Серии (математика) - Википедия - Series (mathematics)

В математика, а серии грубо говоря, это описание операции добавления одного за другим бесконечного количества величин к заданному начальному количеству.^[1] Изучение рядов составляет большую часть исчисление и его обобщение, математический анализ. Серии используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторика ) через производящие функции. Помимо повсеместного распространения в математике, бесконечные ряды также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика, Информатика, статистика и финансы.

Долгое время считалось, что такой потенциально бесконечный суммирование мог дать конечный результат, считалось парадоксальный. Этот парадокс разрешили с помощью концепции предел в течение 17 века. Парадокс Зенона из Ахиллес и черепаха иллюстрирует это парадоксальное свойство бесконечных сумм: Ахиллес бежит за черепахой, но когда он достигает положения черепахи в начале забега, черепаха достигает второй позиции; когда он достигает этой второй позиции, черепаха оказывается в третьей позиции и так далее. Зенон пришел к выводу, что Ахиллес мог никогда достигают черепахи, и поэтому движения не существует. Зенон разделил расу на бесконечно много подрас, каждая из которых требует конечного количества времени, так что общее время, за которое Ахиллес должен поймать черепаху, дается сериями. Разрешение парадокса состоит в том, что, хотя ряд состоит из бесконечного числа членов, он имеет конечную сумму, которая дает Ахиллу время, необходимое для того, чтобы догнать черепаху.

По современной терминологии любое (упорядоченное) бесконечная последовательность ${ Displaystyle (а_ {1}, а_ {2}, а_ {3}, ldots)}$ из термины (то есть числа, функции, или что-то еще, что можно добавить) определяет серию, которая представляет собой операцию добавления а_я один за другим. Чтобы подчеркнуть, что существует бесконечное количество членов, серию можно назвать бесконечная серия. Такой ряд представлен (или обозначается) выражение подобно

${ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + cdots,}$

или, используя знак суммирования,

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} a_ {i}.}$

Бесконечная последовательность добавлений, подразумеваемая рядом, не может быть эффективно продолжена (по крайней мере, за конечный промежуток времени). Однако если набор к которому принадлежат члены и их конечные суммы, имеет понятие предел, иногда можно присвоить ряду значение, которое называется суммой ряда. Это значение является пределом, поскольку п стремится к бесконечности (если существует предел) конечных сумм п первые члены ряда, которые называются пth частичные суммы серии. То есть,

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} = lim _ {n to infty} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}.}$^[2]

Когда этот предел существует, говорят, что серия сходящийся или же суммируемый, или что последовательность ${ Displaystyle (а_ {1}, а_ {2}, а_ {3}, ldots)}$ является суммируемый. В этом случае предел называется пределом сумма серии. В противном случае серию называют расходящийся.^[3]

Как правило, термины серии происходят от звенеть, часто поле ${ Displaystyle mathbb {R}}$ из действительные числа или поле ${ Displaystyle mathbb {C}}$ из сложные числа. В этом случае множество всех серий само является кольцом (и даже ассоциативная алгебра ), в котором сложение состоит из почтового сложения ряда, а умножение - это Продукт Коши.

Основные свойства

Бесконечный ряд или просто ряд - это бесконечная сумма, представленная бесконечное выражение формы^[4]

${ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + cdots,}$

куда ${ Displaystyle (а_ {п})}$ любой заказанный последовательность из термины, Такие как числа, функции, или что-нибудь еще, что может быть добавлен (ан абелева группа ). Это выражение, которое получается из списка терминов ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, dots}$ положив их рядом и соединив знаком «+». Серия также может быть представлена ​​с помощью обозначение суммирования, Такие как

${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} а_ {п}}$ .

Если абелева группа А терминов имеет понятие предел (например, если это метрическое пространство ), затем какая-то серия, сходящийся ряд, можно интерпретировать как имеющее значение в А, называется сумма ряда. Сюда входят распространенные случаи из исчисление, в котором группа является полем действительные числа или поле сложные числа. Учитывая серию ${ displaystyle s = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n},}$ это kth частичная сумма является^[3]

${ displaystyle s_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + cdots + a_ {k}.}$

По определению серия ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится до предела L (или просто суммы к L), если последовательность ее частичных сумм имеет предел L.^[4] В этом случае обычно пишут

${ displaystyle L = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n}.}$

Сериал называется сходящийся если он сходится к некоторому пределу, или расходящийся когда это не так. Значение этого лимита, если оно существует, тогда является значением ряда.

Сходящийся ряд

Иллюстрация 3 геометрическая серия с частичными суммами от 1 до 6 сроков. Пунктирная линия представляет предел.

Серия ∑а_п говорят сходиться или чтобы сходиться когда последовательность (s_k) частичных сумм имеет конечную предел. Если предел s_k бесконечен или не существует, серия называется расходиться.^[5][3] Когда существует предел частичных сумм, он называется значением (или суммой) ряда

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} = lim _ {k to infty} s_ {k} = lim _ {k to infty} sum _ { n = 0} ^ {k} a_ {n}.}$

Самый простой способ сойтись бесконечный ряд - это если все а_п равны нулю для п достаточно большой. Такой ряд можно отождествить с конечной суммой, поэтому он бесконечен только в тривиальном смысле.

