Линейный интеграл - Line integral

В математика, а линейный интеграл является интеграл где функция подлежащих интеграции оценивается по изгиб.^[1] Условия интеграл по путям, интеграл кривой, и криволинейный интеграл также используются; контурный интеграл также используется, хотя обычно он используется для линейные интегралы в комплексной плоскости.

Интегрируемая функция может быть скалярное поле или векторное поле. Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенных некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длина дуги или, для векторного поля, скалярное произведение векторного поля с дифференциал вектор на кривой). Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалы. Многие простые формулы в физике, такие как определение работай в качестве ${displaystyle W = mathbf {F} cdot mathbf {s}}$ , имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов, в этом случае ${displaystyle extstyle W = int _ {L} mathbf {F} (mathbf {s}) cdot dmathbf {s}}$ , который вычисляет работай выполняется на объекте, движущемся в электрическом или гравитационном поле F по пути s.

Векторное исчисление

С качественной точки зрения линейный интеграл в векторном исчислении можно рассматривать как меру общего воздействия заданного тензорное поле по заданной кривой. Например, линейный интеграл по скалярному полю (тензор ранга 0) можно интерпретировать как площадь под полем, вырезанную определенной кривой. Это можно представить как поверхность, созданную z = ж(Икс,у) и кривая C в ху самолет. Линейный интеграл от ж будет областью созданного "занавеса", когда точки поверхности, которые находятся прямо над C вырезаны.

Линейный интеграл скалярного поля

Линейный интеграл по скалярному полю ж можно рассматривать как область под кривой C по поверхности z = ж(Икс,у), описываемый полем.

Определение

Для некоторых скалярное поле ${displaystyle f: mathbb {U} substeq mathbb {R} ^ {n} ightarrow mathbb {R}}$ , интеграл по прямой кусочно гладкий изгиб ${displaystyle {mathcal {C}} подмножество mathbb {U}}$ определяется как^[2]

{displaystyle int _ {mathcal {C}} f (mathbf {r}), ds = int _ {a} ^ {b} fleft (mathbf {r} (t) ight) | mathbf {r} '(t) | , dt.}

куда ${displaystyle mathbf {r}: [a, b] ightarrow {mathcal {C}}}$ произвольный биективный параметризация кривой ${displaystyle {mathcal {C}}}$ такой, что ${displaystyle mathbf {r} (a)}$ и ${displaystyle mathbf {r} (b)}$ дать конечные точки ${displaystyle {mathcal {C}}}$ и ${displaystyle a$ . Здесь и в остальной части статьи столбцы абсолютных значений обозначают стандартная (евклидова) норма вектора.

Функция ${displaystyle f}$ называется подынтегральным выражением, кривая ${displaystyle {mathcal {C}}}$ - область интегрирования, а символ ${displaystyle ds}$ можно интуитивно интерпретировать как элементарный длина дуги. Линейные интегралы скалярных полей по кривой ${displaystyle {mathcal {C}}}$ не зависят от выбранной параметризации ${displaystyle mathbf {r}}$ из ${displaystyle {mathcal {C}}}$ .^[3]

Геометрически, когда скалярное поле ${displaystyle f}$ определяется над плоскостью ${displaystyle (n = 2)}$ , его график представляет собой поверхность ${displaystyle z = f (x, y)}$ в пространстве, а линейный интеграл дает (со знаком) поперечный область, ограниченная кривой ${displaystyle {mathcal {C}}}$ и график ${displaystyle f}$ . Смотрите анимацию справа.

Вывод

Для линейного интеграла по скалярному полю интеграл может быть построен из Сумма Римана используя приведенные выше определения $ж$ , $C$ и параметризация $р$ из $C$ . Это можно сделать, разделив интервал $[а, б]$ в $п$ подинтервалы $[т я -1, т я]$ длины $Δ т = (б - а)/ п$ , тогда $р (т я)$ обозначает некоторую точку, назовем ее точкой выборки, на кривой $C$ . Мы можем использовать набор точек отбора проб ${р (т я) : 1 \leq я \leq п}$ аппроксимировать кривую $C$ по многоугольный путь путем введения отрезка прямой линии между каждой из точек выборки $р (т я -1)$ и $р (т я)$ . Затем мы помечаем расстояние между каждой из точек выборки на кривой как $Δ s я$ . Продукт $ж (р (т я))$ и $Δ s я$ может быть связан с подписанной областью прямоугольника высотой и шириной $ж (р (т я))$ и $Δ s я$ , соответственно. Принимая предел из сумма членов, когда длина перегородок приближается к нулю, дает нам

