Функция нескольких вещественных переменных - Википедия - Function of several real variables

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математический анализ, и приложения в геометрия, Прикладная математика, инженерное дело, естественные науки, и экономика, а функция нескольких действительных переменных или же действительная многомерная функция это функция с более чем одним аргумент, со всеми аргументами настоящий переменные. Эта концепция расширяет идею функция действительной переменной к нескольким переменным. «Входные» переменные принимают действительные значения, а «выходные», также называемые «значением функции», могут быть действительными или сложный. Однако изучение комплексных функций может быть легко сведено к изучению действительных функций путем рассмотрения действительной и мнимой частей комплексной функции; поэтому, если явно не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только функции с действительным знаком.

В домен функции п переменные - это подмножество из ℝ^п для которого функция определена. Обычно предполагается, что область определения функции нескольких действительных переменных содержит открыто подмножество ℝ^п.

Общее определение

п = 1

п = 2

п = 3

Функции ж(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) из п переменные, представленные в виде графиков в пространстве ℝ^{п + 1}. Домены красные п-мерные области, изображения фиолетовые п-мерные кривые.

А действительная функция от п реальные переменные это функция который принимает в качестве входных данных п действительные числа, обычно представленные переменные Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п, для получения другого действительного числа ценить функции, обычно обозначаемой ж(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п). Для простоты в этой статье действительную функцию нескольких действительных переменных мы будем называть просто функция. Чтобы избежать двусмысленности, другие типы функций, которые могут возникнуть, будут указаны явно.

Некоторые функции определены для всех реальных значений переменных (один говорит, что они определены везде), но некоторые другие функции определены только в том случае, если значение переменной берется в подмножестве Икс из ℝ^п, то домен функции, которая всегда должна содержать открыто подмножество ℝ^п. Другими словами, действительная функция от п реальные переменные - это функция

${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$

так что его домен Икс это подмножество ℝ^п который содержит открытый набор.

Элемент Икс будучи п-кортеж (Икс₁, Икс₂,..., Икс_п) (обычно ограничиваются круглыми скобками), общие обозначения для обозначения функций будут ж((Икс₁, Икс₂,..., Икс_п)). Обычное использование, намного старше, чем общее определение функций между наборами, состоит в том, чтобы не использовать двойные скобки и просто написать ж(Икс₁, Икс₂,..., Икс_п).

Также принято сокращать ппара (Икс₁, Икс₂,..., Икс_п) используя обозначения, аналогичные обозначениям для векторов, как жирный шрифт Икс, подчеркнуть Икс, или overrrow →Икс. В этой статье будет использоваться жирный шрифт.

Простым примером функции с двумя переменными может быть:

${ Displaystyle V: X rightarrow mathbb {R}}$

${ displaystyle X = {(A, h) in mathbb {R} ^ {2} mid A> 0, h> 0 }}$

${ displaystyle V (A, h) = { frac {1} {3}} Ah}$

какой объем V из конус с базой А и высота час измеряется перпендикулярно основанию. Область ограничивает все переменные положительными, поскольку длина и области должен быть положительным.

Для примера функции от двух переменных:

${ Displaystyle Z: mathbb {R} ^ {2} rightarrow mathbb {R}}$

${ displaystyle z (x, y) = ax + by}$

куда а и б являются действительными ненулевыми константами. С использованием трехмерный Декартова система координат, где плоскость xy - область ℝ² а ось z - это домен ℝ, можно визуализировать изображение как двумерную плоскость с склон из а в положительном направлении x и наклоном б в положительном направлении оси y. Функция четко определена во всех точках (Икс, у) в ℝ². Предыдущий пример можно легко расширить на более высокие измерения:

${ Displaystyle Z: mathbb {R} ^ {p} rightarrow mathbb {R}}$

${ displaystyle z (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {p}) = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {p} x_ {п}}$

за п ненулевые действительные константы а₁, а₂,..., а_п, который описывает п-размерный гиперплоскость.

В Евклидова норма:

${ displaystyle f ({ boldsymbol {x}}) = | { boldsymbol {x}} | = { sqrt {x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} }}}$

также является функцией п переменные, которые везде определены, а

${ displaystyle g ({ boldsymbol {x}}) = { frac {1} {f ({ boldsymbol {x}})}}}$

определяется только для Икс ≠ (0, 0, ..., 0).

Для нелинейного примера функции с двумя переменными:

${ displaystyle z: X rightarrow mathbb {R}}$

${ Displaystyle X = {(x, y) in mathbb {R} ^ {2} ,: , x ^ {2} + y ^ {2} leq 8 ,, , x neq 0 ,, , y neq 0 }}$

${ displaystyle z (x, y) = { frac {1} {2xy}} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

который учитывает все точки в Икс, а диск радиуса √8 "проколот" в начале (Икс, у) = (0, 0) в плоскости ℝ², и возвращает точку в ℝ. Функция не включает происхождение (Икс, у) = (0, 0), если это так, то ж было бы плохо определено в этот момент. Использование трехмерной декартовой системы координат с плоскостью xy в качестве области ℝ², а по оси z - домен ℝ, изображение можно визуализировать как искривленную поверхность.

