Алгебраически замкнутое поле - Algebraically closed field
В математика, а поле F является алгебраически замкнутый если каждый непостоянный многочлен в F[Икс] (одномерный кольцо многочленов с коэффициентами в F) имеет корень в F.
Примеры
Например, поле действительные числа не является алгебраически замкнутым, поскольку полиномиальное уравнение Икс2 + 1 = 0 не имеет решения в действительных числах, хотя все его коэффициенты (1 и 0) действительны. Тот же аргумент доказывает, что никакое подполе вещественного поля не является алгебраически замкнутым; в частности, область рациональное число не является алгебраически замкнутым. Также нет конечное поле F алгебраически замкнуто, потому что если а1, а2, ..., ап элементы F, то многочлен (Икс − а1)(Икс − а2) ··· (Икс − ап) + 1 не имеет нуля в F. Напротив, основная теорема алгебры заявляет, что область сложные числа алгебраически замкнуто. Другой пример алгебраически замкнутого поля - это поле (комплексного) алгебраические числа.
Эквивалентные свойства
Учитывая поле F, утверждение "F алгебраически замкнуто "эквивалентно другим утверждениям:
Единственные неприводимые полиномы - это полиномы первой степени.
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственный неприводимые многочлены в кольцо многочленов F[Икс] имеют степень один.
Утверждение «полиномы первой степени неприводимы» тривиально верно для любого поля. Если F алгебраически замкнуто и п(Икс) - неприводимый многочлен от F[Икс], то у него есть корень а и поэтому п(Икс) кратно Икс − а. С п(Икс) неприводимо, это означает, что п(Икс) = k(Икс − а), для некоторых k ∈ F {0}. С другой стороны, если F не является алгебраически замкнутым, то существует некоторый непостоянный многочлен п(Икс) в F[Икс] без корней в F. Позволять q(Икс) - некоторый неприводимый множитель п(Икс). С п(Икс) не имеет корней в F, q(Икс) также не имеет корней в F. Следовательно, q(Икс) имеет степень больше единицы, так как каждый многочлен первой степени имеет один корень из F.
Каждый многочлен является произведением многочленов первой степени
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен п(Икс) степени п ≥ 1, с коэффициенты в F, разбивается на линейные множители. Другими словами, есть элементы k, Икс1, Икс2, ..., Иксп поля F такой, что п(Икс) = k(Икс − Икс1)(Икс − Икс2) ··· (Икс − Иксп).
Если F обладает этим свойством, то очевидно, что каждый непостоянный многочлен из F[Икс] имеет корень в F; другими словами, F алгебраически замкнуто. С другой стороны, указанное здесь свойство выполняется для F если F алгебраически замкнуто следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K, любой многочлен от K[Икс] можно записать как произведение неприводимых многочленов.
Многочлены простой степени имеют корни
Если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F, то каждый непостоянный многочлен имеет корень в F.[1] Отсюда следует, что поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F.
Поле не имеет собственного алгебраического расширения
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет собственного алгебраическое расширение.
Если F не имеет собственного алгебраического расширения, пусть п(Икс) - некоторый неприводимый многочлен от F[Икс]. Тогда частное из F[Икс] по модулю идеальный создано п(Икс) является алгебраическим расширением F чей степень равна степени п(Икс). Поскольку это не собственное расширение, его степень равна 1 и, следовательно, степень п(Икс) равно 1.
С другой стороны, если F имеет собственное алгебраическое расширение K, то минимальный многочлен элемента в K F неприводимо и его степень больше 1.
Поле не имеет собственного конечного расширения
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда у него нет собственного конечное расширение потому что если в пределах предыдущее доказательство, термин «алгебраическое расширение» заменяется термином «конечное расширение», тогда доказательство остается в силе. (Обратите внимание, что конечные расширения обязательно алгебраические.)
Каждый эндоморфизм Fп имеет собственный вектор
Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа п, каждый линейная карта из Fп в себе имеет некоторые собственный вектор.
An эндоморфизм из Fп имеет собственный вектор тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен имеет какой-то корень. Следовательно, когда F алгебраически замкнут, каждый эндоморфизм Fп имеет собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм Fп имеет собственный вектор, пусть п(Икс) быть элементом F[Икс]. Разделив его на старший коэффициент, мы получим еще один многочлен q(Икс) имеющий корни тогда и только тогда, когда п(Икс) имеет корни. Но если q(Икс) = Иксп + ап − 1Иксп − 1+ ··· + а0, тогда q(Икс) - характеристический многочлен п × п сопутствующая матрица