Универсальная алгебра - Universal algebra

Универсальная алгебра (иногда называют общая алгебра) - поле математика что изучает алгебраические структуры сами по себе, а не примеры ("модели") алгебраических структур. Например, вместо того, чтобы брать конкретные группы в качестве объекта исследования в универсальной алгебре берется класс групп как объект исследования.

Основная идея

В универсальной алгебре алгебра (или алгебраический структура) это набор А вместе с набором операций на А. An п-арый операция на А это функция это требует п элементы А и возвращает единственный элемент А. Таким образом, 0-арная операция (или нулевая операция) можно представить просто как элемент А, или постоянный, часто обозначается буквой типа а. 1-арная операция (или унарная операция ) - это просто функция от А к А, часто обозначается символом, помещенным перед аргументом, например ~Икс. 2-х этапная операция (или бинарная операция ) часто обозначается символом, помещенным между его аргументами, например Икс ∗ у. Операции высшего или неуказанного арность обычно обозначаются функциональными символами, а аргументы помещаются в круглые скобки и разделяются запятыми, например ж(Икс,у,z) или ж(Икс₁,...,Икс_п). Некоторые исследователи допускают бесконечный операции, такие как ${ displaystyle textstyle bigwedge _ { alpha in J} x _ { alpha}}$ где J бесконечный набор индексов, что привело к алгебраической теории полные решетки. Таким образом, один из способов говорить об алгебре - это называть ее алгебра определенного типа ${ displaystyle Omega}$, где ${ displaystyle Omega}$ - это упорядоченная последовательность натуральных чисел, представляющая арность операций алгебры.

Уравнения

После того, как операции были определены, природа алгебры определяется следующим образом: аксиомы, которые в универсальной алгебре часто имеют вид идентичности, или эквациональные законы. Примером может служить ассоциативный аксиома для бинарной операции, которая задается уравнением Икс ∗ (у ∗ z) = (Икс ∗ у) ∗ z. Аксиома предназначена для всех элементов Икс, у, и z из набора А.

Разновидности

Набор алгебраических структур, определяемых тождествами, называется разнообразие или эквациональный класс. Некоторые авторы считают многообразия основным направлением универсальной алгебры.^{[нужна цитата ]}

Ограничение изучения разновидностями исключает:

• количественная оценка, в том числе универсальная количественная оценка (${ displaystyle forall}$) кроме перед уравнением, и экзистенциальная количественная оценка (${ Displaystyle существует}$), а также логика предикатов
• связи кроме равенства, в частности неравенство, и то и другое а ≠ б и порядковые отношения

Изучение эквациональных классов можно рассматривать как особый раздел теория моделей, обычно имея дело только со структурами, имеющими операции (т.е. тип могут иметь символы для функций, но не для связи кроме равенства), и в котором язык, используемый для описания этих структур, использует только уравнения.

Не все алгебраические структуры в более широком смысле попадают в эту сферу. Например, упорядоченные группы связаны с отношением порядка, поэтому не подпадают под эту область.

Класс поля не является эквациональным классом, потому что не существует типа (или "сигнатуры"), в котором все законы поля могут быть записаны в виде уравнений (обратные элементы определены для всех ненулевой элементы в поле, поэтому инверсия не может быть добавлена ​​к типу).

Одним из преимуществ этого ограничения является то, что структуры, изучаемые в универсальной алгебре, могут быть определены в любом категория который имеет конечный продукты. Например, топологическая группа это просто группа в категории топологические пространства.

Примеры

Большинство обычных алгебраических систем математики являются примерами разнообразия, но не всегда очевидным образом, поскольку обычные определения часто включают количественную оценку или неравенства.

Группы

В качестве примера рассмотрим определение группа. Обычно группа определяется в терминах одной бинарной операции ∗ с учетом аксиом:

• Ассоциативность (как в предыдущий раздел ): Икс ∗ (у ∗ z)  =  (Икс ∗ у) ∗ z; формально: ∀Икс,у,z. Икс∗(у∗z)=(Икс∗у)∗z.
• Элемент идентичности: Существует элемент е так что для каждого элемента Икс, надо е ∗ Икс  =  Икс  =  Икс ∗ е; формально: ∃е ∀Икс. е∗Икс=Икс=Икс∗е.
• Обратный элемент: Элемент идентичности легко увидеть как уникальный и обычно обозначается е. Тогда для каждого Икс, существует элемент я такой, что Икс ∗ я  =  е  =  я ∗ Икс; формально: ∀Икс ∃я. Икс∗я=е=я∗Икс.

