Функция (математика) - Function (mathematics)

В математике функция^{[примечание 1]} это бинарное отношение между двумя наборы который связывает каждый элемент первого набора ровно с одним элементом второго набора. Типичные примеры - функции из целые числа в целые числа или из действительные числа к действительным числам.

Изначально функции были идеализацией зависимости одной величины от другой. Например, положение планета это функция времени. Исторически, концепция была разработана с исчисление бесконечно малых в конце 17 века и до 19 века рассматриваемые функции дифференцируемый (то есть они имели высокую степень регулярности). Понятие функции было формализовано в конце XIX века в терминах теория множеств, и это значительно расширило область применения концепции.

Функция - это процесс или отношение, которое связывает каждый элемент Икс из набор Икс, то домен функции до одного элемента у другого набора Y (возможно, тот же набор), codomain функции. Обычно обозначается буквами типа ${ displaystyle f}$, ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle h}$.^[1]

Если функция вызывается ж, это соотношение обозначается у = ж (Икс) (который гласит "ж из Икс"), где элемент Икс это аргумент или Вход функции и у это значение функции, то вывод, или изображение из Икс к ж.^[2] Символ, который используется для представления ввода, - это переменная функции (например, ж является функцией переменной Икс).^[3]

Функция однозначно представлена ​​множеством всех пары (Икс, ж (Икс)), называется график функции.^{[заметка 2][4]} Когда домен и кодомен представляют собой наборы действительных чисел, каждую такую ​​пару можно рассматривать как Декартовы координаты точки на плоскости. Набор этих точек называется графиком функции; это популярный способ иллюстрации функции.

Функции широко используются в наука, и в большинстве областей математики. Было сказано, что функции являются «центральным объектом исследования» в большинстве областей математики.^[5]

Схематическое изображение функции, образно описываемой как «машина» иличерный ящик "что для каждого входа дает соответствующий результат

Красная кривая - это график функции, потому что любой вертикальная линия имеет ровно одну точку пересечения с кривой.

Функция, которая связывает любую из четырех цветных фигур с ее цветом.

Определение

Схема функции с доменом Икс = {1, 2, 3} и codomain Y = {A, B, C, D}, который определяется набором упорядоченных пар {(1, D), (2, C), (3, C)}. Изображение / диапазон - это набор {C, D}.

---

---

---

Эта диаграмма, представляющая набор пар {(1, D), (2, B), (2, C)}, действительно нет определить функцию. Одна из причин заключается в том, что 2 - это первый элемент в более чем одной упорядоченной паре, (2, Б) и (2, В), этого набора. Две другие причины, также достаточные сами по себе, заключаются в том, что ни 3, ни 4 не являются первыми элементами (входом) любой упорядоченной пары в нем.

Интуитивно понятно, что функция - это процесс, который связывает каждый элемент набора Икс, к отдельному элементу набора Y.

Формально функция ж из набора Икс к набору Y определяется набором г заказанных пар (Икс, у) такой, что Икс ∈ Икс, у ∈ Y, и каждый элемент Икс - первая компонента ровно одной упорядоченной пары в г.^{[6][заметка 3]} Другими словами, для каждого Икс в Икс, есть ровно один элемент у так что заказанная пара (Икс, у) принадлежит набору пар, определяющих функцию ж. Набор г называется график функции. Формально его можно отождествить с функцией, но за этим скрывается обычная интерпретация функции как процесса. Таким образом, в обычном использовании функция обычно отличается от ее графика.

Функции также называют карты или сопоставления, хотя некоторые авторы проводят различие между «картами» и «функциями» (см. раздел #Карта ).

В определении функции Икс и Y соответственно называются домен и codomain функции ж.^[7] Если (Икс, у) принадлежит к множеству определяющих ж, тогда у это изображение из Икс под ж, или ценность из ж применяется к аргумент Икс. В частности, в контексте чисел говорят, что у это ценность ж для ценность Икс своей переменной, или, более кратко, что у это ценность ж из Икс, обозначенный как у = ж(Икс).

Две функции ж и грамм равны, если их наборы доменов и кодоменов совпадают, а их выходные значения совпадают для всего домена. Более формально ж = грамм если ж(Икс) = грамм(Икс) для всех Икс ∈ Икс, где ж:Икс → Y и грамм:Икс → Y.^{[8][9][примечание 4]}

Домен и codomain не всегда явно указываются при определении функции, и без некоторых (возможно, сложных) вычислений можно было бы знать только, что домен содержится в большем наборе. Обычно это происходит в математический анализ, где "функция из Икс к Y " часто относится к функции, которая может иметь правильное подмножество^{[примечание 5]} из Икс как домен. Например, «функция от действительного числа к действительному значению» может относиться к ценный функция реальная переменная, и эта фраза не означает, что область определения функции - это весь набор действительные числа, но только то, что домен представляет собой набор действительных чисел, содержащий непустой открытый интервал; такая функция тогда называется частичная функция. Например, если ж - функция, имеющая действительные числа как домен и домен, затем функция, отображающая значение Икс к значению ${ Displaystyle г (х) = { tfrac {1} {е (х)}}}$ это функция грамм от реалов к реалам, домен которых является набором реалов Икс, так что ж(Икс) ≠ 0.

В диапазон функции это набор картинки всех элементов в домене. Однако, ассортимент иногда используется как синоним codomain, как правило, в старых учебниках.^{[нужна цитата ]}

Реляционный подход

Любое подмножество декартова произведения двух множеств ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ определяет бинарное отношение ${ Displaystyle R substeq X раз Y}$ между этими двумя наборами. Совершенно очевидно, что произвольное отношение может содержать пары, нарушающие необходимые условия для функции, указанные выше.

Бинарное отношение функциональный (также называемый уникальным справа), если

${ Displaystyle forall x in X, forall y in Y, forall z in Y, ((x, y) in R land (x, z) in R) подразумевает y = z. }$

Бинарное отношение серийный (также называемый левым итогом), если

${ displaystyle forall x in X, существует y in Y, (x, y) in R.}$

А частичная функция это бинарное отношение, которое является функциональным.

Функция - это бинарное отношение, которое является функциональным и последовательным.

На языке отношений можно переформулировать различные свойства функций и состав функций. Например, функция инъективный если обратное отношение ${ Displaystyle R ^ { текст {T}} substeq Y times X}$ функционально, где обратное соотношение определяется как ${ displaystyle R ^ { text {T}} = {(y, x) mid (x, y) in R }.}$^[10]

Как элемент декартового произведения над областью

Набор всех функций от некоторого заданного домена до кодомена иногда идентифицируется с декартовым произведением копий кодомена, индексированный по домену. А именно, данные наборы ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y,}$ любая функция ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ является элементом декартова произведения копий ${ displaystyle Y}$s над набором индексов ${ displaystyle X}$

${ displaystyle f in prod _ {X} Y = Y ^ {X}.}$

Просмотр ${ displaystyle f}$ так как кортеж с координатами, то для каждого ${ displaystyle x in X}$, то ${ displaystyle x}$-я координата этого кортежа - это значение ${ Displaystyle е (х) в Y.}$ Это отражает интуицию, что для каждого ${ displaystyle x in X,}$ функция выбирает какой-то элемент ${ displaystyle y in Y,}$ а именно, ${ displaystyle f (x).}$ (Эта точка зрения используется, например, при обсуждении функция выбора.)

