Тригонометрическая замена - Trigonometric substitution

Тригонометрия
Контур История Применение Функции  (обратный ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  (обратные функции ) Производные

В математика, тригонометрическая замена это замена из тригонометрические функции для других выражений. В исчисление, тригонометрическая подстановка - это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества упростить некоторые интегралы содержащий радикальные выражения.^[1][2] Как и другие методы интегрирования путем подстановки, при вычислении определенного интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Случай I. Интегранты, содержащие ${ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}}$

Позволять ${ Displaystyle х = а грех тета}$, и используйте идентичность ${ Displaystyle 1- грех ^ {2} тета = соз ^ {2} тета}$.

Примеры случая I

Геометрическая конструкция для случая I

Пример 1

В интегральном

${ displaystyle int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},}$

мы можем использовать

${ displaystyle x = a sin theta, quad dx = a cos theta , d theta, quad theta = arcsin { frac {x} {a}}.}$

Потом,

${ displaystyle { begin {align} int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} theta}}} [6pt] & = int d theta [6pt] & = theta + C [6pt] & = arcsin { frac {x} {a}} + C. end {align}}}$

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы ${ displaystyle a> 0}$ и ${ displaystyle cos theta> 0}$. Мы можем выбрать ${ displaystyle a}$ быть главным корнем ${ displaystyle a ^ {2}}$, и наложим ограничение ${ Displaystyle - пи / 2 < тета < пи / 2}$ с помощью функции обратного синуса.

Для получения определенного интеграла необходимо выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, как ${ displaystyle x}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle a / 2}$, тогда ${ Displaystyle грех тета}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle 1/2}$, так ${ displaystyle theta}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle pi / 6}$. Потом,

${ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = int _ {0} ^ { pi / 6} d theta = { frac { pi} {6}}.}$

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведенная выше интеграция требует, чтобы ${ Displaystyle - пи / 2 < тета < пи / 2}$ , ${ displaystyle theta}$ может идти только от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle pi / 6}$. Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать ${ displaystyle theta}$ идти от ${ displaystyle pi}$ к ${ displaystyle 5 pi / 6}$, что привело бы к отрицательному фактическому значению.

Или полностью вычислите неопределенные интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная дает

${ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = arcsin left ({ frac {x } {a}} right) { Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = arcsin left ({ frac {1} {2}} right) - arcsin (0) = { frac { pi} {6}}}$ как прежде.

Пример 2

Интегральный

${ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx,}$

можно оценить, допустив ${ displaystyle x = a sin theta, , dx = a cos theta , d theta, , theta = arcsin { frac {x} {a}},}$

где ${ displaystyle a> 0}$ так что ${ Displaystyle { sqrt {а ^ {2}}} = а}$, и ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}}$ по диапазону арксинуса, так что ${ Displaystyle соз тета geq 0}$ и ${ displaystyle { sqrt { cos ^ {2} theta}} = cos theta}$.

Потом,

${ displaystyle { begin {align} int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} ( cos ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int (a cos theta) (a cos theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = a ^ {2} int left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2} } right) , d theta [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( theta + sin theta cos theta) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( arcsin { frac {x} {a}} + { frac {x} {a}} { sqrt {1 - { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} { a}} + { frac {x} {2}} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. end {align}}}$

Для определенного интеграла границы меняются после выполнения подстановки и определяются с помощью уравнения ${ displaystyle theta = arcsin { frac {x} {a}}}$, со значениями в диапазоне ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}}$. Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определенный интеграл

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx,}$

можно оценить, подставив ${ Displaystyle х = 2 грех тета, , dx = 2 соз тета , д тета}$, с оценками, определенными с помощью ${ displaystyle theta = arcsin { frac {x} {2}}}$.