{displaystyle I = lim _ {Delta s_ {i} o 0} sum _ {i = 1} ^ {n} f (mathbf {r} (t_ {i})), Delta s_ {i}.}

Посредством теорема о среднем значении, расстояние между последующими точками на кривой равно

{displaystyle Delta s_ {i} = left | mathbf {r} (t_ {i} + Delta t) -mathbf {r} (t_ {i}) ight | приблизительно влево | mathbf {r} '(t_ {i}) ight | Delta t.}

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем

{displaystyle I = lim _ {Delta t o 0} sum _ {i = 1} ^ {n} f (mathbf {r} (t_ {i})) left | mathbf {r} '(t_ {i}) ight | Дельта t}

что является суммой Римана для интеграла

{displaystyle I = int _ {a} ^ {b} f (mathbf {r} (t)) left | mathbf {r} '(t) ight | dt.}

Линейный интеграл векторного поля

Определение

Для векторное поле F : U ⊆ р^п → р^п, интеграл по прямой кусочно гладкий изгиб C ⊂ U, в направлении р, определяется как^[2]

{displaystyle int _ {C} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot, dmathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {F} (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r } '(t), dt}

где скалярное произведение, и р: [а, б] → C это биективный параметризация кривой C такой, что р(а) и р(б) дают конечные точки C.

Таким образом, линейный интеграл скалярного поля является линейным интегралом векторного поля, где векторы всегда касательный к строке.

Линейные интегралы векторных полей не зависят от параметризации р в абсолютная величина, но они зависят от его ориентация. В частности, изменение ориентации параметризации меняет знак линейного интеграла.^[3]

С точки зрения дифференциальная геометрия, линейный интеграл векторного поля вдоль кривой является интегралом соответствующей 1-формы при музыкальный изоморфизм (который переводит векторное поле в соответствующее ковектор поле), над кривой, рассматриваемой как погруженный 1-коллектор.

Вывод

Траектория частицы (выделена красным цветом) по кривой внутри векторного поля. Начиная с а, частица идет по пути C вдоль векторного поля F. Скалярное произведение (зеленая линия) его касательного вектора (красная стрелка) и вектора поля (синяя стрелка) определяет область под кривой, которая эквивалентна интегралу линии пути. (Щелкните изображение для подробного описания.)

Линейный интеграл векторного поля может быть получен способом, очень похожим на случай скалярного поля, но на этот раз с включением скалярного произведения. Снова используя приведенные выше определения $F$ , $C$ и его параметризация $р (т)$ , построим интеграл по Сумма Римана. Мы разделяем интервал $[а, б]$ (что является диапазоном значений параметр $т$ ) в $п$ интервалы длины $Δ т = (б - а)/ п$ . Сдача $т я$ быть $я$ й пункт на $[а, б]$ , тогда $р (т я)$ дает нам позицию $я$ -я точка на кривой. Однако вместо того, чтобы вычислять расстояния между последующими точками, нам нужно вычислить их смещение векторы, $Δ р я$ . Как и раньше, оценивая $F$ во всех точках кривой и взяв скалярное произведение с каждым вектором смещения, мы получаем бесконечно малый вклад каждого раздела $F$ на $C$ . Если уменьшить размер разделов до нуля, получится сумма

{displaystyle I = lim _ {Delta t o 0} sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} (mathbf {r} (t_ {i})) cdot Delta mathbf {r} _ {i}}

Посредством теорема о среднем значении, мы видим, что вектор смещения между соседними точками на кривой равен

{displaystyle Delta mathbf {r} _ {i} = mathbf {r} (t_ {i} + Delta t) -mathbf {r} (t_ {i}) приблизительно mathbf {r} '(t_ {i}), Delta т.}

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем

{displaystyle I = lim _ {Delta t o 0} sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} (mathbf {r} (t_ {i})) cdot mathbf {r} '(t_ {i} ), Дельта t,}

которая является суммой Римана для определенного выше интеграла.