Бесконечные декартовы произведения часто просто «определяют» как наборы функций.^[11]

Обозначение

Существуют различные стандартные способы обозначения функций. Наиболее часто используемая нотация - это функциональная нотация, которая определяет функцию с помощью уравнения, которое явно дает имена функции и аргумента. Это порождает тонкий момент, который часто упускается из виду в элементарных трактовках функций: функции отличаются от своих ценности. Таким образом, функция ж следует отличать от его стоимости ж(Икс₀) по стоимости Икс₀ в своей области. В некоторой степени даже работающие математики объединят эти два понятия в неформальной обстановке для удобства и для того, чтобы не показаться педантичными. Однако, строго говоря, это злоупотребление обозначениями написать "пусть ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}$ быть функцией ж(Икс) = Икс² ", поскольку ж(Икс) и Икс² оба следует понимать как ценность из ж в Икс, а не сама функция. Вместо этого будет правильным, хотя и многословным, написать "пусть ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}$ - функция, определяемая уравнением ж(Икс) = Икс², действительно для всех реальных значений Икс ". Компактная фраза" пусть ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}$ с ж(Икс) = Икс²,"где избыточным" будет функция "опущено и, по соглашению," для всех ${ displaystyle x}$ в области ${ displaystyle f}$"понимается.

Это различие в языке и обозначениях может стать важным в случаях, когда функции сами служат входными данными для других функций. (Функция, принимающая на вход другую функцию, называется функциональный.) Другие подходы к обозначению функций, подробно описанные ниже, позволяют избежать этой проблемы, но используются реже.

Функциональное обозначение

Как впервые было использовано Леонард Эйлер в 1734 г.,^[12] функции обозначаются символом, состоящим, как правило, из одной буквы в курсив, чаще всего строчные буквы ж, грамм, час.^[1] Некоторые широко используемые функции представлены символом, состоящим из нескольких букв (обычно двух или трех, обычно это сокращение их названия). В этом случае римский шрифт вместо этого обычно используется, например "грех" для функция синуса, в отличие от курсивного шрифта для однобуквенных символов.

Обозначение (читай: "у равно ж из Икс")

${ Displaystyle у = е (х)}$

означает, что пара (Икс, у) принадлежит набору пар, определяющих функцию ж. Если Икс это область ж, набор пар, определяющих функцию, таким образом, используя обозначение построителя множеств,

${ Displaystyle {(х, е (х)): х в Х }.}$

Часто определение функции дается тем, что ж делает явный аргумент Икс. Например, функция ж можно определить уравнением

${ Displaystyle е (х) = грех (х ^ {2} +1)}$

для всех действительных чисел Икс. В этом примере ж можно рассматривать как составной из нескольких более простых функций: возведение в квадрат, прибавление 1 и взятие синуса. Однако только синусоидальная функция имеет общий явный символ (sin), тогда как комбинация возведения в квадрат и последующего добавления 1 описывается полиномиальным выражением ${ displaystyle x ^ {2} +1}$. Чтобы явно ссылаться на функции, такие как возведение в квадрат или добавление 1, без введения новых имен функций (например, путем определения function грамм и час к ${ Displaystyle г (х) = х ^ {2}}$ и ${ Displaystyle ч (х) = х + 1}$) можно использовать один из приведенных ниже методов (обозначение стрелками или точечное обозначение).

Когда символ, обозначающий функцию, состоит из нескольких символов и не может возникнуть двусмысленности, скобки функциональной записи могут быть опущены. Например, обычно пишут ${ Displaystyle грех х}$ вместо того ${ Displaystyle грех (х).}$

Обозначение стрелки

Для явного выражения домена Икс и кодомен Y функции ж, часто используются обозначения стрелок (читайте: "функция ж из Икс к Y" или "функция ж отображение элементов Икс к элементам Y"):

${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$

или

${ displaystyle X ~ { stackrel {f} { to}} ~ Y.}$

Это часто используется в отношении обозначения стрелок для элементов (читай: "ж карты Икс к ж (Икс)"), часто располагаются сразу под обозначением стрелки с указанием символа функции, домена и домена:

${ displaystyle x mapsto f (x).}$

Например, если умножение определено на множестве Икс, то квадратная функция ${ displaystyle operatorname {sqr}}$ на Икс однозначно определяется (читай: "функция ${ displaystyle operatorname {sqr}}$ из Икс к Икс что отображает Икс к Икс ⋅ Икс")

${ Displaystyle { begin {выровнено} OperatorName {sqr} двоеточие X & to X x & mapsto x cdot x, end {align}}}$

последняя строка чаще пишется

${ displaystyle x mapsto x ^ {2}.}$

Часто выражение, задающее символ функции, домен и домен, опускается. Таким образом, обозначение стрелки полезно для избежания введения символа для функции, которая определяется, как это часто бывает, формулой, выражающей значение функции с точки зрения ее аргумента. В качестве обычного применения обозначений стрелок предположим ${ Displaystyle е двоеточие X раз от X до Y; ; (x, t) mapsto f (x, t)}$ - функция с двумя аргументами, и мы хотим сослаться на частично примененная функция ${ Displaystyle от X до Y}$ производится путем фиксации второго аргумента значения т₀ без введения нового имени функции. Рассматриваемая карта может быть обозначена ${ Displaystyle х mapsto f (х, t_ {0})}$ используя обозначения стрелок для элементов. Выражение ${ Displaystyle х mapsto f (х, t_ {0})}$ (читайте: "карта снимает Икс к ${ displaystyle f (х, t_ {0})}$") представляет эту новую функцию только с одним аргументом, тогда как выражение ${ displaystyle f (x_ {0}, t_ {0})}$ относится к значению функции ж на точка ${ displaystyle (x_ {0}, t_ {0})}$.

Обозначение индекса

Вместо функциональной записи часто используется индексная нотация. То есть вместо того, чтобы писать ж (Икс), один пишет ${ displaystyle f_ {x}.}$

Обычно это имеет место для функций, домен которых является набором натуральные числа. Такая функция называется последовательность, и в этом случае элемент ${ displaystyle f_ {n}}$ называется п-й элемент последовательности.

Обозначение индекса также часто используется для различения некоторых переменных, называемых параметры от «истинных переменных». Фактически, параметры - это специфические переменные, которые считаются фиксированными во время исследования проблемы. Например, карта ${ Displaystyle х mapsto f (x, t)}$ (см. выше) будет обозначаться ${ displaystyle f_ {t}}$ используя индексную нотацию, если мы определим коллекцию карт ${ displaystyle f_ {t}}$ по формуле ${ displaystyle f_ {t} (x) = f (x, t)}$ для всех ${ displaystyle x, t in X}$.

