Лемма Евклида - Википедия - Euclids lemma

В теория чисел, Лемма евклида это лемма который отражает фундаментальное свойство простые числа, а именно:^{[примечание 1]}

Лемма евклида — Если прайм $п$ делит продукт $ab$ двух целых чисел $а$ и $б$ , тогда $п$ должен делить хотя бы одно из этих целых чисел $а$ и $б$ .

Например, если $п = 19$ , $а = 133$ , $б = 143$ , тогда $ab = 133 \times 143 = 19019$ , и поскольку это делится на 19, из леммы следует, что один или оба из 133 или 143 также должны быть. Фактически, $133 = 19 \times 7$ .

По сути, если посылка леммы не выполняется, т. Е. $п$ это составное число, его следствие может быть истинным или ложным. Например, в случае $п = 10$ , $а = 4$ , $б = 15$ , составное число 10 делит $ab = 4 \times 15 = 60$ , но 10 не делит ни 4, ни 15.

Это свойство является ключевым в доказательстве основная теорема арифметики.^{[заметка 2]} Он используется для определения основные элементы, обобщение простых чисел на произвольные коммутативные кольца. Лемма Евклида показывает, что в целых числах неприводимые элементы также простые элементы. Доказательство использует индукция так что это не относится ко всем целостные области.

Составы

Позволять ${ displaystyle p}$ быть простое число, и предположим ${ displaystyle p}$ делит произведение двух целых чисел ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ . (В символах это написано ${ displaystyle p mid ab}$ . Его отрицание, ${ displaystyle p}$ не разделяет ${ displaystyle ab}$ написано ${ displaystyle p nmid ab}$ .) Потом ${ displaystyle p mid a}$ или же ${ displaystyle p mid b}$ (или оба). Эквивалент заявления:

Если ${ displaystyle p nmid a}$ и ${ displaystyle p nmid b}$ , тогда ${ displaystyle p nmid ab}$ .
Если ${ displaystyle p nmid a}$ и ${ displaystyle p mid ab}$ , тогда ${ displaystyle p mid b}$ .

Лемму Евклида можно обобщить с простых чисел на любые целые:

Теорема — Если ${ displaystyle n mid ab}$ , и ${ displaystyle n}$ является относительно простой к ${ displaystyle a}$ , тогда ${ displaystyle n mid b}$ .

Это обобщение, потому что если ${ displaystyle n}$ простое, либо

${ displaystyle n mid a}$ или же
${ displaystyle n}$ относительно проста с ${ displaystyle a}$ . В этой второй возможности ${ displaystyle n nmid a}$ так ${ displaystyle n mid b}$ .

История

Лемма впервые появляется как предложение 30 в книге VII книги. Евклид с Элементы. Он включен практически во все книги, посвященные элементарной теории чисел.^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

Обобщение леммы на целые числа появилось в Жан Престе учебник Nouveaux Elémens de Mathématiques в 1681 г.^[9]

В Карл Фридрих Гаусс трактат Disquisitiones Arithmeticae, утверждение леммы - это предложение Евклида 14 (раздел 2), которое он использует для доказательства единственности произведения разложения простых множителей целого числа (теорема 16), признавая существование «очевидным». Затем из этого существования и уникальности он выводит обобщение простых чисел на целые.^[10] По этой причине обобщение леммы Евклида иногда называют леммой Гаусса, но некоторые считают, что это использование неверно.^[11] из-за путаницы с Лемма Гаусса о квадратичных вычетах.

Доказательство

Доказательство с использованием леммы Безу.

Обычное доказательство включает другую лемму, называемую Личность Безу.^[12] Это гласит, что если $Икс$ и $у$ находятся относительно простые целые числа (т.е. у них нет общих делителей, кроме 1 и -1) существуют целые числа $р$ и $s$ такой, что

{ displaystyle rx + sy = 1.}

Позволять $а$ и $п$ быть относительно простым, и предположим, что $п | ab$ . По личности Безу, есть $р$ и $s$ изготовление

{ displaystyle rn + sa = 1.}

Умножьте обе стороны на $б$ :

{ displaystyle rnb + sab = b.}

Первый член слева делится на $п$ , а второй член делится на $ab$ , который по условию делится на $п$ . Следовательно, их сумма, $б$ , также делится на $п$ . Это обобщение упомянутой выше леммы Евклида.

Доказательство элементов

Лемма Евклида доказана в предложении 30 книги VII книги. Евклида Элементы. Исходное доказательство сложно понять как оно есть, поэтому мы цитируем комментарий из Евклид (1956, стр. 319-332).