Независимость от пути

Если векторное поле F это градиент из скалярное поле грамм (т.е. если F является консервативный ), то есть,

{displaystyle mathbf {F} = abla G,}

затем по правило многопараметрической цепочки то производная из сочинение из грамм и р(т) является

{displaystyle {frac {dG (mathbf {r} (t))} {dt}} = abla G (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r} '(t) = mathbf {F} (mathbf {r } (t)) cdot mathbf {r} '(t)}

которое оказывается подынтегральным выражением для линейного интеграла от F на р(т). Это следует, учитывая путь C , который

{displaystyle int _ {C} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot, dmathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {F} (mathbf {r} (t)) cdot mathbf {r } '(t), dt = int _ {a} ^ {b} {frac {dG (mathbf {r} (t))} {dt}}, dt = G (mathbf {r} (b)) - G (mathbf {r} (a)).}

Другими словами, интеграл от F над C зависит исключительно от значений грамм в точках р(б) и р(а), и поэтому не зависит от пути между ними. По этой причине линейный интеграл консервативного векторного поля называется независимый от пути.

Приложения

Линейный интеграл имеет множество применений в физике. Например, работай сделано на частице, движущейся по кривой C внутри силового поля, представленного в виде векторного поля F - линейный интеграл от F на C.^[4]

Поток по кривой

Для векторное поле ${displaystyle mathbf {F}: Usubset mathbb {R} ^ {2} o mathbb {R} ^ {2}}$ , ${displaystyle mathbf {F} (x, y) = (P (x, y), Q (x, y))}$ , то линейный интеграл поперек кривой C ⊂ U, также называемый интеграл потока, определяется в терминах кусочно гладкий параметризация ${displaystyle mathbf {r} двоеточие [a, b] o C,}$ ${displaystyle mathbf {r} (t) = (x (t), y (t)),}$ в качестве:

{displaystyle int _ {C} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot dmathbf {r} ^ {perp} = int _ {a} ^ {b} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) cdot (y '(t), - x' (t)), dt = int _ {a} ^ {b} -Q, dx + P, dy.}

Здесь • - скалярное произведение, а ${displaystyle mathbf {r} '(t) ^ {perp} = (y' (t), - x '(t))}$ - перпендикуляр по часовой стрелке к вектору скорости ${displaystyle mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t))}$ .

Поток вычисляется в ориентированном смысле: кривая $C$ имеет указанное прямое направление от $р (а)$ к $р (б)$ , и поток считается положительным, когда $F (р (т))$ находится по часовой стрелке от вектора скорости поступательного движения $р' (т)$ .

Комплексный линейный интеграл

В комплексный анализ, линейный интеграл определяется через умножение и добавление комплексных чисел. Предполагать U является открытое подмножество из комплексная плоскость C, ж : U → C - функция, а ${displaystyle Lsubset U}$ кривая конечной длины, параметризованная ${displaystyle gamma: [a, b] o L}$ , куда ${displaystyle gamma (t) = x (t) + iy (t).}$ Интеграл по прямой

{displaystyle int _ {L} f (z), dz}

может быть определено путем подразделения интервал [а, б] в а = т₀ < т₁ < ... < т_п = б и учитывая выражение

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} f (gamma (t_ {k})), [gamma (t_ {k}) - gamma (t_ {k-1})] = sum _ {k = 1 } ^ {n} f (гамма _ {k}), дельта гамма _ {k}.}

Тогда интеграл является пределом этого Сумма Римана по мере приближения длины интервалов подразделения к нулю.

Если параметризация ${displaystyle gamma}$ является непрерывно дифференцируемый, линейный интеграл можно вычислить как интеграл от функции действительной переменной:^[2]

{displaystyle int _ {L} f (z), dz = int _ {a} ^ {b} f (gamma (t)) gamma '(t), dt.}

Когда ${displaystyle L}$ - замкнутая кривая (начальная и конечная точки совпадают), линейный интеграл часто обозначают ${displaystyle extstyle oint _ {L} f (z), dz,}$ иногда упоминается в инженерии как циклический интеграл.

Интеграл по прямой относительно сопряженного комплексного дифференциала ${displaystyle {overline {dz}}}$ определено^[5] быть

{displaystyle int _ {L} f (z) {overline {dz}}: = {overline {int _ {L} {overline {f (z)}}, dz}} = int _ {a} ^ {b} f (gamma (t)) {overline {gamma '(t)}}, dt.}

Линейные интегралы сложных функций можно вычислить с помощью ряда методов. Самый простой - разделить на действительную и мнимую части, сведя задачу к вычислению двух линейных интегралов с действительными значениями. В Интегральная теорема Коши может использоваться, чтобы приравнять линейный интеграл аналитическая функция к тому же интегралу по более удобной кривой. Это также означает, что над замкнутой кривой, охватывающей область, где ${displaystyle f (z)}$ аналитичен без особенности, значение интеграла просто равно нулю, или, если в области есть особенности, теорема о вычетах вычисляет интеграл по особенностям.

