Сверхзолотое соотношение - Supergolden ratio

Список номеров Иррациональные числа ζ(3) √2 √3 √5 φ е π
Двоичный	1.01110111001011111010…
Десятичный	1.4655712318767680266567312…
Шестнадцатеричный	1.772FAD1EDE80B46…
Непрерывная дробь	[1; 2, 6, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, …] Обратите внимание, что эта цепная дробь не является ни конечный ни периодический. (Показано в линейная запись )
Алгебраическая форма	${ displaystyle { frac {1 + { sqrt [{3}] { frac {29 + 3 { sqrt {93}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {) 29-3 { sqrt {93}}} {2}}}} {3}}}$

В математика, две величины находятся в суперзолотое соотношение если частное деления большего числа на меньшее равно

${ displaystyle psi = { frac {1 + { sqrt [{3}] { frac {29 + 3 { sqrt {93}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {29-3 { sqrt {93}}} {2}}}} {3}}}$

который является единственным реальное решение к уравнению ${ Displaystyle х ^ {3} = х ^ {2} +1}$. Его также можно представить с помощью гиперболический косинус в качестве:

${ displaystyle psi = { frac {2} {3}} cosh { left ({ tfrac { cosh ^ {- 1} left ({ frac {29} {2}} right)} {3}} right)} + { frac {1} {3}}}$

Десятичное расширение этого числа начинается с 1,465571231876768026656731…, а соотношение обычно обозначается греческой буквой ${ displaystyle psi}$ (фунт / кв. дюйм). Его взаимный является:

${ displaystyle { frac {1} { psi}} = { sqrt [{3}] { frac {1 + { sqrt { frac {31} {27}}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {1 - { sqrt { frac {31} {27}}}} {2}}} = { tfrac {2} { sqrt {3}}} sinh left ({ tfrac {1} {3}} sinh ^ {- 1} ({ tfrac {3 { sqrt {3}}} {2}}) right)}$

Соотношение суперзолота также является четвертым по величине. Номер Писо.^[1]

Супрозолотая последовательность

В суперголотая последовательность, также известный как Коровы Нараяны Последовательность - это последовательность, в которой соотношение между последовательными членами приближается к суперголдену.^[2] Первые три члена - это каждое по одному, и каждый член после него вычисляется путем добавления предыдущего члена и термина, стоящего на две позиции перед ним. Первые значения: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595…^[2][3] (OEIS: A000930 ).

Характеристики

Треугольник с длинами сторон супрозолотого отношения, его обратная сторона, и одна имеет угол ровно 120 градусов, противоположный длине отношения.

Многие свойства суперголотого соотношения связаны со свойствами золотое сечение. Например, n^th элемент последовательности Нараяны - это количество способов выложить прямоугольник 1 × n плитками 1 × 1 и 1 × 3,^{[4][nb 1]} в то время как n^th срок последовательность Фибоначчи - количество способов выложить прямоугольник размером 1 × n плитками 1 × 1 и 1 × 2.^{[nb 2]} φ − 1 = φ⁻¹, и ψ − 1 = ψ⁻². В Проблема кролика Фибоначчи, каждая пара порождает каждый цикл, начиная с двух циклов, а в Проблема коровы Нараяны, каждая пара порождает каждый цикл, начиная с трех циклов.^[2] Есть суперзолотый прямоугольник, который обладает тем свойством, что если квадрат удалить с одной стороны, оставшийся прямоугольник можно разделить на два суперзолотых прямоугольника противоположных ориентаций.^[2]

Другой пример: как золотое сечение, так и суперголотое сечение Числа Пизо.Суперзолотое соотношение алгебраические сопряжения находятся ${ displaystyle { dfrac {1+ left ({ tfrac {1 pm я { sqrt {3}}} {2}} right) { sqrt [{3}] { tfrac {29 + 3 { sqrt {93}}} {2}}} + left ({ tfrac {1 mp i { sqrt {3}}} {2}} right) { sqrt [{3}] { tfrac {29 + 3 { sqrt {93}}} {2}}}} {3}},}$ и иметь величину ${ displaystyle { tfrac {1} { sqrt { psi}}} приблизительно 0,8260313}$, как продукт корней ${ displaystyle psi ^ {3} - psi ^ {2} -1 = 0}$ равно 1.

Сверхзолотый прямоугольник

На этой диаграмме показаны длины убывающих степеней внутри сверхзолотого прямоугольника и паттерн пересекающихся прямых углов, который появляется в результате

А суперзолотый прямоугольник представляет собой прямоугольник, длина сторон которого находится в сверхзолотом соотношении, то есть длина более длинной стороны, деленная на длину более короткой стороны, равна ${ displaystyle { frac {1 + { sqrt [{3}] { frac {29 + 3 { sqrt {93}}} {2}}} + { sqrt [{3}] { frac {) 29-3 { sqrt {93}}} {2}}}} {3}}}$, суперголотое отношение ψ. Когда квадрат с той же длиной стороны, что и более короткая сторона прямоугольника, удален с одной стороны прямоугольника, стороны полученного прямоугольника будут в ψ²: 1 соотношение. Этот прямоугольник можно разделить на прямоугольники с отношениями сторон ψ: 1 и 1: ψ, двумя суперголотыми отношениями перпендикулярных ориентаций,^[2] и их площади будут в ψ²: 1 соотношение.^[3] Кроме того, если линия, отделяющая два суперголотых прямоугольника друг от друга, будет продолжена через остальную часть исходного прямоугольника так, что она вместе со стороной квадрата, которая была удалена из исходного прямоугольника, делит исходный прямоугольник на квадранты, тогда больший сверхзолотой прямоугольник имеет такую ​​же площадь, что и противоположный квадрант,^[5] его длина по диагонали - это длина короткой стороны исходного прямоугольника, деленная на √ψ, четвертый квадрант также является супрозолотым прямоугольником, а его длина по диагонали в √ψ раз больше длины короткой стороны исходного прямоугольника.^[3]

Смотрите также

• Решения уравнений, подобных ${ Displaystyle х ^ {3} = х ^ {2} +1}$
  • Золотое сечение - единственное положительное решение уравнения ${ Displaystyle х ^ {2} = х + 1}$
  • Пластиковый номер - единственный реальное решение к уравнению ${ Displaystyle х ^ {3} = х + 1}$

Примечания

Рекомендации