Функция может быть оценена в точке (Икс, у) = (2, √3) в Икс:

${ displaystyle z (2, { sqrt {3}}) = { frac {1} {2 cdot 2 cdot { sqrt {3}}}} { sqrt {(2) ^ {2} + ({ sqrt {3}}) ^ {2}}} = { frac {1} {4 { sqrt {3}}}} { sqrt {7}} ,,}$

Однако функция не может быть оценена, скажем,

${ displaystyle (x, y) = (65, { sqrt {10}}) , Rightarrow , x ^ {2} + y ^ {2} = (65) ^ {2} + ({ sqrt {10}}) ^ {2}> 8}$

поскольку эти значения Икс и у не удовлетворяют правилу домена.

Изображение

В изображение функции ж(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) - множество всех значений ж когда ппара (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) работает во всей области ж. Для непрерывной (см. Определение ниже) действительной функции, которая имеет связную область, изображение является либо интервал или одно значение. В последнем случае функция является постоянная функция.

В прообраз данного действительного числа c называется набор уровней. Это набор решений уравнение ж(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) = c.

Домен

В домен функции нескольких действительных переменных является подмножеством ℝ^п это иногда, но не всегда, определяется явно. Фактически, если ограничить домен Икс функции ж к подмножеству Y ⊂ Икс, формально получается другая функция, ограничение из ж к Y, который обозначается ж_|Y. На практике часто (но не всегда) идентифицировать ж и ж_|Y, и опустить нижний индекс _|Y.

И наоборот, иногда возможно естественным образом расширить область определения данной функции, например, за счет непрерывность или по аналитическое продолжение.

Более того, многие функции определены таким образом, что сложно явно указать их область применения. Например, учитывая функцию ж, может быть сложно указать область определения функции ${ displaystyle g ({ boldsymbol {x}}) = 1 / f ({ boldsymbol {x}}).}$ Если ж это многомерный полином, (у которого есть ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ как домен), даже сложно проверить, действительно ли домен грамм это также ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Это эквивалентно проверке того, всегда ли многочлен положительный, и является ли предметом активных исследований (см. Положительный полином ).

Алгебраическая структура

Обычные арифметические операции с действительными числами можно распространить на действительные функции нескольких вещественных переменных следующим образом:

• Для каждого реального числа р, то постоянная функция

${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto r}$

везде определено.

• Для каждого реального числа р и каждая функция ж, функция:

${ displaystyle rf: (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto rf (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$

имеет тот же домен, что и ж (или везде определено, если р = 0).

• Если ж и грамм две функции соответствующих областей Икс и Y такой, что Икс ∩ Y содержит открытое подмножество ℝ^п, тогда

${ Displaystyle f , g: (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) , g (x_ {1}, ldots , x_ {n})}$

и

${ Displaystyle f , g: (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) , g (x_ {1}, ldots , x_ {n})}$

это функции, у которых есть домен, содержащий Икс ∩ Y.

Отсюда следует, что функции п} переменные, которые везде определены, и функции п переменные, которые определены в некоторых район данной точки обе формы коммутативные алгебры над реалами (ℝ-алгебры). Это типичный пример функциональное пространство.

Аналогичным образом можно определить

${ displaystyle 1 / f: (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto 1 / f (x_ {1}, ldots, x_ {n}),}$

которая является функцией, только если множество точек (Икс₁, ...,Икс_п) в области ж такой, что ж(Икс₁, ...,Икс_п) ≠ 0 содержит открытое подмножество ℝ^п. Это ограничение означает, что указанные выше две алгебры не являются поля.

Функции с одним переменным, связанные с функцией с несколькими переменными

Можно легко получить функцию одной реальной переменной, задав постоянное значение всем переменным, кроме одной. Например, если (а₁, ..., а_п) это точка интерьер области определения функции ж, мы можем зафиксировать значения Икс₂, ..., Икс_п к а₂, ..., а_п соответственно, чтобы получить функцию с одной переменной

${ displaystyle x mapsto f (x, a_ {2}, ldots, a_ {n}),}$

чья область содержит интервал с центром в а₁. Эту функцию также можно рассматривать как ограничение функции ж к линии, определяемой уравнениями Икс_я = а_я, за я = 2, ...,п.

Другие функции с одной переменной могут быть определены путем ограничения ж к любой линии, проходящей через (а₁, ..., а_п). Это функции

${ displaystyle x mapsto f (a_ {1} + c_ {1} x, a_ {2} + c_ {2} x, ldots, a_ {n} + c_ {n} x),}$

где c_я - действительные числа, которые не равны нулю.

