Гауссовская гравитационная постоянная - Gaussian gravitational constant

Карл Фридрих Гаусс представил миру свою константу в 1809 г. Теория Мотус.

Пиацци открытие Церера, описанный в его книге Della scoperta del nuovo pianeta Cerere Ferdinandea, продемонстрировала полезность гауссовой гравитационной постоянной для прогнозирования положения объектов в Солнечной системе.

В Гауссовская гравитационная постоянная (символ k) - параметр, используемый в орбитальная механика из Солнечная система.Это связывает орбитальный период с орбитальным большая полуось и масса орбитального тела в Солнечные массы.

Значение k исторически выражает среднее угловая скорость системы Земля + Луна и Солнце рассматривается как проблема двух тел, со значением около 0,986 градусы на день, или около 0,0172 радианы в сутки. Закон всемирного тяготения Ньютона и Третий закон Кеплера, k прямо пропорциональна квадратному корню из стандартный гравитационный параметр из солнце, а его значение в радианах в сутки следует путем установки большой полуоси Земли ( астрономическая единица, а.е.) к единице, k: (рад / д) = (граммM_☉)^0.5· Au^−1.5.

Ценность k = 0.01720209895 рад / день определялось Карл Фридрих Гаусс в его работе 1809 года Theoria Motus Corporum Coelestium в Sectionibus Conicis Solem Ambientum («Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях»).^[1]Значение Гаусса было введено как фиксированное, определенное значение IAU (принята в 1938 г., официально определена в 1964 г.), что отделило его от непосредственного представления (наблюдаемой) средней угловой скорости системы Солнце-Земля. Вместо этого астрономическая единица теперь стало измеряемой величиной, немного отличной от единицы. Это было полезно в небесной механике 20-го века для предотвращения постоянной адаптации параметров орбиты к обновленным измеренным значениям, но это произошло за счет интуитивности, поскольку астрономическая единица, якобы единица измерения длина, теперь зависела от измерения силы сила гравитации.

IAU отказался от установленного значения k в 2012 году в пользу определенного значения астрономической единицы 1.495978707×10¹¹ м точно, в то время как сила гравитационной силы теперь должна быть выражена в отдельных стандартный гравитационный параметр граммM_☉, измеряется в Единицы СИ м³⋅s⁻².^[2]

Обсуждение

Постоянная Гаусса получается из применения Третий закон Кеплера системе Земля + Луна и Солнце, рассматриваемой как проблема двух тел, относящиеся к периоду революции (п) к большой полуоси орбиты (а) и полной массой орбитальных тел (MЕго числовое значение было получено путем установки большой полуоси и массы Солнца на единицу и измерения периода в средних солнечных днях:

k = 2π / (п √а √M ) ≈ 0,0172021 [рад], где:

п ≈ 365,256 [дней], M = (M_☉+M_⊕+M_☾) ≈ 1.00000304 [M_☉], и а = 1 по определению.

Значение представляет собой среднее угловое движение системы Земля-Солнце, в радианы на день, что эквивалентно значению чуть ниже одна степень (деление круга на 360 градусов в Вавилонская астрономия вероятно, предполагалось как приблизительное количество дней в солнечном году^[3]). Поправка за счет деления на корень квадратный из M отражает тот факт, что система Земля-Луна вращается не вокруг самого Солнца, а центр массы системы.

Исаак Ньютон сам определил значение этой константы, которое согласовывалось со значением Гаусса с точностью до шести значащих цифр.^[4]Гаусс (1809) дал значение с девятью значащими цифрами, как 3548.18761 угловые секунды.

Поскольку все задействованные параметры, орбитальный период, Земля-Солнце соотношение масс, то большая полуось и длина средний солнечный день, подлежат все более точным измерениям, точное значение константы со временем придется пересматривать. Но поскольку константа участвует в определении орбитальных параметров всех других тел Солнечной системы, было обнаружено, что удобнее установить ее на фиксированное значение, по определению, подразумевая, что значение а будет отклоняться от единицы. k = 0,01720209895 [рад] было принято значение, установленное Гауссом (преобразовано из градусов в радиан ), так что а = 4π²:(k² п² M) ≈ 1.^[5]

Таким образом, значение константы Гаусса 1809 года использовалось в качестве авторитетного справочного значения для орбитальная механика из Солнечная система в течение двух столетий. С момента его появления до 1938 года он считался измеряемой величиной, а с 1938 по 2012 год он использовался как определенная величина, при этом неопределенность измерения делегировалась величине астрономическая единица. Определенное значение k был оставлен IAU в 2012 г. и использование k устарел, чтобы быть замененным фиксированным значением астрономической единицы, а (измеренное) количество стандартный гравитационный параметр граммM_☉.