поскольку ${ Displaystyle arcsin (1/2) = пи / 6}$ и ${ Displaystyle arcsin (-1/2) = - пи / 6}$,

${ displaystyle { begin {align} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4-4 sin ^ {2} theta}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 (1- sin ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 ( cos ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [ 6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} (2 cos theta) (2 cos theta) , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2}} right) , d theta [6pt] & = 2 left [ theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right] _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = [2 theta + sin 2 theta] { Biggl |} _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = left ({ frac { pi} {3}} + sin { frac { pi} {3}} right) - left (- { frac { pi} {3}} + sin left (- { frac { pi} {3}} right) right) = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3 }}. [6pt] end {выровнено}}}$

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных дает

${ displaystyle { begin {align} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = left [{ frac {2 ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} {2}} + { frac {x} {2}} { sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} right] _ {- 1} ^ {1} [6pt] & = left (2 arcsin { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} { sqrt {4-1}} справа) - left (2 arcsin left (- { frac {1} {2}} right) + { frac {-1} {2}} { sqrt {4-1}} right) [6pt] & = left (2 cdot { frac { pi} {6}} + { frac { sqrt {3}} {2}} right) - left (2 cdot left (- { frac { pi} {6}} right) - { frac { sqrt {3}} {2}} right) [6pt] & = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3}} end {align}}}$

как прежде.

Случай II: Интегранты, содержащие ${ Displaystyle а ^ {2} + х ^ {2}}$

Позволять ${ Displaystyle х = а загар тета}$, и используйте идентификатор ${ Displaystyle 1+ tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta}$.

Примеры случая II

Геометрическая конструкция для Case II

Пример 1

В интегральном

${ displaystyle int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}$

мы можем написать

${ displaystyle x = a tan theta, quad dx = a sec ^ {2} theta , d theta, quad theta = arctan { frac {x} {a}},}$

так что интеграл становится

${ displaystyle { begin {align} int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} sec ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {d theta} {a}} [6pt] & = { frac { theta} {a}} + C [6pt] & = { frac {1} {a}} arctan { frac {x} {a}} + C, end {align}}}$

предоставлена ${ displaystyle a neq 0}$.

Для определенного интеграла границы меняются после выполнения подстановки и определяются с помощью уравнения ${ displaystyle theta = arctan { frac {x} {a}}}$, со значениями в диапазоне ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}}$. Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определенный интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx}$

можно оценить, подставив ${ Displaystyle х = загар тета, , dx = сек ^ {2} тета , д тета}$, с оценками, определенными с помощью ${ displaystyle theta = arctan x}$.

поскольку ${ displaystyle arctan 0 = 0}$ и ${ displaystyle arctan 1 = pi / 4}$,

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} { frac {4 , dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 int _ {0} ^ {1 } { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} {1+ tan ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} { sec ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} d theta [6pt] & = (4 theta) { Bigg |} _ {0} ^ { pi / 4} = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi. End {выровнено }}}$

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных выходов

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx & = 4 int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 left [{ frac {1} {1}} arctan { frac {x} {1}} right] _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan x) { Bigg |} _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan 1- arctan 0) & = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi, end {align}}}$

как и раньше.

Пример 2

Интегральный

${ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , {dx}}$

можно оценить, допустив ${ displaystyle x = a tan theta, , dx = a sec ^ {2} theta , d theta, , theta = arctan { frac {x} {a}},}$

где ${ displaystyle a> 0}$ так что ${ Displaystyle { sqrt {а ^ {2}}} = а}$, и ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}}$ по диапазону арктангенса, так что ${ displaystyle sec theta> 0}$ и ${ displaystyle { sqrt { sec ^ {2} theta}} = sec theta}$.

Потом,

${ displaystyle { begin {align} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2 } theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int (a sec theta) (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int sec ^ {3} theta , d theta. [6pt] end {align}}}$

В интеграл секущей в кубе можно оценить с помощью интеграция по частям. Как результат,

${ displaystyle { begin {align} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ sqrt { 1 + { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} cdot { frac {x} {a}} + ln left | { sqrt {1 + { frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + { frac {x} {a}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2 }} left (x { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {a ^ {2} + x) ^ {2}}}} {a}} right | right) + C. End {align}}}$

Случай III: Интегранты, содержащие ${ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2}}$

Позволять ${ Displaystyle х = а сек тета}$, и используйте идентификатор ${ displaystyle sec ^ {2} theta -1 = tan ^ {2} theta.}$

Примеры случая III

Геометрическая конструкция для Case III

Интегралы типа

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}}$

также может быть оценено частичные фракции а не тригонометрические замены. Однако интеграл