В следующем разделе мы покажем, что если функция многих переменных является непрерывной, то же самое и со всеми этими функциями с одним параметром, но обратное не всегда верно.

Преемственность и предел

До второй половины 19 века только непрерывные функции считались математиками. В то время понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологическое пространство и непрерывная карта между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции нескольких действительных переменных широко используются в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическим пространством.

Для определения непрерывности полезно рассмотреть функция расстояния из ℝ^п, которая является всюду определенной функцией от 2п реальные переменные:

${ displaystyle d ({ boldsymbol {x}}, { boldsymbol {y}}) = d (x_ {1}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, ldots, y_ {n}) = { sqrt {(x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + cdots + (x_ {n} -y_ {n}) ^ {2}}}}$

Функция ж является непрерывный в какой-то момент а = (а₁, ..., а_п) который интерьер в свой домен, если для каждого положительного действительного числа ε, есть положительное действительное число φ такой, что |ж(Икс) − ж(а)| < ε для всех Икс такой, что d(Икс а) < φ. Другими словами, φ может быть выбран достаточно маленьким, чтобы изображение ж шара радиуса φ сосредоточен на а содержится в интервале длины 2ε сосредоточен на ж(а). Функция непрерывна, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Если функция непрерывна в ж(а), то все одномерные функции, которые получаются фиксацией всех переменных Икс_я но один по значению а_я, непрерывны при ж(а). Обратное неверно; это означает, что все эти функции одной переменной могут быть непрерывными для функции, которая не является непрерывной в ж(а). В качестве примера рассмотрим функцию ж такой, что ж(0, 0) = 0, и иначе определяется

${ displaystyle f (x, y) = { frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}}.}$

Функции Икс ↦ ж(Икс, 0) и у ↦ ж(0, у) постоянны и равны нулю, а значит, непрерывны. Функция ж не является непрерывным в (0, 0), потому что, если ε < 1/2 и у = Икс² ≠ 0, у нас есть ж(Икс, у) = 1/2, даже если |Икс| очень маленький. Хотя эта функция и не является непрерывной, она обладает еще одним свойством, заключающимся в том, что все функции одной переменной получаются путем ограничения ее линией, проходящей через (0, 0) также непрерывны. Фактически у нас есть

${ Displaystyle е (х, лямбда х) = { гидроразрыва { лямбда х} {х ^ {2} + лямбда ^ {2}}}}$

за λ ≠ 0.

В предел в точке действительнозначная функция нескольких действительных переменных определяется следующим образом.^[1] Позволять а = (а₁, а₂, ..., а_п) быть точкой в топологическое замыкание домена Икс функции ж. Функция, ж имеет предел L когда Икс стремится к а, обозначенный

${ displaystyle L = lim _ {{ boldsymbol {x}} rightarrow { boldsymbol {a}}} f ({ boldsymbol {x}}),}$

если выполняется следующее условие: Для каждого положительного действительного числа ε > 0, есть положительное действительное число δ > 0 такой, что

${ Displaystyle | е ({ boldsymbol {x}}) - L | < varepsilon}$

для всех Икс в такой области, что

${ displaystyle d ({ boldsymbol {x}}, { boldsymbol {a}}) < delta.}$

Если предел существует, он уникален. Если а находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в а. В этом случае мы имеем

${ displaystyle f ({ boldsymbol {a}}) = lim _ {{ boldsymbol {x}} rightarrow { boldsymbol {a}}} f ({ boldsymbol {x}}).}$

Когда а находится в граница области ж, и если ж имеет ограничение на а, последняя формула позволяет «расширить по непрерывности» область определения ж к а.

Симметрия

А симметричная функция это функция ж это не меняется, когда две переменные Икс_я и Икс_j меняются местами:

${ Displaystyle е ( ldots, x_ {i}, ldots, x_ {j}, ldots) = f ( ldots, x_ {j}, ldots, x_ {i}, ldots)}$

куда я и j каждый из 1, 2, ..., п. Например:

${ displaystyle f (x, y, z, t) = t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}$

симметричен по Икс, у, z так как поменять местами любую пару Икс, у, z листья ж неизменен, но не симметричен во всех Икс, у, z, т, поскольку поменять местами т с Икс или же у или же z дает другую функцию.

Состав функций

Предположим, что функции

${ Displaystyle xi _ {1} = xi _ {1} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}), quad xi _ {2} = xi _ {2 } (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}), ldots xi _ {m} = xi _ {m} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}),}$

или более компактно ξ = ξ(Икс), все определены в домене Икс. Поскольку ппара Икс = (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) варьируется в Икс, подмножество ℝ^п, то мпара ξ = (ξ₁, ξ₂, ..., ξ_м) меняется в другом регионе Ξ подмножество ℝ^м. Чтобы повторить это:

${ displaystyle { boldsymbol { xi}}: X rightarrow Xi.}$

Тогда функция ζ функций ξ(Икс) определено на Ξ,

${ displaystyle zeta: Xi rightarrow mathbb {R},}$

${ displaystyle zeta = zeta ( xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}),}$

это функциональная композиция определено на Икс,^[2] другими словами, отображение

${ displaystyle zeta: X rightarrow mathbb {R},}$

${ displaystyle zeta = zeta ( xi _ {1}, xi _ {2}, ldots, xi _ {m}) = f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}).}$

Обратите внимание на числа м и п не нужно быть равным.

