Корень двенадцатой степени из двух - Twelfth root of two

Октавы (12 полутонов) экспоненциально увеличиваются при измерении по линейной шкале частот (Гц).

Октавы равномерно распределены при измерении в логарифмической шкале (в центах).

В корень двенадцатой степени из двух или же ${ displaystyle { sqrt [{12}] {2}}}$ (или же эквивалентно ${ displaystyle 2 ^ {1/12}}$ ) является алгебраический иррациональный номер. Это наиболее важно в западных теория музыки, где он представляет частота соотношение (музыкальный интервал ) из полутон (Играть в (помощь ·Информация )) в двенадцатитонный ровный темперамент. Этот номер был предложен впервые в связи с музыкальный тюнинг в шестнадцатом и семнадцатом веках. Он позволяет измерять и сравнивать различные интервалы (соотношения частот), состоящие из разных номеров одного интервала, равного темперированного полутона (например, второстепенная треть составляет 3 полутона, большая треть - 4 полутона, а идеальная квинта - 7 полутонов. ).^[а] Сам полутон делится на 100 центы (1 цент = ${ displaystyle { sqrt [{1200}] {2}} = 2 ^ {1/1200}}$ ).

Равномерная хроматическая гамма

А музыкальный интервал это отношение частот и уравновешенный хроматическая гамма делит октава (который имеет соотношение 2: 1) на двенадцать части.

Последовательное применение этого значения к тонам хроматической гаммы, начиная с А над середина C (известный как А₄ ) с частотой 440 Гц, производит следующую последовательность поля:

Примечание	Стандартные названия интервалов относящийся к A 440	Частота (Гц)	Множитель	Коэффициент (до шести мест)	Просто интонация соотношение
А	Унисон	440.00	2^⁰⁄₁₂	1.000000	1
А♯/ B♭	Минорная секунда / Полутон / Полутон	466.16	2^¹⁄₁₂	1.059463	≈ ¹⁶⁄₁₅
B	Мажорная секунда / полный шаг / весь тон	493.88	2^²⁄₁₂	1.122462	≈ ⁹⁄₈
C	Незначительная треть	523.25	2^³⁄₁₂	1.189207	≈ ⁶⁄₅
C♯/ D♭	Мажорная треть	554.37	2^⁴⁄₁₂	1.259921	≈ ⁵⁄₄
D	Идеальный четвертый	587.33	2^⁵⁄₁₂	1.334839	≈ ⁴⁄₃
D♯/ E♭	Увеличенная четвертая / Уменьшенная пятая / Тритон	622.25	2^⁶⁄₁₂	1.414213	≈ ⁷⁄₅
E	Идеальный пятый	659.26	2^⁷⁄₁₂	1.498307	≈ ³⁄₂
F	Незначительный шестой	698.46	2^⁸⁄₁₂	1.587401	≈ ⁸⁄₅
F♯/ГРАММ♭	Шестой майор	739.99	2^⁹⁄₁₂	1.681792	≈ ⁵⁄₃
грамм	Незначительный седьмой	783.99	2^{¹⁰⁄₁₂}	1.781797	≈ ⁹⁄₅
грамм♯/ А♭	Большой седьмой	830.61	2^{¹¹⁄₁₂}	1.887748	≈ ¹⁵⁄₈
А	Октава	880.00	2^{¹²⁄₁₂}	2.000000	2

Финал А (А₅: 880 Гц) ровно в два раза больше частоты нижнего А (А₄: 440 Гц), то есть на октаву выше.

Правильная или пифагорейская совершенная квинта равна 3/2, а разница между равной темперированной совершенной пятой и справедливой составляет град, корень двенадцатой степени Пифагорейская запятая (¹²√531441/524288). Равномерный Шкала Болена – Пирса использует интервал тринадцатого корня из трех (¹³√3). Штокхаузена Studie II (1954) использует корень двадцать пятой степени из пяти (²⁵√5), составная мажорная треть, разделенная на 5x5 частей. В шкала дельты основан на ≈⁵⁰√3/2, то гамма шкала основан на ≈²⁰√3/2, то бета-шкала основан на ≈¹¹√3/2, а альфа-шкала основана на ≈⁹√3/2.

Регулировка высоты тона

Одна октава 12-тет на монохорде (линейная)

В хроматический круг изображает равные расстояния между нотами (логарифмический)

Поскольку соотношение частот полутона близко к 106% ( ${ displaystyle 1.05946 times 100 = 105.946}$ ), увеличение или уменьшение скорости воспроизведения записи на 6% приведет к сдвигу высоты тона вверх или вниз примерно на один полутон, или «полутон». Высококлассный катушечные магнитофоны обычно имеют настройки высоты тона до ± 6%, обычно используемые для согласования высоты тона воспроизведения или записи с другими музыкальными источниками, имеющими немного другие настройки (или, возможно, записанными на оборудовании, которое не работало на достаточно правильной скорости). Современные студии звукозаписи используют цифровые изменение высоты тона для достижения аналогичных результатов, начиная от центы до нескольких полутонов (обратите внимание, что регулировка барабанов также влияет на темп записанного звука, а цифровое смещение - нет).

Диджей вертушки может иметь настройку до ± 20%, но чаще используется для синхронизация ударов между песнями, чем для регулировки высоты тона, что в основном полезно только при переходах между частями без битов и эмбиентом. Для сопоставления ритмов музыки с высоким содержанием мелодии ди-джей в первую очередь будет пытаться искать песни, которые звучат гармонично вместе при установке в равном темпе.

История

Исторически это число было впервые предложено применительно к музыкальному строе в 1580 г. (составлено, переписано в 1610 г.) Саймон Стевин.^[2] В 1581 году итальянский музыкант Винченцо Галилей может быть первым европейцем, предложившим двенадцатитоновый равный темперамент.^[1] Корень двенадцатой степени из двух был впервые вычислен в 1584 году математиком и музыкантом. Чжу Зайюй используя счеты, чтобы достичь двадцати четырех десятичных знаков,^[1] вычислено около 1605 года фламандским математиком Саймон Стевин,^[1] в 1636 г. французским математиком Марин Мерсенн а в 1691 г. немецкий музыкант Андреас Веркмайстер.^[3]

Смотрите также

Примечания

^ «Наименьший интервал в равномерно темперированной гамме - это соотношение ${ Displaystyle г ^ {п} = р}$ , так ${ Displaystyle г = { sqrt [{п}] {р}}}$ , где отношение р делит соотношение п (= 2/1 в октаве) в п равные части."^[1]

дальнейшее чтение

Барбур, Дж. М. (1933). "Китайское приближение шестнадцатого века для $π$ ". Американский математический ежемесячный журнал. 40 (2): 69–73. Дои:10.2307/2300937. JSTOR 2300937.
Эллис, Александр; Гельмгольц, Германн (1954). Об ощущениях тона. Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4.
Партч, Гарри (1974). Генезис музыки. Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X.

[2] «Наименьший интервал в равномерно темперированной гамме - это соотношение ${ Displaystyle г ^ {п} = р}$ , так ${ Displaystyle г = { sqrt [{п}] {р}}}$ , где отношение р делит соотношение п (= 2/1 в октаве) в п равные части."^[1]

[Crest-1] а ^б ^c ^d Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Герб Павлина: Неевропейские корни математики, с.294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369.

[3] Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история теории западной музыки, п.205, ISBN 978-0521686983

[4] Гудрич, Л. Кэррингтон (2013). Краткая история китайского народа, ^{[без страницы]}. Курьер. ISBN 9780486169231. Цитирует: Чу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных трубок.

[а]

[2]

[1]

[3]