Уникальный домен факторизации - Unique factorization domain

В математика, а уникальная область факторизации (УрФО) (также иногда называют факториальное кольцо следуя терминологии Бурбаки ) это кольцо в котором утверждение, аналогичное основная теорема арифметики держит. В частности, УФО - это область целостности (а нетривиальный коммутативное кольцо в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю), в котором каждый ненулевой ненулевойединица измерения элемент можно записать как произведение основные элементы (или неприводимые элементы ), однозначно до заказа и единиц.

Важными примерами UFD являются целые числа и кольца многочленов в одной или нескольких переменных с коэффициентами, взятыми из целых чисел или из поле.

Уникальные домены факторизации появляются в следующей цепочке классные включения:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ целостные области ⊃ целозамкнутые области ⊃ GCD домены ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Формально уникальная область факторизации определяется как область целостности р в котором каждый ненулевой элемент Икс из р можно записать как произведение ( пустой продукт если Икс единица) неприводимые элементы п_я из р и единица измерения ты:

Икс = ты п₁ п₂ ⋅⋅⋅ п_п с участием п ≥ 0

и это представление уникально в следующем смысле: если q₁, ..., q_м являются неприводимыми элементами р и ш единица такая, что

Икс = ш q₁ q₂ ⋅⋅⋅ q_м с участием м ≥ 0,

тогда м = п, и существует биективная карта φ : {1, ..., п} → {1, ..., м} такой, что п_я является связанный к q_φ(я) для я ∈ {1, ..., п}.

Часть уникальности обычно трудно проверить, поэтому полезно следующее эквивалентное определение:

Уникальная область факторизации - это целостная область р в котором каждый ненулевой элемент может быть записан как произведение единицы и основные элементы из р.

Примеры

Большинство знакомых из элементарной математики колец - это UFD:

Все области главных идеалов, следовательно, все Евклидовы области, являются УФО. В частности, целые числа (также см основная теорема арифметики ), Гауссовские целые числа и Целые числа Эйзенштейна являются УФО.
Если р является UFD, то также р[Икс], кольцо многочленов с коэффициентами в р. Если только р это поле, р[Икс] не является основной идеальной областью. По индукции кольцо полиномов от любого числа переменных над любым UFD (и, в частности, над полем или над целыми числами) является UFD.
В формальный степенной ряд кольцо K[[Икс₁,...,Икс_п]] над полем K (или, в более общем смысле, над обычным UFD, таким как PID) - это UFD. С другой стороны, кольцо формальных степенных рядов над UFD не обязательно должно быть UFD, даже если UFD является локальным. Например, если р это локализация k[Икс,у,z]/(Икс² + у³ + z⁷) на главный идеал (Икс,у,z) тогда р является локальным кольцом, которое является UFD, но кольцо формальных степенных рядов р[[Икс]] над р не УФО.
В Теорема Ослендера – Буксбаума заявляет, что каждый обычное местное кольцо это УФО.
${ Displaystyle mathbb {Z} [е ^ { гидроразрыва {2 pi i} {п}}]}$ является УФД для всех целых чисел 1 ≤ п ≤ 22, но не для п = 23.