Выявление свойств сходящихся рядов, даже если бесконечно много членов отличны от нуля, составляет суть изучения рядов. Рассмотрим пример

${ displaystyle 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {8}} + cdots + { frac {1} {2 ^ {n}}} + cdots.}$

Можно «визуализировать» его схождение на действительная числовая линия: мы можем представить линию длиной 2, с последовательными сегментами, размеченными длиной 1, ½, ¼ и т. д. Всегда есть место, чтобы отметить следующий сегмент, потому что количество оставшейся линии всегда такое же, как и у последнего отмеченного сегмента : когда мы отметили ½, у нас все еще остается кусок длиной ½ без маркировки, поэтому мы, безусловно, можем отметить следующий ¼. Этот аргумент не доказывает, что сумма равна равный до 2 (хотя это так), но это доказывает, что это в большинстве 2. Другими словами, ряд имеет верхнюю границу. Учитывая, что ряд сходится, для доказательства того, что он равен 2, требуется только элементарная алгебра. Если обозначить серию S, видно, что

${ displaystyle S / 2 = { frac {1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {8}} + cdots} { 2}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {16}} + cdots .}$

Следовательно,

${ Displaystyle S-S / 2 = 1 Rightarrow S = 2.}$

Идиому можно распространить на другие эквивалентные понятия серии. Например, повторяющаяся десятичная дробь, как в

${ displaystyle x = 0,111 точек}$,

кодирует серию

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {10 ^ {n}}}.}$

Поскольку эти ряды всегда сходятся к действительные числа (из-за того, что называется свойство полноты действительных чисел) говорить о сериях таким образом - это то же самое, что говорить о числах, которые они обозначают. В частности, десятичное разложение 0,111 ... можно отождествить с ¹/₉. Это приводит к аргументу, что 9 × 0.111... = 0.999... = 1, который основан только на том факте, что предельные законы для рядов сохраняют арифметические операции; подробнее об этом аргументе см. 0.999....

Примеры числовых рядов

• А геометрическая серия это тот, где каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число (в данном контексте называется обычным соотношением). Например:^[3]

${ displaystyle 1+ {1 over 2} + {1 over 4} + {1 over 8} + {1 over 16} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { 1 более 2 ^ {n}} = 2.}$

В общем, геометрический ряд

${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} г ^ {п}}$

сходится если и только если ${ textstyle | г | <1}$, и в этом случае он сходится к ${ textstyle {1 over 1-z}}$.

• Гипергеометрический ряд:

${ displaystyle _ {r} F_ {s} left [{ begin {matrix} a_ {1}, a_ {2}, dotsc, a_ {r} b_ {1}, b_ {2}, dotsc, b_ {s} end {matrix}}; z right]: = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(a_ {1}) _ {n} (a_ {2 }) _ {n} dotsb (a_ {r}) _ {n}} {(b_ {1}) _ {n} (b_ {2}) _ {n} dotsb (b_ {s}) _ { п} ; п!}} г ^ {п}}$

и их обобщения (например, базовый гипергеометрический ряд и эллиптический гипергеометрический ряд ) часто появляются в интегрируемые системы и математическая физика.^[6]

• An арифметико-геометрические ряды является обобщением геометрического ряда, в котором коэффициенты общего отношения равны членам арифметическая последовательность. Пример:

${ displaystyle 3+ {5 over 2} + {7 over 4} + {9 over 8} + {11 over 16} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} { (3 + 2n) более 2 ^ {n}}.}$

• В гармонический ряд это серия^[7]

${ displaystyle 1+ {1 over 2} + {1 over 3} + {1 over 4} + {1 over 5} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { 1 более n}.}$

Гармонический ряд расходящийся.

• An чередующийся ряд представляет собой серию, в которой термины меняют знаки. Примеры:

${ displaystyle 1- {1 over 2} + {1 over 3} - {1 over 4} + {1 over 5} - cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { left (-1 right) ^ {n-1} over n} = ln (2) quad}$ (переменный гармонический ряд )

и

${ displaystyle -1 + { frac {1} {3}} - { frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} - { frac {1} {9}} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { left (-1 right) ^ {n}} {2n-1}} = - { frac { pi} {4 }}}$

• В п-серии

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {p}}}}$

сходится, если п > 1 и расходится при п ≤ 1, что можно показать с помощью интегрального критерия, описанного ниже в тесты сходимости. В зависимости от п, сумма этого ряда равна Дзета-функция Римана.

• А телескопическая серия

${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} (b_ {n} -b_ {n + 1})}$

сходится, если последовательность б_п сходится к пределу L-в качестве п уходит в бесконечность. Тогда значение серии б₁ − L.

• Есть некоторые элементарные ряды, сходимость которых еще не известна / не доказана. Например, неизвестно, был ли сериал Flint Hills

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { csc ^ {2} n} {n ^ {3}}}}$

сходится или нет. Сходимость зависит от того, насколько хорошо ${ displaystyle pi}$ можно аппроксимировать рациональными числами (что пока неизвестно). В частности, значения п с большим числовым вкладом в сумму числители подходящих дробных дробей ${ displaystyle pi}$, последовательность, начинающаяся с 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (последовательность A046947 в OEIS ). Это целые числа, близкие к ${ Displaystyle п пи}$ для некоторого целого числа п, так что ${ Displaystyle грех п пи}$ близко к 0, а обратная величина велика. Алексеев (2011) доказал, что если ряд сходится, то мера иррациональности из ${ displaystyle pi}$ меньше 2,5, что намного меньше известной в настоящее время границы 7.10320533 ....^[8][9]

π

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {1} {i ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac { 1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i + 1} (4)} {2i-1}} = { frac {4} {1} } - { frac {4} {3}} + { frac {4} {5}} - { frac {4} {7}} + { frac {4} {9}} - { frac { 4} {11}} + { frac {4} {13}} - cdots = pi}$

