Квазигруппа - Википедия - Quasigroup

В математика, особенно в абстрактная алгебра, а квазигруппа является алгебраическая структура напоминающий группа в том смысле, что "разделение "всегда возможно. Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что они не обязательно ассоциативный.

Квазигруппа с единичным элементом называется петля.

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Квазигруппу определяют как набор с одним бинарная операция, а другой - от универсальная алгебра, определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. В гомоморфный изображение квазигруппы, определенной с помощью одной бинарной операции, однако, не обязательно должна быть квазигруппой.^[1] Начнем с первого определения.

Алгебра

А квазигруппа (Q, ∗) непустой набор Q с бинарной операцией ∗ (т.е. магма ), подчиняясь Латинская площадь собственности. В нем говорится, что для каждого а и б в Q, существуют уникальные элементы Икс и у в Q так что оба

а ∗ Икс = б,

у ∗ а = б

держать. (Другими словами: каждый элемент набора встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы, или Стол Кэли. Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечной группы, является Латинский квадрат.) Требование уникальности можно заменить требованием, чтобы магма была отменяющий.^[2]

Единственные решения этих уравнений записываются Икс = а \ б и у = б / а. Операции '' и '/' называются соответственно оставили и верно разделение.

В пустой набор оснащен пустая двоичная операция удовлетворяет этому определению квазигруппы. Некоторые авторы принимают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее.^[3][4]

Универсальная алгебра

Учитывая некоторые алгебраическая структура, личность это уравнение, в котором все переменные неявно универсально определяемый, и в котором все операции относятся к числу примитивных операций, присущих структуре. Алгебраические структуры, аксиоматизируемые исключительно тождествами, называются разновидности. Многие стандартные результаты в универсальная алгебра держаться только за разновидности. Квазигруппы являются разновидностями, если левое и правое деление принято за примитивные.

А квазигруппа (Q, ∗, \, /) является алгеброй типа (2,2,2) (т.е. оснащенной тремя бинарными операциями), удовлетворяющей тождествам:

у = Икс ∗ (Икс \ у),

у = Икс \ (Икс ∗ у),

у = (у / Икс) ∗ Икс,

у = (у ∗ Икс) / Икс.

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, с одной и той же стороны одним и тем же элементом, не имеют общего эффекта.

Следовательно, если (Q, ∗) является квазигруппой согласно первому определению, то (Q, ∗, \, /) та же квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если (Q, ∗, \, /) является квазигруппой в смысле универсальной алгебры, то (Q, ∗) является квазигруппой согласно первому определению.

Петли

Алгебраические структуры между магмами и группами.

А петля является квазигруппой с элемент идентичности; то есть элемент, е, так что

Икс ∗ е = Икс и е ∗ Икс = Икс для всех Икс в Q.

Отсюда следует, что элемент идентичности, е, уникален, и что каждый элемент Q имеет уникальный оставили и право обратное (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Квазигруппа с идемпотентный элемент называется досада («точечная идемпотентная квазигруппа»); это более слабое понятие, чем цикл, но, тем не менее, распространенное, потому что, например, учитывая абелева группа, (А, +), рассматривая операцию вычитания как квазигрупповое умножение, (А, −) с групповым тождеством (нулем) превратился в «точечный идемпотент». (То есть есть основная изотопия (Икс, у, z) ↦ (Икс, −у, z).)

Ассоциативный цикл - это группа. Группа может иметь неассоциативный изотоп пике, но не может иметь неассоциативный петлевой изотоп.

Есть более слабые свойства ассоциативности, которым были даны специальные имена.

Например, Петля Бола это цикл, который удовлетворяет либо:

Икс ∗ (у ∗ (Икс ∗ z)) = (Икс ∗ (у ∗ Икс)) ∗ z для каждого Икс, у и z в Q (а левая петля Бола),

или иначе

((z ∗ Икс) ∗ у) ∗ Икс = z ∗ ((Икс ∗ у) ∗ Икс) для каждого Икс, у и z в Q (а правая петля Бола).

