Арифметико-геометрическая последовательность - Arithmetico–geometric sequence

В математика, арифметико-геометрическая последовательность является результатом почленного умножения геометрическая прогрессия с соответствующими членами арифметическая прогрессия. Проще говоря, п-й член арифметико-геометрической последовательности является произведением п-й член арифметической последовательности и п-й член геометрического. Арифметико-геометрические последовательности возникают в различных приложениях, таких как вычисление ожидаемые значения в теория вероятности. Например, последовательность

${ displaystyle { dfrac { color {blue} {0}} { color {green} {1}}}, { dfrac { color {blue} {1}} { color {green} {2) }}}, { dfrac { color {blue} {2}} { color {green} {4}}}, { dfrac { color {blue} {3}} { color {green} {8}}}, { dfrac { color {blue} {4}} { color {green} {16}}}, { dfrac { color {blue} {5}} { color { зеленый} {32}}}, cdots}$

представляет собой арифметико-геометрическую последовательность. Арифметическая составляющая отображается в числителе (синим цветом), а геометрическая - в знаменателе (зеленым).

Суммирование этой бесконечной последовательности известно как арифметико-геометрические ряды, и его самая основная форма была названа Лестница Габриэля:^[1][2][3]

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { color {blue} k} { color {green} r ^ {k}} = { frac {r} {(1-r) ^ {2}}}, quad mathrm {для } 0$

Номинал также может применяться к различным объектам, представляющим характеристики как арифметических, так и геометрических последовательностей; например, французское понятие арифметико-геометрическая последовательность относится к последовательностям вида ${ displaystyle u_ {n + 1} = au_ {n} + b}$, которые обобщают как арифметические, так и геометрические последовательности. Такие последовательности являются частным случаем линейные разностные уравнения.

Условия последовательности

Первые несколько членов арифметико-геометрической последовательности, состоящей из арифметическая прогрессия (синим цветом) с разницей ${ displaystyle d}$ и начальное значение ${ displaystyle a}$ и геометрическая прогрессия (зеленый) с начальным значением ${ displaystyle b}$ и общее соотношение ${ displaystyle r}$даны:^[4]

${ displaystyle { begin {align} t_ {1} & = color {blue} a color {green} b t_ {2} & = color {blue} (a ​​+ d) color {green} br t_ {3} & = color {blue} (a ​​+ 2d) color {green} br ^ {2} & , vdots t_ {n} & = color {blue} [a + (n-1) d] color {зеленый} br ^ {n-1} end {выровнено}}}$

пример

Например, последовательность

${ displaystyle { dfrac { color {blue} {0}} { color {green} {1}}}, { dfrac { color {blue} {1}} { color {green} {2) }}}, { dfrac { color {blue} {2}} { color {green} {4}}}, { dfrac { color {blue} {3}} { color {green} {8}}}, { dfrac { color {blue} {4}} { color {green} {16}}}, { dfrac { color {blue} {5}} { color { зеленый} {32}}}, cdots}$

определяется ${ displaystyle d = b = 1}$, ${ displaystyle a = 0}$, и ${ displaystyle r = { frac {1} {2}}}$.

Сумма условий

Сумма первых п члены арифметико-геометрической последовательности имеют вид

${ displaystyle { begin {align} S_ {n} & = sum _ {k = 1} ^ {n} t_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} left [a + (k -1) d right] br ^ {k-1} & = ab + [a + d] br + [a + 2d] br ^ {2} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n-1} & = A_ {1} G_ {1} + A_ {2} G_ {2} + A_ {3} G_ {3} + cdots + A_ {n} G_ {n}, end {выровнено}}}$

где ${ displaystyle A_ {i}}$ и ${ displaystyle G_ {i}}$ являются яые члены арифметической и геометрической последовательности соответственно.

