Эндоморфизм - Википедия - Endomorphism

Ортогональная проекция на линию, м, это линейный оператор на самолете. Это пример эндоморфизма, который не является автоморфизм.

В математика, эндоморфизм это морфизм из математический объект себе. Эндоморфизм, который также является изоморфизм является автоморфизм. Например, эндоморфизм векторное пространство V это линейная карта ж: V → V, и эндоморфизм группа грамм это групповой гомоморфизм ж: грамм → грамм. В общем, можно говорить об эндоморфизмах в любых категория. в категория наборов, эндоморфизмы функции из набор S себе.

В любой категории сочинение любых двух эндоморфизмов Икс снова является эндоморфизмом Икс. Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов Икс образует моноид, то моноид полного преобразования, и обозначил Конец(Икс) (или же Конец_C(Икс) чтобы подчеркнуть категорию C).

Автоморфизмы

An обратимый эндоморфизм Икс называется автоморфизм. Множество всех автоморфизмов - это подмножество из Конец(Икс) с группа структура, названная группа автоморфизмов из Икс и обозначен Aut (Икс). На следующей диаграмме стрелки обозначают импликацию:

Кольца эндоморфизмов

Любые два эндоморфизма абелева группа, А, можно сложить по правилу (ж + грамм)(а) = ж(а) + грамм(а). При этом сложении и умножении, определяемом как композиция функций, эндоморфизмы абелевой группы образуют звенеть (в кольцо эндоморфизмов ). Например, множество эндоморфизмов ℤ^п кольцо всего п × п матрицы с целое число записи. Эндоморфизмы векторного пространства или модуль также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в предаддитивная категория. Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как близкий к кольцу. Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего обычный модуль, а значит, является подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы;^[1] однако есть кольца, которые не являются кольцом эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.

Теория операторов

В любом конкретная категория, особенно для векторные пространства, эндоморфизмы - это отображения множества в себя, и их можно интерпретировать как унарные операторы на этом наборе, игра актеров на элементах, и позволяя определить понятие орбиты элементов и др.

В зависимости от дополнительной структуры, определенной для данной категории (топология, метрика, ...) такие операторы могут иметь такие свойства, как непрерывность, ограниченность, и так далее. Подробнее читайте в статье о теория операторов.

Эндофункции

An эндофункция - функция, домен равен своему codomain. А гомоморфный эндофункция - это эндоморфизм.

Позволять S - произвольное множество. Среди эндофункций на S можно найти перестановки из S и постоянные функции, связанные с каждым Икс в S тот же элемент c в S. Каждая перестановка S имеет codomain, равный его домену и биективный и обратимый. Если S имеет более одного элемента, постоянная функция на S имеет изображение это собственное подмножество его области значений и, следовательно, не биективно (и, следовательно, не обратимо). Функция, связанная с каждым натуральное число п пол п/2 имеет свой образ, равный его codomain и не обратимый.

Конечные эндофункции эквивалентны направленные псевдолеса. Для наборов размера п Существуют п^п эндофункции на наборе.

Конкретными примерами биективных эндофункций являются инволюции; т.е. функции, совпадающие со своими обратными.

Смотрите также

• Присоединенный эндоморфизм
• Эпиморфизм (Сюръективный морфизм)
• Эндоморфизм Фробениуса
• Мономорфизм (Инъективный морфизм)

Примечания

Рекомендации

• Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1

внешняя ссылка

• «Эндоморфизм», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Эндоморфизм». PlanetMath.