Петля, которая является как левой, так и правой петлей Бола, называется Петля муфанг. Это эквивалентно любому из следующих единственных тождеств Муфанг, справедливых для всех Икс, у, z:

Икс ∗ (у ∗ (Икс ∗ z)) = ((Икс ∗ у) ∗ Икс) ∗ z,

z ∗ (Икс ∗ (у ∗ Икс)) = ((z ∗ Икс) ∗ у) ∗ Икс,

(Икс ∗ у) ∗ (z ∗ Икс) = Икс ∗ ((у ∗ z) ∗ Икс), или же

(Икс ∗ у) ∗ (z ∗ Икс) = (Икс ∗ (у ∗ z)) ∗ Икс.

Симметрии

Смит (2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия

Квазигруппа - это полусимметричный если выполняются следующие эквивалентные тождества:

ху = у / Икс,

yx = Икс \ у,

Икс = (yx)у,

Икс = у(ху).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу QΔ на кубе прямого произведения Q³ с помощью следующей операции:

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot (y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}) = (y_ {3} / x_ {2}, y_ {1} backslash x_ {3}, x_ {1} y_ {2}) = (x_ {2} // y_ {3}, x_ {3} backslash backslash y_ {1}, x_ {1} y_ {2}),}$

где "//" и "" - сопряженные операции деления данный ${ displaystyle y // x = x / y}$ и ${ displaystyle y backslash backslash x = x backslash y}$.

Триальность

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Февраль 2015 г.)

Полная симметрия

Более узкий класс, который полностью симметричная квазигруппа (иногда сокращенно TS-квазигруппа), в котором все сопряжения совпадают как одна операция: ху = Икс / у = Икс \ у. Другой способ определения (то же самое понятие) полностью симметричной квазигруппы - это полусимметричная квазигруппа, которая также является коммутативной, т. Е. ху = yx.

Идемпотентные тотальные симметрические квазигруппы в точности (т.е. в биекции с) Тройки Штейнера, поэтому такую ​​квазигруппу также называют Квазигруппа Штейнера, а иногда даже сокращенно сквог; период, термин шлюп аналогично определяется для квазигруппы Штейнера, которая также является лупой. Без идемпотентности полные симметрические квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенная тройка Штейнера, также называемая обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия

Квазигруппа (Q, ∗) называется полностью антисимметричный если для всех c, Икс, у ∈ Q, выполняются оба следующих следствия:^[5]

1. (c ∗ Икс) ∗ у = (c ∗ у) ∗ Икс подразумевает, что Икс = у
2. Икс ∗ у = у ∗ Икс подразумевает, что Икс = у.

Это называется слабо полностью антисимметричный если верна только первая импликация.^[5]

Это свойство требуется, например, в Алгоритм дамма.

Примеры

• Каждый группа это цикл, потому что а ∗ Икс = б если и только если Икс = а⁻¹ ∗ б, и у ∗ а = б если и только если у = б ∗ а⁻¹.
• В целые числа Z с вычитание (-) образуют квазигруппу.
• Ненулевой рациональные Q^× (или ненулевое реалы р^×) с разделение (÷) образуют квазигруппу.
• Любой векторное пространство через поле из характеристика не равно 2 образует идемпотент, коммутативный квазигруппа при операции Икс ∗ у = (Икс + у) / 2.
• Каждый Тройная система Штейнера определяет идемпотент, коммутативный квазигруппа: а ∗ б - третий элемент тройки, содержащей а и б. Эти квазигруппы также удовлетворяют (Икс ∗ у) ∗ у = Икс для всех Икс и у в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как Квазигруппы Штейнера.^[6]
• Набор {± 1, ± i, ± j, ± k} куда ii = jj = kk = +1 и со всеми другими продуктами, как в группа кватернионов образует неассоциативную петлю порядка 8. См. гиперболические кватернионы для его применения. (Сами гиперболические кватернионы нет образуют петлю или квазигруппу).
• Ненулевой октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы - это особый тип петель, известный как Петля муфанг.
• Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку, если есть хотя бы один элемент, существование инверсии и ассоциативности подразумевает существование идентичности.
• Следующая конструкция обусловлена Ганс Цассенхаус. О базовом наборе четырехмерного векторное пространство F⁴ над 3-элементным Поле Галуа F = Z/3Z определять

