Конструируемое число - Википедия - Constructible number

Квадратный корень из 2 равна длине гипотенуза из прямоугольный треугольник с ногами длины 1 и поэтому конструктивное число

В геометрия и алгебра, а настоящий номер ${ displaystyle r}$ является конструктивный тогда и только тогда, когда, учитывая линейный сегмент единичной длины, линейный сегмент длины ${ displaystyle | r |}$ может быть построен с компас и линейка за конечное число шагов. Эквивалентно ${ displaystyle r}$ конструктивно тогда и только тогда, когда существует выражение в закрытой форме за ${ displaystyle r}$ используя только целые числа 0 и 1, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Геометрическое определение конструктивных чисел мотивирует соответствующее определение конструктивные точки, который снова можно описать либо геометрически, либо алгебраически. Точка может быть построена, если она может быть создана (как конечная точка отрезка линии или точка пересечения двух линий или окружностей) как одна из точек компаса и построения прямой кромки, начиная с заданного сегмента единичной длины. В качестве альтернативы и эквивалентно, взяв за две конечные точки отрезков точки (0,0) и (1,0) отрезка Декартова система координат, точка является конструктивной тогда и только тогда, когда обе ее декартовы координаты являются конструктивными числами.^[1] Конструируемые числа и точки также называются числа на линейке и компасе и линейка и точки компаса, чтобы отличить их от чисел и точек, которые могут быть построены с помощью других процессов.^[2]

Набор конструктивных чисел образует поле: применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого набора дает другое конструктивное число. расширение поля из рациональное число и в свою очередь содержится в поле алгебраические числа. Это Евклидово замыкание из рациональное число, наименьшее расширение поля рациональных чисел, которое включает квадратные корни всех его положительных чисел.^[3]

Доказательство эквивалентности между алгебраическим и геометрическим определениями конструктивных чисел имеет эффект преобразования геометрических вопросов о конструкциях компаса и линейки в алгебра. Это преобразование приводит к решению многих известных математических задач, которые не поддавались атакам столетиями.

Геометрические определения

Геометрически построенные точки

Позволять ${ displaystyle O}$ и ${ displaystyle A}$ быть двумя заданными различными точками в Евклидова плоскость, и определим ${ displaystyle S}$ быть набором точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с ${ displaystyle O}$ и ${ displaystyle A}$. Тогда точки ${ displaystyle S}$ называются конструктивные точки. ${ displaystyle O}$ и ${ displaystyle A}$ по определению являются элементами ${ displaystyle S}$. Для более точного описания остальных элементов ${ displaystyle S}$сделайте следующие два определения:^[4]

• отрезок линии, конечные точки которого находятся в ${ displaystyle S}$ называется построенный сегмент, и
• круг, центр которого находится в ${ displaystyle S}$ и который проходит через точку ${ displaystyle S}$ (в качестве альтернативы, радиус которого равен расстоянию между некоторой парой различных точек ${ displaystyle S}$) называется построенный круг.

Тогда точки ${ displaystyle S}$, Помимо ${ displaystyle O}$ и ${ displaystyle A}$ находятся:^[4][5]

• то пересечение двух непараллельных построенных сегментов или линий, проходящих через построенные сегменты,
• точки пересечения построенного круга и построенного сегмента, или линии, проходящей через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка ${ displaystyle OA}$ является конструктивной точкой. Одна конструкция для этого состоит в том, чтобы построить два круга с ${ displaystyle OA}$ как радиус, и линия, проходящая через две точки пересечения этих двух окружностей. Тогда середина отрезка ${ displaystyle OA}$ - точка, в которой этот отрезок пересекает построенная линия.

