Интеграл Фруллани - Frullani integral

В математика, Интегралы Фруллани это особый тип несобственный интеграл назван в честь итальянского математика Джулиано Фруллани. Интегралы имеют вид

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , { rm {d}} x}$

где ${ displaystyle f}$ это функция определен для всех неотрицательных действительные числа что есть предел в ${ displaystyle infty}$, который обозначим через ${ Displaystyle е ( infty)}$.

При определенных условиях справедлива следующая формула их общего решения:^{[требуется разъяснение ]}

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , { rm {d}} x = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} ln { frac {a} {b}}.}$

Доказательство

Простое доказательство формулы можно получить, расширив интегрировать в интеграл, а затем с помощью Теорема Фубини чтобы поменять местами два интеграла:

${ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { infty} { frac {f (ax) -f (bx)} {x}} , dx & = int _ {0} ^ { infty} left [{ frac {f (xt)} {x}} right] _ {t = b} ^ {t = a} , dx & = int _ {0} ^ { infty} int _ {b} ^ {a} f '(xt) , dt , dx & = int _ {b} ^ {a} int _ {0} ^ { infty} f' (xt) , dx , dt & = int _ {b} ^ {a} left [{ frac {f (xt)} {t}} right] _ {x = 0} ^ { x to infty} , dt & = int _ {b} ^ {a} { frac {f ( infty) -f (0)} {t}} , dt & = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} { Big (} ln (a) - ln (b) { Big)} & = { Big (} f ( infty) -f (0) { Big)} ln { Big (} { frac {a} {b}} { Big)} конец {выровнено}}}$

Обратите внимание, что интеграл во второй строке выше был взят по интервал ${ Displaystyle [б, а]}$не ${ Displaystyle [а, б]}$.

Приложения

Формулу можно использовать для получения интегрального представления для натуральный логарифм ${ Displaystyle ln (х)}$ позволяя ${ Displaystyle е (х) = е ^ {- х}}$ и ${ displaystyle a = 1}$:

${ displaystyle { int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- x} -e ^ {- bx}} {x}} , { rm {d}} x = { Большой (} lim _ {n to infty} { frac {1} {e ^ {n}}} - e ^ {0} { Big)} ln { Big (} { frac {1 } {b}}} { Big)} = ln (b)}$

Формулу также можно обобщить несколькими способами.^[1]

использованная литература

• Г. Борос, В. Молл, Непреодолимые интегралы (2004), стр. 98
• Хуан Ариас-де-Рейна, К теореме Фруллани (PDF; 884 kB), Proc. A.M.S. 109 (1990), 165-175.
• ProofWiki, доказательство интеграла Фруллани.