Например, функция

${ Displaystyle е (х, у) = е ^ {ху} [ грех 3 (х-у) - соз 2 (х + у)]}$

определяется везде на ℝ² можно переписать, введя

${ Displaystyle ( альфа, бета, гамма) = ( альфа (х, у), бета (х, у), гамма (х, у)) = (ху, х-у, х + у)}$

который также всюду определен в ℝ³ чтобы получить

${ Displaystyle е (х, у) = дзета ( альфа (х, у), бета (х, у), гамма (х, у)) = дзета ( альфа, бета, гамма) = e ^ { alpha} [ sin (3 beta) - cos (2 gamma)] ,.}$

Функциональная композиция может использоваться для упрощения функций, что полезно для выполнения кратные интегралы и решение уравнения в частных производных.

Исчисление

Элементарное исчисление является исчислением действительных функций одной действительной переменной, и основные идеи дифференциация и интеграция таких функций можно распространить на функции более чем одной действительной переменной; это расширение многомерное исчисление.

Частные производные

Частные производные можно определить по каждой переменной:

${ Displaystyle { frac { partial} { partial x_ {1}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ,, quad { frac { partial } { partial x_ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n}) ,, ldots, { frac { partial} { partial x_ {n}} } f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}).}$

Сами частные производные представляют собой функции, каждая из которых представляет скорость изменения ж параллельно одному из Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п оси во всех точках области (если производные существуют и непрерывны - см. также ниже). Первая производная положительна, если функция увеличивается в направлении соответствующей оси, отрицательна, если она уменьшается, и равна нулю, если нет увеличения или уменьшения. Оценка частной производной в определенной точке области дает действительное число, скорость изменения функции в этой точке в направлении, параллельном определенной оси.

Для действительных функций действительной переменной, у = ж(Икс), это обыкновенная производная dy/dx геометрически градиент касательной к кривой у = ж(Икс) во всех точках домена. Частные производные распространяют эту идею на касательные гиперплоскости к кривой.

Частные производные второго порядка могут быть вычислены для каждой пары переменных:

${ Displaystyle { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {1} ^ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ,, quad { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {1} x_ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n}) ,, ldots , { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {n} ^ {2}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}).}$

Геометрически они связаны с локальным кривизна изображения функции во всех точках области. В любой точке, где функция четко определена, функция может увеличиваться по некоторым осям и / или уменьшаться по другим осям, и / или не увеличиваться или не уменьшаться вообще по другим осям.

Это приводит к множеству возможных стационарные точки: глобальный или локальный максимумы, глобальный или местный минимумы, и седловые точки - многомерный аналог точки перегиба для реальных функций одной действительной переменной. В Матрица Гессе представляет собой матрицу всех частных производных второго порядка, которые используются для исследования стационарных точек функции, важных для математическая оптимизация.

В общем случае частные производные высшего порядка п имеют вид:

${ displaystyle { frac { partial ^ {p}} { partial x_ {1} ^ {p_ {1}} partial x_ {2} ^ {p_ {2}} ldots partial x_ {n} ^ {p_ {n}}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) Equ { frac { partial ^ {p_ {1}}} { partial x_ {1 } ^ {p_ {1}}}} { frac { partial ^ {p_ {2}}} { partial x_ {2} ^ {p_ {2}}}} cdots { frac { partial ^ { p_ {n}}} { partial x_ {n} ^ {p_ {n}}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$

куда п₁, п₂, ..., п_п каждое целое число между 0 и п такой, что п₁ + п₂ + ... + п_п = п, используя определения нулевых частных производных как операторы идентичности:

${ displaystyle { frac { partial ^ {0}} { partial x_ {1} ^ {0}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = f ( x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ,, quad ldots { frac { partial ^ {0}} { partial x_ {n} ^ {0}}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ,.}$

Число возможных частных производных увеличивается с увеличением п, хотя некоторые смешанные частные производные (по более чем одной переменной) излишни из-за симметрия частных производных второго порядка. Это уменьшает количество частных производных, которые необходимо вычислить для некоторых п.