Мори показал, что если завершение Кольцо Зарисского, например Местное кольцо Нётериана, является УФД, то кольцо является УФД.^[1] Обратное неверно: существуют нётеровы локальные кольца, которые являются UFD, но чьи пополнения - нет. Вопрос, когда это происходит, довольно тонкий: например, для локализация из k[Икс,у,z]/(Икс² + у³ + z⁵) в простом идеале (Икс,у,z) как локальное кольцо, так и его пополнение являются UFD, но в похожем на вид примере локализации k[Икс,у,z]/(Икс² + у³ + z⁷) в простом идеале (Икс,у,z) локальное кольцо является UFD, а его пополнение - нет.
Позволять ${ displaystyle R}$ - поле любой характеристики, отличной от 2. Клейн и Нагата показали, что кольцо р[Икс₁,...,Икс_п]/Q UFD всякий раз, когда Q неособая квадратичная форма в ИКС's и п составляет не менее 5. Когда п= 4 кольцо не обязательно должно быть UFD. Например, ${ Displaystyle R [X, Y, Z, W] / (XY-ZW)}$ не является УФД, потому что элемент ${ displaystyle XY}$ равно элементу ${ displaystyle ZW}$ так что ${ displaystyle XY}$ и ${ displaystyle ZW}$ представляют собой две разные факторизации одного и того же элемента в неприводимые.
Кольцо Q[Икс,у]/(Икс² + 2у² + 1) - УФД, но кольцо Q(я)[Икс,у]/(Икс² + 2у² +1) нет. С другой стороны, кольцо Q[Икс,у]/(Икс² + у² - 1) не УФО, а кольцо Q(я)[Икс,у]/(Икс² + у² - 1) есть (Самуэль 1964, стр.35). Аналогичным образом координатное кольцо р[Икс,Y,Z]/(Икс² + Y² + Z² - 1) двумерного реальная сфера является УФД, но координатное кольцо C[Икс,Y,Z]/(Икс² + Y² + Z² - 1) сложной сферы нет.
Предположим, что переменные Икс_я даны веса ш_я, и F(Икс₁,...,Икс_п) это однородный многочлен веса ш. Тогда если c взаимно прост с ш и р является UFD и либо каждое конечно порожденное проективный модуль над р бесплатно или c это 1 мод ш, кольцо р[Икс₁,...,Икс_п,Z]/(Z^c − F(Икс₁,...,Икс_п)) является УФД (Самуэль 1964, стр.31).

Не примеры

В квадратное целочисленное кольцо ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {-5}}]}$ всех комплексных чисел вида ${ displaystyle a + b { sqrt {-5}}}$ , где а и б являются целыми числами, не является UFD, потому что 6 множителей как 2 × 3 и как ${ displaystyle left (1 + { sqrt {-5}} right) left (1 - { sqrt {-5}} right)}$ . Это действительно разные факторизации, потому что единственные единицы в этом кольце - 1 и -1; таким образом, ни одно из 2, 3, ${ displaystyle 1 + { sqrt {-5}}}$ , и ${ displaystyle 1 - { sqrt {-5}}}$ находятся ассоциировать. Нетрудно показать, что все четыре фактора также несводимы, хотя это может быть неочевидным.^[2] Смотрите также алгебраическое целое число.
Для положительное целое число без квадратов d, кольцо целых чисел из ${ displaystyle mathbb {Q} [{ sqrt {-d}}]}$ не может быть UFD, если d не является Число Хегнера.
Кольцо формальных степенных рядов над комплексными числами является UFD, но подкольцо из тех, что сходятся повсюду, другими словами, кольцо целые функции в одной комплексной переменной не является UFD, поскольку существуют целые функции с бесконечным количеством нулей и, следовательно, бесконечностью неприводимых факторов, в то время как факторизация UFD должна быть конечной, например:

{ displaystyle sin pi z = pi z prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - {{z ^ {2}} over {n ^ {2}}} right ).}

Свойства

Некоторые концепции, определенные для целых чисел, могут быть обобщены на UFD:

В УФО каждый неприводимый элемент является премьер. (В любой области целостности каждый простой элемент неприводим, но обратное не всегда верно. Например, элемент ${ Displaystyle Z в К [х, y, z] / (z ^ {2} -xy)}$ неприводимо, но не является простым.) Обратите внимание, что это имеет частичное обратное: область, удовлетворяющая ACCP является UFD тогда и только тогда, когда каждый неприводимый элемент прост.
Любые два элемента UFD имеют наибольший общий делитель и наименьший общий множитель. Здесь наибольший общий делитель а и б это элемент d который разделяет и то и другое а и б, и такой, что любой другой общий делитель а и б разделяет d. Все наибольшие общие делители а и б находятся связанный.
Любой УФО - это целиком закрытый. Другими словами, если R - UFD с поле частного K, и если элемент k в K является корень из монический многочлен с участием коэффициенты в R, то k является элементом R.
Позволять S быть мультипликативно замкнутое подмножество УрФО А. Тогда локализация ${ displaystyle S ^ {- 1} A}$ это УрФО. Также имеет место частичное обратное этому; см. ниже.