Пример

Рассмотрим функцию ж(z) = 1/z, и пусть контур L быть против часовой стрелки единичный круг около 0, параметризованный z (т) = е^Это с т в [0, 2π] с помощью комплексная экспонента. Подставляя, находим:

{displaystyle {egin {align} oint _ {L} {frac {1} {z}}, dz & = int _ {0} ^ {2pi} {frac {1} {e ^ {it}}} т.е. ^ {it }, dt = iint _ {0} ^ {2pi} e ^ {- it} e ^ {it}, dt & = iint _ {0} ^ {2pi} dt = i (2pi -0) = 2pi i. конец {выровнен}}}

Это типичный результат Интегральная формула Коши и теорема о вычетах.

Связь комплексного линейного интеграла и линейного интеграла векторного поля

Просмотр комплексных чисел как двумерных векторов, линейный интеграл комплекснозначной функции ${displaystyle f (z)}$ имеет действительную и комплексную части, равные линейному интегралу и интегралу потока векторного поля, соответствующего сопрягать функция ${displaystyle {overline {f (z)}}.}$ В частности, если ${displaystyle mathbf {r} (t) = (x (t), y (t))}$ параметризует L, и ${displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)}$ соответствует векторному полю ${displaystyle mathbf {F} (x, y) = {overline {f (x + iy)}} = (u (x + iy), - v (x + iy)),}$ тогда:

{displaystyle {egin {выровнено} int _ {L} f (z), dz & = int _ {L} (u + iv) (dx + i, dy) & = int _ {L} (u, -v) cdot (dx, dy) + iint _ {L} (u, -v) cdot (dy, -dx) & = int _ {L} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot dmathbf {r} + iint _ {L} mathbf {F} (mathbf {r}) cdot dmathbf {r} ^ {perp} .end {выровнено}}}

К Теорема Коши, левый интеграл равен нулю при ${displaystyle f (z)}$ аналитический (удовлетворяющий Уравнения Коши – Римана ). Соответственно, по Теорема Грина, правые интегралы равны нулю при ${displaystyle mathbf {F} = {overline {f (z)}}}$ является безвихревый (завиток -бесплатно) и несжимаемый (расхождение -свободный). Фактически, уравнения Коши-Римана для ${displaystyle f (z)}$ идентичны исчезновению ротора и дивергенции при F.

К Теорема Грина, площадь области, ограниченная гладкой замкнутой положительно ориентированной кривой ${displaystyle L}$ дается интегралом ${displaystyle extstyle {frac {1} {2i}} int _ {L} {overline {z}}, dz.}$ Этот факт используется, например, при доказательстве теорема площади.

Квантовая механика

В формулировка интеграла по путям из квантовая механика на самом деле относится не к интегралам по путям в этом смысле, а к функциональные интегралы, т.е. интегралы по пространству путей от функции из возможный путь. Однако интегралы по путям в смысле этой статьи важны в квантовой механике; например, сложная контурная интеграция часто используется при оценке амплитуды вероятности в квантовой рассеяние теория.

Смотрите также

внешняя ссылка

[Tang2006-1] Квонг-Тин Тан (30 ноября 2006 г.). Математические методы для инженеров и ученых 2: векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.

[:0-2] а ^б ^c «Список математических и аналитических символов». Математическое хранилище. 2020-05-11. Получено 2020-09-18.

[:1-3] а ^б Никамп, Дуэйн. «Линейные интегралы не зависят от параметризации». Math Insight. Получено 18 сентября, 2020.

[4] «16.2 Линейные интегралы». www.whitman.edu. Получено 2020-09-18.

[5] Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 103.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Линейный интеграл - Line integral

Содержание

Векторное исчисление

Линейный интеграл скалярного поля

Определение

Вывод

Линейный интеграл векторного поля

Определение

Вывод

Независимость от пути

Приложения

Поток по кривой

Комплексный линейный интеграл

Пример

Связь комплексного линейного интеграла и линейного интеграла векторного поля

Квантовая механика

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка