Картографический цилиндр - Mapping cylinder

В математика в частности алгебраическая топология, то картографический цилиндр^[1] из непрерывный функция ${ displaystyle f}$ между топологические пространства ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ это частное

{ Displaystyle M_ {е} = (([0,1] раз X) amalg Y) , / , sim}

где ${ displaystyle amalg}$ обозначает несвязный союз, а ∼ - отношение эквивалентности генерируется от

{ displaystyle (0, x) sim f (x) quad { text {для каждого}} x in X.}

То есть цилиндр отображения ${ displaystyle M_ {f}}$ получается склейкой одного конца ${ Displaystyle X раз [0,1]}$ к ${ displaystyle Y}$ через карту ${ displaystyle f}$ . Обратите внимание, что «верх» цилиндра ${ displaystyle {1 } times X}$ является гомеоморфный к ${ displaystyle X}$ , а «низ» - это пробел ${ Displaystyle f (X) подмножество Y}$ . Обычно пишут ${ displaystyle Mf}$ для ${ displaystyle M_ {f}}$ , и использовать обозначения ${ displaystyle sqcup _ {f}}$ или ${ displaystyle cup _ {f}}$ для построения отображающего цилиндра. То есть пишут

{ Displaystyle Mf = ([0,1] times X) чашка _ {f} Y}

с нижним индексом чашки, обозначающим эквивалентность. Цилиндр отображения обычно используется для построения картографический конус ${ displaystyle Cf}$ , полученный путем сжатия одного конца цилиндра в точку. Отображение цилиндров занимает центральное место в определении кофибрации.

Основные свойства

Дно Y это деформационный отвод из ${ displaystyle M_ {f}}$ .Проекция ${ displaystyle M_ {f} to Y}$ разделяется (через ${ displaystyle Y ni y mapsto y in Y подмножество M_ {f}}$ ), а деформационный ретракт ${ displaystyle R}$ дан кем-то:

{ displaystyle R: M_ {f} times I rightarrow M_ {f}}

{ Displaystyle ([т, х], s) mapsto [s cdot t, x], (y, s) mapsto y}

(где точки в ${ displaystyle Y}$ оставаться на месте, потому что ${ Displaystyle [0, х] = [s cdot 0, х]}$ для всех ${ displaystyle s}$ ).

Карта ${ displaystyle f: от X до Y}$ это гомотопическая эквивалентность тогда и только тогда, когда "верх" ${ displaystyle {1 } times X}$ сильный деформационный отвод ${ displaystyle M_ {f}}$ .^[2] Может быть получена явная формула для сильного деформационного ретракции.^[3]

Примеры

Отображающий цилиндр пучка волокон

Для пучок волокон ${ displaystyle pi: P to X}$ с волокном ${ displaystyle F}$ цилиндр отображения

{ Displaystyle M _ { pi} = (([0,1] times P) coprod X) / sim}

имеет отношение эквивалентности

{ displaystyle (0, p_ {x}) sim (0, q_ {x})}

для ${ displaystyle p_ {x}, q_ {x} in F_ {x}}$ . Затем есть каноническая карта, отправляющая точку ${ displaystyle [я, p_ {x}, x] in M _ { pi}}$ к точке ${ displaystyle x in X}$ , давая пучок волокон

{ displaystyle p: M _ { pi} to X}

чье волокно - конус ${ displaystyle CF}$ . Чтобы увидеть это, обратите внимание на волокно над точкой ${ displaystyle x in X}$ факторпространство

{ Displaystyle [0,1] раз P coprod {x } / sim}

где каждая точка в ${ displaystyle {0 } times P}$ эквивалентно.

Интерпретация

Цилиндр отображения можно рассматривать как способ заменить произвольную карту эквивалентной кофибрация, в следующем смысле:

Учитывая карту ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ цилиндр отображения - это пространство ${ displaystyle M_ {f}}$ , вместе с кофибрация ${ displaystyle { tilde {f}} двоеточие X to M_ {f}}$ и сюръективный гомотопическая эквивалентность ${ displaystyle M_ {f} to Y}$ (действительно, Y это деформационный отвод из ${ displaystyle M_ {f}}$ ), такая что сочинение $от { displaystyle X до M_ {f} до Y}$ равно ж.