Точечная запись

В обозначениях${ Displaystyle х mapsto f (x),}$символ Икс не представляет никакой ценности, это просто заполнитель это означает, что если Икс заменяется любым значением слева от стрелки, его следует заменить на такое же значение справа от стрелки. Следовательно, Икс может быть заменен любым символом, часто вставлять " ⋅ ". Это может быть полезно для различения функции ж (⋅) от его стоимости ж (Икс) в Икс.

Например, ${ Displaystyle а ( cdot) ^ {2}}$ может означать функцию ${ Displaystyle х mapsto ax ^ {2}}$, и ${ Displaystyle textstyle int _ {а} ^ {, ( cdot)} е (и) , ду}$ может обозначать функцию, определяемую интегралом с переменной верхней границей: ${ displaystyle textstyle x mapsto int _ {a} ^ {x} f (u) , du}$.

Специализированные обозначения

Существуют и другие специализированные обозначения функций в дисциплинах математики. Например, в линейная алгебра и функциональный анализ, линейные формы и векторов они действуют, обозначены с помощью двойная пара показать основную двойственность. Это похоже на использование обозначение бюстгальтера в квантовой механике. В логика и теория вычислений, обозначение функции лямбда-исчисление используется для явного выражения основных понятий функции абстракция и заявление. В теория категорий и гомологическая алгебра, сети функций описаны с точки зрения того, как они и их состав ездить друг с другом, используя коммутативные диаграммы которые расширяют и обобщают обозначения стрелок для функций, описанных выше.

Прочие условия

карта

Функцию также часто называют карта или отображение, но некоторые авторы проводят различие между терминами «карта» и «функция». Например, термин «карта» часто зарезервирован для «функции» с какой-то особой структурой (например, карты многообразий ). Особенно карта часто используется вместо гомоморфизм для краткости (например, линейная карта или карта из г к ЧАС вместо того групповой гомоморфизм из г к ЧАС). Некоторые авторы^[20] зарезервировать слово отображение для случая, когда структура содомена явно принадлежит определению функции.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг,^[21] используйте слово "функция" только для обозначения карт, для которых codomain является подмножеством настоящий или сложный числа, и используйте термин отображение для более общих функций.

В теории динамические системы, карта обозначает функция эволюции используется для создания дискретные динамические системы. Смотрите также Карта Пуанкаре.

Какое бы определение карта используются связанные термины, такие как домен, codomain, инъективный, непрерывный имеют то же значение, что и функция.

Указание функции

Учитывая функцию ${ displaystyle f}$, по определению, каждому элементу ${ displaystyle x}$ области определения функции ${ displaystyle f}$, с ним связан уникальный элемент, значение ${ displaystyle f (x)}$ из ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle x}$. Есть несколько способов указать или описать, как ${ displaystyle x}$ относится к ${ displaystyle f (x)}$, как явно, так и неявно. Иногда теорема или аксиома утверждает существование функции, обладающей некоторыми свойствами, но не описывает ее более точно. Часто спецификация или описание называют определением функции. ${ displaystyle f}$.

Путем перечисления значений функций

На конечном множестве функция может быть определена путем перечисления элементов кодомена, которые связаны с элементами домена. Например, если ${ Displaystyle А = {1,2,3 }}$, то можно определить функцию ${ displaystyle f двоеточие A to mathbb {R}}$ к ${ Displaystyle f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4.}$

По формуле

Функции часто определяются формула который описывает комбинацию арифметические операции и ранее определенные функции; такая формула позволяет вычислить значение функции из значения любого элемента домена. Например, в приведенном выше примере ${ displaystyle f}$ можно определить формулой ${ Displaystyle е (п) = п + 1}$, за ${ Displaystyle п в {1,2,3 }}$.

Когда функция определяется таким образом, иногда бывает трудно определить ее область определения. Если формула, определяющая функцию, содержит деления, значения переменной, знаменатель которой равен нулю, должны быть исключены из домена; таким образом, для сложной функции определение области проходит через вычисление нули вспомогательных функций. Аналогично, если квадратные корни встречаются в определении функции из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ к ${ displaystyle mathbb {R},}$ домен входит в набор значений переменной, для которых аргументы квадратных корней неотрицательны.

Например, ${ Displaystyle е (х) = { sqrt {1 + х ^ {2}}}}$ определяет функцию ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}$ чей домен ${ displaystyle mathbb {R},}$ потому что ${ displaystyle 1 + x ^ {2}}$ всегда положительно, если Икс это действительное число. С другой стороны, ${ displaystyle f (x) = { sqrt {1-x ^ {2}}}}$ определяет функцию от вещественного числа к действительному, область определения которого сводится к интервалу [–1, 1]. (В старых текстах такая область называлась область определения функции.)

Функции часто классифицируются по характеру формул, которые могут их определять:

• А квадратичная функция это функция, которая может быть написана ${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c,}$ где а, б, c находятся константы.
• В более общем плане полиномиальная функция - это функция, которая может быть определена формулой, включающей только сложение, вычитание, умножение и возведение в степень к неотрицательным целым числам. Например, ${ Displaystyle е (х) = х ^ {3} -3x-1,}$ и ${ Displaystyle f (x) = (x-1) (x ^ {3} +1) + 2x ^ {2} -1.}$
• А рациональная функция то же самое, с разрешенными делениями, например ${ displaystyle f (x) = { frac {x-1} {x + 1}},}$ и ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x + 1}} + { frac {3} {x}} - { frac {2} {x-1}}.}$
• An алгебраическая функция то же самое, с пкорни и корни многочленов тоже разрешено.
• An элементарная функция^{[примечание 6]} то же самое, с логарифмы и экспоненциальные функции допустимый.

Обратные и неявные функции

Функция ${ displaystyle f двоеточие от X до Y,}$ с доменом Икс и codomain Y, является биективный, если для каждого у в Y, есть один и только один элемент Икс в Икс такой, что у = ж(Икс). В этом случае обратная функция из ж это функция ${ displaystyle f ^ {- 1} двоеточие от Y до X}$ что отображает ${ displaystyle y in Y}$ к элементу ${ displaystyle x in X}$ такой, что у = ж(Икс). Например, натуральный логарифм является биективной функцией от положительных действительных чисел к действительным числам. Таким образом, у него есть обратное, называемое экспоненциальная функция, который отображает действительные числа на положительные.

Если функция ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ не биективен, может случиться так, что можно выбрать подмножества ${ Displaystyle E substeq X}$ и ${ displaystyle F substeq Y}$ так что ограничение из ж к E это биекция от E к F, и поэтому имеет обратное. В обратные тригонометрические функции определяются таким образом. Например, функция косинуса индуцирует путем ограничения биекцию из интервал [0, π] на интервал [–1, 1], и его обратная функция, называемая арккозин, карты [–1, 1] на [0, π]. Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции.

В более общем плане, учитывая бинарное отношение р между двумя наборами Икс и Y, позволять E быть подмножеством Икс так что для каждого ${ displaystyle x in E,}$ существует некоторое ${ displaystyle y in Y}$ такой, что x R y. Если есть критерий, позволяющий выбрать такую у для каждого ${ displaystyle x in E,}$ это определяет функцию ${ displaystyle f двоеточие E to Y,}$ называется неявная функция, поскольку он неявно определяется соотношением р.