(Некоторые авторы также используют "закрытие "аксиома, что Икс ∗ у принадлежит А всякий раз, когда Икс и у do, но здесь это уже подразумевается вызовом ∗ бинарной операцией.)

Это определение группы не сразу соответствует точке зрения универсальной алгебры, потому что аксиомы тождественного элемента и инверсии не сформулированы исключительно в терминах эквациональных законов, которые универсально выполняются «для всех ...» элементов, но также включают экзистенциальный квантор «существует ...». Групповые аксиомы можно сформулировать как универсальные количественные уравнения, указав, в дополнение к бинарной операции ∗, нулевую операцию е и унарная операция ~, с ~Икс обычно пишется как Икс⁻¹. Аксиомы становятся:

• Ассоциативность: Икс ∗ (у ∗ z)  =  (Икс ∗ у) ∗ z.
• Элемент идентичности: е ∗ Икс  =  Икс  =  Икс ∗ е; формально: ∀Икс. е∗Икс=Икс=Икс∗е.
• Обратный элемент: Икс ∗ (~Икс)  =  е  =  (~Икс) ∗ Икс формально: ∀Икс. Икс∗~Икс=е=~Икс∗Икс.

Подводя итог, обычное определение имеет:

• одна бинарная операция (подпись (2))
• 1 эквациональный закон (ассоциативность)
• 2 количественных закона (тождество и обратный)

в то время как определение универсальной алгебры имеет:

• 3 операции: одна двоичная, одна унарная и одна нулевая (подпись (2,1,0))
• 3 эквациональных закона (ассоциативность, тождество и обратность)
• нет количественных законов (кроме крайних универсальных кванторов, которые разрешены в разновидностях)

Ключевым моментом является то, что дополнительные операции не добавляют информацию, а однозначно следуют из обычного определения группы. Хотя обычное определение не определяет однозначно элемент идентичности е, простое упражнение показывает, что он уникален, как и каждый обратный элемент.

Точка зрения универсальной алгебры хорошо адаптирована к теории категорий. Например, при определении групповой объект в теории категорий, где рассматриваемый объект не может быть набором, следует использовать законы уравнений (которые имеют смысл в общих категориях), а не количественные законы (которые относятся к отдельным элементам). Далее обратное и тождество указываются как морфизмы в категории. Например, в топологическая группа обратное должно не только существовать поэлементно, но и давать непрерывное отображение (морфизм). Некоторые авторы также требуют, чтобы карта идентичности была закрытое включение (а кофибрация ).

Другие примеры

Большинство алгебраических структур являются примерами универсальных алгебр.

• Кольца, полугруппы, квазигруппы, группоиды, магмы, петли, и другие.
• Векторные пространства над фиксированным полем и модули над фиксированным кольцом - универсальные алгебры. У них есть двоичное сложение и семейство унарных операторов скалярного умножения, по одному для каждого элемента поля или кольца.

Примеры реляционных алгебр включают полурешетки, решетки, и Булевы алгебры.

Основные конструкции

Мы предполагаем, что тип ${ displaystyle Omega}$, был исправлен. Тогда в универсальной алгебре есть три основных конструкции: гомоморфный образ, подалгебра и произведение.

А гомоморфизм между двумя алгебрами А и B это функция час: А → B из множества A в множество B такое, что для каждой операции ж_А A и соответствующие ж_B из B (арности, скажем, п), час(ж_А(Икс₁,...,Икс_п)) = ж_B(час(Икс₁),...,час(Икс_п)). (Иногда индексы на ж снимаются, когда из контекста ясно, из какой алгебры эта функция.) Например, если е является константой (нулевая операция), то час(е_А) = е_B. Если ~ - унарная операция, то час(~Икс) = ~час(Икс). Если ∗ - бинарная операция, то час(Икс ∗ у) = час(Икс) ∗ час(у). И так далее. Некоторые вещи, которые можно сделать с помощью гомоморфизмов, а также определения некоторых специальных видов гомоморфизмов перечислены в разделе Гомоморфизм. В частности, мы можем взять гомоморфный образ алгебры, час(А).

Подалгебра А это подмножество А который закрыт при всех операциях А. Произведением некоторого набора алгебраических структур является декартово произведение наборов с операциями, заданными покоординатно.

Некоторые основные теоремы

• В теоремы об изоморфизме, охватывающие теоремы об изоморфизме группы, кольца, модули, так далее.
• Теорема Биркгофа о HSP, который утверждает, что класс алгебр является разнообразие тогда и только тогда, когда он замкнут относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений.