Натуральный логарифм 2

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {я + 1}} {я}} = ln 2}$ ^[3]

${ displaystyle sum _ {я = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2i + 1) (2i + 2)}} = ln 2}$

${ Displaystyle сумма _ {я = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {(-1) ^ {я}} {(я + 1) (я + 2)}} = 2 ln (2) - 1}$

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} { frac {1} {я (4i ^ {2} -1)}} = 2 ln (2) -1}$

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {i} i}} = ln 2}$

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {3 ^ {i}}} + { frac {1} {4 ^ {i}}} right ) { frac {1} {i}} = ln 2}$

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} { frac {1} {2i (2i-1)}} = ln 2}$

Основание натурального логарифма е

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {i!}} = 1 - { frac {1} {1!}} + { frac {1} {2!}} - { frac {1} {3!}} + cdots = { frac {1} {e}}}$

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {1} {i!}} = { frac {1} {0!}} + { frac {1} {1!} } + { frac {1} {2!}} + { frac {1} {3!}} + { frac {1} {4!}} + cdots = e}$

Исчисление и частичное суммирование как операция над последовательностями

Частичное суммирование принимает в качестве входных данных последовательность, (а_п), а на выходе выдает другую последовательность, (S_N). Таким образом, это унарная операция по последовательностям. Далее эта функция линейный, и, таким образом, является линейный оператор на векторное пространство последовательностей, обозначаемых Σ. Обратный оператор - это конечная разница оператор, обозначенный Δ. Они ведут себя как дискретные аналоги интеграция и дифференциация, только для рядов (функций натурального числа) вместо функций действительной переменной. Например, последовательность (1, 1, 1, ...) имеет ряд (1, 2, 3, 4, ...) в качестве частичного суммирования, что аналогично тому, что ${ displaystyle int _ {0} ^ {x} 1 , dt = x.}$

В Информатика, он известен как сумма префикса.

Свойства серии

Серии классифицируются не только по тому, сходятся они или расходятся, но и по свойствам терминов a_п (абсолютная или условная сходимость); тип сходимости ряда (поточечная, равномерная); класс термина а_п (будь то действительное число, арифметическая прогрессия, тригонометрическая функция); и Т. Д.

Неотрицательные условия

Когда а_п неотрицательное действительное число для каждого п, последовательность S_N частичных сумм не убывает. Отсюда следует, что ряд ∑а_п с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность S_N частичных сумм ограничено.

Например, сериал

${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} { гидроразрыва {1} {п ^ {2}}}}$

сходится, поскольку неравенство

${ displaystyle { frac {1} {n ^ {2}}} leq { frac {1} {n-1}} - { frac {1} {n}}, quad n geq 2, }$

а аргумент телескопической суммы означает, что частичные суммы ограничены числом 2. Точное значение исходного ряда - это Базельская проблема.

Абсолютная конвергенция

Серия

${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} а_ {п}}$

сходится абсолютно если серия абсолютные значения

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left | a_ {n} right |}$

сходится. Этого достаточно, чтобы гарантировать не только то, что исходный ряд сходится к пределу, но и то, что любое его переупорядочение сходится к тому же пределу.

Условная сходимость

Ряд действительных или комплексных чисел называется условно сходящийся (или же полусходящийся), если он сходится, но не абсолютно. Известный пример - чередующийся ряд

${ displaystyle sum limits _ {n = 1} ^ { infty} {(- 1) ^ {n + 1} over n} = 1- {1 over 2} + {1 over 3} - {1 over 4} + {1 over 5} - cdots,}$

которое сходится (а его сумма равна${ displaystyle ln 2}$), но ряд, образованный взятием абсолютного значения каждого члена, является расходящимся гармонический ряд. В Теорема рядов Римана говорит, что любой условно сходящийся ряд можно переупорядочить, чтобы получился расходящийся ряд, и, более того, если ${ displaystyle a_ {n}}$ реальны и ${ displaystyle S}$ - любое действительное число, которое можно переупорядочить так, чтобы переупорядоченный ряд сходился с суммой, равной${ displaystyle S}$.

Тест Авеля является важным инструментом для работы с полусходящимися рядами. Если серия имеет вид

${ displaystyle sum a_ {n} = sum lambda _ {n} b_ {n}}$

где частичные суммы ${ displaystyle B_ {n} = b_ {0} + cdots b_ {n}}$ ограничены, ${ displaystyle lambda _ {n}}$ имеет ограниченную вариацию, и ${ displaystyle lim lambda _ {n} b_ {n}}$ существуют:

${ Displaystyle sup _ {N} { Bigl |} sum _ {n = 0} ^ {N} b_ {n} { Bigr |} < infty, sum | lambda _ {n + 1} - lambda _ {n} | < infty { text {and}} lambda _ {n} B_ {n} { text {converges,}}}$

затем сериал ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится. Это относится к точечной сходимости многих тригонометрических рядов, как в

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac { sin (nx)} { ln n}}}$

с ${ Displaystyle 0 <х <2 pi}$. Метод Абеля заключается в написании ${ displaystyle b_ {n + 1} = B_ {n + 1} -B_ {n}}$, а при выполнении преобразования, аналогичного интеграция по частям (называется суммирование по частям ), связывающая данный ряд ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ к абсолютно сходящемуся ряду

${ displaystyle sum ( lambda _ {n} - lambda _ {n + 1}) , B_ {n}.}$

Оценка ошибок усечения

Оценка ошибок усечения - важная процедура в числовой анализ (особенно проверенные числа и компьютерное доказательство ).

