2695741, JSTOR  2695741.
• Аристотель (2007), Аналитика приора, электронные книги @ Аделаида
• Бишоп, Эрретт (1985), Шизофрения в современной математике. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях (Сан-Диего, Калифорния, 1983), 1–32, Contemp. Математика. 39, амер. Математика. Soc., Providence, RI.
• Фланнери, Дэвид (2005), Квадратный корень из двух, Springer-Verlag, ISBN  0-387-20220-X.
• Фаулер, Дэвид; Робсон, Элеонора (1998), "Аппроксимации квадратного корня в древней вавилонской математике: YBC 7289 в контексте" (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, Дои:10.1006 / hmat.1998.2209, заархивировано из оригинал (PDF) на 2006-09-03.
• Хорошо, И. Дж.; Говер, Т. Н. (1967), "Обобщенный последовательный тест и двоичное разложение √2", Журнал Королевского статистического общества, серия A, 130 (1): 102–107, Дои:10.2307/2344040, JSTOR  2344040.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в ulba Sūtras», в Горини, Екатерина А. (ред.), Геометрия в действии: статьи по прикладной геометрии, Cambridge University Press, стр. 39–45, ISBN  978-0-88385-164-7.

внешняя ссылка

• Гурдон, X .; Себах, П. (2001), «Константа Пифагора: √2", Числа, константы и вычисления.
• Квадратный корень от 2 до 5 миллионов цифр Джерри Боннелл и Роберт Дж. Немирофф. Май 1994 г.
• Квадратный корень из 2 иррационально, сборник доказательств
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. "Квадратный корень √2 из двух ". Numberphile. Брэди Харан.
• √2 Поисковый движок 2 миллиарда цифр, доступных для поиска √2, π и е