Пространство T1 - T1 space

Аксиомы разделения в топологические пространства
Колмогоров классификация
Т0	(Колмогоров)
Т1	(Фреше)
Т2	(Хаусдорф)
Т2½	(Урысон)
полностью T2	(полностью Хаусдорф)
Т3	(обычный Хаусдорф)
Т3½	(Тихонов)
Т4	(нормальный Хаусдорф)
Т5	(совершенно нормально Хаусдорф)
Т6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топология и смежные отрасли математика, а Т₁ Космос это топологическое пространство в котором для каждой пары различных точек каждая имеет район не содержащие другой точки.^[1] An р₀ Космос тот, в котором это верно для каждой пары топологически различимый точки. Свойства T₁ и R₀ являются примерами аксиомы разделения.

Определения

Позволять Икс быть топологическое пространство и разреши Икс и y быть точками в Икс. Мы говорим что Икс и y возможно отделенный если каждый лежит в район который не содержит другой точки.

• Икс это Т₁ Космос если любые два отчетливый указывает в Икс разделены.
• Икс является р₀ Космос если любые два топологически различимый указывает в Икс разделены.

В₁ пространство также называют доступное пространство или Тихоновское пространство, или пространство с Топология Фреше и R₀ пространство также называют симметричное пространство. (Период, термин Fréchet space также есть совершенно другое значение в функциональный анализ. По этой причине термин Т₁ Космос является предпочтительным. Также существует понятие Пространство Фреше – Урысона как тип последовательное пространство. Период, термин симметричное пространство имеет другое значение.)

Характеристики

Если Икс является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс я сидела₁ Космос.
2. Икс это Т₀ Космос и R₀ Космос.
3. Пункты закрыты в Икс; т.е. учитывая любые Икс ∈ Икс, одноэлементный набор { Икс } это закрытый набор.
4. Каждое подмножество Икс является пересечением всех содержащих его открытых множеств.
5. Каждый конечный набор закрыто.^[2]
6. Каждый cofinite набор из Икс открыт.
7. В фиксированный ультрафильтр в Икс сходится только к Икс.
8. Для каждого подмножества S из Икс и каждая точка Икс ∈ Икс, Икс это предельная точка из S если и только если каждый открытый район из Икс содержит бесконечно много точек S.

Если Икс является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. Икс является R₀ Космос.
2. Учитывая любые Икс ∈ Икс, то закрытие из { Икс } содержит только точки, топологически неотличимые от Икс.
3. Для любых двух точек z и y в пространстве, Икс находится в закрытии { y } если и только если y находится в закрытии { Икс }.
4. В предварительный заказ специализации на Икс является симметричный (и, следовательно, отношение эквивалентности ).
5. Фиксированный ультрафильтр на Икс сходится только к точкам, которые топологически неотличимы от Икс.
6. Каждый открытый набор это союз закрытые наборы.

В любом топологическом пространстве мы имеем в качестве свойств любых двух точек следующие импликации

отделенный ⇒ топологически различимый ⇒ отчетливый

Если первая стрелка может быть перевернута, пробел R₀. Если вторую стрелку можно перевернуть, пробел Т₀. Если составная стрелка может быть перевернута, пробел равен T.₁. Пространство T₁ тогда и только тогда, когда это R₀ и т₀.

Отметим, что конечное T₁ пространство обязательно дискретный (так как каждый набор закрыт).

Примеры

• Пространство Серпинского представляет собой простой пример топологии T₀ но не Т₁.
• В топология перекрывающихся интервалов представляет собой простой пример топологии T₀ но не Т₁.
• Каждый слабо хаусдорфово пространство это T₁ но в целом обратное неверно.
• В конфинитная топология на бесконечный набор представляет собой простой пример топологии T₁ но не Хаусдорф (Т₂). Это следует из того, что никакие два открытых множества конфинитной топологии не пересекаются. В частности, пусть Икс быть набором целые числа, и определим открытые наборы О_А быть теми подмножествами Икс которые содержат все, кроме конечный подмножество А из Икс. Затем с учетом различных целых чисел Икс и y:

• открытый набор О_{Икс} содержит y но нет Икс, и открытый набор О_{y} содержит Икс и нет y;
• эквивалентно, каждый одиночный набор {Икс} является дополнением открытого множества О_{Икс}, так что это закрытый набор;

так что получившееся пространство T₁ по каждому из приведенных выше определений. Это пространство не T₂, поскольку пересечение любых двух открытых множеств О_А и О_B является О_А∪B, который никогда не бывает пустым. В качестве альтернативы набор четных целых чисел компактный но нет закрыто, что было бы невозможно в хаусдорфовом пространстве.

