Константа Апери - Википедия - Apérys constant

Список номеров Иррациональные числа ζ(3) √2 √3 √5 φ е π
Двоичный	1.0011001110111010…
Десятичный	1.2020569031595942854…
Шестнадцатеричный	1,33БА004F00621383…
Непрерывная дробь	${ displaystyle 1 + { frac {1} {4 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {18 + { cfrac {1} { ddots qquad {}}}}}} }}}}$ Обратите внимание, что эта цепная дробь бесконечна, но неизвестно, является ли эта цепная дробь периодический или нет.

В математика, на пересечении теория чисел и специальные функции, Постоянная Апери это сумма из взаимные положительных кубики. То есть определяется как число

${ displaystyle { begin {align} zeta (3) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {3}}} & = lim _ {n to infty} left ({ frac {1} {1 ^ {3}}} + { frac {1} {2 ^ {3}}} + cdots + { frac {1} { п ^ {3}}} right) end {выровнено}}}$

куда ζ это Дзета-функция Римана. Его приблизительное значение составляет^[1]

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292… (последовательность A002117 в OEIS ).

В постоянный назван в честь Роджер Апери. Он естественным образом возникает в ряде физических проблем, в том числе во втором и третьем порядке электронных гиромагнитное отношение с помощью квантовая электродинамика. Это также возникает при анализе случайные минимальные остовные деревья^[2] и в сочетании с гамма-функция при решении некоторых интегралов, включающих экспоненциальные функции в частном, которые иногда появляются в физике, например, при оценке двумерного случая Дебая модель и Закон Стефана – Больцмана.

Иррациональный номер

ζ(3) был назван Постоянная Апери после французского математика Роджер Апери, который в 1978 году доказал, что это иррациональный номер.^[3] Этот результат известен как Теорема Апери. Первоначальное доказательство сложное и трудное для понимания,^[4] позже были найдены более простые доказательства.^[5]

Упрощенное доказательство иррациональности Бейкерса включает аппроксимацию подынтегрального выражения известного тройного интеграла для ${ displaystyle zeta (3)}$,

${ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz} } , dx , dy , dz,}$

посредством Полиномы Лежандра В частности, в статье ван дер Поортена описывается этот подход, отмечая, что

${ displaystyle I_ {3}: = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {P_ {n} (x ) P_ {n} (y) log (xy)} {1-xy}} , dx , dy = b_ {n} zeta (3) -a_ {n},}$

куда ${ displaystyle | I | leq zeta (3) (1 - { sqrt {2}}) ^ {4n}}$, ${ Displaystyle P_ {п} (г)}$ являются Полиномы Лежандра, а подпоследовательности ${ displaystyle b_ {n}, 2 operatorname {lcm} (1,2, ldots, n) cdot a_ {n} in mathbb {Z}}$ целые числа или почти целые числа.

До сих пор не известно, является ли постоянная Апери трансцендентный.

Представления серий

Классический

Помимо основной серии:

${ displaystyle zeta (3) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3}}},}$

Леонард Эйлер дал представление серии:^[6]

${ displaystyle zeta (3) = { frac { pi ^ {2}} {7}} left (1-4 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { zeta ( 2k)} {2 ^ {2k} (2k + 1) (2k + 2)}} right)}$

в 1772 году, который впоследствии неоднократно открывался заново.^[7]

К другим классическим представлениям серий относятся:

${ displaystyle { begin {align} zeta (3) & = { frac {8} {7}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 ) ^ {3}}} zeta (3) & = { frac {4} {3}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k }} {(к + 1) ^ {3}}} конец {выровнено}}}$

Быстрая сходимость

С XIX века ряд математиков нашли ряды ускорения сходимости для вычисления десятичных знаков ζ(3). С 1990-х годов этот поиск был сосредоточен на вычислительно эффективных рядах с высокой скоростью сходимости (см. Раздел "Известные цифры ").

Следующее представление ряда было найдено А. А. Марковым в 1890 г.^[8] вновь обнаруженный Хьортнаесом в 1953 году,^[9] и вновь открытое заново и широко разрекламированное Apéry в 1979 году:^[3]

${ displaystyle zeta (3) = { frac {5} {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {k! ^ { 2}} {(2k)! K ^ {3}}}}$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 1,43 новых правильных десятичных разряда на член:^[10]

${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {4}} sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {(k-1 )! ^ {3} (56k ^ {2} -32k + 5)} {(2k-1) ^ {2} (3k)!}}}$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,01 новых правильных десятичных разряда на член:^[11]

${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {64}} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {k! ^ {10} (205 тыс. ^ {2} + 250 тыс. + 77)} {(2 тыс. + 1)! ^ {5}}}}$

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 5,04 новых правильных десятичных разряда на член:^[12]

${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {24}} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(2k + 1)! ^ {3} (2k)! ^ {3} k! ^ {3} (126392k ^ {5} + 412708k ^ {4} + 531578k ^ {3} + 336367k ^ {2} + 104000k + 12463)} {( 3k + 2)! (4k + 3)! ^ {3}}}}$