(Икс₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄) ∗ (у₁, у₂, у₃, у₄) = (Икс₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄) + (у₁, у₂, у₃, у₄) + (0, 0, 0, (Икс₃ − у₃)(Икс₁у₂ − Икс₂у₁)).

Потом, (F⁴, ∗) это коммутативный Петля муфанг это не группа.^[7]

• В более общем смысле, набор ненулевых элементов любого алгебра с делением образуют квазигруппу.

Характеристики

В оставшейся части статьи мы будем обозначать квазигруппу умножение просто путем сопоставления.

Квазигруппы имеют аннулирование собственности: если ab = ac, тогда б = c. Это следует из единственности левого деления ab или же ac к а. Аналогично, если ба = ок, тогда б = c.

Операторы умножения

Определение квазигруппы можно трактовать как условия на левые и правые операторы умножения L(Икс), р(у): Q → Q, определяется

${ Displaystyle { begin {align} L (x) y & = xy R (x) y & = yx конец {выровнено}}}$

В определении говорится, что оба отображения биекции из Q себе. Магма Q является квазигруппой именно тогда, когда все эти операторы для любого Икс в Q, биективны. Обратные отображения - это левое и правое деление, то есть

${ displaystyle { begin {align} L (x) ^ {- 1} y & = x backslash y R (x) ^ {- 1} y & = y / x end {align}}}$

В этих обозначениях тождества между операциями умножения и деления квазигруппы (указанные в разделе о универсальная алгебра ) находятся

${ displaystyle { begin {align} L (x) L (x) ^ {- 1} & = 1 qquad & { text {соответствующий}} qquad x (x backslash y) & = y L (x) ^ {- 1} L (x) & = 1 qquad & { text {соответствует}} qquad x backslash (xy) & = y R (x) R (x) ^ { -1} & = 1 qquad & { text {соответствует}} qquad (y / x) x & = y R (x) ^ {- 1} R (x) & = 1 qquad & { текст {соответствует}} qquad (yx) / x & = y end {выровнен}}}$

где 1 обозначает тождественное отображение на Q.

Латинские квадраты

Латинский квадрат, таблица умножения без границ для квазигруппы, 10 элементов которой представляют собой цифры 0–9.

Таблица умножения конечной квазигруппы - это Латинский квадрат: an п × п стол заполнен п различные символы таким образом, чтобы каждый символ встречался ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

И наоборот, каждый латинский квадрат можно использовать в качестве таблицы умножения квазигруппы разными способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничный столбец (содержащий заголовки строк) могут быть любой перестановкой элементов. Видеть маленькие латинские квадраты и квазигруппы.

Бесконечные квазигруппы

Для счетно бесконечный квазигруппа Q, можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствует некоторому элементу q из Q, а где элемент а*б находится в строке, соответствующей а и столбец, отвечающий на б. В этой ситуации свойство Latin Square также говорит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будет содержать все возможные значения ровно один раз.

Для бесчисленное множество квазигруппа, такая как группа ненулевых действительные числа при умножении свойство латинского квадрата все еще сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительное, поскольку невозможно создать массив комбинаций, на который распространяется указанная выше идея бесконечного массива, поскольку действительные числа не могут быть записаны в виде последовательность.