Геометрически конструктивные числа

Эту геометрическую формулировку можно использовать для определения Декартова система координат в котором точка ${ displaystyle O}$ связан с началом координат, имеющим координаты ${ displaystyle (0,0)}$ и в котором точка ${ displaystyle A}$ связана с координатами ${ displaystyle (1,0)}$. Пункты ${ displaystyle S}$ теперь можно использовать для связи геометрии и алгебры путем определения конструктивное число быть координатой конструктивной точки.^[6]

Эквивалентные определения таковы: конструктивное число - это ${ displaystyle x}$-координата конструктивной точки ${ Displaystyle (х, 0)}$^[5] или длина строящегося линейного сегмента.^[7] Если конструктивное число представлено как ${ displaystyle x}$-координата конструктивной точки ${ displaystyle P}$, то отрезок из ${ displaystyle O}$ к перпендикулярной проекции ${ displaystyle P}$ на линию ${ displaystyle OA}$ представляет собой конструктивный отрезок прямой длиной ${ displaystyle x}$. И наоборот, если ${ displaystyle x}$ - длина строящегося линейного сегмента, то пересечение прямой ${ displaystyle OA}$ и круг с центром в ${ displaystyle O}$ с радиусом, равным длине этого сегмента, дает точку, первая декартова координата которой ${ displaystyle x}$.

Учитывая любые два конструктивных числа ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, можно построить точки ${ Displaystyle P = (х, 0)}$ и ${ Displaystyle P = (0, y)}$ как указано выше, как точки на расстоянии ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ из ${ displaystyle O}$ вдоль линии ${ displaystyle OA}$ и его перпендикулярная ось через ${ displaystyle O}$. Тогда точка ${ Displaystyle (х, у)}$ можно построить как пересечение двух прямых, перпендикулярных осям, через ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$. Следовательно, конструктивные точки - это в точности те точки, декартовы координаты которых являются конструктивными числами.^[8]

Алгебраические определения

Алгебраически конструктивные числа

Алгебраически конструктивные действительные числа можно определить как подмножество действительные числа который может быть определен формулой с использованием чисел 0 и 1 (или без какой-либо большей общности, но с более краткими формулами, произвольными целыми числами) и операций сложения, вычитания, умножения, обратного умножения и квадратных корней из положительных чисел.^[9]

Аналогично алгебраически конструктивная сложные числа можно определить как подмножество комплексных чисел, построенных таким же образом, но с использованием главный квадратный корень произвольных комплексных чисел вместо квадратного корня из положительных действительных чисел. В качестве альтернативы одна и та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами.^[10]

Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. В одном направлении, если ${ displaystyle q = x + iy}$ - комплексное число, действительная часть которого ${ displaystyle x}$ и мнимая часть ${ displaystyle y}$ являются конструктивными действительными числами, а затем подставляя формулы для ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в формулу ${ displaystyle x + iy}$, и подставив ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ за ${ displaystyle i}$, дает формулу для ${ displaystyle q}$ как комплексное число. С другой стороны, любую формулу для алгебраически построенного комплексного числа можно преобразовать в формулы для его действительной и мнимой частей, рекурсивно расширяя каждую операцию в формуле на операции над действительной и мнимой частями ее аргументов, используя разложения

• ${ Displaystyle (a + ib) pm (c + id) = (a + c) pm я (b + d)}$
• ${ displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + я (ad + bc)}$
• ${ displaystyle { frac {1} {a + ib}} = { frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i { frac {-b} {a ^ {2 } + b ^ {2}}}}$
• ${ displaystyle { sqrt {a + ib}} = { frac {(a + r) { sqrt {r}}} {s}} + i { frac {b { sqrt {r}}} { s}}}$, куда ${ displaystyle r = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} {} _ {!}}}}$ и ${ displaystyle s = { sqrt {(a + r) ^ {2} + b ^ {2}}}}$.

Алгебраически конструктивные точки

Алгебраически конструируемые точки могут быть определены как точки, две вещественные декартовы координаты которых являются алгебраически конструируемыми действительными числами. В качестве альтернативы они могут быть определены как точки в комплексная плоскость заданные алгебраически конструктивными комплексными числами. По эквивалентности между двумя определениями алгебраически конструируемых комплексных чисел эти два определения алгебраически конструируемых точек также эквивалентны.

