Квадратичное иррациональное число - Quadratic irrational number

В математика, а квадратичное иррациональное число (также известный как квадратичный иррациональный, а квадратичная иррациональность или же квадратичный сурд) является иррациональный номер это решение некоторых квадратное уровненеие с рациональный коэффициенты, которые несводимый над рациональное число.^[1] Поскольку дроби в коэффициентах квадратного уравнения можно очистить, умножив обе части на их общий знаменатель, квадратичный иррациональный - это иррациональный корень некоторого квадратного уравнения, коэффициенты которого равны целые числа. Квадратичные иррациональные числа a подмножество из сложные числа, находятся алгебраические числа из степень 2, и поэтому может быть выражена как

${ displaystyle {a + b { sqrt {c}} over d},}$

за целые числа а, б, c, d; с б, c и d ненулевой, и с c без квадратов. Когда c положительно, получаем действительные квадратичные иррациональные числа, а отрицательный c дает комплексные квадратичные иррациональные числа которые не действительные числа. Это определяет инъекция от квадратичных иррациональных чисел к четверкам целых чисел, поэтому их мощность самое большее счетный; поскольку, с другой стороны, каждый квадратный корень из простое число является отдельным квадратичным иррациональным, а простых чисел счетно много, они по крайней мере счетны; следовательно, квадратичные иррациональные числа являются счетными набор.

Квадратичные иррациональные числа используются в теория поля строить расширения полей из поле рациональных чисел ℚ. Учитывая бесквадратное целое число c, увеличение ℚ квадратичными иррациональными числами, используя √c производит квадратичное поле ℚ (√c). Например, обратное элементов ℚ (√c) имеют ту же форму, что и приведенные выше алгебраические числа:

${ displaystyle {d over a + b { sqrt {c}}} = {ad-bd { sqrt {c}} over a ^ {2} -b ^ {2} c}.}$

Квадратичные иррациональные числа обладают полезными свойствами, особенно в отношении непрерывные дроби, где имеем результат все действительные квадратичные иррациональные числа, и Только действительные квадратичные иррациональные числа, имеют периодическая цепная дробь формы. Например

${ Displaystyle { sqrt {3}} = 1,732 ldots = [1; 1,2,1,2,1,2, ldots]}$

Периодические цепные дроби можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рациональными числами. Соответствие явно предоставляется Функция вопросительного знака Минковского, и в этой статье дается явная конструкция. Это полностью аналогично соответствию между рациональными числами и строками двоичных цифр, которые имеют повторяющийся в конечном итоге хвост, что также обеспечивается функцией вопросительного знака. Такие повторяющиеся последовательности соответствуют периодические орбиты из диадическая трансформация (для двоичных цифр) и Карта Гаусса ${ Displaystyle ч (х) = 1 / х- lfloor 1 / x rfloor}$ для непрерывных дробей.

Действительные квадратичные иррациональные числа и неопределенные двоичные квадратичные формы

Мы можем переписать квадратичную иррациональность следующим образом:

${ displaystyle { frac {a + b { sqrt {c}}} {d}} = { frac {a + { sqrt {b ^ {2} c}}} {d}}.}$

Отсюда следует, что любое квадратичное иррациональное число можно записать в виде

${ displaystyle { frac {a + { sqrt {c}}} {d}}.}$

Это выражение не уникально.

Исправьте неквадратное положительное целое число ${ displaystyle c}$ конгруэнтный к ${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle 1}$ по модулю ${ displaystyle 4}$, и определим набор ${ displaystyle S_ {c}}$ в качестве

${ displaystyle S_ {c} = left {, { frac {a + { sqrt {c}}} {d}} двоеточие a, d { text {целые числа,}} d { text {даже }}, , , a ^ {2} Equiv c { pmod {2d}} , right }.}$

Каждая квадратичная иррациональность находится в некотором множестве ${ displaystyle S_ {c}}$, поскольку условия сравнения могут быть выполнены путем масштабирования числителя и знаменателя соответствующим коэффициентом.

А матрица

${ displaystyle { begin {pmatrix} alpha & beta gamma & delta end {pmatrix}}}$

с целочисленными записями и ${ Displaystyle альфа дельта - бета гамма = 1}$ может использоваться для преобразования числа ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle S_ {c}}$. Преобразованное число

${ Displaystyle г = { гидроразрыва { альфа у + бета} { гамма у + дельта}}}$

Если ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle S_ {c}}$, тогда ${ displaystyle z}$ это слишком.

Связь между ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle z}$ выше это отношение эквивалентности. (Это следует, например, потому, что приведенное выше преобразование дает групповое действие из группа целочисленных матриц с детерминант 1 на съемочной площадке ${ displaystyle S_ {c}}$.) Таким образом, ${ displaystyle S_ {c}}$ разделы на классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности представляет собой набор квадратичных иррациональностей, каждая пара которых эквивалентна действием некоторой матрицы. Теорема Серре означает, что регулярные разложения эквивалентных квадратичных иррациональностей в непрерывную дробь в конечном итоге совпадают, то есть их последовательности частных частных имеют один и тот же хвост. Таким образом, все числа в классе эквивалентности имеют разложения в непрерывную дробь, которые в конечном итоге являются периодическими с одним и тем же хвостом.