Обратные свойства

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

${ displaystyle x ^ { lambda} = e / x qquad x ^ { lambda} x = e}$

${ displaystyle x ^ { rho} = x backslash e qquad xx ^ { rho} = e}$

Говорят, что цикл имеет (двусторонний) обратное если ${ Displaystyle х ^ { лямбда} = х ^ { rho}}$ для всех Икс. В этом случае обратный элемент обычно обозначают через ${ displaystyle x ^ {- 1}}$.

Есть несколько более сильных понятий инверсии в циклах, которые часто бывают полезны:

• Петля имеет левое инверсное свойство если ${ Displaystyle х ^ { лямбда} (ху) = у}$ для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$. Эквивалентно ${ Displaystyle L (х) ^ {- 1} = L (х ^ { lambda})}$ или же ${ displaystyle x обратная косая черта y = x ^ { lambda} y}$.
• Петля имеет право обратное свойство если ${ displaystyle (yx) x ^ { rho} = y}$ для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$. Эквивалентно ${ Displaystyle R (x) ^ {- 1} = R (x ^ { rho})}$ или же ${ Displaystyle у / х = ух ^ { rho}}$.
• Петля имеет антиавтоморфное обратное свойство если ${ Displaystyle (ху) ^ { лямбда} = у ^ { лямбда} х ^ { лямбда}}$ или, что то же самое, если ${ Displaystyle (ху) ^ { ро} = у ^ { ро} х ^ { ро}}$.
• Петля имеет слабое обратное свойство когда ${ Displaystyle (ху) г = е}$ если и только если ${ Displaystyle х (yz) = е}$. Это может быть указано в обратном порядке через ${ Displaystyle (ху) ^ { лямбда} х = у ^ { лямбда}}$ или эквивалентно ${ Displaystyle х (yx) ^ { rho} = y ^ { rho}}$.

Петля имеет обратное свойство если он имеет и левое, и правое обратные свойства. Петли с обратными свойствами также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любой цикл, который удовлетворяет любым двум из четырех тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, который удовлетворяет левым, правым или антиавтоморфным обратным свойствам, автоматически имеет двусторонние обратные.

Морфизмы

Квазигруппа или петля гомоморфизм это карта ж : Q → п между двумя квазигруппами такими, что ж(ху) = ж(Икс)ж(у). Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также элементы идентичности (если они существуют).

Гомотопия и изотопия

Позволять Q и п быть квазигруппами. А квазигрупповая гомотопия из Q к п это тройка (α, β, γ) карт из Q к п такой, что

${ Displaystyle альфа (х) бета (у) = гамма (ху) ,}$

для всех Икс, у в Q. Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

An изотопия является гомотопией, для которой каждое из трех отображений (α, β, γ) это биекция. Две квазигруппы изотопический если между ними есть изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия (α, β, γ) задается перестановкой строк α, перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ.

An автотопия является изотопией квазигруппы самой себе. Множество всех автотопий квазигруппы образуют группу с группа автоморфизмов как подгруппа.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, таким образом, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно должна быть группой. Например, квазигруппа на р с умножением на (Икс + у)/2 изотопен аддитивной группе (р, +), но не является группой. Каждый медиальный квазигруппа изотопна абелева группа посредством Теорема Брука – Тойоды.

Спряжение (парастроф)

Левое и правое деление являются примерами формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т.е. Икс ∗ у = z) мы можем сформировать пять новых операций: Икс о у := у ∗ Икс (в противоположный операция), / и , и их противоположности. Всего получается шесть квазигрупповых операций, которые называются конъюгирует или же парастрофы из ∗. Любые две из этих операций называются «сопряженными» или «парастрофическими» друг другу (и самим себе).

Изострофа (паратопия)

Если набор Q имеет две квазигрупповые операции, ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряженной другой операции, операции называются изострофический друг другу. Есть также много других названий этого отношения «изострофа», например, паратопия.