Чередование серий

Когда условия испытание чередующейся последовательностью удовлетворены ${ displaystyle S: = sum _ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} u_ {m}}$, есть точная оценка ошибки.^[10] Набор ${ displaystyle s_ {n}}$ быть частичной суммой ${ displaystyle s_ {n}: = sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} u_ {m}}$ данной переменной серии ${ displaystyle S}$. Тогда имеет место следующее неравенство:

${ displaystyle | S-s_ {n} | leq u_ {n + 1}.}$

Серия Тейлор

Теорема Тейлора это утверждение, которое включает в себя оценку члена ошибки, когда Серия Тейлор усечен.

Гипергеометрический ряд

Используя соотношение, мы можем получить оценку члена ошибки, когда гипергеометрический ряд усечен.^[11]

Матрица экспоненциальная

Для матричная экспонента:

${ displaystyle exp (X): = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {k!}} X ^ {k}, quad X in mathbb {C} ^ {п раз п},}$

выполняется следующая оценка ошибок (метод масштабирования и возведения в квадрат):^[12][13][14]

${ displaystyle T_ {r, s} (X): = left [ sum _ {j = 0} ^ {r} { frac {1} {j!}} (X / s) ^ {j} right] ^ {s}, quad || exp (X) -T_ {r, s} (X) || leq { frac {|| X || ^ {r + 1}} {s ^ { r} (r + 1)!}} exp (|| X ||).}$

Тесты сходимости

Существует множество тестов, которые можно использовать, чтобы определить, сходятся или расходятся определенные ряды.

• n-й семестр: Если ${ displaystyle lim _ {п rightarrow infty} a_ {n} neq 0}$, то ряд расходится; если ${ displaystyle lim _ {п rightarrow infty} a_ {n} = 0}$, то тест не дает результатов.
• Сравнительный тест 1 (см. Тест прямого сравнения ): Если ${ displaystyle sum b_ {n}}$ является абсолютно сходящийся серия такая, что ${ displaystyle left vert a_ {n} right vert leq C left vert b_ {n} right vert}$ для некоторого числа ${ displaystyle C}$ и для достаточно больших ${ displaystyle n}$ , тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится абсолютно также. Если ${ displaystyle sum left vert b_ {n} right vert}$ расходится, и ${ displaystyle left vert a_ {n} right vert geq left vert b_ {n} right vert}$ для всех достаточно больших ${ displaystyle n}$, тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ также не может полностью сходиться (хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если ${ displaystyle a_ {n}}$ чередовать знак).
• Сравнительный тест 2 (см. Предел сравнительного теста ): Если ${ displaystyle sum b_ {n}}$ абсолютно сходящийся ряд такой, что ${ Displaystyle left vert { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right vert leq left vert { frac {b_ {n + 1}} {b_ {n }}} right vert}$ для достаточно большого ${ displaystyle n}$, тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится абсолютно также. Если ${ displaystyle sum left vert b_ {n} right vert}$ расходится, и ${ displaystyle left vert { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right vert geq left vert { frac {b_ {n + 1}} {b_ {n) }}} right vert}$ для всех достаточно больших ${ displaystyle n}$ , тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ также не может полностью сходиться (хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если ${ displaystyle a_ {n}}$ чередовать знак).
• Соотношение тест: Если существует постоянная ${ Displaystyle C <1}$ такой, что ${ displaystyle left vert { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right vert$ для всех достаточно больших${ displaystyle n}$, тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится абсолютно. Когда соотношение меньше чем ${ displaystyle 1}$, но не менее константы менее ${ displaystyle 1}$, сходимость возможна, но этот тест не устанавливает ее.
• Корневой тест: Если существует постоянная ${ displaystyle C <1}$ такой, что ${ displaystyle left vert a_ {n} right vert ^ { frac {1} {n}} leq C}$ для всех достаточно больших${ displaystyle n}$, тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится абсолютно.
• Интегральный тест: если ${ displaystyle f (x)}$ положительный монотонно убывающий функция, определенная на интервал ${ displaystyle [1, infty)}$ с ${ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ для всех${ displaystyle n}$, тогда ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ сходится тогда и только тогда, когда интеграл ${ Displaystyle int _ {1} ^ { infty} е (х) dx}$ конечно.
• Тест конденсации Коши: Если ${ displaystyle a_ {n}}$ неотрицательна и не возрастает, то две серии ${ Displaystyle сумма а_ {п}}$ и ${ displaystyle sum 2 ^ {k} а _ {(2 ^ {k})}}$ имеют одинаковую природу: либо сходятся, либо расходятся.
• Испытание чередующейся серии: Серия в форме ${ Displaystyle сумма (-1) ^ {п} а_ {п}}$ (с ${ displaystyle a_ {n}> 0}$) называется чередование. Такой ряд сходится, если последовательность ${ displaystyle a_ {n}}$ является монотонно убывающий и сходится к${ displaystyle 0}$. Обратное, в общем, неверно.
• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для Ряд Фурье Здесь Тест Дини.

Серия функций

Серия действительных или комплексных функций

${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} е_ {п} (х)}$

сходится поточечно на съемочной площадке E, если ряд сходится для каждого Икс в E как обычный ряд действительных или комплексных чисел. Эквивалентно частичные суммы

${ displaystyle s_ {N} (x) = sum _ {n = 0} ^ {N} f_ {n} (x)}$

сходиться к ƒ(Икс) в качестве N → ∞ для каждого Икс ∈ E.