Многопараметрическая дифференцируемость

Функция ж(Икс) является дифференцируемый в окрестности точки а если есть п-набор чисел в зависимости от а в целом, А(а) = (А₁(а), А₂(а), ..., А_п(а)), так что:^[3]

${ displaystyle f ({ boldsymbol {x}}) = f ({ boldsymbol {a}}) + { boldsymbol {A}} ({ boldsymbol {a}}) cdot ({ boldsymbol {x} } - { boldsymbol {a}}) + alpha ({ boldsymbol {x}}) | { boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}} |}$

куда α → 0 в качестве |Икс − а| → 0. Это означает, что если ж дифференцируема в точке а, тогда ж непрерывно на Икс = а, хотя обратное неверно - непрерывность в области не означает дифференцируемости в области. Если ж дифференцируема в а то частные производные первого порядка существуют в а и:

${ displaystyle left. { frac { partial f ({ boldsymbol {x}})} { partial x_ {i}}} right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a }}} = A_ {i} ({ boldsymbol {a}})}$

за я = 1, 2, ..., п, которые можно найти из определений отдельных частных производных, поэтому частные производные ж существовать.

Если предположить п-мерный аналог прямоугольного Декартова система координат, эти частные производные могут быть использованы для формирования векторной линейный дифференциальный оператор, называется градиент (также известный как "набла " или же "дель ") в этой системе координат:

${ displaystyle nabla f ({ boldsymbol {x}}) = left ({ frac { partial} { partial x_ {1}}}, { frac { partial} { partial x_ {2}) }}, ldots, { frac { partial} { partial x_ {n}}} right) f ({ boldsymbol {x}})}$

широко используется в векторное исчисление, потому что это полезно для построения других дифференциальных операторов и компактной формулировки теорем в векторном исчислении.

Затем подставляя градиент ∇ж (оценка Икс = а) с небольшой перестановкой дает:

${ displaystyle f ({ boldsymbol {x}}) - f ({ boldsymbol {a}}) = nabla f ({ boldsymbol {a}}) cdot ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) + alpha | { boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}} |}$

куда · обозначает скалярное произведение. Это уравнение представляет собой наилучшее линейное приближение функции ж во всех точках Икс в районе а. За бесконечно малые изменения в ж и Икс в качестве Икс → а:

${ displaystyle df = left. { frac { partial f ({ boldsymbol {x}})} { partial x_ {1}}} right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a}}} dx_ {1} + left. { frac { partial f ({ boldsymbol {x}})} { partial x_ {2}}} right | _ {{ boldsymbol {x} } = { boldsymbol {a}}} dx_ {2} + cdots left. { frac { partial f ({ boldsymbol {x}})} { partial x_ {n}}} right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a}}} dx_ {n} = nabla f ({ boldsymbol {a}}) cdot d { boldsymbol {x}}}$

который определяется как общий дифференциал, или просто дифференциал, из ж, в а. Это выражение соответствует полному бесконечно малому изменению ж, добавляя все бесконечно малые изменения ж во всех Икс_я направления. Также, df можно рассматривать как ковектор с базисные векторы как бесконечно малые dx_я в каждом направлении и частные производные от ж как компоненты.

Геометрически ∇ж перпендикулярна множествам уровней ж, данный ж(Икс) = c который для некоторой постоянной c описывает (п − 1)-мерная гиперповерхность. Дифференциал константы равен нулю:

${ displaystyle df = ( nabla f) cdot d { boldsymbol {x}} = 0}$

в котором dИкс бесконечно малое изменение в Икс в гиперповерхности ж(Икс) = c, а поскольку скалярное произведение ∇ж и dИкс равно нулю, это означает ∇ж перпендикулярно dИкс.

В произвольном криволинейные системы координат в п размеров, явное выражение для градиента было бы не таким простым - были бы масштабные коэффициенты с точки зрения метрический тензор для этой системы координат. Для приведенного выше случая, используемого в этой статье, метрика - это просто Дельта Кронекера и все коэффициенты масштабирования равны 1.

Классы дифференцируемости

Если все частные производные первого порядка оцениваются в точке а в домене:

${ displaystyle left. { frac { partial} { partial x_ {1}}} f ({ boldsymbol {x}}) right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a }}} ,, quad left. { frac { partial} { partial x_ {2}}} f ({ boldsymbol {x}}) right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a}}} ,, ldots, left. { frac { partial} { partial x_ {n}}} f ({ boldsymbol {x}}) right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a}}}}$

существуют и непрерывны для всех а в домене, ж имеет класс дифференцируемости C¹. В общем, если все в порядке п частные производные, оцениваемые в точке а:

${ displaystyle left. { frac { partial ^ {p}} { partial x_ {1} ^ {p_ {1}} partial x_ {2} ^ {p_ {2}} ldots partial x_ { n} ^ {p_ {n}}}} f ({ boldsymbol {x}}) right | _ {{ boldsymbol {x}} = { boldsymbol {a}}}}$

существуют и непрерывны, где п₁, п₂, ..., п_п, и п такие же, как указано выше, для всех а в домене, то ж дифференцируемый на заказ п по предметной области и имеет класс дифференцируемости C ^п.