Эквивалентность алгебраических и геометрических определений

Если ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ ненулевые длины построенных сегментов, то элементарные конструкции циркуля и линейки могут быть использованы для получения построенных сегментов длин ${ displaystyle a + b}$, ${ displaystyle | a-b |}$, ${ displaystyle ab}$, и ${ displaystyle a / b}$. Последние два могут быть выполнены с помощью конструкции на основе теорема о перехвате. Чуть менее элементарная конструкция с использованием этих инструментов основана на теорема о среднем геометрическом и построим отрезок длины ${ displaystyle { sqrt {a}}}$ из построенного отрезка длины ${ displaystyle a}$.^[11]

Конструкции циркуля и линейки для построения чисел

${ displaystyle ab}$ на основе теоремы о перехвате

${ displaystyle { frac {a} {b}}}$ на основе теоремы о перехвате

${ displaystyle { sqrt {p}}}$ на основе теоремы о среднем геометрическом

Из этих построений следует, что каждое алгебраически конструктивное число геометрически конструктивно.

В другом направлении набор геометрических объектов может быть задан алгебраически строимыми действительными числами: координаты точек, уклон и ${ displaystyle y}$-перехват линий, а также центр и радиус для окружностей. Можно (но утомительно) разработать формулы на основе этих значений, используя только арифметические операции и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен на одном этапе построения циркуля и линейки. Из этих формул следует, что любое геометрически конструктивное число алгебраически конструктивно.^[12]

Алгебраические свойства

Определение алгебраически конструктивных чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную величину любого из этих чисел, те же операции, которые определяют поле в абстрактная алгебра. Таким образом, конструктивные числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. В частности, конструктивные действительные числа образуют Евклидово поле, упорядоченное поле, содержащее квадратный корень из каждого положительного элемента.^[13] Изучение свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям для числа, которое может быть построено, которые могут использоваться, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не могут быть построены.

Вместо всего поля конструктивных чисел удобно рассматривать подполе ${ Displaystyle mathbb {Q} ( gamma)}$ генерируется любым заданным конструктивным числом ${ displaystyle gamma}$, и использовать алгебраическую конструкцию ${ displaystyle gamma}$ разложить это поле. Если ${ displaystyle gamma}$ является конструктивным действительным числом, тогда значения, встречающиеся в формуле, составляющей его, можно использовать для получения конечной последовательности действительных чисел ${ displaystyle alpha _ {1}, dots, a_ {n} = gamma}$ так что для каждого ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle mathbb {Q} ( alpha _ {1}, dots, a_ {i})}$ является расширение из ${ displaystyle mathbb {Q} ( alpha _ {1}, dots, a_ {i-1})}$ степени 2.^[14] Используя немного другую терминологию, действительное число можно построить тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечного числа. башня настоящих квадратичные расширения,

${ displaystyle mathbb {Q} = K_ {0} substeq K_ {1} substeq dots substeq K_ {n},}$

начиная с рационального поля ${ displaystyle mathbb {Q}}$ куда ${ displaystyle gamma}$ в ${ displaystyle K_ {n}}$ и для всех ${ displaystyle 0$, ${ displaystyle [K_ {j}: K_ {j-1}] = 2}$.^[15] Из этого разложения следует, что степень расширения поля ${ Displaystyle [ mathbb {Q} ( gamma): mathbb {Q}]}$ является ${ displaystyle 2 ^ {r}}$, куда ${ displaystyle r}$ подсчитывает количество шагов квадратичного расширения.

Аналогично вещественному случаю комплексное число конструктивно тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений.^[16] Точнее, ${ displaystyle gamma}$ конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей

${ Displaystyle mathbb {Q} = F_ {0} substeq F_ {1} substeq dots substeq F_ {n},}$

куда ${ displaystyle gamma}$ в ${ displaystyle F_ {n}}$, и для всех ${ displaystyle 0$, ${ displaystyle [F_ {j}: F_ {j-1}] = 2}$. Разница между этой характеристикой и характеристикой действительных квадратичных чисел состоит только в том, что поля в этой башне не ограничиваются действительностью. Следовательно, если комплексное число ${ displaystyle gamma}$ конструктивно, то ${ Displaystyle [ mathbb {Q} ( gamma): mathbb {Q}]}$ это степень двойки. Однако этого необходимого условия недостаточно: существуют расширения полей, степень которых является степенью двойки, которые не могут быть разложены на последовательность квадратичных расширений.^[17]