Более сильным понятием сходимости ряда функций является равномерное схождение. Ряд сходится равномерно, если он сходится поточечно к функции ƒ(Икс), а ошибка аппроксимации предела Nая частичная сумма,

${ displaystyle | s_ {N} (x) -f (x) |}$

можно сделать минимальным независимо из Икс выбрав достаточно большой N.

Для ряда желательна равномерная сходимость, потому что многие свойства членов ряда в этом случае сохраняются до предела. Например, если ряд непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция также будет непрерывной. Аналогично, если ƒ_п находятся интегрируемый на замкнутом и ограниченном интервале я и сходятся равномерно, то ряд также интегрируем на я и могут быть интегрированы посменно. Тесты на равномерную сходимость включают М-тест Вейерштрасса, Тест равномерной сходимости Абеля, Тест Дини, а Критерий Коши.

Также могут быть определены более сложные типы сходимости ряда функций. В теория меры, например, ряд функций сходится почти всюду если он сходится поточечно, за исключением определенного набора измерять ноль. Другой способы конвергенции зависеть от другого метрическое пространство структура на рассматриваемом пространстве функций. Например, ряд функций сходится в среднем на съемочной площадке E к предельной функции ƒ при условии

${ displaystyle int _ {E} left | s_ {N} (x) -f (x) right | ^ {2} , dx to 0}$

в качестве N → ∞.

Силовая серия

Основная статья: Силовая серия

А степенной ряд представляет собой серию вида

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-c) ^ {n}.}$

В Серия Тейлор в какой-то момент c функции является степенным рядом, который во многих случаях сходится к функции в окрестности c. Например, сериал

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}}}$

это серия Тейлора ${ displaystyle e ^ {x}}$ в начале координат и сходится к нему для каждого Икс.

Если только он не сходится Икс=c, такой ряд сходится на некотором открытом диске сходимости с центром в точке c в комплексной плоскости, а также может сходиться в некоторых точках границы диска. Радиус этого диска известен как радиус схождения, и в принципе может быть определена из асимптотики коэффициентов а_п. Сходимость равномерна на закрыто и ограниченный (то есть, компактный ) подмножества внутренней части диска сходимости: равномерно сходящийся на компактах.

Исторически сложилось так, что математики, такие как Леонард Эйлер свободно работали с бесконечными рядами, даже если они не сходились. Когда в девятнадцатом веке исчисление было положено на прочное и правильное основание, всегда требовалось строгое доказательство сходимости рядов.

Формальный степенной ряд

Хотя во многих случаях степенные ряды относятся к их суммам, степенные ряды также можно рассматривать как формальные суммы, что означает, что на самом деле никакие операции сложения не выполняются, а символ «+» является абстрактным символом соединения, который не обязательно интерпретируется как соответствующий сложению. В этом случае интерес представляет сама последовательность коэффициентов, а не сходимость ряда. Формальные степенные ряды используются в комбинаторика описывать и изучать последовательности с которыми иначе трудно справиться, например, используя метод производящие функции. В Ряд Гильберта – Пуанкаре это формальный степенной ряд, используемый для изучения градуированные алгебры.

Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если термины поддерживают соответствующую структуру, тогда можно определить такие операции, как добавление, умножение, производная, первообразный для степенного ряда «формально», рассматривая символ «+», как если бы он соответствовал сложению. В большинстве случаев термины происходят от коммутативное кольцо, так что формальный степенной ряд можно почленно складывать и умножать с помощью Продукт Коши. В этом случае алгебра формальных степенных рядов - это общая алгебра из моноид из натуральные числа над основным термином кольцо.^[15] Если основное кольцо терминов дифференциальная алгебра, то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй с почленным дифференцированием.

Серия Laurent

Ряды Лорана обобщают степенные ряды путем включения членов в ряды с отрицательными и положительными показателями. Таким образом, ряд Лорана - это любой ряд вида

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n}.}$

Если такой ряд сходится, то в общем случае он сходится кольцо а не диск и, возможно, некоторые граничные точки. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутренней части кольца сходимости.

Серия Дирихле

Основная статья: Серия Дирихле

А Серия Дирихле это одна из форм

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} over n ^ {s}},}$

куда s это комплексное число. Например, если все а_п равны 1, то ряд Дирихле - это Дзета-функция Римана

${ displaystyle zeta (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}.}.$

Как и дзета-функция, ряды Дирихле в целом играют важную роль в аналитическая теория чисел. Обычно ряд Дирихле сходится, если действительная часть s больше числа, называемого абсциссой сходимости. Во многих случаях ряд Дирихле может быть расширен до аналитическая функция вне области сходимости аналитическое продолжение. Например, ряд Дирихле для дзета-функции абсолютно сходится, когда Res > 1, но дзета-функцию можно продолжить до голоморфной функции, определенной на ${ Displaystyle mathbf {C} setminus {1 }}$ с простым столб на 1.

Этот ряд можно напрямую обобщить на общая серия Дирихле.

Тригонометрический ряд

Ряд функций, в которых термины тригонометрические функции называется тригонометрический ряд:

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} A_ {0} + sum _ {n = 1} ^ { infty} left (A_ {n} cos nx + B_ {n} sin nx верно).}$

Наиболее важным примером тригонометрического ряда является Ряд Фурье функции.