Он использовался для вычисления постоянной Апери с несколькими миллионами правильных десятичных знаков.^[13]

Следующее представление ряда дает (асимптотически) 3,92 новых правильных десятичных разряда на член:^[14]

${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} (2k)! ^ {3} (k + 1)! ^ {6} (40885k ^ {5} + 124346k ^ {4} + 150160k ^ {3} + 89888k ^ {2} + 26629k + 3116)} {(k + 1) ^ {2} (3к + 3)! ^ {4}}}}$

Цифра за цифрой

В 1998 году Бродхерст представил серию, которая позволяет произвольно двоичные цифры быть вычисленным, и, таким образом, чтобы константа была получена почти в линейное время, и логарифмическое пространство.^[15]

Другие

Следующее представление серии было найдено Рамануджан:^[16]

${ displaystyle zeta (3) = { frac {7} {180}} pi ^ {3} -2 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ { 3} (e ^ {2 pi k} -1)}}}$

Следующее представление серии было найдено Саймон Плафф в 1998 г .:^[17]

${ displaystyle zeta (3) = 14 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} sinh ( pi k)}} - { frac {11 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} -1)}} - { frac {7 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} +1)}}.}.}$

Шривастава (2000) собрано множество рядов, сходящихся к постоянной Апери.

Интегральные представления

Существует множество интегральных представлений для постоянной Апери. Некоторые из них простые, другие более сложные.

Простые формулы

Например, это следует из представления суммирования для постоянной Апери:

${ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz}} , dx , dy , dz}$.

Следующие два следуют непосредственно из известных интегральных формул для Дзета-функция Римана:

${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} , dx}$

и

${ displaystyle zeta (3) = { frac {2} {3}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} +1}} , dx}$.

Это следует из разложения Тейлора χ₃(е^ix) о Икс = ±π/2, куда χ_ν(z) это Функция ци Лежандра:

${ displaystyle zeta (3) = { frac {4} {7}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} x log {( sec {x} + tan {x})} , dx}$

Обратите внимание на сходство с

${ displaystyle G = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} log {( sec {x} + tan {x})} , dx}$

куда грамм является Каталонская постоянная.

Более сложные формулы

Другие формулы включают:^[18]

${ displaystyle zeta (3) = pi ! ! int _ {0} ^ { infty} ! { frac { cos (2 arctan {x})} { left (x ^ { 2} +1 right) left ( ch { frac {1} {2}} pi x right) ^ {2}}} , dx}$,

и,^[19]

${ displaystyle zeta (3) = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (xy)} {, 1-xy ,}} , dx , dy = - int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (1-xy)} {, xy ,}} , dx , dy}$,

Смешивая эти две формулы, можно получить:

${ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x ,}} , dx}$,

По симметрии

${ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, 1-x ,}} , dx}$,

Суммируя оба,${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, ​​х (1-х) ,}} , dx}$.

Также,^[20]

${ displaystyle { begin {align} zeta (3) & = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! int _ {0} ^ {1} ! { frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log { frac {1} {x}}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx & = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! Int _ {1} ^ { infty} ! { Frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log {x}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx end {выровнено}}}$.

Связь с производными от гамма-функция

${ displaystyle zeta (3) = - { tfrac {1} {2}} Gamma '' '(1) + { tfrac {3} {2}} Gamma' (1) Gamma '' ( 1) - { big (} Gamma '(1) { big)} ^ {3} = - { tfrac {1} {2}} , psi ^ {(2)} (1)}$

также очень полезен для вывода различных интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма и полигамма-функции.^[21]

Известные цифры

Количество известных цифр постоянной Апери ζ(3) резко возросло за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов.

Взаимный

В взаимный из ζ(3) это вероятность что любые три положительные целые числа, выбранные наугад, будут относительно простой (в том смысле, что как N стремится к бесконечности, вероятность того, что три натуральных числа меньше, чем N выбранные равномерно случайным образом будут относительно простых подходов к этому значению).^[29]

Расширение на ζ(2п + 1)

Многие пытались расширить доказательство Апери, что ζ(3) иррационально по отношению к другим значениям дзета-функции с нечетными аргументами. Бесконечно много чисел ζ(2п + 1) должно быть иррациональным,^[30] и хотя бы одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), и ζ(11) должно быть иррациональным.^[31]

Смотрите также

• Дзета-функция Римана
• Базельская проблема — ζ(2)
• Список сумм обратных величин

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Рамасвами, В. (1934), "Заметки о ${ displaystyle zeta}$-функция », J. London Math. Soc., 9 (3): 165–169, Дои:10.1112 / jlms / s1-9.3.165.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В., «Постоянная Апери», MathWorld
• Плафф, Саймон, Зета (3) или постоянная Апери на 2000 мест
• Сетти, Роберт Дж. (2015), Константа Апери - Зета (3) - 200 миллиардов цифр, заархивировано из оригинал на 2013-10-08.

В этой статье использованы материалы из Постоянная Апери на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.