Положительный многочлен - Википедия - Positive polynomial

Эта статья посвящена положительным многочленам и положительным теоремам, подобным теоремам. Для Кривина – Стенгле Positivstellensatz см. Кривино – Стенгле Позитивстеллензац.

В математике положительный многочлен на конкретном множестве многочлен чьи значения положительны на этом множестве.

Позволять п быть полиномом от п переменные с действительными коэффициентами и пусть S быть подмножеством п-размерный Евклидово пространство ℝп. Мы говорим, что:

  • п является положительный на S если п(Икс)> 0 для каждого Икс ∈ S.
  • п является неотрицательный на S если п(Икс) ≥ 0 для каждого Икс ∈ S.
  • п является нуль на S если п(Икс) = 0 для каждого Икс ∈ S.

Для определенных наборов Sсуществуют алгебраические описания всех полиномов, положительных, неотрицательных или нулевых на S. Такое описание является позитивный, nichtnegativstellensatz, или же nullstellensatz. В этой статье основное внимание уделяется первым двум описаниям. Для последнего см. Nullstellensatz Гильберта для самого известного nullstellensatz.

Примеры positivstellensatz (и nichtnegativstellensatz)

  • Глобально положительные полиномы и разложение по сумме квадратов.
    • Каждый действительный многочлен от одной переменной и четной степени неотрицателен на тогда и только тогда, когда он является суммой двух квадратов действительных многочлены в одной переменной.[1] Эта эквивалентность не распространяется на многочлен с более чем одной переменной: например, Моцкин многочлен Икс4Y2 + Икс2Y4 − 3Икс2Y2 + 1 неотрицательно на ℝ2 но не является суммой квадратов элементов из ℝ [Икс, Y].[2]
    • Действительный многочлен от п переменные неотрицательны на ℝп тогда и только тогда, когда это сумма квадратов действительных рациональный функции в п переменные (см. Семнадцатая проблема Гильберта и решение Артина[3])
    • Предположим, что п ∈ ℝ [Икс1, ..., Иксп] однородна четной степени. Если он положителен на ℝп {0}, тогда существует целое число м такой, что (Икс12 + ... + Иксп2)м п представляет собой сумму квадратов элементов из ℝ [Икс1, ..., Иксп].[4]
  • Полиномы положительные на многогранники.
    • Для полиномов степени ≤ 1 имеем следующий вариант Лемма Фаркаша: Если ж, грамм1, ..., граммk имеют степень ≤ 1 и ж(Икс) ≥ 0 для каждого Икс ∈ ℝп удовлетворение грамм1(Икс) ≥ 0, ..., граммk(Икс) ≥ 0, то существуют неотрицательные действительные числа c0, c1, ..., ck такой, что ж = c0 + c1грамм1 + ... + ckграммk.
    • Теорема Поли:[5] Если п ∈ ℝ [Икс1, ..., Иксп] однородна и п положительна на множестве {Икс ∈ ℝп | Икс1 ≥ 0, ..., Иксп ≥ 0, Икс1 + ... + Иксп ≠ 0}, то существует целое число м такой, что (Икс1 + ... + Иксп)м п имеет неотрицательные коэффициенты.
    • Теорема Гендельмана:[6] Если K компактный многогранник в евклидовом d-пространство, определяемое линейными неравенствами граммя ≥ 0, а если ж является многочленом от d переменные, положительные на K, тогда ж может быть выражена как линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами произведений членов {граммя}.
  • Полиномы положительные на полуалгебраические множества.

Обобщения positivstellensatz

Positivstellensatz также существует для тригонометрических полиномов, матричных полиномов, полиномов от свободных переменных, различных квантовых полиномов и т. Д.[нужна цитата ]

Рекомендации

  • Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 pp. ISBN  3-540-64663-9.
  • Маршалл, Мюррей. «Положительные многочлены и суммы квадратов». Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 с. ISBN  978-0-8218-4402-1, ISBN  0-8218-4402-4.

Примечания

  1. ^ Бенуа, Оливье (2017). «Запись положительных полиномов в виде суммы (нескольких) квадратов». Информационный бюллетень EMS. 2017-9 (105): 8–13. Дои:10.4171 / NEWS / 105/4. ISSN  1027-488X.
  2. ^ Моцкин Т. С. Арифметико-геометрическое неравенство. Неравенства 1967 г. (Proc. Sympos. База ВВС Райт-Паттерсон, Огайо, 1965), стр. 205–224.
  3. ^ Э. Артин, Uber die Zerlegung Definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 5 (1927), 85–99.
  4. ^ Б. Резник, Равномерные знаменатели в семнадцатой проблеме Гильберта. Математика. Z.220 (1995), нет. 1, 75–97.
  5. ^ G. Pólya, Über Positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, в: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, стр. 309–313.
  6. ^ Д. Гендельман. Представление многочленов положительными линейными функциями на компактных выпуклых многогранниках. Pacific J. Math. 132 (1988), нет. 1, 35–62.
  7. ^ К. Шмюдген. "The Kпроблема моментов для компактных полуалгебраических множеств », Math. Ann. 289 (1991), № 2, 203–206.
  8. ^ Т. Вёрманн. "Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Дортмунд 1998.
  9. ^ М. Путинар, "Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах". Indiana Univ. Математика. Дж. 42 (1993), нет. 3, 969–984.
  10. ^ Т. Якоби, "Теорема о представлении некоторых частично упорядоченных коммутативных колец". Математика. Z. 237 (2001), нет. 2, 259–273.
  11. ^ Василеску, Ф.-Х. «Спектральные меры и проблемы моментов». Спектральный анализ и его приложения, 173–215, Theta Ser. Adv. Математика., 2, Theta, Bucharest, 2003. См. Теорему 1.3.1.
  12. ^ К. Шайдерер, "Суммы квадратов регулярных функций на вещественных алгебраических многообразиях". Пер. Амер. Математика. Soc. 352 (2000), нет. 3, 1039–1069.
  13. ^ К. Шайдерер, "Суммы квадратов вещественных алгебраических кривых". Математика. Z. 245 (2003), нет. 4, 725–760.
  14. ^ К. Шайдерер, "Суммы квадратов на вещественных алгебраических поверхностях". Manuscripta Math. 119 (2006), нет. 4, 395–410.

Смотрите также