История теории бесконечных серий

Развитие бесконечной серии

Греческий математик Архимед произвел первое известное суммирование бесконечного ряда с помощью метода, который все еще используется в области исчисления сегодня. Он использовал метод истощения рассчитать площадь под дугой парабола суммированием бесконечного ряда и дала удивительно точное приближение π.^[16][17]

Математики из Кералы, Индия, изучали бесконечные ряды около 1350 г.^[18]

В 17 веке Джеймс Грегори работал в новом десятичный системы на бесконечных сериях и опубликовал несколько Серия Маклорена. В 1715 г. был разработан общий метод построения Серия Тейлор для всех функций, для которых они существуют, был предоставлен Брук Тейлор. Леонард Эйлер в 18 веке разработал теорию гипергеометрический ряд и q-серия.

Критерии сходимости

Рассмотрение справедливости бесконечных рядов предполагается начать с Гаусс в 19 ​​веке. Эйлер уже рассматривал гипергеометрический ряд

${ displaystyle 1 + { frac { alpha beta} {1 cdot gamma}} x + { frac { alpha ( alpha +1) beta ( beta +1)} {1 cdot 2 cdot gamma ( gamma +1)}} x ^ {2} + cdots}$

о котором Гаусс опубликовал мемуары в 1812 году. В нем были установлены более простые критерии сходимости, а также вопросы остатков и диапазона сходимости.

Коши (1821) настаивал на строгих проверках сходимости; он показал, что если две серии сходятся, их произведение не обязательно так, и с него начинается открытие эффективных критериев. Условия конвергенция и расхождение был введен задолго до этого Грегори (1668). Леонард Эйлер и Гаусс дал различные критерии, и Колин Маклорен предвидел некоторые открытия Коши. Коши выдвинул теорию степенной ряд своим расширением комплекса функция в таком виде.

Авель (1826) в своих мемуарах о биномиальный ряд

${ displaystyle 1 + { frac {m} {1!}} x + { frac {m (m-1)} {2!}} x ^ {2} + cdots}$

исправил некоторые выводы Коши и дал полностью научное суммирование ряда для комплексных значений ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle x}$. Он показал необходимость рассмотрения вопроса преемственности в вопросах конвергенции.

Методы Коши привели к частным, а не общим критериям, и то же самое можно сказать о Раабе (1832), который провел первое детальное исследование этого предмета. Де Морган (с 1842 г.), чья логарифмическая проба Дюбуа-Реймон (1873 г.) и Pringsheim (1889) показали, что потерпели неудачу в определенной области; из Бертран (1842), Капот (1843), Мальмстен (1846, 1847, последний без интеграции);Стокса (1847), Паукер (1852), Чебышев (1852), и Арндт (1853).

Общие критерии начинались с Куммер (1835), и были изучены Эйзенштейн (1847), Weierstrass в его различных вкладах в теорию функций, Дини (1867), Дюбуа-Реймон (1873) и многие другие. Воспоминания Прингсхайма (1889 г.) представляют наиболее полную общую теорию.

Равномерная сходимость

Теория равномерное схождение был рассмотрен Коши (1821), на его ограничения указал Абель, но первыми, кто атаковал его успешно, были Зайдель и Стокса (1847–48). Коши снова занялся этой проблемой (1853 г.), признав критику Абеля и придя к тем же выводам, которые уже сделал Стокс. Тома использовал доктрину (1866 г.), но с большим опозданием осознал важность различия между однородной и неоднородной сходимостью, несмотря на требования теории функций.

Полусходимость

Ряд называется полусходящимся (или условно сходящимся), если он сходится, но не сходится. абсолютно сходящийся.

Полусходящиеся ряды были изучены Пуассоном (1823 г.), который также дал общий вид остальной части формулы Маклорена. Однако наиболее важное решение проблемы принадлежит Якоби (1834 г.), который подошел к вопросу об остатке с другой точки зрения и пришел к другой формуле. Это выражение также было разработано, а другое дано Мальмстен (1847). Schlömilch (Zeitschrift, Том I, стр. 192, 1856) также улучшил остаток Якоби и показал связь между остатком и Функция Бернулли

${ Displaystyle F (x) = 1 ^ {n} + 2 ^ {n} + cdots + (x-1) ^ {n}.}$

Genocchi (1852) внес свой вклад в теорию.

Среди ранних писателей был Вронски, чье "loi suprême" (1815 г.) едва ли было известно до Кэли (1873) сделал его известным.

Ряд Фурье

Ряд Фурье исследовались как результат физических соображений в то время, когда Гаусс, Абель и Коши разрабатывали теорию бесконечных серий. Ряды для разложения синусов и косинусов, кратных дуг по степеням синуса и косинуса дуги были рассмотреныДжейкоб Бернулли (1702) и его брат Иоганн Бернулли (1701) и еще раньше Виета. Эйлер и Лагранж упростил предмет, как и Пуансо, Schröter, Глейшер, и Куммер.

Фурье (1807) поставил перед собой другую задачу: разложить заданную функцию Икс в терминах синусов или косинусов кратных Икс, проблема, которую он воплотил в Теория аналитик де ла шалёр (1822). Эйлер уже дал формулы для определения коэффициентов в ряду; Фурье был первым, кто утвердил и попытался доказать общую теорему. Пуассон (1820–23) также подошли к проблеме с другой точки зрения. Однако Фурье не решил вопрос о сходимости своего ряда, и этот вопрос оставался на Коши (1826) попытаться, а Дирихле (1829) - действовать досконально научным образом (см. сходимость ряда Фурье ). Лечение Дирихле (Crelle, 1829), тригонометрических рядов был предметом критики и улучшений со стороны Римана (1854), Гейне, Липшиц, Schläfli, идю Буа-Реймон. Среди других выдающихся авторов теории тригонометрических рядов и рядов Фурье были Дини, Эрмит, Halphen, Краузе, Байерли и Appell.