Например, уравнение единичный круг ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ определяет отношение к действительным числам. Если –1 < Икс < 1 есть два возможных значения у, один положительный и один отрицательный. За Икс = ± 1, эти два значения становятся равными 0. В противном случае невозможно значение у. Это означает, что уравнение определяет две неявные функции с областью определения [–1, 1] и соответствующие кодомены [0, +∞) и (–∞, 0].

В этом примере уравнение можно решить в у, давая ${ displaystyle y = pm { sqrt {1-x ^ {2}}},}$ но в более сложных примерах это невозможно. Например, отношение ${ displaystyle y ^ {5} + x + 1 = 0}$ определяет у как неявная функция Икс, называется Принесите радикальный, который имеет ${ Displaystyle mathbb {R}}$ как домен и диапазон. Радикал Бринга нельзя выразить четырьмя арифметическими операциями и пкорни.

В теорема о неявной функции обеспечивает мягкий дифференцируемость условия существования и единственности неявной функции в окрестности точки.

Использование дифференциального исчисления

Многие функции можно определить как первообразный другой функции. Это случай натуральный логарифм, которая является первообразной 1/Икс это 0 для Икс = 1. Другой распространенный пример - это функция ошибки.

В общем, многие функции, в том числе большинство специальные функции, можно определить как решения дифференциальные уравнения. Самый простой пример - это, наверное, экспоненциальная функция, которую можно определить как единственную функцию, равную своей производной и принимающую значение 1 для Икс = 0.

Силовая серия могут использоваться для определения функций в области, в которой они сходятся. Например, экспоненциальная функция дан кем-то ${ displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} {x ^ {n} over n!}}$. Однако, поскольку коэффициенты ряда довольно произвольны, функция, которая является суммой сходящегося ряда, обычно определяется иначе, а последовательность коэффициентов является результатом некоторого вычисления, основанного на другом определении. Затем степенной ряд можно использовать для расширения области определения функции. Обычно, если функция для реальной переменной представляет собой сумму ее Серия Тейлор в некотором интервале этот степенной ряд позволяет сразу расширить область до подмножества сложные числа, то диск схождения серии. потом аналитическое продолжение позволяет еще больше расширить область, включив в нее почти все комплексная плоскость. Этот процесс обычно используется для определения логарифм, то экспоненциальный и тригонометрические функции комплексного числа.

По повторению

Функции, область определения которых - неотрицательные целые числа, известные как последовательности, часто определяются повторяющиеся отношения.

В факториал функция от неотрицательных целых чисел (${ displaystyle n mapsto n!}$) является основным примером, поскольку его можно определить рекуррентным соотношением

${ displaystyle n! = n (n-1)! quad { text {for}} quad n> 0,}$

и начальное условие

${ displaystyle 0! = 1.}$

Представление функции

А график обычно используется, чтобы дать интуитивное представление о функции. В качестве примера того, как график помогает понять функцию, по его графику легко увидеть, увеличивается или уменьшается функция. Некоторые функции также могут быть представлены гистограммы.

Графики и графики

Функция, ежегодно отображающая количество погибших автотранспортных средств в США, отображается в виде линейный график

Та же функция, показанная в виде гистограммы

Учитывая функцию ${ displaystyle f двоеточие от X до Y,}$ его график формально есть множество

${ displaystyle G = {(x, f (x)): x in X }.}$

В частом случае, когда Икс и Y являются подмножествами действительные числа (или могут быть идентифицированы с такими подмножествами, например интервалы ), элемент ${ Displaystyle (х, у) в G}$ может быть отождествлен с точкой, имеющей координаты Икс, у в 2-мерной системе координат, например то Декартова плоскость. Частично это может создать сюжет который представляет (части) функции. Сюжеты используются настолько повсеместно, что их тоже называют график функции. Возможны также графические представления функций в других системах координат. Например, график квадратная функция

${ Displaystyle х mapsto х ^ {2},}$

состоящий из всех точек с координатами ${ Displaystyle (х, х ^ {2})}$ за ${ Displaystyle х in mathbb {R},}$ дает в декартовых координатах хорошо известный парабола. Если та же квадратичная функция ${ Displaystyle х mapsto х ^ {2},}$ с тем же формальным графом, состоящим из пар чисел, строится вместо этого в полярные координаты ${ Displaystyle (г, тета) = (х, х ^ {2}),}$ полученный сюжет Спираль Ферма.

Столы

Функцию можно представить в виде таблицы значений. Если область определения функции конечна, то таким образом можно полностью задать функцию. Например, функция умножения ${ Displaystyle е двоеточие {1, ldots, 5 } ^ {2} to mathbb {R}}$ определяется как ${ Displaystyle е (х, у) = ху}$ можно представить знакомым Таблица умножения

С другой стороны, если область определения функции является непрерывной, таблица может давать значения функции при определенных значениях области. Если требуется промежуточное значение, интерполяция можно использовать для оценки значения функции. Например, часть таблицы для синусоидальной функции может быть представлена ​​следующим образом, со значениями, округленными до 6 десятичных знаков:

До появления карманных калькуляторов и персональных компьютеров такие таблицы часто составлялись и публиковались для таких функций, как логарифмы и тригонометрические функции.

Гистограмма

Гистограммы часто используются для представления функций, домен которых является конечным множеством, натуральные числа, или целые числа. В этом случае элемент Икс домена представлен интервал из Иксось и соответствующее значение функции, ж(Икс), представлен прямоугольник базой которой является интервал, соответствующий Икс и чей рост ж(Икс) (возможно, отрицательное, в этом случае полоса простирается ниже Икс-ось).

Общие свойства

В этом разделе описаны общие свойства функций, которые не зависят от конкретных свойств домена и кодомена.

Стандартные функции

Часто встречаются стандартные функции:

• Для каждого набора Икссуществует уникальная функция, называемая пустая функция от пустой набор к Икс. График пустой функции - это пустое множество.^{[примечание 7]} Существование пустой функции - это соглашение, которое необходимо для согласованности теории и во избежание исключений, касающихся пустого множества во многих операторах.
• Для каждого набора Икс и каждый одноэлементный набор {s}, есть уникальная функция из Икс к {s}, который отображает каждый элемент Икс к s. Это сюрприз (см. Ниже), если Икс это пустое множество.
• Учитывая функцию ${ displaystyle f двоеточие от X до Y,}$ то каноническая сюръекция из ж на свой образ ${ Displaystyle е (Х) = {е (х) середина х в Х }}$ функция из Икс к ж(Икс) что отображает Икс к ж(Икс).
• Для каждого подмножество А набора Икс, то карта включения из А в Икс - инъективная (см. ниже) функция, отображающая каждый элемент А себе.
• В функция идентичности на съемочной площадке Икс, часто обозначаемый я бы_Икс, является включением Икс в себя.