Если ж имеет класс дифференцируемости C^∞, ж имеет непрерывные частные производные любого порядка и называется гладкий. Если ж является аналитическая функция и равняется его Серия Тейлор о любой точке в домене, обозначение C^ω обозначает этот класс дифференцируемости.

Множественная интеграция

Определенная интеграция может быть расширен до множественная интеграция по нескольким действительным переменным с обозначениями;

${ displaystyle int _ {R_ {n}} cdots int _ {R_ {2}} int _ {R_ {1}} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n }) , dx_ {1} dx_ {2} cdots dx_ {n} Equiv int _ {R} f ({ boldsymbol {x}}) , d ^ {n} { boldsymbol {x}} }$

где каждый регион р₁, р₂, ..., р_п является подмножеством или всей реальной строкой:

${ Displaystyle R_ {1} substeq mathbb {R} ,, quad R_ {2} substeq mathbb {R} ,, ldots, R_ {n} substeq mathbb {R},}$

а их декартово произведение дает область для интеграции как единый набор:

${ Displaystyle R = R_ {1} times R_ {2} times ldots R_ {n} ,, quad R substeq mathbb {R} ^ {n} ,,}$

ан п-размерный гиперобъем. При вычислении определенный интеграл является действительным числом, если интеграл сходится в регионе р интегрирования (результат определенного интеграла может расходиться до бесконечности для данной области, в таких случаях интеграл остается неопределенным). Переменные рассматриваются как «фиктивные» или "связанные" переменные которые заменяются числами в процессе интегрирования.

Интеграл от действительной функции действительной переменной у = ж(Икс) относительно Икс имеет геометрическую интерпретацию как площадь, ограниченную кривой у = ж(Икс) и Икс-ось. Множественные интегралы расширяют размерность этого понятия: предполагая, что п-мерный аналог прямоугольного Декартова система координат, указанный выше определенный интеграл имеет геометрическую интерпретацию как п-мерный гиперобъем, ограниченный ж(Икс) и Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п оси, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, в зависимости от интегрируемой функции (если интеграл сходится).

Хотя ограниченный гиперобъем - полезная идея, более важная идея определенных интегралов состоит в том, что они представляют собой общие величины в пространстве. Это имеет значение в прикладной математике и физике: если ж есть некоторые скалярная плотность поле и Икс являются вектор положения координаты, т.е. некоторые скалярная величина на единицу п-мерный гиперобъем с последующим интегрированием по области р дает общее количество в р. Более формальные понятия гиперобъема являются предметом изучения. теория меры. Выше мы использовали Мера Лебега, видеть Интеграция Лебега для получения дополнительной информации по этой теме.

Теоремы

С помощью определений множественного интегрирования и частных производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая основная теорема исчисления в нескольких вещественных переменных (а именно Теорема Стокса ), интеграция по частям в нескольких вещественных переменных симметрия высших частных производных и Теорема Тейлора для функций многих переменных. Оценить смесь интегралов и частных производных можно с помощью теоремы дифференцирование под знаком интеграла.

Векторное исчисление

Можно собрать ряд функций, каждая из нескольких реальных переменных, скажем

${ displaystyle y_ {1} = f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ,, quad y_ {2} = f_ {2} (x_ {1} , x_ {2}, ldots, x_ {n}) ,, ldots, y_ {m} = f_ {m} (x_ {1}, x_ {2}, cdots x_ {n})}$

в мпара, а иногда и как вектор столбца или же вектор строки, соответственно:

${ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {m}) leftrightarrow { begin {bmatrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ { n}) f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, cdots x_ {n}) vdots f_ {m} (x_ {1}, x_ {2}, ldots , x_ {n}) end {bmatrix}} leftrightarrow { begin {bmatrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) & f_ {2} (x_ { 1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) & cdots & f_ {m} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) end {bmatrix}}}$

все рассматриваются на том же основании, что и м-компонент векторное поле и используйте любую удобную форму. Все указанные обозначения имеют общие компактные обозначения у = ж(Икс). Исчисление таких векторных полей имеет вид векторное исчисление. Для получения дополнительной информации об обработке векторов-строк и векторов-столбцов функций с несколькими переменными см. матричное исчисление.

Неявные функции

А ценный неявная функция нескольких реальных переменных не написано в форме "у = ж(...)". Вместо этого отображение из пространства ℝ^{п + 1} к нулевой элемент в ℝ (просто обычный ноль 0):

${ Displaystyle phi: mathbb {R} ^ {n + 1} rightarrow {0 }}$

и

${ displaystyle phi (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}, y) = 0}$

является уравнением со всеми переменными. Неявные функции - это более общий способ представления функций, поскольку если:

${ displaystyle y = f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$

тогда мы всегда можем определить:

${ displaystyle phi (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}, y) = y-f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = 0}$

но обратное не всегда возможно, т.е. не все неявные функции имеют явную форму.