Обобщения

Асимптотический ряд

Асимптотический ряд, иначе асимптотические разложения, - бесконечные ряды, частичные суммы которых становятся хорошими приближениями в пределе некоторой точки области. В общем, они не сходятся, но они полезны как последовательности приближений, каждое из которых обеспечивает значение, близкое к желаемому ответу для конечного числа членов. Разница в том, что асимптотический ряд не может дать столь точный ответ, как это могут делать сходящиеся ряды. Фактически, после определенного числа членов типичный асимптотический ряд достигает своего наилучшего приближения; если будет включено больше терминов, большинство таких серий дадут худшие ответы.

Расходящаяся серия

Во многих случаях желательно установить предел для ряда, который не может сходиться в обычном смысле. А метод суммирования такое назначение предела подмножеству множества расходящихся рядов, которое должным образом расширяет классическое понятие сходимости. Методы суммирования включают Чезаро суммирование, (C,k) суммирование, Суммирование Абеля, и Суммирование по Борелю в порядке возрастания общности (и, следовательно, применимо к все более расходящимся рядам).

Известно множество общих результатов о возможных методах суммирования. В Теорема Сильвермана – Теплица. характеризует методы суммирования матриц, которые представляют собой методы суммирования расходящегося ряда путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Самый общий метод суммирования расходящихся рядов неконструктивен и касается Пределы Банаха.

Суммирования по произвольным индексным множествам

Определения могут быть даны для сумм по произвольному множеству индексов я.^[19] Есть два основных отличия от обычного понятия серии: во-первых, на множестве нет определенного порядка. я; во-вторых, этот набор я может быть бесчисленным. Понятие конвергенции необходимо усилить, потому что концепция условная сходимость зависит от порядка набора индексов.

Если ${ displaystyle a: I mapsto G}$ это функция из набор индексов я к набору грамм, то "серия", связанная с ${ displaystyle a}$ это формальная сумма элементов ${ Displaystyle а (х) в G}$ над элементами индекса ${ displaystyle x in I}$ обозначается

${ displaystyle sum _ {x in I} a (x).}$

Когда набор индексов - это натуральные числа ${ Displaystyle I = mathbb {N}}$, функция ${ displaystyle a: mathbb {N} mapsto G}$ это последовательность обозначается ${ Displaystyle а (п) = а_ {п}}$. Ряд, пронумерованный натуральными числами, представляет собой упорядоченную формальную сумму, поэтому мы перепишем ${ Displaystyle сумма _ {п в mathbb {N}}}$ в качестве ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty}}$ чтобы подчеркнуть порядок, индуцированный натуральными числами. Таким образом, мы получаем общее обозначение ряда, индексированного натуральными числами

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + cdots.}$

Семейства неотрицательных чисел

При суммировании семьи {а_я}, я ∈ янеотрицательных чисел, можно определить

${ displaystyle sum _ {i in I} a_ {i} = sup { Bigl {} sum _ {i in A} a_ {i} , { big |} A { text { конечно,}} A subset I { Bigr }} in [0, + infty].}$

Когда супремум конечен, множество я ∈ я такой, что а_я > 0 счетно. Действительно, для каждого п ≥ 1 множество ${ displaystyle A_ {n} = {я in I ,: , a_ {i}> 1 / n }}$ конечно, потому что

${ displaystyle { frac {1} {n}} , { textrm {card}} (A_ {n}) leq sum _ {i in A_ {n}} a_ {i} leq sum _ {i in I} a_ {i} < infty.}$

Если я is countably infinite and enumerated as я = {я₀, я₁,...} then the above defined sum satisfies

${displaystyle sum _{iin I}a_{i}=sum _{k=0}^{+infty }a_{i_{k}},}$

provided the value ∞ is allowed for the sum of the series.

Any sum over non-negative reals can be understood as the integral of a non-negative function with respect to the счетная мера, which accounts for the many similarities between the two constructions.

Abelian topological groups

Позволять а : я → Икс, куда я is any set and Икс является абелевский Хаусдорф topological group. Позволять F be the collection of all конечный подмножества из я, с F рассматривается как направленный набор, упорядоченный под включение с союз в качестве присоединиться. Define the sum S семьи а as the limit

${displaystyle S=sum _{iin I}a_{i}=lim {Bigl {}sum _{iin A}a_{i},{ig |}Ain F{Bigr }}}$

if it exists and say that the family а is unconditionally summable. Saying that the sum S is the limit of finite partial sums means that for every neighborhood V из 0 в Икс, there is a finite subset А₀ из я такой, что

${displaystyle S-sum _{iin A}a_{i}in V,quad Asupset A_{0}.}$

Потому что F не является полностью заказанный, this is not a limit of a sequence of partial sums, but rather of a сеть.^[20][21]

Для каждого W, neighborhood of 0 in Икс, there is a smaller neighborhood V такой, что V − V ⊂ W. It follows that the finite partial sums of an unconditionally summable family а_я, я ∈ я, сформировать Сеть Коши, that is, for every W, neighborhood of 0 in Икс, there is a finite subset А₀ из я такой, что

${displaystyle sum _{iin A_{1}}a_{i}-sum _{iin A_{2}}a_{i}in W,quad A_{1},A_{2}supset A_{0}.}$

Когда Икс является полный, семья а is unconditionally summable in Икс if and only if the finite sums satisfy the latter Cauchy net condition. Когда Икс is complete and а_я, я ∈ я, is unconditionally summable in Икс, then for every subset J ⊂ я, the corresponding subfamily а_j, j ∈ J, is also unconditionally summable in Икс.