Состав функций

Учитывая две функции ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ и ${ displaystyle g двоеточие от Y до Z}$ такой, что домен грамм является содоменом ж, их сочинение это функция ${ displaystyle g circ f двоеточие X rightarrow Z}$ определяется

${ Displaystyle (г CIRC F) (х) = г (е (х)).}$

То есть ценность ${ displaystyle g circ f}$ получается путем первого применения ж к Икс чтобы получить у =ж(Икс) а затем применяя грамм к результату у чтобы получить грамм(у) = грамм(ж(Икс)). В обозначениях функция, которая применяется первой, всегда пишется справа.

Сочинение ${ displaystyle g circ f}$ является операция на функциях, который определен только в том случае, если область значений первой функции является областью второй. Даже когда оба ${ displaystyle g circ f}$ и ${ displaystyle f circ g}$ удовлетворяют этим условиям, состав не обязательно коммутативный, то есть функции ${ displaystyle g circ f}$ и ${ displaystyle f circ g}$ не обязательно должны быть равными, но могут давать разные значения для одного и того же аргумента. Например, пусть ж(Икс) = Икс² и грамм(Икс) = Икс + 1, тогда ${ Displaystyle г (е (х)) = х ^ {2} +1}$ и ${ Displaystyle е (г (х)) = (х + 1) ^ {2}}$ согласен только для ${ displaystyle x = 0.}$

Состав функции ассоциативный в том смысле, что если один из ${ Displaystyle (ч circ g) circ f}$ и ${ Displaystyle ч сирк (г сирк е)}$ определяется, то другой также определяется, и они равны. Таким образом, пишут

${ displaystyle h circ g circ f = (h circ g) circ f = h circ (g circ f).}$

В функции идентичности ${ displaystyle operatorname {id} _ {X}}$ и ${ displaystyle operatorname {id} _ {Y}}$ соответственно правильная личность и левая личность для функций из Икс к Y. То есть, если ж это функция с областью определения Икс, и codomain Y, надо${ displaystyle f circ operatorname {id} _ {X} = operatorname {id} _ {Y} circ f = f.}$

• 

  Составная функция грамм(ж(Икс)) можно представить как комбинацию двух «машин».

• 

  Простой пример функциональной композиции

• 

  Другой состав. В этом примере (грамм ∘ ж ) (c) = #.

Изображение и прообраз

Позволять ${ displaystyle f двоеточие от X до Y.}$ В изображение к ж элемента Икс домена Икс является ж(Икс). Если А любое подмножество Икс, то изображение из А к ж, обозначенный ж(А) является подмножеством кодомена Y состоящий из всех изображений элементов А, это,

${ Displaystyle f (A) = {f (x) mid x in A }.}$

В изображение из ж это образ всего домена, то есть ж(Икс). Его еще называют ассортимент из ж, хотя этот термин может также относиться к кодомену.^[22]

С другой стороны, обратное изображение, или же прообраз к ж подмножества B кодомена Y является подмножеством области Икс состоящий из всех элементов Икс чьи изображения принадлежат B. Обозначается он ${ displaystyle f ^ {- 1} (B).}$ То есть

${ displaystyle f ^ {- 1} (B) = {x in X mid f (x) in B }.}$

Например, прообраз {4, 9} под квадратная функция - это множество {−3, −2,2,3}.

По определению функции изображение элемента Икс домена всегда является одним элементом codomain. Однако прообраз отдельного элемента у, обозначенный ${ displaystyle f ^ {- 1} (y),}$ может быть пустой или содержать любое количество элементов. Например, если ж - это функция целых чисел в себя, которая отображает каждое целое число в 0, тогда ${ displaystyle f ^ {- 1} (0) = mathbb {Z}}$.

Если ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ это функция, А и B являются подмножествами Икс, и C и D являются подмножествами Y, то у него есть следующие свойства:

• ${ Displaystyle A substeq B Longrightarrow f (A) substeq f (B)}$
• ${ Displaystyle C substeq D Longrightarrow f ^ {- 1} (C) substeq f ^ {- 1} (D)}$
• ${ Displaystyle А Subteq е ^ {- 1} (е (А))}$
• ${ Displaystyle С supseteq е (е ^ {- 1} (С))}$
• ${ Displaystyle е (е ^ {- 1} (е (А))) = е (А)}$
• ${ Displaystyle е ^ {- 1} (е (е ^ {- 1} (C))) = f ^ {- 1} (C)}$

Прообраз ж элемента у кодомена в некоторых контекстах иногда называют волокно из у под ж.

Если функция ж имеет инверсию (см. ниже), эта инверсия обозначается ${ displaystyle f ^ {- 1}.}$ В таком случае ${ displaystyle f ^ {- 1} (С)}$ может обозначать изображение как ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ или прообраз ж из C. Это не проблема, поскольку эти наборы равны. Обозначение ${ displaystyle f (A)}$ и ${ displaystyle f ^ {- 1} (С)}$ может быть неоднозначным в случае наборов, которые содержат некоторые подмножества в качестве элементов, например ${ Displaystyle {х, {х } }.}$ В этом случае может потребоваться некоторая осторожность, например, используя квадратные скобки. ${ displaystyle f [A], f ^ {- 1} [C]}$ для изображений и прообразов подмножеств и обычные круглые скобки для изображений и прообразов элементов.

Инъективные, сюръективные и биективные функции

Позволять ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ быть функцией.

Функция ж является инъективный (или же один к одному, или является инъекция) если ж(а) ≠ ж(б) для любых двух разных элементов а и б из Икс. Эквивалентно, ж инъективен, если для любого ${ displaystyle y in Y,}$ прообраз ${ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ содержит не более одного элемента. Пустая функция всегда инъективна. Если Икс не является пустым множеством, и если, как обычно, Теория множеств Цермело – Френкеля предполагается, то ж инъективен тогда и только тогда, когда существует функция ${ displaystyle g двоеточие от Y до X}$ такой, что ${ displaystyle g circ f = operatorname {id} _ {X},}$ то есть, если ж имеет левый обратный. Если ж является инъективным, для определения грамм, выбирается элемент ${ displaystyle x_ {0}}$ в Икс (который существует как Икс должно быть непустым),^{[примечание 8]} и один определяет грамм к ${ Displaystyle г (у) = х}$ если ${ Displaystyle у = е (х),}$ и ${ Displaystyle г (у) = х_ {0}}$, если ${ displaystyle y not in f (X).}$

Функция ж является сюръективный (или же на, или является сюрприз), если диапазон равен codomain, то есть, если ж(Икс) = Y. Другими словами, прообраз ${ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ каждого ${ displaystyle y in Y}$ непусто. Если, как обычно, предполагается аксиома выбора, то ж сюръективен тогда и только тогда, когда существует функция ${ displaystyle g двоеточие от Y до X}$ такой, что ${ displaystyle f circ g = operatorname {id} _ {Y},}$ то есть, если ж имеет правый обратный. Аксиома выбора необходима, потому что если ж сюръективно, можно определить грамм к ${ Displaystyle г (у) = х,}$ где ${ displaystyle x}$ является произвольно выбранный элемент ${ displaystyle f ^ {- 1} (y).}$

Функция ж является биективный (или есть биекция или индивидуальная переписка^[23]), если он одновременно инъективен и сюръективен. То есть ж биективен, если для любого ${ displaystyle y in Y,}$ прообраз ${ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ содержит ровно один элемент. Функция ж биективен тогда и только тогда, когда он допускает обратная функция, это функция ${ displaystyle g двоеточие от Y до X}$ такой, что ${ displaystyle g circ f = operatorname {id} _ {X},}$ и ${ displaystyle f circ g = operatorname {id} _ {Y}.}$ (В отличие от сюръекций, для этого не требуется аксиома выбора.)