Мотивы и приложения

В дополнение к объединяющему подходу универсальная алгебра также дает глубокие теоремы, важные примеры и контрпримеры. Он обеспечивает полезную основу для тех, кто намеревается начать изучение новых классов алгебр. Он может позволить использовать методы, изобретенные для некоторых конкретных классов алгебр, для других классов алгебр, путем преобразования методов в терминах универсальной алгебры (если возможно), а затем интерпретировать их применительно к другим классам. Он также дал концептуальное разъяснение; как J.D.H. Смит выражается так: «То, что выглядит запутанным и сложным в конкретной структуре, может оказаться простым и очевидным в правильной общей».

В частности, универсальная алгебра может быть применена к изучению моноиды, кольца, и решетки. До появления универсальной алгебры многие теоремы (в первую очередь теоремы об изоморфизме ) были доказаны отдельно во всех этих классах, но с помощью универсальной алгебры они могут быть доказаны раз и навсегда для любого вида алгебраической системы.

Статья Хиггинса 1956 года, на которую ссылается ниже, была хорошо развита с точки зрения ее структуры для ряда конкретных алгебраических систем, в то время как его статья 1963 года примечательна обсуждением алгебр с операциями, которые определены только частично, типичными примерами для этого являются категории и группоиды. . Это подводит нас к теме многомерная алгебра которое можно определить как изучение алгебраических теорий с частичными операциями, области которых определены в геометрических условиях. Яркими примерами этого являются различные формы многомерных категорий и группоидов.

Проблема удовлетворения ограничений

Универсальная алгебра обеспечивает естественный язык для проблема удовлетворения ограничений (CSP). CSP относится к важному классу вычислительных задач, где, учитывая реляционную алгебру А и экзистенциальный предложение ${ displaystyle varphi}$ над этой алгеброй вопрос состоит в том, чтобы выяснить, ${ displaystyle varphi}$ может быть удовлетворен в А. Алгебра А часто фиксируется, так что CSP_А относится к проблеме, примером которой является только экзистенциальное предложение ${ displaystyle varphi}$.

Доказано, что любую вычислительную задачу можно сформулировать как CSP_А для некоторой алгебры А.

Например, п-крашивание проблема может быть сформулирована как CSP алгебры ${ displaystyle { big (} {0,1, dots, n-1 }, neq { big)}}$, т.е. алгебра с ${ displaystyle n}$ элементы и единственное отношение, неравенство.

Гипотеза дихотомии (доказанная в апреле 2017 г.) утверждает, что если А конечная алгебра, то CSP_А либо п или НП-полный.^[1]

Обобщения

Универсальная алгебра также изучалась с использованием техники теория категорий. В этом подходе вместо написания списка операций и уравнений, которым подчиняются эти операции, можно описать алгебраическую структуру, используя категории особого вида, известные как Теории Ловера или в более общем смысле алгебраические теории. В качестве альтернативы можно описать алгебраические структуры, используя монады. Эти два подхода тесно связаны, и у каждого из них есть свои преимущества.^[2]В частности, каждая теория Ловера дает монаду категории множеств, в то время как любая «конечная» монада категории множеств возникает из теории Ловера. Однако монада описывает алгебраические структуры в пределах одной конкретной категории (например, категории множеств), в то время как алгебраические теории описывают структуру в пределах любого большого класса категорий (а именно категорий, имеющих конечные продукты ).

Более поздняя разработка теории категорий теория операд - операда - это набор операций, подобный универсальной алгебре, но ограниченный тем, что уравнения разрешены только между выражениями с переменными, без дублирования или пропуска переменных. Таким образом, кольца можно описать как так называемые «алгебры» некоторой операды, но не группы, поскольку закон ${ displaystyle gg ^ {- 1} = 1}$ дублирует переменную г слева и опускает справа. Поначалу это может показаться обременительным ограничением, но выигрыш в том, что операды имеют определенные преимущества: например, можно гибридизировать концепции кольца и векторного пространства, чтобы получить концепцию ассоциативная алгебра, но нельзя образовать подобный гибрид понятий группы и векторного пространства.

Другое развитие частичная алгебра где операторы могут быть частичные функции. Некоторые частичные функции также могут быть обработаны с помощью обобщения теорий Ловера, известного как по существу алгебраические теории.^[3]

Другое обобщение универсальной алгебры - это теория моделей, который иногда называют «универсальная алгебра + логика».^[4]

История

В Альфред Норт Уайтхед книга Трактат по универсальной алгебре, опубликовано в 1898 г., термин универсальная алгебра имел по существу то же значение, что и сегодня. Кредиты Уайтхеда Уильям Роуэн Гамильтон и Огастес Де Морган как составители предмета, и Джеймс Джозеф Сильвестр с введением самого термина.^[5]:v

В то время такие структуры, как Алгебры Ли и гиперболические кватернионы обратил внимание на необходимость расширения алгебраических структур за пределы ассоциативно мультипликативного класса. В обзоре Александр Макфарлейн писал: «Основная идея работы заключается не в объединении нескольких методов и не в обобщении обычной алгебры, чтобы включить их, а в сравнительном исследовании нескольких их структур».^[6] В это время Джордж Буль Алгебра логики стала сильным противовесом обычной числовой алгебре, поэтому термин «универсальный» служил для успокоения напряженных чувств.