${ displaystyle int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx}$

не можешь. В этом случае подходящей заменой будет:

${ displaystyle x = a sec theta, , dx = a sec theta tan theta , d theta, , theta = operatorname {arcsec} { frac {x} {a}} ,}$

где ${ displaystyle a> 0}$ так что ${ Displaystyle { sqrt {а ^ {2}}} = а}$, и ${ displaystyle 0 leq theta <{ frac { pi} {2}}}$ предполагая ${ displaystyle x> 0}$, так что ${ displaystyle tan theta geq 0}$ и ${ Displaystyle { sqrt { tan ^ {2} theta}} = tan theta}$.

Потом,

${ displaystyle { begin {align} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2} theta -a ^ {2}}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} ( sec ^ {2} theta - 1)}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} tan ^ {2} theta}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int a ^ {2} sec theta tan ^ {2} theta , d theta & = a ^ {2} int ( sec theta) ( sec ^ {2} theta -1) , d theta & = a ^ {2} int ( sec ^ {3} theta - sec theta) , д тета. конец {выровнено}}}$

Можно оценить интеграл секущей функции умножив числитель и знаменатель на ${ Displaystyle ( сек тета + загар тета)}$ и интеграл секущей в кубе по частям.^[3] Как результат,

${ displaystyle { begin {align} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) -a ^ {2} ln | sec theta + tan theta | + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta - ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ frac {x} {a}} cdot { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - ln left | { frac {x} {a}} + { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2}} left (x { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} right | right) + C. end {выравнивается}}}$

Когда ${ displaystyle { frac { pi} {2}} < theta leq pi}$, что происходит, когда ${ displaystyle x <0}$ учитывая диапазон дуги, ${ displaystyle tan theta leq 0}$, смысл ${ displaystyle { sqrt { tan ^ {2} theta}} = - tan theta}$ вместо этого в этом случае.

Замены, устраняющие тригонометрические функции

Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

${ Displaystyle { begin {align} int е ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { pm { sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f left (u, pm { sqrt {1-u ^ {2}}} right) , du && u = sin (x) [6pt] int f ( sin ( x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { mp { sqrt {1-u ^ {2}}}}} f left ( pm { sqrt {1 -u ^ {2}}}, u right) , du && u = cos (x) [6pt] int f ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} f left ({ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, { frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right) , du && u = tan left ({ tfrac {x} {2}} right) [6pt] end {align}}}$

Последняя замена известна как Замена Вейерштрасса, который использует формулы касательных полууглов.

Например,

${ displaystyle { begin {align} int { frac {4 cos x} {(1+ cos x) ^ {3}}} , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} { frac {4 left ({ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right)} { left (1 + { frac { 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right) ^ {3}}} , du = int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2} ) , du & = int (1-u ^ {4}) , du = u - { frac {u ^ {5}} {5}} + C = tan { frac {x} {2}} - { frac {1} {5}} tan ^ {5} { frac {x} {2}} + C. end {align}}}$

Гиперболическая замена

Замены гиперболические функции также может использоваться для упрощения интегралов.^[4]

В интегральном ${ displaystyle int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx}$, сделайте замену ${ Displaystyle х = а зп {и}}$, ${ displaystyle dx = a cosh u , du.}$

Затем, используя тождества ${ Displaystyle сш ^ {2} (х) - зп ^ {2} (х) = 1}$ и ${ displaystyle sinh ^ {- 1} {x} = ln (x + { sqrt {x ^ {2} +1}}),}$

${ displaystyle { begin {align} int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx & = int { frac {a cosh u} { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} sinh ^ {2} u}}} , du [6pt] & = int { frac {a ch {u}} {a { sqrt {1+ sinh ^ {2} {u}}}} , du [6pt] & = int { frac {a cosh {u}} {a ch u}} , du [6pt] & = u + C [6pt] & = sinh ^ {- 1} { frac {x} {a}} + C [6pt] & = ln left ( { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + { frac {x} {a}} right) + C [6pt] & = ln left ({ frac {{ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} right) + C end {выровнено}}}$

Смотрите также

• Интеграция заменой
• Замена Вейерштрасса
• Подстановка Эйлера

использованная литература