Поля, которые могут быть порождены таким образом из башен квадратичных расширений ${ displaystyle mathbb {Q}}$ называются повторные квадратичные расширения из ${ displaystyle mathbb {Q}}$. Поля действительных и комплексных конструктивных чисел являются объединениями всех действительных или комплексных повторных квадратичных расширений ${ displaystyle mathbb {Q}}$.^[18]

Тригонометрические числа

Тригонометрические числа являются иррациональными косинусами или синусами углов, которые рационально кратны ${ displaystyle pi}$. Такое число можно построить тогда и только тогда, когда знаменатель полностью сокращенного кратного является степенью 2 или произведением степени 2 на произведение одного или нескольких различных Простые числа Ферма. Так, например, ${ Displaystyle соз ( пи / 15)}$ конструктивно, поскольку 15 является произведением двух простых чисел Ферма, 3 и 5.

Список тригонометрических чисел, выраженных квадратными корнями, см. тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах.

Невозможные конструкции

Хотя дублирование куба невозможно, дублирование квадрата - нет.

В древние греки думал, что определенные проблемы линейка и конструкция компаса они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми.^[19] Однако невозможность построения некоторых чисел доказывает, что их невозможно выполнить с логической точки зрения. (Однако сами проблемы можно решить, используя методы, которые выходят за рамки ограничения работы только с линейкой и циркулем, и греки знали, как их решать таким образом.)

В следующей таблице каждая таблица представляет конкретную проблему древнего строительства. В левом столбце указано название проблемы. Во втором столбце дается эквивалентная алгебраическая формулировка проблемы. Другими словами, решение проблемы положительное. если и только если каждое число в данном наборе чисел можно построить. Наконец, последний столбец содержит простой контрпример. Другими словами, число в последнем столбце является элементом набора в той же строке, но не может быть построено.

Строительная проблема	Связанный набор чисел	Контрпример
Удвоение куба	${ displaystyle left {{ sqrt [{3}] {x}}: x { text {конструктивно}} right }}$	${ displaystyle { sqrt [{3}] {2}}}$ (длина кромки удвоенного единичный куб ) не конструктивно, потому что его минимальный многочлен имеет степень 3 выше Q[20]
Трисекция угла	${ displaystyle left { cos left ({ frac { arccos x} {3}} right): x { text {конструктивно}} right }}$	${ displaystyle cos left ({ frac { arccos (1/2)} {3}} right) = cos 20 ^ {o}}$ (одна из координат отрезка единичной длины, пересекающего выровненный по оси равносторонний треугольник ) не конструктивно, потому что ${ displaystyle cos 20 ^ {o}}$ имеет минимальный многочлен степени 3 над Q[20]
Квадрат круга	${ displaystyle left {r { sqrt { pi}}: r { text {конструктивно}} right }}$	${ displaystyle { sqrt { pi}}}$ (длина стороны квадрата с той же площадью, что и единичный круг ) не конструктивно, поскольку не алгебраичен над Q[20]
Построение правильных многоугольников	${ displaystyle left { cos 2 pi / n: n in mathbb {N}, n geq 3 right }}$	${ Displaystyle соз 2 пи / 7}$ (в Икс-координата вершины осевого регулярного семиугольник ) не конструктивно, потому что 7 не является Ферма Прайм, и 7 не является продуктом ${ displaystyle 2 ^ {k}}$ и одно или несколько различных простых чисел Ферма[21]

История

Рождение концепции конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных конструкций циркуля и линейки: дублирования куба, деления угла на три части и квадрата круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических конструкциях часто приписывают Платон из-за прохода в Плутарх. Согласно Плутарху, Платон дал задачу дублирования куба (Делиана) Евдокс и Archytas и Менахм, который решил проблему с помощью механических средств, получив упрек Платона за то, что не решил проблему с помощью чистая геометрия (Плут., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef). Однако эта атрибуция оспаривается,^[22] отчасти из-за существования другой версии истории (приписываемой Эратосфен к Евтокий из Аскалона ), в котором говорится, что все три найденных решения были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность.^[23] С Энопид (около 450 г. до н.э.) приписывают две конструкции с линейкой и циркулем. Прокл - цитируя Eudemus (около 370 - 300 гг. до н. э.) - когда ему были доступны другие методы, некоторые авторы выдвинули гипотезу о том, что ограничение было инициировано Энопидом.