Каждая функция ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ может быть факторизованный как композиция я ∘ s сюръекции с последующей инъекцией, где s каноническая сюръекция Икс на ж(Икс), и я это каноническая инъекция ж(Икс) в Y. Это каноническая факторизация из ж.

«Один к одному» и «на» - это термины, которые были более распространены в более старой англоязычной литературе; «инъективный», «сюръективный» и «биективный» были первоначально придуманы как французские слова во второй четверти 20-го века Группа Бурбаки и импортирован на английский язык. В качестве предостережения, «взаимно-однозначная функция» - это функция, которая является инъективной, а «взаимно-однозначное соответствие» относится к биективной функции. Также заявление "ж карты Икс на Y" отличается от "ж карты Икс в B"в том смысле, что первое подразумевает, что ж сюръективен, в то время как последний не утверждает природу ж отображение. В сложных рассуждениях легко упустить различие в одну букву. Из-за запутанного характера этой старой терминологии популярность этих терминов снизилась по сравнению с терминами Бурбака, которые также имеют то преимущество, что они более симметричны.

Ограничение и продление

Если ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ это функция и S это подмножество Икс, то ограничение из ${ displaystyle f}$ к S, обозначенный ${ displaystyle f | _ {S}}$, - функция из S к Y определяется

${ Displaystyle е | _ {S} (х) = е (х)}$

для всех Икс в S. Ограничения могут использоваться для определения частичных обратных функций: если есть подмножество S области определения функции ${ displaystyle f}$ такой, что ${ displaystyle f | _ {S}}$ инъективно, то каноническая сюръекция ${ displaystyle f | _ {S}}$ на свой образ ${ Displaystyle е | _ {S} (S) = f (S)}$ является биекцией и, таким образом, имеет обратную функцию от ${ Displaystyle f (S)}$ к S. Одно приложение - это определение обратные тригонометрические функции. Например, косинус функция является инъективной, когда ограничивается интервал [0, π]. Образ этого ограничения - интервал [–1, 1], и, таким образом, ограничение имеет обратную функцию от [–1, 1] к [0, π], который называется арккозин и обозначается arccos.

Ограничение функций также может использоваться для «склеивания» функций. Позволять ${ displaystyle textstyle X = bigcup _ {я in I} U_ {я}}$ быть разложением Икс как союз подмножеств, и предположим, что функция ${ displaystyle f_ {i} двоеточие U_ {i} to Y}$ определяется на каждом ${ displaystyle U_ {i}}$ так что для каждой пары ${ displaystyle i, j}$ индексов, ограничения ${ displaystyle f_ {i}}$ и ${ displaystyle f_ {j}}$ к ${ displaystyle U_ {i} cap U_ {j}}$ равны. Тогда это определяет уникальную функцию ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ такой, что ${ displaystyle f | _ {U_ {i}} = f_ {i}}$ для всех я. Так работает на коллекторы определены.

An расширение функции ж это функция грамм такой, что ж это ограничение грамм. Типичное использование этой концепции - процесс аналитическое продолжение, что позволяет расширять функции, область определения которых составляет небольшую часть комплексная плоскость функциям, область определения которых - почти вся комплексная плоскость.

Вот еще один классический пример расширения функции, который встречается при изучении омографии из реальная линия. А омография это функция ${ displaystyle h (x) = { frac {ax + b} {cx + d}}}$ такой, что объявление – до н.э ≠ 0. Его домен - это совокупность всех действительные числа отличный от ${ displaystyle -d / c,}$ и его изображение представляет собой набор всех действительных чисел, отличных от ${ displaystyle a / c.}$ Если продлить реальную линию до проективно расширенная действительная линия включив ∞, можно продлить час к взаимно однозначному отображению расширенной действительной линии на себя, установив ${ Displaystyle ч ( infty) = а / с}$ и ${ Displaystyle ч (-d / с) = infty}$.

Многомерная функция

Бинарная операция - типичный пример двумерной функции, которая присваивает каждой паре ${ Displaystyle (х, у)}$ результат ${ displaystyle x circ y}$.

А многомерная функция, или же функция нескольких переменных - функция, зависящая от нескольких аргументов. Такие функции встречаются часто. Например, положение автомобиля на дороге зависит от пройденного времени и его средней скорости.

Более формально функция п переменные - это функция, область определения которой является набором п-наборы. Например, умножение целые числа является функцией двух переменных, или двумерная функция, доменом которого является набор всех пар (кортежей) целых чисел, а доменом является набор целых чисел. То же верно для каждого бинарная операция. В более общем плане каждый математическая операция определяется как многомерная функция.

В Декартово произведение ${ Displaystyle X_ {1} times cdots times X_ {п}}$ из п наборы ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ это набор всех п- пары ${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ такой, что ${ displaystyle x_ {i} in X_ {i}}$ для каждого я с ${ Displaystyle 1 Leq я Leq п}$. Следовательно, функция п переменные - это функция

${ displaystyle f двоеточие от U до Y,}$

где домен U имеет форму

${ displaystyle U substeq X_ {1} times cdots times X_ {n}.}$

При использовании обозначения функций обычно опускают скобки, окружающие кортежи, записывая ${ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2})}$ вместо того ${ displaystyle f ((x_ {1}, x_ {2})).}$

В том случае, когда все ${ displaystyle X_ {i}}$ равны множеству ${ Displaystyle mathbb {R}}$ из действительные числа, у одного есть функция нескольких действительных переменных. Если ${ displaystyle X_ {i}}$ равны множеству ${ Displaystyle mathbb {C}}$ из сложные числа, у одного есть функция нескольких сложных переменных.

Обычно также рассматривают функции, домен которых является произведением множеств. Например, Евклидово деление отображает каждую пару (а, б) целых чисел с б ≠ 0 к паре целых чисел, называемой частное и остаток:

${ displaystyle { begin {align} { text {евклидово деление}} двоеточие quad mathbb {Z} times ( mathbb {Z} setminus {0 }) & to mathbb {Z}$

Кодомен также может быть векторное пространство. В этом случае говорят о вектор-функция. Если домен содержится в Евклидово пространство, или в более общем смысле многообразие, вектор-функцию часто называют векторное поле.