Предложение 19.: Если четыре числа пропорциональны, число, полученное из первого и четвертого, равно числу, полученному из второго и третьего; и, если число, полученное из первого и четвертого, равно числу, полученному из второго и третьего, четыре числа пропорциональны.^{[заметка 3]}
Предложение 20.: Наименьшее количество тех, у кого такое же соотношение с ними, измеряет тех, у кого такое же соотношение, одинаковое количество раз - чем больше, тем больше и меньше, тем меньше.^{[примечание 4]}
Предложение 21.: Простые числа по отношению друг к другу - наименьшее из тех, которые имеют с ними одинаковое отношение.^{[примечание 5]}
Предложение 29.: Любое простое число является простым с любым числом, которое оно не измеряет.^{[примечание 6]}
Предложение 30.: Если два числа, умножая друг друга, дают одно и то же число, и любое простое число измеряет произведение, оно также измеряет одно из исходных чисел.^{[примечание 7]}
Доказательство 30: Если c, простое число, мера ab, c меры либо а или же б.
Предполагать c не измеряет а.
Следовательно c, а важны друг для друга. ［VII. 29 ］
Предполагать ab＝MC.
Следовательно c : а ＝ б : м. ［VII. 19 ］
Следовательно [VII. 20, 21 ］ б＝NC, куда п - некоторое целое число.
Следовательно c меры б.
Аналогично, если c не измеряет б, c меры а.
Следовательно c измеряет одно из двух чисел а, б.
Q.E.D.^[18]

Смотрите также

Сноски

Примечания

^ Его еще называют Первая теорема Евклида^[1]^[2] хотя это имя более точно принадлежит боковой угол-сторона условие для демонстрации этого треугольники находятся конгруэнтный.^[3]
^ В общем, чтобы показать, что домен это уникальная область факторизации, достаточно доказать лемму Евклида и условие возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP)
^ Если а ： б＝c ： d, тогда объявление＝до н.э; и наоборот.^[13]
^ Если а ： б＝c ： d, и а, б - наименьшие числа среди тех, у которых такое же соотношение, то c＝на, d＝nb, куда п - некоторое целое число.^[14]
^ Если а ： б＝c ： d, и а, б взаимно взаимовыгодны, тогда а, б - наименьшие числа среди тех, у которых такое же соотношение.^[15]
^ Если а простое и не измеряет б, тогда а, б важны друг для друга.^[16]
^ Если c, простое число, мера ab, c меры либо а или же б.^[17]

Цитаты

^ Байнок 2013, Теорема 14.5
^ Джойнер, Кременски и Туриско 2004, Предложение 1.5.8, с. 25
^ Мартин 2012, п. 125
^ Гаусс 2001, п. 14
^ Харди, Райт и Уайлс, 2008 г., Теорема 3
^ Ирландия и Розен 2010, Предложение 1.1.1
^ Ландау и Гудман 1999, Теорема 15
^ Ризель 1994, Теорема A2.1
^ Евклид 1994, стр. 338–339
^ Гаусс 2001, Статья 19
^ Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Евклида». MathWorld.
^ Харди, Райт и Уайлс, 2008 г., §2.10
^ Евклид 1956, п. 319
^ Евклид 1956, п. 321
^ Евклид 1956, п. 323
^ Евклид 1956, п. 331
^ Евклид 1956, п. 332
^ Евклид 1956, стр. 331−332

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Евклида». MathWorld.

[4] Его еще называют Первая теорема Евклида^[1]^[2] хотя это имя более точно принадлежит боковой угол-сторона условие для демонстрации этого треугольники находятся конгруэнтный.^[3]

[5] В общем, чтобы показать, что домен это уникальная область факторизации, достаточно доказать лемму Евклида и условие возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP)

[16] Если а ： б＝c ： d, тогда объявление＝до н.э; и наоборот.^[13]

[18] Если а ： б＝c ： d, и а, б - наименьшие числа среди тех, у которых такое же соотношение, то c＝на, d＝nb, куда п - некоторое целое число.^[14]

[20] Если а ： б＝c ： d, и а, б взаимно взаимовыгодны, тогда а, б - наименьшие числа среди тех, у которых такое же соотношение.^[15]

[22] Если а простое и не измеряет б, тогда а, б важны друг для друга.^[16]

[24] Если c, простое число, мера ab, c меры либо а или же б.^[17]

[1] Байнок 2013, Теорема 14.5

[2] Джойнер, Кременски и Туриско 2004, Предложение 1.5.8, с. 25

[3] Мартин 2012, п. 125

[DA1-6] Гаусс 2001, п. 14

[7] Харди, Райт и Уайлс, 2008 г., Теорема 3

[8] Ирландия и Розен 2010, Предложение 1.1.1

[9] Ландау и Гудман 1999, Теорема 15

[10] Ризель 1994, Теорема A2.1

[11] Евклид 1994, стр. 338–339

[DA2-12] Гаусс 2001, Статья 19

[13] Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Евклида». MathWorld.

[14] Харди, Райт и Уайлс, 2008 г., §2.10

[15] Евклид 1956, п. 319

[17] Евклид 1956, п. 321

[19] Евклид 1956, п. 323

[21] Евклид 1956, п. 331

[23] Евклид 1956, п. 332

[25] Евклид 1956, стр. 331−332

[примечание 1]

[заметка 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[заметка 3]

[примечание 4]

[примечание 5]

[примечание 6]

[примечание 7]

[18]

[1]

[2]

[3]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]