Несвязное объединение (топология) - Disjoint union (topology)

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: Топология "дизъюнктного объединения"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В общая топология и смежные области математика, то несвязный союз (также называемый прямая сумма, свободный союз, бесплатная сумма, топологическая сумма, или же сопродукт) из семья из топологические пространства это пространство, образованное путем оснащения несвязный союз базовых множеств с естественная топология называется дизъюнктная топология объединения. Грубо говоря, два или более пространства можно рассматривать вместе, каждое из которых выглядит как по отдельности.

Название сопродукт происходит из того факта, что дизъюнктное объединение является категоричный дуальный из пространство продукта строительство.

Определение

Позволять {Икс_я : я ∈ я} семейство топологических пространств, индексируемых я. Позволять

${ displaystyle X = coprod _ {i} X_ {i}}$

быть несвязный союз базовых наборов. Для каждого я в я, позволять

${ displaystyle varphi _ {i}: X_ {i} to X ,}$

быть каноническая инъекция (определяется ${ Displaystyle varphi _ {я} (х) = (х, я)}$). В дизъюнктная топология объединения на Икс определяется как лучшая топология на Икс для чего все канонические уколы ${ displaystyle varphi _ {я}}$ находятся непрерывный.

В явном виде топологию дизъюнктного объединения можно описать следующим образом. Подмножество U из Икс является открыто в Икс если и только если это прообраз ${ Displaystyle varphi _ {я} ^ {- 1} (U)}$ открыт в Икс_я для каждого я ∈ я. Еще одна формулировка состоит в том, что подмножество V из Икс открыт относительно Икс если только его пересечение с Икс_я открыт относительно Икс_я для каждого я.

Характеристики

Непересекающееся объединенное пространство Иксвместе с каноническими инъекциями можно охарактеризовать следующими универсальная собственность: Если Y - топологическое пространство, а ж_я : Икс_я → Y является непрерывной картой для каждого я ∈ я, то существует ровно один непрерывная карта ж : Икс → Y такой, что следующий набор диаграмм ездить:

Это показывает, что дизъюнктное объединение является сопродукт в категория топологических пространств. Из указанного универсального свойства следует, что отображение ж : Икс → Y непрерывно если только ж_я = ж o φ_я непрерывно для всех я в я.

Канонические инъекции φ_я : Икс_я → Икс находятся открытые и закрытые карты. Отсюда следует, что инъекции топологические вложения так что каждый Икс_я можно канонически рассматривать как подпространство из Икс.

Примеры

Если каждый Икс_я является гомеоморфный в фиксированное пространство А, то несвязное объединение Икс гомеоморфен пространство продукта А × я куда я имеет дискретная топология.

Сохранение топологических свойств

• Каждый непересекающийся союз дискретные пространства дискретно
• Разделение
  • Каждый несвязный союз Т₀ пробелы это T₀
  • Каждый несвязный союз Т₁ пробелы это T₁
  • Каждый несвязный союз Хаусдорфовы пространства Хаусдорф
• Связность
  • Непересекающееся объединение двух или более непустых топологических пространств есть отключен

Смотрите также

• топология продукта, двойственная конструкция
• топология подпространства и его двойная факторная топология
• топологический союз, обобщение на случай, когда части не пересекаются