Ограничение компаса и линейки существенно для того, чтобы сделать эти конструкции невозможными. Например, трисекцию угла можно выполнить разными способами, некоторые из которых были известны древним грекам. В Квадратриса из Гиппий из Элиды, то коники Менехма, или отмеченная линейка (Neusis ) строительство Архимед все использовались, как и более современный подход через складывание бумаги.

Хотя это и не одна из трех классических задач построения, проблема построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля обычно рассматривается вместе с ними. Греки умели строить регулярные п-угольники с п = 2^час, 3, 5 (для любого целого час ≥ 2) или произведение любых двух или трех из этих чисел, но другие обычные п-гоны ускользнули от них. Затем, в 1796 году, восемнадцатилетний студент по имени Карл Фридрих Гаусс объявил в газете, что построил правильный 17-угольник с линейкой и циркулем.^[24] Трактовка Гаусса была скорее алгебраической, чем геометрической; на самом деле он не построил многоугольник, а скорее показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Этот аргумент был обобщен в его книге 1801 г. Disquisitiones Arithmeticae давая достаточный условие строительства регулярного п-гон. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также было необходимым, и несколько авторов, в частности Феликс Кляйн,^[25] приписал ему и эту часть доказательства.^[26]

Пьер Ванцель  (1837 ) доказал алгебраически, что проблемы удвоения куба и деления угла пополам невозможно решить, если использовать только циркуль и линейку. В той же статье он также решил задачу определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить. если и только если количество его сторон является произведением сила двух и любое количество различных Простые числа Ферма (т.е. достаточные условия, данные Гауссом, также необходимы)

Попытка доказательства невозможности возведения круга в квадрат была дана Джеймс Грегори в Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинный квадрат круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой пытались решить проблему, используя алгебраические свойства π. Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал свою невозможность, расширив работу Чарльз Эрмит и доказывая, что π это трансцендентное число.

Изучение конструктивных чисел как таковых было инициировано Рене Декарт в La Géométrie, приложение к его книге Рассуждение о методе опубликовано в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками прямых, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода, решив древнюю линейную линейку и конструкцию компаса, поставленную Паппус.^[27]

Смотрите также

• Вычислимое число
• Определимое действительное число

Примечания

Рекомендации

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии, Дувр, ISBN  978-0-486-43832-0
• Фрали, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-201-53467-2
• Герштейн, И. (1986), Абстрактная алгебра, Макмиллан, ISBN  0-02-353820-1
• Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Линейка и круг: классические задачи геометрических конструкций, Дувр, ISBN  0-486-42515-0
• Кляйн, Феликс (1956) [1930], Известные проблемы элементарной геометрии, Дувр
• Кнорр, Уилбур Ричард (1986), Древняя традиция геометрических задач, Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, ISBN  9780486675329
• Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции, Программа бакалавриата по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, Дои:10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN  0-387-98276-0, МИСТЕР  1483895
• Мойз, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  0-201-04793-4
• Роман, Стивен (1995), Теория поля, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94408-1
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-186267-8
• Стюарт, Ян (1989), Теория Галуа (2-е изд.), Чепмен и Холл, ISBN  978-0-412-34550-0
• Ванцель, П.Л. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1 (2): 366–372

внешняя ссылка

• Крис Купер: Теория Галуа. Примечания к лекциям, Университет Маккуори, §6 Конструируемость линейки и компаса, стр. 55-63
• Вайсштейн, Эрик В., «Конструируемое число», MathWorld
• Конструируемые числа в Разрезать узел