Ранние работы Уайтхеда стремились объединить кватернионы (из-за Гамильтона), Грассманн с Ausdehnungslehre, и алгебра логики Буля. Уайтхед писал в своей книге:

«Такие алгебры имеют внутреннюю ценность для отдельного подробного изучения; также они достойны сравнительного изучения ради света, проливаемого таким образом на общую теорию символического мышления и, в частности, на алгебраический символизм. Сравнительное исследование обязательно предполагает некоторые предыдущие отдельное изучение, сравнение невозможно без знания ».^[5]

Уайтхед, однако, не дал результатов общего характера. Работа по этой теме была минимальной до начала 1930-х годов, когда Гаррет Биркофф и Øystein Ore начал публиковаться по универсальным алгебрам. События в метаматематика и теория категорий в 1940-х и 1950-х годах продвинули эту область, в частности, работы Авраам Робинсон, Альфред Тарский, Анджей Мостовски, и их ученики.^[7]

В период между 1935 и 1950 годами большинство статей было написано в соответствии с принципами, предложенными статьями Биркгофа, касающимися свободные алгебры, решетки конгруэнций и подалгебр и теоремы о гомоморфизмах. Хотя развитие математической логики сделало возможными приложения к алгебре, они появлялись медленно; результаты опубликованы Анатолий Мальцев в 1940-е годы остались незамеченными из-за войны. Лекция Тарского в 1950 г. Международный конгресс математиков в Кембридже открыли новый период, когда теоретико-модельные аспекты были разработаны, в основном, самим Тарским, а также К. Чанг, Леон Хенкин, Бьярни Йонссон, Роджер Линдон, и другие.

В конце 1950-х гг. Эдвард Марчевский^[8] подчеркнул важность свободных алгебр, что привело к публикации более 50 работ по алгебраической теории свободных алгебр самим Марчевским вместе с Ян Мыцельски, Владислав Наркевич, Витольд Нитка, Я. Плонка, С. Свержковский, К. Урбаник, и другие.

Начиная с Уильям Ловер После диссертации в 1963 году методы теории категорий стали важными в универсальной алгебре.^[9]

Смотрите также

• Алгебра графов
• Термин алгебра
• Клонировать
• Универсальная алгебраическая геометрия
• Простая универсальная алгебра

Сноски

использованная литература

• Бергман, Джордж М., 1998. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям (паб. Генри Хелсон, 15 The Crescent, Беркли, Калифорния, 94708) 398 стр.ISBN  0-9655211-4-1.
• Биркгоф, Гарретт, 1946. Универсальная алгебра. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
• Беррис, Стэнли Н. и Х.П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2 Бесплатное онлайн-издание.
• Кон, Пол Мориц, 1981. Универсальная алгебра. Дордрехт, Нидерланды: D.Reidel Publishing. ISBN  90-277-1213-1 (Впервые опубликовано в 1965 году компанией Harper & Row)
• Фриз, Ральф и Ральф Маккензи, 1987. Коммутаторная теория для модульных многообразий конгруэнции, 1-е изд. Серия лекций Лондонского математического общества, 125. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-34832-3. Бесплатное онлайн второе издание.
• Гретцер, Джордж, 1968 г. Универсальная алгебра D. Van Nostrand Company, Inc.
• Хиггинс, П. Дж. Группы с несколькими операторами. Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
• Хиггинс П.Дж. Алгебры со схемой операторов. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
• Хобби, Дэвид и Ральф Маккензи, 1988 год. Строение конечных алгебр Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3400-2. Бесплатное онлайн-издание.
• Джипсен, Питер и Генри Роуз, 1992 год. Разновидности решеток, Конспект лекций по математике 1533. Springer Verlag. ISBN  0-387-56314-8. Бесплатное онлайн-издание.
• Пигоцци, Дон. Общая теория алгебр. Бесплатное онлайн-издание.
• Смит, J.D.H., 1976. Сорта Мальцева, Springer-Verlag.
• Уайтхед, Альфред Норт, 1898. Трактат по универсальной алгебре, Кембридж. (В основном представляет исторический интерес.)

внешние ссылки

• Универсальная алгебра - журнал, посвященный универсальной алгебре.