When the sum of a family of non-negative numbers, in the extended sense defined before, is finite, then it coincides with the sum in the topological group Икс = р.

If a family а в Икс is unconditionally summable, then for every W, neighborhood of 0 in Икс, there is a finite subset А₀ из я такой, что а_я ∈ W для каждого я не в А₀. Если Икс является исчисляемый первым, it follows that the set of я ∈ я такой, что а_я ≠ 0 is countable. This need not be true in a general abelian topological group (see examples below).

Unconditionally convergent series

Предположим, что я = N. If a family а_п, п ∈ N, is unconditionally summable in an abelian Hausdorff topological group Икс, then the series in the usual sense converges and has the same sum,

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=sum _{nin mathbf {N} }a_{n}.}$

By nature, the definition of unconditional summability is insensitive to the order of the summation. When ∑а_п is unconditionally summable, then the series remains convergent after any permutation σ of the set N of indices, with the same sum,

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{sigma (n)}=sum _{n=0}^{infty }a_{n}.}$

Conversely, if every permutation of a series ∑а_п converges, then the series is unconditionally convergent. Когда Икс is complete, then unconditional convergence is also equivalent to the fact that all subseries are convergent; если Икс is a Banach space, this is equivalent to say that for every sequence of signs ε_п = ±1, the series

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }varepsilon _{n}a_{n}}$

сходится в Икс.

Series in topological vector spaces

Если Икс это топологическое векторное пространство (TVS) and ${displaystyle left(x_{alpha } ight)_{alpha in A}}$ это (возможно бесчисленный ) family in Икс then this family is summable^[22] if the limit ${displaystyle lim _{Hin {mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ из сеть ${displaystyle left(x_{H} ight)_{Hin {mathcal {F}}(A)}}$ сходится в Икс, куда ${displaystyle {mathcal {F}}(A)}$ это направленный набор of all finite subsets of А directed by inclusion ${ displaystyle substeq}$ и ${displaystyle x_{H}:=sum _{iin H}x_{i}}$.

Это называется absolutely summable if in addition, for every continuous seminorm п на Икс, семья ${displaystyle left(pleft(x_{alpha } ight) ight)_{alpha in A}}$ is summable.If Икс is a normable space and if ${displaystyle left(x_{alpha } ight)_{alpha in A}}$ is an absolutely summable family in Икс, then necessarily all but a countable collection of ${displaystyle x_{alpha }}$'s are 0. Hence, in normed spaces, it is usually only ever necessary to consider series with countably many terms.

Summable families play an important role in the theory of ядерные пространства.

Series in Banach and semi-normed spaces

The notion of series can be easily extended to the case of a seminormed space. Если Икс_п is a sequence of elements of a normed space Икс и если Икс в Икс, then the series ΣИкс_п сходится к Икс вИкс if the sequence of partial sums of the series ${displaystyle left(sum _{n=0}^{N}x_{n} ight)_{N=1}^{infty }}$ сходится к Икс в Икс; to wit,

${displaystyle left|x-sum _{n=0}^{N}x_{n} ight| o 0}$

в качестве N → ∞.

More generally, convergence of series can be defined in any абелевский Хаусдорф topological group. Specifically, in this case, ΣИкс_п сходится к Икс if the sequence of partial sums converges to Икс.

If (Икс, |·|) is a semi-normed space, then the notion of absolute convergence becomes: A series ${displaystyle sum _{iin mathbf {I} }x_{i}}$ of vectors in Икс  сходится абсолютно если

${displaystyle sum _{iin mathbf {I} }left|x_{i} ight|<+infty }$

in which case all but at most countably many of the values ${displaystyle left|x_{i} ight|}$ are necessarily zero.

If a countable series of vectors in a Banach space converges absolutely then it converges unconditionally, but the converse only holds in finite-dimensional Banach spaces (theorem of Dvoretzky & Rogers (1950) ).

Well-ordered sums

Conditionally convergent series can be considered if я это хорошо организованный set, for example, an порядковый номер α₀. One may define by transfinite recursion:

${displaystyle sum _{eta$

and for a limit ordinal α,

${displaystyle sum _{eta$

если этот предел существует. If all limits exist up to α₀, then the series converges.

Примеры

Смотрите также

• Непрерывная дробь
• Convergence tests
• Сходящийся ряд
• Расходящаяся серия
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Бесконечное выражение
• Бесконечный продукт
• Итерированная двоичная операция
• List of mathematical series
• Prefix sum
• Sequence transformation
• Расширение серии

Примечания

Рекомендации

• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Дворецкий, Арье; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 36 (3): 192–197. Bibcode:1950PNAS...36..192D. Дои:10.1073/pnas.36.3.192. ЧВК  1063182.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Pure and applied mathematics (Second ed.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Своковски, Эрл В. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN  978-0-87150-341-1
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Robertson, A. P. (1973). Топологические векторные пространства. Cambridge England: University Press. ISBN  0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.

МИСТЕР0033975

внешняя ссылка

• "Серии", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Infinite Series Tutorial
• "Series-TheBasics". Paul's Online Math Notes.