Например, используя обозначение интервалов, позволять

${ displaystyle phi: X rightarrow {0 }}$

${ displaystyle phi (x, y, z) = left ({ frac {x} {a}} right) ^ {2} + left ({ frac {y} {b}} right) ^ {2} + left ({ frac {z} {c}} right) ^ {2} -1 = 0}$

${ displaystyle X = [- a, a] times [-b, b] times [-c, c] = {(x, y, z) in mathbb {R} ^ {3} , : , - a leq x leq a, -b leq y leq b, -c leq z leq c } ,.}$

Выбирая трехмерную (3D) декартову систему координат, эта функция описывает поверхность трехмерного объекта. эллипсоид с центром в начале координат (Икс, у, z) = (0, 0, 0) с постоянным полуглавные оси а, б, c, вдоль положительного Икс, у и z оси соответственно. В случае а = б = c = р, у нас есть сфера радиуса р с центром в начале координат. Другой коническая секция примеры, которые можно описать аналогичным образом, включают гиперболоид и параболоид, в более общем смысле, это может быть любая 2D поверхность в 3D евклидовом пространстве. Приведенный выше пример можно решить для Икс, у или же z; однако гораздо проще написать его в неявной форме.

Для более сложного примера:

${ Displaystyle phi: mathbb {R} ^ {4} rightarrow {0 }}$

${ displaystyle phi (t, x, y, z) = Ctze ^ {tx-yz} + A sin (3 omega t) left (x ^ {2} z-By ^ {6} right) = 0}$

для ненулевых действительных констант А, B, C, ω, эта функция корректно определена для всех (т, Икс, у, z), но это не может быть решено явно для этих переменных и записано как "т = ", "Икс = ", так далее.

В теорема о неявной функции более двух действительных переменных имеет дело с непрерывностью и дифференцируемостью функции следующим образом.^[4] Позволять ϕ(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) - непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и пусть ϕ оценивается в момент (а, б) = (а₁, а₂, ..., а_п, б) быть нулевым:

${ displaystyle phi ({ boldsymbol {a}}, b) = 0;}$

и пусть первая частная производная от ϕ относительно у оценивается в (а, б) быть ненулевым:

${ displaystyle left. { frac { partial phi ({ boldsymbol {x}}, y)} { partial y}} right | _ {({ boldsymbol {x}}, y) = ( { boldsymbol {a}}, b)} neq 0.}$

Тогда есть интервал [у₁, у₂] содержащий б, и регион р содержащий (а, б), так что для каждого Икс в р есть ровно одно значение у в [у₁, у₂] удовлетворение ϕ(Икс, у) = 0, и у является непрерывной функцией Икс так что ϕ(Икс, у(Икс)) = 0. В общие дифференциалы из функций:

${ displaystyle dy = { frac { partial y} { partial x_ {1}}} dx_ {1} + { frac { partial y} { partial x_ {2}}} dx_ {2} + ldots + { frac { partial y} { partial x_ {n}}} dx_ {n};}$

${ displaystyle d phi = { frac { partial phi} { partial x_ {1}}} dx_ {1} + { frac { partial phi} { partial x_ {2}}} dx_ { 2} + ldots + { frac { partial phi} { partial x_ {n}}} dx_ {n} + { frac { partial phi} { partial y}} dy.}$

Подстановка dy в последний дифференциал и приравнивание коэффициентов дифференциалов дает частные производные первого порядка от у относительно Икс_я в терминах производных исходной функции, каждая из которых является решением линейного уравнения

${ displaystyle { frac { partial phi} { partial x_ {i}}} + { frac { partial phi} { partial y}} { frac { partial y} { partial x_ { i}}} = 0}$

за я = 1, 2, ..., п.

Комплексная функция нескольких действительных переменных

А комплексная функция нескольких действительных переменных можно определить, ослабив в определении действительных функций ограничение области значений действительными числами и допустив сложный значения.

Если ж(Икс₁, ..., Икс_п) является такой комплексной функцией, ее можно разложить как

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = g (x_ {1}, ldots, x_ {n}) + ih (x_ {1}, ldots, x_ {n}) ,}$

куда грамм и час - функции с действительными значениями. Другими словами, изучение комплекснозначных функций легко сводится к изучению пар действительнозначных функций.

Это сокращение работает для общих свойств. Однако для явно заданной функции, например:

${ displaystyle z (x, y, alpha, a, q) = { frac {q} {2 pi}} left [ ln (x + iy-ae ^ {i alpha}) - ln (x + iy + ae ^ {- i alpha}) right]}$

вычисление действительной и мнимой частей может быть затруднено.

Приложения

Функции многих переменных действительных переменных неизбежно возникают в инженерное дело и физика, потому что наблюдаемый физические величины являются действительными числами (с соответствующими единицы и размеры ), и любая физическая величина обычно будет зависеть от ряда других величин.