Роль как определяющая константа динамики Солнечной системы

Сам Гаусс констатировал константу в угловые секунды, с девятью значащими цифрами, как k = 3548″.18761В конце 19 века это значение было принято и преобразовано в радиан, к Саймон Ньюкомб, так как k = 0.01720209895.^[6] и в этой форме константа появляется в его Таблицы Солнца, опубликовано в 1898 году.^[7]

Работа Ньюкомба была широко признана лучшей на тот момент.^[8] и его значения констант были включены в большое количество астрономических исследований. Из-за этого стало трудно отделить константы от исследования; новые значения констант сделали бы, по крайней мере частично, недействительным большой объем работы. Следовательно, после образования Международный астрономический союз в 1919 году некоторые константы стали постепенно восприниматься как «фундаментальные»: определяющие константы, из которых были получены все остальные. В 1938 году VI Генеральная ассамблея IAU объявил,

В качестве постоянной Гаусса примем значение

k = 0.017202098950000

единицей времени являются средние солнечные сутки 1900,0^[9]

Однако никаких дальнейших попыток установить набор констант не предпринималось до 1950 года.^[10] Симпозиум МАС по системе констант был проведен в Париже в 1963 году, частично в ответ на недавние события в освоении космоса.^[6] Тогда участники наконец решили установить согласованный набор констант. В Резолюции 1 говорилось, что

Новая система должна определяться неизбыточным набором фундаментальных констант и явными отношениями между ними и константами, производными от них.

Рекомендуемое разрешение 4

что рабочая группа должна рассматривать следующие величины как фундаментальные константы (в смысле Резолюции № 1).

В список фундаментальных констант был включен

Гауссовская постоянная гравитации, определенная VI Генеральной ассамблеей I.A.U. в 1938 г., имея значение 0,017202098950000.^[6]

Эти резолюции были приняты рабочей группой МАС, которая в своем отчете рекомендовала две определяющие константы, одна из которых была

Гауссова гравитационная постоянная, определяющая а.е. k = 0.01720209895^[6]

Впервые официально признана роль постоянной Гаусса в масштабе Солнечной системы. Рекомендации рабочей группы были приняты на XII Генеральной ассамблее МАС в Гамбурге, Германия, в 1964 году.^[11]

Определение астрономической единицы

Гаусс намеревался определить свою постоянную с использованием среднего расстояния^{[примечание 1]} Земли от Солнца 1 астрономическая единица именно так.^[6] С принятием резолюций 1964 года МАС, по сути, сделал противоположное: определил константу как фундаментальную, а астрономическую единицу как производную, при этом другие переменные в определении уже были зафиксированы: масса (Солнца) и время. (день 86400 секунд). Это перенесло неопределенность гравитационной постоянной в неопределенность большой полуоси системы Земля-Солнце, которая больше не равнялась точно одной а.е. (а.е. определяется как зависящая от значения гравитационной постоянной). таким образом, она стала измеряемой величиной, а не определенной, фиксированной.^[12]

В 1976 году МАС подтвердил статус гауссовой постоянной на XVI Генеральной ассамблее в Гренобле.^[13] объявив его определяющей константой, и что

Астрономическая единица длины - это длина (А), для которого гауссова гравитационная постоянная (k) принимает значение 0.01720209895 когда единицы измерения - астрономические единицы длины, массы и времени. Размеры k² принадлежат постоянной гравитации (грамм), т.е. L³M⁻¹Т⁻². Термин «единичное расстояние» также используется для обозначения длины (А).

Исходя из этого определения, среднее расстояние Земли от Солнца составляет 1.00000003 au, но с возмущениями со стороны других планет, которые не сходятся во времени до нуля, среднее расстояние составляет 1.0000002 au.^[6]

Отказ

В 2012 году МАС, как часть нового согласованного набора единиц и числовых стандартов для использования в современной динамической астрономии, пересмотрел определение астрономическая единица в качестве^[14]

условная единица длины, равная 149597870700 м точно, ...... учитывая, что точность современных измерений дальности делает ненужным использование отношения расстояний

и поэтому отказались от гауссовой постоянной как косвенного определения масштаба в Солнечной системе, рекомендуя

что гравитационная постоянная Гаусса k исключить из системы астрономических констант.