Эквивалентные условия для того, чтобы кольцо было УФО

А Нётерян область целостности является УФД тогда и только тогда, когда каждое рост 1 главный идеал является основным (доказательство приводится в конце). Также Дедекиндский домен является UFD тогда и только тогда, когда его группа идеального класса тривиально. В данном случае это фактически главная идеальная область.

В общем случае следующие условия области целостности А эквивалентны:

А это УрФО.
Каждый ненулевой главный идеал из А содержит главный элемент. (Капланский )
А удовлетворяет условие возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP), а локализация S⁻¹А - УФО, где S это мультипликативно замкнутое подмножество из А порожденные простыми элементами. (Критерий Нагаты)
А удовлетворяет ACCP и каждый несводимый является премьер.
А является атомный и каждый несводимый является премьер.
А это GCD домен (т.е. любые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющие (ACCP).
А это Шрайер домен,^[3] и атомный.
А это прешрайерский домен и атомный.
А имеет теория дивизоров в котором каждый дивизор главный.
А это Krull домен в котором каждый дивизориальный идеал является главным (по сути, это определение УФО по Бурбаки.)
А является областью Крулля, и каждый простой идеал высоты 1 является главным.^[4]

На практике наиболее полезными условиями для проверки являются (2) и (3). Например, из (2) сразу следует, что PID является UFD, поскольку каждый простой идеал генерируется простым элементом в PID.

В качестве другого примера рассмотрим нетерову область целостности, в которой на каждой высоте один простой идеал является главным. Поскольку каждый первичный идеал имеет конечную высоту, он содержит один первичный идеал высоты (индукция по высоте), который является главным. По (2) кольцо является УФД.

Смотрите также

Парафакториальное локальное кольцо

использованная литература

^ Бурбаки, 7.3, № 6, Предложение 4.
^ Артин, Майкл (2011). Алгебра. Прентис Холл. п. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
^ Область Шрайера - это интегрально замкнутая область целостности, где всякий раз, когда Икс разделяет yz, Икс можно записать как Икс = Икс₁ Икс₂ так что Икс₁ разделяет у и Икс₂ разделяет z. В частности, домен GCD - это домен Шрайера.
^ Бурбаки, 7.3, № 2, теорема 1.

Н. Бурбаки. Коммутативная алгебра.
Б. Хартли; T.O. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра. Чепмен и Холл. ISBN 0-412-09810-5. Глава. 4.
Глава II.5 Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33718-6.
Самуэль, Пьер (1964), Мурти, М. Павман (ред.), Лекции по уникальным доменам факторизации, Институт фундаментальных исследований им. Тата Лекции по математике, 30, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, Г-Н 0214579
Самуэль, Пьер (1968). «Уникальная факторизация». Американский математический ежемесячник. 75: 945–952. Дои:10.2307/2315529. ISSN 0002-9890.

[1] Бурбаки, 7.3, № 6, Предложение 4.

[2] Артин, Майкл (2011). Алгебра. Прентис Холл. п. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.

[3] Область Шрайера - это интегрально замкнутая область целостности, где всякий раз, когда Икс разделяет yz, Икс можно записать как Икс = Икс₁ Икс₂ так что Икс₁ разделяет у и Икс₂ разделяет z. В частности, домен GCD - это домен Шрайера.

[4] Бурбаки, 7.3, № 2, теорема 1.

[1]

[2]

[3]

[4]