Примеры действительных функций нескольких действительных переменных

Примеры в механика сплошной среды включать местную массу плотность ρ массового распределения, a скалярное поле который зависит от координат пространственного положения (здесь декартова в качестве примера), р = (Икс, у, z), и время т:

${ Displaystyle rho = rho ( mathbf {r}, t) = rho (x, y, z, t)}$

Аналогично для электрического плотность заряда за электрически заряженный объекты и многие другие скалярный потенциал поля.

Другой пример - поле скорости, а векторное поле, который имеет компоненты скорости v = (v_Икс, v_у, v_z) которые являются многомерными функциями пространственных координат и времени аналогично:

${ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {r}, t) = mathbf {v} (x, y, z, t) = [v_ {x} (x, y, z, t), v_ { y} (x, y, z, t), v_ {z} (x, y, z, t)]}$

Аналогично для других физических векторных полей, таких как электрические поля и магнитные поля, и векторный потенциал поля.

Другой важный пример - это уравнение состояния в термодинамика, уравнение, связывающее давление п, температура Т, и объем V жидкости, в общем случае имеет неявный вид:

${ displaystyle f (P, V, T) = 0}$

Самый простой пример - это закон идеального газа:

${ Displaystyle f (P, V, T) = PV-nRT = 0}$

куда п это количество родинок, константа для фиксированного количество вещества, и р то газовая постоянная. Эмпирическим путем были получены гораздо более сложные уравнения состояния, но все они имеют указанную выше неявную форму.

Действительные функции нескольких реальных переменных широко используются в экономика. В основе теории потребителей полезность выражается как функция количества различных потребляемых товаров, каждое из которых является аргументом функции полезности. Результатом максимизации полезности является набор функции спроса, каждая из которых выражает сумму спроса на конкретный товар в зависимости от цен на различные товары и дохода или богатства. В теория производителя, обычно предполагается, что фирма максимизирует прибыль как функцию количества различных произведенных товаров и количества различных используемых факторов производства. Результатом оптимизации является набор функций спроса для различных факторов производства и набор функции снабжения для различных продуктов; каждая из этих функций имеет в качестве аргументов цены товаров и факторов производства.

Примеры комплексных функций нескольких действительных переменных

Некоторые «физические величины» могут иметь комплексные значения, например комплексное сопротивление, комплексная диэлектрическая проницаемость, комплексная проницаемость, и комплексный показатель преломления. Это также функции реальных переменных, таких как частота или время, а также температура.

В двухмерном механика жидкости, в частности, в теории потенциальные потоки используется для описания движения жидкости в 2d, комплексный потенциал

${ Displaystyle F (x, y, ldots) = varphi (x, y, ldots) + я psi (x, y, ldots)}$

является комплексной функцией двух пространственных координат Икс и у, и другие настоящий переменные, связанные с системой. Настоящая часть - это потенциал скорости а мнимая часть - это функция потока.

В сферические гармоники встречаются в физике и технике как решение Уравнение Лапласа, так же хорошо как собственные функции z-компоненты оператор углового момента, которые являются комплексными функциями действительных значений сферические полярные углы:

${ Displaystyle Y _ { ell} ^ {m} = Y _ { ell} ^ {m} ( theta, phi)}$

В квантовая механика, то волновая функция обязательно комплекснозначный, но является функцией настоящий пространственные координаты (или импульс компоненты), а также время т:

${ Displaystyle Psi = Psi ( mathbf {r}, t) = Psi (x, y, z, t) ,, quad Phi = Phi ( mathbf {p}, t) = Фи (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}, t)}$

где каждый связан преобразование Фурье.

Смотрите также

• Реальное координатное пространство
• Реальный анализ
• Комплексный анализ
• Несколько сложных переменных
• Скалярные поля

Рекомендации

• Ф. Эйрес, Э. Мендельсон (2009). Исчисление. Серия набросков Шаума (5-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-150861-2.
• Р. Вреде, М. Р. Шпигель (2010). Расширенный расчет. Серия набросков Шаума (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-162366-7.
• У. Ф. Хьюз, Дж. А. Брайтон (1999). Динамика жидкостей. Серия набросков Шаума (3-е изд.). Макгроу Хилл. п.160. ISBN  978-0-07-031118-3.
• Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  978-00994-40680.
• С. Дайнин (2001). Многомерное исчисление и геометрия. Серия Springer по математике для студентов (2-е изд.). Springer. ISBN  185-233-472-Х.
• Н. Бурбаки (2004). Функции действительной переменной: элементарная теория. Springer. ISBN  354-065-340-6.
• М. А. Московиц, Ф. Палиогианнис (2011). Функции нескольких вещественных переменных. World Scientific. ISBN  978-981-429-927-5.
• В. Флеминг (1977). Функции нескольких переменных. Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-902-066.