Классов эквивалентности квадратичных иррациональностей в ${ displaystyle S_ {c}}$. Стандартное доказательство этого включает рассмотрение карты ${ displaystyle phi}$ из бинарные квадратичные формы дискриминанта ${ displaystyle c}$ к ${ displaystyle S_ {c}}$ данный

${ displaystyle phi (tx ^ {2} + uxy + vy ^ {2}) = { frac {-u + { sqrt {c}}} {2t}}}$

Расчет показывает, что ${ displaystyle phi}$ это биекция который учитывает действие матрицы на каждом наборе. Классы эквивалентности квадратичных иррациональностей тогда находятся в биекции с классами эквивалентности бинарных квадратичных форм, и Лагранж показал, что существует конечное число классов эквивалентности бинарных квадратичных форм данного дискриминанта.

Через биекцию ${ displaystyle phi}$, расширяя число в ${ displaystyle S_ {c}}$ в непрерывной дроби соответствует приведению квадратичной формы. Окончательно периодическая природа непрерывной дроби затем отражается в конечном итоге периодической природе орбиты квадратичной формы при редукции с уменьшенными квадратичными иррациональностями (те, с чисто периодической цепной дробью), соответствующими приведенным квадратичным формам.

Квадратный корень из неквадрата иррационально

Определение квадратичных иррациональных чисел требует, чтобы они удовлетворяли двум условиям: они должны удовлетворять квадратному уравнению и они должны быть иррациональными. Решения квадратного уравнения топор² + bx + c = 0 являются

${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Таким образом, квадратичные иррациональные числа - это именно те действительные числа в этой форме, которые не являются рациональными. С б и 2а оба являются целыми числами, спрашивать, когда указанное выше количество иррационально, то же самое, что спрашивать, когда квадратный корень из целого числа иррационален. Ответ на этот вопрос заключается в том, что квадратный корень из любого натуральное число это не квадратный номер иррационально.

В квадратный корень из 2 было первым такое число, которое было доказано иррациональным. Феодор из Кирены доказал иррациональность квадратных корней из неквадратных натуральных чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому что алгебра, которую он использовал, не могла быть применена к квадратному корню из чисел больше 17. Книга 10 Евклида «Элементы» посвящена классификации чисел. иррациональные величины. Первоначальное доказательство иррациональности неквадратных натуральных чисел зависит от Лемма евклида.

Многие доказательства иррациональности квадратных корней из неквадратных натуральных чисел неявно предполагают, что основная теорема арифметики, что впервые было доказано Карл Фридрих Гаусс в его Disquisitiones Arithmeticae. Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальную факторизацию на простые числа. Для любого рационального нецелого числа в младших членах в знаменателе должен быть штрих, который не делится на числитель. Когда числитель возведен в квадрат, это простое число все равно не разделится на него из-за уникальной факторизации. Следовательно, квадрат рационального нецелого числа всегда является нецелым числом; к контрапозитивный, квадратный корень из целого числа всегда либо другое целое число, либо иррационально.

Евклид использовал ограниченную версию основной теоремы и некоторые тщательные аргументы для доказательства теоремы. Его доказательство находится в Элементы Евклида Книга X Предложение 9.^[2]

Однако фундаментальная теорема арифметики на самом деле не требуется для доказательства результата. Есть автономные доказательства Ричард Дедекинд,^[3] среди прочего. Следующее доказательство было адаптировано Колином Ричардом Хьюзом из доказательства иррациональности квадратного корня из 2, найденного Теодор Эстерманн в 1975 г.^[4][5]

Предполагать D является неквадратным натуральным числом, тогда существует число п такой, что:

п² < D < (п + 1)²,

так, в частности

0 < √D − п < 1.

Предположим, что квадратный корень из D это рациональное число п/q, предположим q вот наименьшее, для которого это верно, следовательно, наименьшее число, для которого q√D также является целым числом. Потом:

(√D − п)q√D = qD − nq√D

также является целым числом. Но 0 <(√D − п) <1 так что (√D − п)q < q. Следовательно (√D − п)q целое число меньше, чем q. Получили противоречие, поскольку q был определен как наименьшее число с этим свойством; следовательно √D не может быть рациональным.

Смотрите также

• Поле алгебраических чисел
• Апотом (математика)
• Периодическая непрерывная дробь
• Ограниченные частичные частные
• Квадратичное целое число

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичное иррациональное число». MathWorld.
• Калькулятор непрерывных дробей для квадратичных иррациональных чисел
• Доказательство того, что e не является квадратичным иррациональным