В исчислении

Идея функции, начиная с 17 века, была фундаментальной для нового исчисление бесконечно малых (увидеть История концепции функции ). В то время только ценный функции реальная переменная были рассмотрены, и все функции предполагались гладкий; плавный. Но вскоре определение было расширено до функции нескольких переменных и чтобы функции комплексной переменной. Во второй половине XIX века было введено математически строгое определение функции, и были определены функции с произвольными областями и областями определения.

В настоящее время функции используются во всех областях математики. Во вводной исчисление, когда слово функция используется без уточнения, это означает функцию с действительным знаком единственной действительной переменной. Более общее определение функции обычно дается студентам второго или третьего курса колледжей со специальностями STEM, а на последнем курсе они знакомятся с исчислением в более широкой и строгой обстановке на таких курсах, как реальный анализ и комплексный анализ.

Реальная функция

График линейной функции

График полиномиальной функции, здесь квадратичной функции.

График двух тригонометрических функций: синус и косинус.

А реальная функция это ценный функция действительной переменной, то есть функция, доменом которой является поле действительных чисел и чей домен является набором действительные числа который содержит интервал. В этом разделе эти функции просто называются функции.

Функции, которые чаще всего рассматриваются в математике и ее приложениях, имеют некоторую регулярность, т. Е. непрерывный, дифференцируемый, и даже аналитический. Эта закономерность гарантирует, что эти функции могут быть визуализированы по их графики. В этом разделе все функции дифференцируемы в некотором интервале.

Функции пользуются поточечные операции, то есть если ж и грамм - функции, их сумма, разность и произведение - функции, определяемые

${ Displaystyle { begin {align} (е + g) (x) & = f (x) + g (x) (fg) (x) & = f (x) -g (x) ( f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) конец {выровнено}}.}$

Области определения результирующих функций - это пересечение доменов ж и грамм. Частное двух функций определяется аналогично формулой

${ displaystyle { frac {f} {g}} (x) = { frac {f (x)} {g (x)}},}$

но область определения результирующей функции получается удалением нули из грамм от пересечения областей ж и грамм.

В полиномиальные функции определены многочлены, а их домен - это весь набор действительных чисел. Они включают постоянные функции, линейные функции и квадратичные функции. Рациональные функции являются частными двух полиномиальных функций, а их область определения - действительные числа, конечное число которых удалено, чтобы избежать деление на ноль. Простейшей рациональной функцией является функция ${ displaystyle x mapsto { frac {1} {x}},}$ чей график является гипербола, и чьей областью является вся реальная линия кроме 0.

В производная действительной дифференцируемой функции является действительной функцией. An первообразный непрерывной действительной функции - действительная функция, дифференцируемая в любом открытый интервал в котором исходная функция непрерывна. Например, функция ${ displaystyle x mapsto { frac {1} {x}}}$ непрерывна и даже дифференцируема на положительных действительных числах. Таким образом, одна первообразная, которая принимает нулевое значение для Икс = 1, - дифференцируемая функция, называемая натуральный логарифм.

Настоящая функция ж является монотонный в интервале, если знак ${ Displaystyle { гидроразрыва {е (х) -f (у)} {х-у}}}$ не зависит от выбора Икс и у в интервале. Если функция дифференцируема в интервале, она монотонна, если знак производной постоянен в интервале. Если реальная функция ж монотонно в интервале я, он имеет обратная функция, которая является действительной функцией с областью определения ж(я) и изображение я. Вот как обратные тригонометрические функции определены в терминах тригонометрические функции, где тригонометрические функции монотонны. Другой пример: натуральный логарифм монотонен для положительных действительных чисел, и его изображение представляет собой целую действительную линию; следовательно, у него есть обратная функция, которая является биекция между действительными числами и положительными действительными числами. Это обратное экспоненциальная функция.

Многие другие реальные функции определяются либо теорема о неявной функции (обратная функция - частный случай) или как решения дифференциальные уравнения. Например, синус и косинус функции являются решениями линейное дифференциальное уравнение

${ displaystyle y '' + y = 0}$

такой, что

${ displaystyle sin 0 = 0, quad cos 0 = 1, quad { frac { partial sin x} { partial x}} (0) = 1, quad { frac { partial cos x} { partial x}} (0) = 0.}$

Вектор-функция

Когда элементы кодомена функции векторов, функция называется векторнозначной. Эти функции особенно полезны в приложениях, например, для моделирования физических свойств. Например, функция, которая связывает каждую точку жидкости с ее скорость вектор - это вектор-функция.

Некоторые вектор-функции определены на подмножестве ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ или другие пространства, которые разделяют геометрические или топологический свойства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, такие как коллекторы. Эти векторнозначные функции получили название векторные поля.

Функциональное пространство

В математический анализ, а точнее в функциональный анализ, а функциональное пространство это набор скалярный или векторнозначные функции, которые разделяют определенное свойство и образуют топологическое векторное пространство. Например, настоящий гладкие функции с компактная опора (то есть они равны нулю вне некоторого компактный набор ) образуют функциональное пространство, лежащее в основе теории распределения.

Функциональные пространства играют фундаментальную роль в продвинутом математическом анализе, позволяя использовать их алгебраические и топологический свойства для изучения свойств функций. Например, все теоремы существования и единственности решений обычный или уравнения в частных производных результат исследования функциональных пространств.

Многозначные функции

Вместе два квадратных корня из всех неотрицательных действительных чисел образуют одну гладкую кривую.

Некоторые методы задания функций вещественных или комплексных переменных начинаются с локального определения функции в точке или на окрестности точки, а затем продолжить функцию по непрерывности на гораздо большую область. Часто для отправной точки ${ displaystyle x_ {0},}$ есть несколько возможных начальных значений функции.

Например, при определении квадратный корень как функция, обратная квадрату, для любого положительного действительного числа ${ displaystyle x_ {0},}$ есть два варианта значения квадратного корня, один из которых положительный и обозначается ${ displaystyle { sqrt {x_ {0}}},}$ а другой отрицательный и обозначен ${ displaystyle - { sqrt {x_ {0}}}.}$ Эти варианты определяют две непрерывные функции, каждая из которых имеет неотрицательные действительные числа в качестве области и имеет неотрицательные или неположительные действительные числа в качестве изображений. Глядя на графики этих функций, можно увидеть, что вместе они образуют единый плавная кривая. Поэтому часто бывает полезно рассматривать эти две функции извлечения квадратного корня как одну функцию, которая имеет два значения для положительных Икс, одно значение для 0 и отсутствие значения для отрицательного Икс.

В предыдущем примере один вариант - положительный квадратный корень - более естественен, чем другой. В общем случае это не так. Например, давайте рассмотрим неявная функция что отображает у к корень Икс из ${ displaystyle x ^ {3} -3x-y = 0}$ (см. рисунок справа). За у = 0 можно выбрать либо ${ displaystyle 0, { sqrt {3}}, { text {или}} - { sqrt {3}}}$ за Икс. Посредством теорема о неявной функции, каждый выбор определяет функцию; для первого (максимальной) областью является интервал [–2, 2] и изображение [–1, 1]; для второго - домен [–2, ∞) и изображение [1, ∞); для последнего домен (–∞, 2] и изображение (–∞, –1]. Поскольку три графика вместе образуют гладкую кривую, и нет причин отдавать предпочтение одному варианту, эти три функции часто рассматриваются как одна многозначная функция из у который имеет три значения для –2 < у < 2, и только одно значение для у ≤ –2 и у ≥ –2.

