Постоянная Гаусса - Википедия - Gausss constant

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Декабрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Постоянная Гаусса, обозначаемый грамм, определяется как взаимный из среднее арифметико-геометрическое из 1 и квадратный корень из 2:

${ displaystyle G = { frac {1} { operatorname {agm} left (1, { sqrt {2}} right)}} = 0,8346268 точек.}$

В постоянный назван в честь Карл Фридрих Гаусс, который в 1799 г.^[1] обнаружил, что

${ displaystyle G = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ {1} { frac {dx} { sqrt {1-x ^ {4}}}}}$

так что

${ displaystyle G = { frac {1} {2 pi}} mathrm {B} left ({ tfrac {1} {4}}, { tfrac {1} {2}} right)}$

где Β обозначает бета-функция.

Связь с другими константами

Постоянную Гаусса можно использовать для выражения гамма-функция в аргумент1/4:

${ displaystyle Gamma left ({ tfrac {1} {4}} right) = { sqrt {2G { sqrt {2 pi ^ {3}}}}}}$

В качестве альтернативы,

${ displaystyle G = { frac { left [ Gamma left ({ tfrac {1} {4}} right) right] ^ {2}} {2 { sqrt {2 pi ^ {3 }}}}}}$

и с тех пор π и Γ (1/4) находятся алгебраически независимый, Постоянная Гаусса равна трансцендентный.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать в определении констант лемнискаты, первая из которых:

${ displaystyle L_ {1} = pi G}$

и вторая константа:

${ displaystyle L_ {2} = { frac {1} {2G}}}$

которые возникают при нахождении длина дуги из лемниската. Обе константы оказались трансцендентными.^[2]

Другие формулы

Формула для грамм с точки зрения Тета-функции Якоби дан кем-то

${ Displaystyle G = vartheta _ {01} ^ {2} left (e ^ {- pi} right)}$

а также быстро сходящийся ряд

${ displaystyle G = { sqrt [{4}] {32}} e ^ {- { frac { pi} {3}}} left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty } (- 1) ^ {n} e ^ {- 2n pi (3n + 1)} right) ^ {2}.}$

Константа также задается бесконечный продукт

${ displaystyle G = prod _ {m = 1} ^ { infty} tanh ^ {2} left ({ frac { pi m} {2}} right).}$

Он появляется при оценке интегралов

${ displaystyle { frac {1} {G}} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { sqrt { sin (x)}} , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { sqrt { cos (x)}} , dx}$

${ displaystyle G = int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} { sqrt { cosh ( pi x)}}}}$

Постоянная Гаусса как непрерывная дробь равно [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (последовательность A053002 в OEIS )

Смотрите также

• Лемнискатическая эллиптическая функция

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Гаусса». MathWorld.
• Последовательности A014549 и A053002 в OEIS