Обобщения

Полиадические или многомерные квазигруппы

An п-арная квазигруппа это набор с п-арная операция, (Q, ж) с ж: Q^п → Q, такое, что уравнение ж(Икс₁,...,Икс_п) = у имеет уникальное решение для любой одной переменной, если все остальные п переменные указаны произвольно. Полиадический или же множественный средства п-ary для некоторого неотрицательного целого числа п.

0-арный, или нулевой, квазигруппа - это просто постоянный элемент Q. 1-арный, или унарный, квазигруппа является биекцией Q себе. А двоичный, или 2-арная квазигруппа - обычная квазигруппа.

Примером множественной квазигруппы является итеративная групповая операция, у = Икс₁ · Икс₂ · ··· · Икс_п; нет необходимости использовать круглые скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Можно также сформировать многоарную квазигруппу, выполнив любую последовательность одинаковых или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют многомерные квазигруппы, которые нельзя представить ни одним из этих способов. An п-арная квазигруппа несводимый если его действие не может быть разложено на две операции следующим образом:

${ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {n}) = g (x_ {1}, dots, x_ {i-1}, , h (x_ {i}, dots, x_ { j}), , x_ {j + 1}, dots, x_ {n}),}$

куда 1 ≤ я < j ≤ п и (я, j) ≠ (1, п). Конечная неприводимая п-арные квазигруппы существуют для всех п > 2; см. подробности в Akivis and Goldberg (2001).

An п-арная квазигруппа с п-арная версия ассоциативность называется n-арная группа.

Правые и левые квазигруппы

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2011 г.)

А правая квазигруппа (Q, ∗, /) является алгеброй типа (2,2), удовлетворяющей обоим тождествам:у = (у / Икс) ∗ Икс;у = (у ∗ Икс) / Икс.

Аналогично левая квазигруппа (Q, ∗, \) является алгеброй типа (2,2), удовлетворяющей обоим тождествам:у = Икс ∗ (Икс \ у);у = Икс \ (Икс ∗ у).

Количество малых квазигрупп и петель

Число классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петли (последовательность A057771 в OEIS ) приводится здесь:^[8]

Смотрите также

• Дивизионное кольцо - кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный
• Полугруппа - алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной бинарной операцией
• Моноид - полугруппа с элементом идентичности
• Плоское тройное кольцо - имеет аддитивную и мультипликативную петлевую структуру
• Проблемы теории петель и теории квазигрупп
• Математика судоку

Примечания

Рекомендации

• Акивис, М. А .; Гольдберг, Владислав В. (2001). «Решение проблемы Белоусова». Discussiones Mathematicae - Общая алгебра и приложения. 21 (1): 93–103. arXiv:математика / 0010175. Дои:10.7151 / dmgaa.1030. S2CID  18421746.
• Брук, Р. (1971) [1958]. Обзор двоичных систем. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-03497-3.
• Chein, O .; Pflugfelder, H.O .; Смит, J.D.H., ред. (1990). Квазигруппы и петли: теория и приложения. Берлин: Хельдерманн. ISBN  978-3-88538-008-5.
• Колборн, Чарльз Дж .; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник комбинаторных схем (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC, ISBN  978-1-58488-506-1
• Dudek, W.A .; Глазек, К. (2008). «Вокруг теоремы Хоссу-Глускина для n-арных групп». Дискретная математика. 308 (21): 4861–76. arXiv:математика / 0510185. Дои:10.1016 / j.disc.2007.09.005. S2CID  9545943.
• Пфлугфельдер, Х. (1990). Квазигруппы и петли: введение. Берлин: Хельдерманн. ISBN  978-3-88538-007-8.
• Смит, J.D.H. (2007). Введение в квазигруппы и их представления. Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN  978-1-58488-537-5.
• Щербаков, В.А. (2017). Элементы теории квазигрупп и приложений. Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN  978-1-4987-2155-4.
• Smith, J.D.H .; Романовская, Анна Б. (1999). Постмодернистская алгебра. Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-12738-3.

внешняя ссылка

• квазигруппы
• «Квазигруппа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]