Кофибрация - Cofibration

В математика, особенно теория гомотопии, а непрерывное отображение

${ Displaystyle я двоеточие от А до Х}$,

куда А и Икс находятся топологические пространства, это кофибрация если он удовлетворяет свойство гомотопического расширения по отношению ко всем пространствам Y. Это определение аналогично определению расслоение, что требуется для выполнения свойство гомотопического подъема по отношению ко всем пространствам. Эта двойственность неофициально упоминается как Двойственность Экмана – Хилтона.

Более общее понятие кофибрации развито в теории категории моделей.

Основные теоремы

• За Хаусдорфовы пространства, каждая кофибрация является замкнутым включением (инъективным с замкнутым образом); результат также обобщается на слабые хаусдорфовы пространства.
• В выталкивание кофибрации - это кофибрация. То есть, если ${ displaystyle g двоеточие от A до B}$ - любое (непрерывное) отображение (между компактно порожденными пространствами), и ${ Displaystyle я двоеточие от А до Х}$ является корасслоением, то индуцированное отображение ${ displaystyle B to B cup _ {g} X}$ это кофибрация.
• В картографический цилиндр можно понимать как выталкивание ${ Displaystyle я двоеточие от А до Х}$ и вложение (на одном конце единичного интервала) ${ displaystyle i_ {0} двоеточие от A до A times I}$. То есть цилиндр отображения можно определить как ${ displaystyle Mi = X чашка _ {i} (A times I)}$. Посредством универсальная собственность выталкивания, ${ displaystyle i}$ является кофибрированием именно тогда, когда цилиндр отображения может быть построен для любого пространства Икс.
• Каждая карта может быть заменена кофибровкой через картографический цилиндр строительство. То есть для произвольного (непрерывного) отображения ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ (между компактно порожденными пространствами) определяется цилиндр отображения

${ Displaystyle Mf = Y чашка _ {f} (X times I)}$.

Затем разлагается ${ displaystyle f}$ в композицию кофибрации и гомотопическая эквивалентность. То есть, ${ displaystyle f}$ можно записать как карту

${ displaystyle X { xrightarrow {j}} Mf { xrightarrow {r}} Y}$

с ${ displaystyle f = rj}$, когда ${ displaystyle j двоеточие x mapsto (x, 0)}$ - включение, а ${ displaystyle r двоеточие y mapsto y}$ на ${ displaystyle Y}$ и ${ Displaystyle р двоеточие (х, s) mapsto f (x)}$ на ${ Displaystyle X раз I}$.

• Есть кофибрация (А, Икс), тогда и только тогда, когда существует втягивание из ${ Displaystyle X раз I}$ к ${ Displaystyle (А раз I) чашка (Х раз {0 })}$, так как это выталкивание и, таким образом, индуцирует отображения в каждое видимое на диаграмме пространство.
• Аналогичные эквивалентности могут быть установлены для пар деформация-ретракт и для соседних пар деформация-ретракт.

Примеры

• Софибрации сохраняются при выталкивании и композиции, как видно из определения с помощью поиска диаграмм.
• Часто используется факт, что клеточное включение является кофибрацией (так, например, если ${ Displaystyle (Х, А)}$ является CW-парой, то ${ Displaystyle от А до Х}$ является кофибрацией). Это следует из предыдущего факта, поскольку ${ Displaystyle S ^ {n-1} к D ^ {n}}$ является софибрацией для каждого ${ displaystyle n}$, а выталкивания - карты приклеивания к ${ displaystyle n-1}$ скелет.

Обсуждение

В гомотопический копредел обобщает понятие кофибрации.

Рекомендации

• Питер Мэй, "Краткий курс алгебраической топологии" : глава 6 определяет и обсуждает кофибрации, и они используются повсюду
• Рональд Браун, «Топология и группоиды» ; Глава 7 озаглавлена ​​«Софибрации» и дает много результатов, которых нет в других местах.