• Приведенный выше пример можно немного изменить, чтобы создать двупунктовая конфинитная топология, который является примером R₀ пространство, которое не является ни T₁ ни R₁. Позволять Икс снова быть набором целых чисел, и используя определение О_А из предыдущего примера определите подоснование открытых наборов грамм_Икс для любого целого Икс быть грамм_Икс = О_{{Икс, Икс+1}} если Икс является четное число, и грамм_Икс = О_{{Икс-1, Икс}} если Икс странно. Тогда основа топологии задаются конечными перекрестки подбазисных множеств: задано конечное множество А, открытые наборы Икс находятся

${ displaystyle U_ {A}: = bigcap _ {x in A} G_ {x}.}$

Полученное пространство не является T₀ (а значит, и не T₁), поскольку точки Икс и Икс + 1 (для Икс четные) топологически неразличимы; но в остальном он по сути эквивалентен предыдущему примеру.

• В Топология Зарисского на алгебраическое многообразие (более алгебраически замкнутое поле ) является T₁. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что точка с местные координаты (c₁,...,c_п) это нулевой набор из многочлены Икс₁-c₁, ..., Икс_п-c_п. Таким образом, точка закрыта. Однако этот пример хорошо известен как пространство, которое не Хаусдорф (Т₂). Топология Зарисского по сути является примером конфинитной топологии.
• Топология Зарисского на коммутативное кольцо (то есть простое спектр кольца ) является T₀ но не в общем, T₁.^[3] Чтобы увидеть это, обратите внимание, что замыкание одноточечного набора - это набор всех главные идеалы которые содержат точку (и, следовательно, топология T₀). Однако это закрытие максимальный идеал, и единственные замкнутые точки являются максимальными идеалами и, следовательно, не содержатся ни в одном из открытых множеств топологии, и, следовательно, пространство не удовлетворяет аксиоме T₁. Чтобы прояснить этот пример: топология Зарисского для коммутативного кольца А задается следующим образом: топологическое пространство - это множество Икс из всех главные идеалы из А. В база топологии задается открытыми множествами О_а главных идеалов, которые делают нет содержать а в А. Несложно убедиться, что это действительно основа: так О_а ∩ О_б = О_ab и О₀ = Ø и О₁ = Икс. Замкнутые множества топологии Зарисского - это множества первичных идеалов, которые делать содержать а. Обратите внимание, как этот пример тонко отличается от приведенного выше примера конфинитной топологии: точки в топологии, как правило, не замкнуты, тогда как в T₁ пространство, точки всегда закрыты.
• Каждый полностью отключен пространство T₁, поскольку каждая точка является связный компонент и поэтому закрыт.

Обобщения на другие виды пространств

Условия "T₁", "Р₀", а их синонимы применимы и к таким вариациям топологических пространств, как равномерные пространства, Пространства Коши, и пространства сходимости Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, заключается в том, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сети ) уникальны (для T₁ пространства) или единственное с точностью до топологической неразличимости (для R₀ пробелы).

Как выясняется, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда R₀, поэтому T₁ условие в этих случаях сводится к T₀ состояние. Но R₀ само по себе может быть интересным условием для других видов пространств сходимости, таких как претопологические пространства.

Рекомендации

• Уиллард, Стивен (1998). Общая топология. Нью-Йорк: Дувр. С. 86–90. ISBN  0-486-43479-6.
• Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр.116. ISBN  0-471-31716-0.
• СРЕДНИЙ. Архангельский, Л. Понтрягина (ред.) Общая топология I (1990) Спрингер-Верлаг ISBN  3-540-18178-4.