Эта сумма имеет выражение в закрытой форме

${ displaystyle { begin {align} S_ {n} & = { frac {ab- (a + nd) , br ^ {n}} {1-r}} + { frac {dbr , (1 -r ^ {n})} {(1-r) ^ {2}}} & = { frac {A_ {1} G_ {1} -A_ {n + 1} G_ {n + 1}} {1-r}} + { frac {dr} {(1-r) ^ {2}}} , (G_ {1} -G_ {n + 1}). End {выравнивается}}}$

Доказательство

Умножение,^[4]

${ Displaystyle S_ {n} = ab + [a + d] br + [a + 2d] br ^ {2} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n-1}}$

от р, дает

${ displaystyle rS_ {n} = abr + [a + d] br ^ {2} + [a + 2d] br ^ {3} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n}.}$

Вычитание rS_п от S_п, и используя технику телескопическая серия дает

${ displaystyle { begin {align} (1-r) S_ {n} = {} & left [ab + (a + d) br + (a + 2d) br ^ {2} + cdots + [a + (n -1) d] br ^ {n-1} right] [5pt] & {} - left [abr + (a + d) br ^ {2} + (a + 2d) br ^ {3} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n} right] [5pt] = {} & ab + db left (r + r ^ {2} + cdots + r ^ {n- 1} right) - left [a + (n-1) d right] br ^ {n} [5pt] = {} & ab + db left (r + r ^ {2} + cdots + r ^ {n-1} + r ^ {n} right) - left (a + nd right) br ^ {n} [5pt] = {} & ab + dbr left (1 + r + r ^ {2} + cdots + r ^ {n-1} right) - left (a + nd right) br ^ {n} [5pt] = {} & ab + { frac {dbr (1-r ^ {n})} {1-r}} - (a + nd) br ^ {n}, end {выравнивается}}}$

где последнее равенство является результатом выражения для сумма геометрического ряда. Наконец, разделившись на 1 − р дает результат.

Бесконечная серия

Если -1 < р <1, то сумма S арифметико-геометрических серии, то есть сумма всех бесконечно многих членов прогрессии, определяется как^[4]

${ Displaystyle { begin {align} S & = sum _ {k = 1} ^ { infty} t_ {k} = lim _ {n to infty} S_ {n} & = { frac {ab} {1-r}} + { frac {dbr} {(1-r) ^ {2}}} & = { frac {A_ {1} G_ {1}} {1-r} } + { frac {dG_ {1} r} {(1-r) ^ {2}}}. end {выравнивается}}}$

Если р вне указанного диапазона, серия либо

• расходится (когда р > 1, или когда р = 1, где ряд арифметический и а и d оба не равны нулю; если оба а и d равны нулю в последнем случае, все члены ряда равны нулю и ряд постоянен)
• или чередует (когда р ≤ −1).

Пример: применение к ожидаемым значениям

Например, сумма

${ displaystyle S = { dfrac { color {blue} {0}} { color {green} {1}}} + { dfrac { color {blue} {1}} { color {green} { 2}}} + { dfrac { color {blue} {2}} { color {green} {4}}} + { dfrac { color {blue} {3}} { color {green} { 8}}} + { dfrac { color {blue} {4}} { color {green} {16}}} + { dfrac { color {blue} {5}} { color {green} { 32}}} + cdots}$,

будучи суммой арифметико-геометрического ряда, определяемого ${ displaystyle d = b = 1}$, ${ displaystyle a = 0}$, и ${ displaystyle r = { frac {1} {2}}}$, сходится к ${ Displaystyle S = 2}$.

Эта последовательность соответствует ожидаемому количеству подбрасывание монет до получения «хвостов». Вероятность ${ displaystyle T_ {k}}$ получения хвостов впервые на kй бросок выглядит следующим образом:

${ displaystyle T_ {1} = { frac {1} {2}}, T_ {2} = { frac {1} {4}}, dots, T_ {k} = { frac {1} {2 ^ {k}}}}$.

Таким образом, ожидаемое количество бросков равно

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} kT_ {k} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { color {blue} k} { color {зеленый } 2 ^ {k}}} = S = 2}$ .

использованная литература

дальнейшее чтение

• Д. Хаттар. Руководство Пирсона по математике для IIT-JEE, 2 / e (новое издание). Pearson Education India. п. 10.8. ISBN  81-317-2876-5.
• П. Гупта. Комплексная математика XI. Публикации Лакшми. п. 380. ISBN  81-7008-597-7.