Значение k на основе определенного значения для астрономической единицы теперь будет зависеть от неопределенности измерения стандартный гравитационный параметр,${ displaystyle k = { sqrt {GM _ { odot}}} cdot { text {au}} ^ {- 1.5} cdot { text {d}} = {1.32712440018 (9)} ^ {0.5} cdot 1.495978707 ^ {- 1.5} cdot 8.64 cdot 10 ^ {- 2.5} = 0.0172020989484 (6).}$

Единицы и размеры

k дается в виде безразмерной доли порядка 1,7%, но ее можно считать эквивалентной квадратному корню из гравитационная постоянная,^[15] в этом случае он имеет единицы au^​3⁄₂⋅d⁻¹⋅M_☉^{−​1⁄₂},^[6] куда

au это расстояние для которого k принимает значение, определенное Гауссом - расстояние до невозмутимый круговая орбита гипотетического безмассового тела, орбитальный период является 2π/k дни,^[12]

d - это средний солнечный день (86400 секунд),

M_☉ это масса из солнце.

Следовательно размеры из k находятся^[16]

длина^​3⁄₂ время⁻¹ масса^{−​1⁄₂} или же L^​3⁄₂ Т⁻¹ M^{−​1⁄₂}.

Несмотря на это k известен с гораздо большей точностью, чем грамм (или квадратный корень из граммАбсолютное значение грамм известно с точностью около 10⁻⁴, но продукт граммM_☉ (гравитационный параметр Солнца) известен с точностью лучше 10⁻¹⁰.

Вывод

Оригинал Гаусса

Гаусс начинает свой Теория Мотус представив без доказательства несколько законов, касающихся движения тел вокруг Солнца.^[1] Позже в тексте он упоминает, что Пьер-Симон Лаплас подробно рассматривает их в своем Mécanique Céleste.^[17] Последние два закона Гаусса следующие:

• В площадь протянутой линией, соединяющей тело и солнце деленное на время, за которое он проходит, дает постоянную частное. Это Кеплер с второй закон движения планет.
• В квадрат этого частного пропорционально параметру (то есть прямая кишка ) из орбита и сумма из масса Солнца и тела. Это модифицированная форма Третий закон Кеплера.

Далее он определяет:

• 2п как параметр (т.е. прямая кишка ) орбиты тела,
• μ как масса тела, где масса Солнца = 1,
• 1/2грамм как область, охваченная линией, соединяющей Солнце и тело,
• т как время подметания этой области,

и заявляет, что

${ displaystyle { frac {g} {т { sqrt {p}} { sqrt {1+ mu}}}}}$

"постоянна для всех небесных тел". Он продолжает: «Неважно, какое тело мы используем для определения этого числа», и поэтому использует Землю, определяя

• единичное расстояние = среднее расстояние от Земли (то есть большая полуось ) от солнца,
• единица времени = одна солнечная день.

Он заявляет, что область, которую Земля выметает на своей орбите, «очевидно будет» π√п, и использует это, чтобы упростить свою константу до

${ displaystyle { frac {2 pi} {t { sqrt {1+ mu}}}}.}$

Здесь он называет константу k и подключение некоторых измеренных значений, т = 365.2563835 дни, μ = 1/354710 солнечные массы, достигает результата k = 0.01720209895.

В современных условиях

Гаусс печально известен тем, что упускает детали, и этот вывод не является исключением. Здесь он повторяется в современной терминологии, уточняя некоторые детали.

Определить без доказательства

${ displaystyle h = 2 { frac {dA} {dt}},}$

куда^[18]

• dA/dt скорость развертки площадь телом в его орбита, константа согласно Кеплер с второй закон, и
• час это удельный угловой момент, одна из констант движение двух тел.

Затем определите

${ displaystyle h ^ {2} = mu p,}$

куда^[19]

• μ = грамм(M + м), а гравитационный параметр,^{[заметка 2]} куда
  • грамм является Ньютона гравитационная постоянная,
  • M это масса первичного тела (т.е. солнце ),
  • м масса вторичного тела (т. е. планета ), и
• п - полупараметр ( полу-латусная прямая кишка ) орбиты тела.

Обратите внимание, что каждая переменная в приведенных выше уравнениях является константой для движения двух тел. Объединяя эти два определения,

${ displaystyle left (2 { frac {dA} {dt}} right) ^ {2} = G (M + m) p,}$

это то, что Гаусс описывал в последнем из своих законов. Принимая квадратный корень,

${ displaystyle 2 { frac {dA} {dt}} = { sqrt {G}} { sqrt {M + m}} { sqrt {p}},}$

и решение для √грамм,

${ displaystyle { sqrt {G}} = { frac {2dA} {dt { sqrt {M + m}} { sqrt {p}}}}.}$

На этом этапе определите k ≡ √грамм.^[2] Позволять dA быть всей областью, охватываемой телом по орбите, следовательно dA = πab, площадь эллипс, куда а это большая полуось и б это малая полуось. Позволять dt = п, время, за которое тело совершит один оборот. Таким образом,