Таким образом, пространство Y заменяется гомотопическим эквивалентным пространством ${ displaystyle M_ {f}}$ , и карта ж с поднятой картой ${ displaystyle { tilde {f}}}$ . Эквивалентно диаграмма

{ displaystyle f двоеточие от X до Y}

заменяется диаграммой

{ displaystyle { tilde {f}} двоеточие X to M_ {f}}

вместе с гомотопической эквивалентностью между ними.

Конструкция служит для замены любого отображения топологических пространств гомотопически эквивалентным корасслоением.

Обратите внимание, что поточечно кофибрация закрытый включение.

Приложения

Картографические цилиндры - довольно распространенные гомотопические инструменты. Одно из применений цилиндров отображения - применение теорем о включениях пространств к общим отображениям, которые могут и не быть инъективный.

Следовательно, теоремы или техники (такие как гомология, когомология или теория гомотопии ), которые зависят только от гомотопического класса пространств и задействованных отображений, могут применяться к ${ displaystyle f двоеточие X rightarrow Y}$ с предположением, что ${ Displaystyle X подмножество Y}$ и это ${ displaystyle f}$ на самом деле включение подпространство.

Другая, более интуитивная привлекательность конструкции состоит в том, что она согласуется с обычным мысленным представлением функции как «отправляющие» точки ${ displaystyle X}$ к пунктам ${ displaystyle Y,}$ и, следовательно, вложения ${ displaystyle X}$ в пределах ${ displaystyle Y,}$ несмотря на то, что функция не обязательно должна быть однозначной.

Категориальное применение и интерпретация

Цилиндр отображения можно использовать для построения гомотопические копределы:^{[нужна цитата ]} это следует из общего утверждения, что любой категория со всеми выталкивания и соэквалайзеры есть все копределы. То есть, учитывая диаграмму, замените карты кофибрациями (используя цилиндр отображения), а затем воспользуйтесь обычным поточечным пределом (нужно проявить немного больше осторожности, но цилиндры отображения являются компонентом).

Наоборот, цилиндр отображения - это гомотопическое выталкивание диаграммы, где ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ и ${ displaystyle { text {id}} _ {X} двоеточие от X до X}$ .

Картографический телескоп

Учитывая последовательность карт

{ displaystyle X_ {1} { xrightarrow {f_ {1}}} X_ {2} { xrightarrow {f_ {2}}} X_ {3} to cdots}

картографический телескоп является гомотопическим прямой предел. Если все карты уже являются кофибрациями (например, для ортогональные группы ${ Displaystyle О (п) подмножество О (п + 1)}$ ), то прямым пределом является объединение, но в общем случае необходимо использовать картографический телескоп. Картографический телескоп представляет собой последовательность картографических цилиндров, соединенных встык. Картина сооружения выглядит как стопка все более крупных цилиндров, как телескоп.

Формально это определяется как

{ displaystyle { Bigl (} coprod _ {i} [0,1] times X_ {i} { Bigr)} / ((0, x_ {i}) sim (1, f_ {i} ( x_ {i}))).}

Смотрите также

использованная литература

^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п.2. ISBN 0-521-79540-0.
^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п.15. ISBN 0-521-79540-0.
^ Агуадо, Алекс. «Краткое замечание по нанесению на карту цилиндров». arXiv:1206.1277 [math.AT ].

Мэй, J.P (1999). Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-2265-1183-2.

[1] Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п.2. ISBN 0-521-79540-0.

[2] Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п.15. ISBN 0-521-79540-0.

[3] Агуадо, Алекс. «Краткое замечание по нанесению на карту цилиндров». arXiv:1206.1277 [math.AT ].

[1]

[2]

[3]