Полезность концепции многозначных функций становится яснее при рассмотрении сложных функций, обычно аналитические функции. Область, в которой сложная функция может быть расширена с помощью аналитическое продолжение обычно состоит из почти целого комплексная плоскость. Однако при расширении домена двумя разными путями часто получаются разные значения. Например, при расширении области определения функции квадратного корня по пути комплексных чисел с положительными мнимыми частями получается я для квадратного корня из –1; в то время как, расширяя комплексные числа с отрицательными мнимыми частями, мы получаем –я. Обычно есть два пути решения проблемы. Можно определить функцию, которая не непрерывный вдоль некоторой кривой, называемой срезанная ветка. Такая функция называется основная стоимость функции. Другой способ - считать, что у человека есть многозначная функция, которая аналитична всюду, кроме изолированных особенностей, но значение которой может "прыгать", если следовать замкнутому циклу вокруг особенности. Этот скачок называется монодромия.

В основах математики и теории множеств

Определение функции, данное в этой статье, требует концепции набор, поскольку домен и домен функции должны быть множеством. Это не проблема в обычной математике, поскольку обычно нетрудно рассматривать только функции, область определения и область значений которых являются множествами, которые определены правильно, даже если область определения не определена явно. Однако иногда бывает полезно рассмотреть более общие функции.

Например, одноэлементный набор можно рассматривать как функцию ${ Displaystyle х mapsto {х }.}$ Его домен будет включать все наборы и, следовательно, не будет набором. В обычной математике такого рода проблемы избегают, задавая область, что означает наличие множества одноэлементных функций. Однако при установлении основ математики может потребоваться использование функций, домен, домен или оба которых не указаны, и некоторые авторы, часто логики, дают точное определение для этих слабо определенных функций.^[24]

Эти обобщенные функции могут иметь решающее значение при разработке формализации основы математики. Например, Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя., является расширением теории множеств, в которой совокупность всех множеств класс. Эта теория включает аксиома замены, что может быть указано как: Если Икс это набор и F функция, то F[Икс] это набор.

В информатике

В компьютерное программирование, а функция в общем, кусок компьютерная программа, который орудия абстрактное понятие функции. То есть это программный блок, который производит вывод для каждого ввода. Однако во многих языки программирования каждый подпрограмма называется функцией, даже если нет вывода, и когда функциональность состоит просто из изменения некоторых данных в память компьютера.

Функциональное программирование это парадигма программирования состоящий из построения программ с использованием только подпрограмм, которые ведут себя как математические функции. Например, if_then_else - это функция, которая принимает в качестве аргументов три функции, и, в зависимости от результата первой функции (правда или ложный), возвращает результат второй или третьей функции. Важным преимуществом функционального программирования является то, что оно упрощает программные доказательства, как основанный на хорошо обоснованной теории, лямбда-исчисление (Смотри ниже).

За исключением терминологии компьютерного языка, «функция» имеет обычное математическое значение в Информатика. В этой области особый интерес представляет вычислимость функции. Для придания точного значения этой концепции и связанной с ней концепции алгоритм, несколько модели вычислений были введены, старые общие рекурсивные функции, лямбда-исчисление и Машина Тьюринга. Основная теорема теория вычислимости состоит в том, что эти три модели вычислений определяют один и тот же набор вычислимых функций, и что все другие модели вычислений, которые когда-либо предлагались, определяют тот же набор вычислимых функций или меньший. В Тезис Черча – Тьюринга утверждение, что каждое философски приемлемое определение вычислимая функция определяет также те же функции.

Общие рекурсивные функции: частичные функции от целых чисел к целым, которые могут быть определены из

• постоянные функции,
• преемник, и
• проекция функции

через операторов

• сочинение,
• примитивная рекурсия, и
• минимизация.

Хотя они определены только для функций от целых до целых чисел, они могут моделировать любую вычислимую функцию как следствие следующих свойств:

• вычисление - это обработка конечных последовательностей символов (цифр чисел, формул, ...),
• каждая последовательность символов может быть закодирована как последовательность биты,
• битовую последовательность можно интерпретировать как двоичное представление целого числа.

Лямбда-исчисление теория, которая определяет вычислимые функции без использования теория множеств, и представляет собой теоретические основы функционального программирования. Это состоит из термины которые являются либо переменными, либо определениями функций (λ-термы) или приложения функций к терминам. Условиями манипулируют с помощью некоторых правил ( α-эквивалентность, β-редукция, а η-конверсия), которые являются аксиомы теории и могут быть интерпретированы как правила вычислений.

В своей первоначальной форме лямбда-исчисление не включает понятия области и области значений функции. Грубо говоря, они были введены в теорию под названием тип в типизированное лямбда-исчисление. Большинство типов типизированных лямбда-исчислений могут определять меньше функций, чем нетипизированные лямбда-исчисления.

Смотрите также

Подстраницы

Обобщения

похожие темы

Примечания

Рекомендации

Источники

• Бартл, Роберт (1967). Элементы реального анализа. Джон Вили и сыновья.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Блох, Итан Д. (2011). Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики. Springer. ISBN  978-1-4419-7126-5.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первое блюдо. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-12032-7.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07927-1.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90092-6.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств (Третье тысячелетие изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Спивак Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN  978-0-914098-91-1.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

дальнейшее чтение

• Антон, Ховард (1980). Исчисление с аналитической геометрией. Wiley. ISBN  978-0-471-03248-9.
• Бартл, Роберт Г. (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-471-05464-1.
• Дубинский, Эд; Харел, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики. Математическая ассоциация Америки. ISBN  978-0-88385-081-7.
• Хаммак, Ричард (2009). «12. Функции» (PDF). Книга доказательств. Университет Содружества Вирджинии. Получено 2012-08-01.
• Хуш, Лоуренс С. (2001). Визуальный расчет. Университет Теннесси. Получено 2007-09-27.
• Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ. Д. К. Хит и компания.
• Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». Математический журнал колледжа. 20 (4): 282–300. CiteSeerX  10.1.1.113.6352. Дои:10.2307/2686848. JSTOR  2686848.
• Лютцен, Джеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе». В Портер, Рой (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57199-9. Доступная и увлекательная историческая презентация.
• Малик, М.А. (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях. 11 (4): 489–492. Дои:10.1080/0020739800110404.
• Райхенбах, Ганс (1947) Элементы символической логики, Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, ISBN  0-486-24004-5.
• Рутинг, Д. (1984). «Некоторые определения концепции функции от Бернулли Дж. До Бурбаки Н.». Математический интеллигент. 6 (4): 72–77.
• Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1995). Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-53174-9.

внешняя ссылка

• «Функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Сайт функций Wolfram дает формулы и визуализации многих математических функций.
• Цифровая библиотека математических функций NIST