${ displaystyle k = { frac {2 pi ab} {P { sqrt {M + m}} { sqrt {p}}}}.}.$

Здесь Гаусс решает использовать Землю для решения k. Из геометрии эллипс, п = б²/а.^[20] Установив большую полуось Земли, а = 1, п сводится к б² и √п = б. Подставив, площадь эллипса "очевидно" π√п, скорее, чем πab. Помещая это в числитель уравнения для k и сокращение,

${ displaystyle k = { frac {2 pi} {P { sqrt {M + m}}}}.}$

Обратите внимание, что Гаусс, нормализовав размер орбиты, полностью исключил ее из уравнения. Далее нормализуя, установите массу Солнца равной 1,

${ Displaystyle к = { гидроразрыва {2 pi} {P { sqrt {1 + m}}}},}$

где сейчас м в солнечные массы. Осталось две величины: п, то период орбиты Земли или звездный год величина, известная точным измерением на протяжении веков, и м, масса системы Земля – Луна. Снова вставляя измеренные значения, как они были известны во времена Гаусса, п = 365.2563835 дни, м = 1/354710 солнечные массы,^{[требуется разъяснение ]} дающий результат k = 0.01720209895.

Постоянная Гаусса и третий закон Кеплера

Постоянная Гаусса тесно связана с Третий закон движения планет Кеплера, и одно легко получается из другого. Начиная с полного определения постоянной Гаусса,

${ displaystyle k = { frac {2 pi ab} {P { sqrt {M + m}} { sqrt {p}}}},}$

куда

• а это большая полуось из эллиптическая орбита,
• б это малая полуось эллиптической орбиты,
• п это орбитальный период,
• M это масса основного тела,
• м масса вторичного тела, а
• п это полу-латусная прямая кишка эллиптической орбиты.

Из геометрии эллипс, полу-латусная прямая кишка, п можно выразить через а и б таким образом: п = б²/а.^[20] Следовательно,

${ displaystyle { sqrt {p}} = { frac {b} { sqrt {a}}}.}$

Подставляя и уменьшая, постоянная Гаусса принимает вид

${ displaystyle k = { frac {2 pi} {P}} { sqrt { frac {a ^ {3}} {M + m}}}.}.$

Из орбитальная механика, 2π/п просто п, то среднее движение тела на своей орбите.^[18] Следовательно,

${ displaystyle { begin {align} k & = n { sqrt { frac {a ^ {3}} {M + m}}}, [8pt] k ^ {2} & = { frac {n ^ {2} a ^ {3}} {M + m}}, [8pt] k ^ {2} (M + m) & = n ^ {2} a ^ {3}, end {выровнено} }}$

что является определением третьего закона Кеплера.^[19][21] В этой форме часто встречается с грамм, то Ньютоновская гравитационная постоянная на месте k².

Параметр а = 1, M = 1, м ≪ M, и п в радианы на день приводит к k ≈ п, также в радианах в день, о которых см. соответствующий раздел среднее движение статья.

Другие определения

Значение постоянной Гаусса в том виде, в каком он получено, использовалось со времен Гаусса, поскольку, как описано выше, считалось фундаментальной постоянной. В солнечная масса, средний солнечный день и звездный год Все значения, которыми Гаусс определил свою константу, медленно меняются. Если современные^{[требуется разъяснение ]} значения были вставлены в определяющее уравнение, значение 0.01720209789 в результате.^{[сомнительный – обсуждать][22]}

Также можно установить гравитационную постоянную, массу Солнца и астрономическую единицу равными 1. Это определяет единицу времени, с которой период результирующей орбиты равен 2π. Их часто называют канонические единицы.^[22]

Смотрите также

• Гравитационная постоянная
• Законы движения планет Кеплера
• Среднее движение

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Брамфил, Джефф (14 сентября 2012 г.). «Астрономическая единица фиксирована: расстояние от Земли до Солнца меняется от скользкого уравнения до единственного числа». Природа. Дои:10.1038 / природа.2012.11416. Получено 14 сентября 2012.
• Сирс, Фредерик Х. (февраль 1899 г.). «Константа притяжения». Публикации Тихоокеанского астрономического общества. 11 (66). Bibcode:1899PASP ... 11 ... 22S. Дои:10.1086/121298.

внешняя ссылка

• Глоссарий Гауссовская гравитационная постоянная на Военно-морская обсерватория США с Астрономический альманах онлайн
• Гауссова гравитационная постоянная, Wolfram ScienceWorld